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MATEMATICAS II
DEDICATORIA
Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante todo a DIOS a nuestros padres, familiares, y compañeros quienes de una u otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este proyecto.
De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.
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MATEMATICAS II
AGRADECIMIENTO
Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que contribuyeron a la realización de este proyecto.
A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado.
A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con el desarrollo de la misma.
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MATEMATICAS II
INTEGRANTES:1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO
3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN
5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA
7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA
9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN
11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS
13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY
15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL
17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA
19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA
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MATEMATICAS II
DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:
La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.
dydx
=u .v
dydx
=u . dvdx
+v dudx
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MATEMATICAS II
DERIVADA DE UN COCIENTE:
La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el cuadrado del denominador.
dydx
=v du
dx−u dv
dxv2
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MATEMATICAS II
DERIVADA EXPONENCIAL:
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
f:R Rx f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an
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MATEMATICAS II
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL:
La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la derivada de la variable.
En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:
que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:
Si y= ln v
dydx
=1v
. dvdx
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MATEMATICAS II
DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR:
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación logarítmica
Notación exponencial
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MATEMATICAS II
log 2 8 = 3log 1/2 4 = -2log 7 7³ = 3
2³ = 8(1/2)-2 = 2 ² = 47³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.
Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.
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MATEMATICAS II
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25
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MATEMATICAS II
EJEMPLOS:
1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.
dydx
=u .v
dydx
=u . dvdx
+v dudx
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MATEMATICAS II
1) Y=(3+2 X )4(3−5 X )5
PASOS A SEGUIR
Identificamos la función U (3+2 X )4 y luego la función V (3−5 X )5
Empezamos a derivar la función U
U=(3+2 X )3
dudx
=4(3+2 X )3. (2)
dudx
=8 (3+2 X)3
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MATEMATICAS II
Luego derivamos la función V
V=(3−5 X)5
dvdx
=5¿
dvdx
=−25¿
Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
Y=(3+2 X )4(3−5 X )5
dydx
=(3+2x )4 .¿
dydx
=−25(3+2x )4(3+2 x)4+8(3+2 x)3(3−5 x)5
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MATEMATICAS II
dydx
¿(3−5 x)4 (3+2 x)3 [−25 (3+2 x )+8(3−5 x) ]
dydx
=(3−5 x )4 (3+2 x )3(−75−50 x+24−40 x)
dydx
=(3−5 x )4 (3+2 x )3 (−90 x−51 )
dydx
=3 (3−5 x )4 (3+2 x )3 (−30 x−17 )
2) Y=(x2+2x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4
U¿(x2+2 x−7)3(2 x−3)4
dudx
=(x2+2 x−7)3 ∙ 4 (2 x−3)3(2)+(2 x−3)4 ∙ 3 ( x2+2x−7 )2(2 x−2)
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MATEMATICAS II
dudx
=(x2+2 x−7)3 ∙8(2x−3)3+(2x−3)4 ∙3 ( x2+2 x−7 )2( x+1)
dudx
=2(x2+2x−7)2(2 x−3)3 [4 (x2+2 x−7)+3(2x−3)(x+1)]
dudx
=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−4 )3(4 x2+8x−28+6 x2+6 x−9 x−9)
dudx
=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−3 )3(10 x2+5 x−37).
V=(1−3 x )5(1+7x )4
dvdx
=(1−3 x )5∙ 4 (1+7 x )3 (7 )+(1+7 x )4 ∙5 (1−3 x )4 ∙(−3)
dvdx
=(1−3x )4(1+7 x )3 [(1−3 x)4 ∙7+5(1−7 x)(−3) ]
dvdx
=(1−3x )4(1+7 x )3
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MATEMATICAS II
dvdx
=(1−3 x )4 (1+7 x )3(13−21 x)
Y=(x2+2 x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4
dydx
=¿(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2
(2x- 3)3(10x2+5x-37)
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3¿(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2
(1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)¿
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74)
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74).
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MATEMATICAS II
3) Y= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 ( 34
X−3)4
U= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3
dudx
=(35
x2−1)2.3 ( 23
x+1)2( 23 ) + 2( 3
5x2−1)( 6
5x )( 2
3x+1)3
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2 [3( 35
x2−1)( 23 )+. 2( 2
3x+1)( 6
5x)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[2( 35
x2−1)+ 125 ( 2
3X−1)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[( 6 x2
5−2)+(24 x2
18−12
5x)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[( 6 x2−105 )+( 24 x2+36 x
15 )]Página 17
MATEMATICAS II
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[18 x2−30+24 x2+36 x15 ]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2( 14 x2+12 x−1015 )
V= ( 34
X−3)4
dvdx
=¿4( 34
x−3)3( 34 )
dvdx
=3 .( 34
x−3)3
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MATEMATICAS II
Y= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 ( 34
X−3)4
dydx
=( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 3 .( 34
x−3)3 +( 34
X−3)4( 35
x2−1)( 23
x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]
dydx
=( 35
x2−1)(23
x+1)2
( 34
x−3)3[(3
5X2−1)( 2
3x+1) .3+( 3
4x−3) .2( 42 x2+36 x−30
15 )]dydx
=( 35
x2−1)(23
x+1)2
( 34
x−3)3[( 3
5X2−1)(1
3x+1)+(3
2x−3)( 42 x2+36 x−30
15 )]
DERIVADA DE UN COCIENTE:
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MATEMATICAS II
1.-) y=( 3
5X
23+ 7
8X
14 −10)
34
( 37
X78−5
8X
83+ 3
4 )1115
PASOS A SEGUIR:
Identificamos cual es la función U ( 35
X23+ 7
8X
14 −10)
34 y
Luego la función V ( 37
X78− 5
8X
83+ 3
4 )1115
Empezamos a derivar la función U
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MATEMATICAS II
u=( 35
x23 +7
8x
14−10)
34
dudx
=34 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 ( 2
3x
−13 + 7
32x
−34 )
Empezamos a derivar la función V
v=( 37
x78− 5
8x
83 + 3
4 )1115
dvdx
=1115 ( 3
7x
78−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )
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MATEMATICAS II
Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
y=( 3
5X
23+ 7
8X
14 −10)
34
( 37
X78−5
8X
83+ 3
4 )1115
dydx
=( 3
7x
89−5
8x
89 + 3
4 )1115 3
4 ( 35
x23 + 7
8x
14 −10)
−14 ( 2
5x
−13 + 7
32x
−34 )−( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
34 11
15 ( 37
x78−5
8x
83 + 3
4 )−415 ( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )
[( 37
x78− 5
8x
89 + 3
4 )1115 ]
2
dydx
=( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 [3
4 ( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )(25
x−13 + 7
32x
−34 )−11
15 ( 35
x23 + 7
8x
14 −10)( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )]
[(37
x78−5
8x
89 + 3
4 )1115 ]
2
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MATEMATICAS II
dydx
=( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 [ 9
70x
1324 + 9
28x
18−3
6x
59− 105
1024x
536 + 9
40x
−13 + 63
512x
−34 − 33
200x
1324+ 33
155x
59− 77
320x
18 + 77
216x
536+ 33
12x
−18 −110
27x
−19 ]
( 37
x78−5
8x
89 + 3
4 )2215
dydx
=
−511400
x1324−109
640x
18 + 41
720x
59+ 7021
27648x
536 + 9
40 x13
+ 63
512 x34
+ 33
12 x18
− 110
27 x19
( 37 x
89−
58 x
89+
34 )
2615 (3
5 x23 +
78 x
14−10)
14
2.-) y= x2−x+1x2+x+1
dydx
=( x2+x+1 ) (2 x−1 )−( x2−x+1 ) (2 x+1 )
( x2+x+1 )2
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MATEMATICAS II
dydx
=( x2+x+1 ) [ (2 x−1 )−(2 x+1 ) ]
( x2+x+1 )2
dydx
=2 x−1−2x−1( x2+x+1 )
dydx
= −2( x2+x+1 )
3.-) y= √u+1√u−1
u¿√u+1
dudx
=12
u−12
dudx
= 12√u
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MATEMATICAS II
V¿√u−1
dvdx
=12
u−12
dvdx
= 12√u
y= √u+1√u−1
dydx
=¿¿
dydx
=
√u – 1−√u−12√u
(√u−1)2
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MATEMATICAS II
dydx
= −22√u (u−1 )2
dydx
= −22√u (u−1 )2
dydx
= −1√u (u−1 )2
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
1) Y = ev
PASOS A SEGUIR:
Identificamos las funciones la variable (V) Derivamos la variable ( V )
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MATEMATICAS II
v=4 x2−5dydx
=8 x
Derivamos la función Y
Y = ev
dydx
=8 xe4 x2−5
2) Y= e2 x+3
e7 x−2
u=e2 x+3
dudx
=e2 x+3 .2
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MATEMATICAS II
v=e7 x−2
dvdx
=e7 x−2.7
dydx
=2 (e7 x−2 ) . (e2 x+5 )−(e2x+3 ) (e7 x−2 ) .7
(e7 x−2 )2
dydx
=− (e2 x+3 ) (5 )
e7 x−2
3) y= ex2
ex
u=ex2 u= ev ' v '=x2
dv '=2 x
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MATEMATICAS II
v=ex
dvdx
=ex.1
y= ex2
ex
dydx
= ex2
. ex−ex .2 x ex2
e2 x
dydx
=ex ex2
[1−2 x ]e2 x
dydx
=ex2
[ 1−2 x ]ex
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
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MATEMATICAS II
y=av
PASOS A SEGUIR
dydx
=av . ln a . dvdx
1) y=3−x +1x−1
a=3
v= x+1x−1
dvdx
= 2( x−1 )2
dydx
=3x+1x−1 ln 2 2
( x−1 )2
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MATEMATICAS II
2.-) y=−3− x2
a=2
v=x2−5 x+1
dvdx
=2 x−5
dydx
=2x2−5+5 . ln 3 . (2 x−5 )
3.-) y=−7e5x2−3 x+1
a=7
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MATEMATICAS II
v=e5 x2−3 x+1 (10 x−3 )
dvdx
=−7e5 x2−3 x+1
ln7 (10x−3)e5x2−3 x+1
4.-) 63 x+ex
dydx
=3+ex (1 )
dydx
=63 x+e x
. ln 6.3+¿ex ¿
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
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MATEMATICAS II
1.-) y=ln (x+2)3(x−3)4
(x−1)2(x+1)5
y=3 ln ( x+2 )+4 ln ( x−3 )−2 ln ( x−1 )−5 ln(x+1)
dydx
= 3(x+2)
.1+ 4(x−3)
.1− 2(x−1)
.1− 5( x+1 )
.1
dydx =
3 ( x−3 ) ( x−1 ) ( x+1 )+4 ( x+2 ) ( x−1 ) ( x+1 )−2 ( x+2 ) (x−3 ) (x+1 )−5(x+2)(x−3)(x−1)( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)
dydx
=3 x3−9 x2−3 x+9+4 x3+8x2−4 x−8−x2+7 x+6−x3+2x2+5 x−6( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)
dydx
= 6 x3+5 x+1(x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )( x−1)
R .
2.-) y=( x−2 )(x+4)(x−5 )(x+3)
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MATEMATICAS II
lny=ln(x−2 )(x+4)( x−5 )(x+3)
lny=ln ( x−2 )+ln ( x+4 )−ln ( x−5 )− ln (x+3)
1y∗dy
dx= 1
(x−2)+ 1
(x+4 )− 1
(x−5)− 1
(x+3)
1y∗dy
dx=
( x+4 ) (x−5 ) (x+3 )+( x−2 ) ( x−5 ) ( x+3 )− (x−2 ) ( x+4 ) ( x+3 )−( x−2 ) ( x+4 )(x−5)( x−2 ) ( x+4 ) (x−5 )(x+3)
1y∗dy
dx= x3+2 x2−23 x−60+ x3−4 x2−11 x+30− x3−5 x2+2 x+24−x3+3 x2+18 x−40
(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
1y∗dy
dx= −4 x2−14 x−46
( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
Página 34
MATEMATICAS II
dydx
= −2(2x2+7 x+23)(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
∗y
dydx
=
−2(2x2+7 x+23)( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 ) ( x+3 )
∗( x−2 )(x+4)
( x−5 )(x+3)
dydx
=−2(2 x2+7 x+23)(x−5)2(x+3)2 R .
4.-) y=(x+1)2(2 x+3)3
lny=ln(x+1)2(2x+3)3
1y
× dydx
=2 ln ( x+1 )+3 ln (2 x+3)
1y
× dydx
=2 × 1(x+1)
+3× 1(2x+3 )
× 2
Página 35
MATEMATICAS II
1y
× dydx
= 2(x+1)
+ 6(2 x+3)
1y × dy
dx =2 (2 x+3 )+6(x+1)
( x+1 )(2 x+3)
1y
× dydx
=4 x+6+6 x+6( x+1 )(2 x+3)
1y
× dydx
= 10 x+12( x+1 )(2 x+3)
dydx
= 2(5 x+6)(x+1)(2 x+3)
∗ y
dydx
= 2(5 x+6)(x+1 )(2 x+3)
∗(x+1)2(2 x+3)3
dydx
=2 (5 x+6 ) ( x+1 ) (2 x+3 )2 R .
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MATEMATICAS II
DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR
Si y= log v
dydx
=
log ev
∗dv
dx
EJERCICIOS
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MATEMATICAS II
Y=log (x2−5)5
v=(x2−5)5 dydx
=
logev
∗dv
dx
dvdx
=5(x2−5)4∗(2 x) dydx
= loge(x2−5)5∗10 x (x2−5)4
dvdx
=10 x (x2−5)4 dydx
=10 x loge(x2−5)
y=log ( ex )
Página 38
MATEMATICAS II
dydx
= log ex
(ex )ex
dydx
=log e
y= log (e x)x
dydx
=log ex (x )−1
dydx
=log (ex )−1 ( x )−2+( x )−1 logex
ex
dydx
=−log(ex )(x )2
+ log ex
Página 39
MATEMATICAS II
Página 40
MATEMATICAS II
1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES:
2.- DERIVADA DE UN COCIENTE:
y=uv
dydx
=v du
dx−u dv
dxv2
Y=u . v
dydx
=u . dvdx
+v . dudx
Página 41
MATEMATICAS II
3.- DERIVADA EXPONENCIAL:
y=ev
dydx
=ev . dvdx
4.-DERIVADA CON EXPONENTE:
y=av
dydx
=av lna dvdx
Página 42
MATEMATICAS II
5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL:
y=ln v
dydx
=1v
. dvdx
6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR:
y=log . v
dydx
= log ev
. dvdx
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MATEMATICAS II
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