MÉTODOS NUMÉRICOSRaíces de ecuaciones

2014-2015

Raíces de Ecuaciones

A los valores calculados por la fórmula se

llama raíces o ceros de la ecuación, es

decir los valores de x que hacen que f(x) =

0.

Raíces de Ecuaciones

Existen muchas funciones donde las

raíces no se pueden determinar tan

fácilmente.

Para estos casos, existen algunos

métodos numéricos para obtener la

respuesta.

Raíces de Ecuaciones

En tales casos, la única alternativa es una

técnica con solución aproximada;

Un método para obtener una solución

aproximada consiste en graficar la función

y determinar donde cruza el eje de las x;

El método gráfico tiene el inconveniente

de que son poco precisos.

Raíces de Ecuaciones

Las funciones pueden ser:

Funciones Algebraicas

Funciones Trascendentes

Raíces de Ecuaciones

Funciones Algebraicas:

Una función dada y = f(x) es algebraica si

se expresa de la siguiente forma:

Raíces de EcuacionesDonde fi es un polinomio de i-ésimo orden

en x. Los polinomios son un tipo de

funciones algebraicas que generalmente

se representan como:

Donde n es el orden del polinomio y las a

son constantes.

Raíces de Ecuaciones

Funciones Trascendentes:

Son funciones que no son algebraicas,

incluyen:

Funciones Trigonométricas

Funciones Exponenciales

Funciones Logarítmicas

Otras menos familiares

Raíces de Ecuaciones

Las raíces de las ecuaciones pueden ser

reales o complejas.

Métodos para Determinar

valor de una sola raíz real

basándose en un

conocimiento previo de su

posición aproximada

.

Métodos Cerrados

Bisección

Falsa Posición

Métodos Abiertos

Iteración Simple de punto fijo

Newton-Raphson

Secante

Raíces Múltiples

MÉTODOS CERRADOS

Se llama métodos cerrados o de

intervalos, porque se necesita de dos

valores iniciales para la raíz.

Dichos valores iniciales deben encerrar o

estar a ambos lados de la raíz

MÉTODO DE BISECCIÓN

f(x)

x

MÉTODO DE BISECCIÓN

PASO 1

xL xu

f(x)

x

f(xL)

f(xu)

Consiste en considerar un intervalo (xL, xu) en el que

se garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓN

PASO 2

xL xuxr

f(x)

x

f(xL)

f(xu)

f(xr)

El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr como

aproximación de la raíz buscada.

𝑥𝑟 =𝑥𝐿 + 𝑥𝑢

2

MÉTODO DE BISECCIÓN

PASO 3

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.

Se evalúa el signo resultante del producto f(xL) f(xr)

Si f(xL) f(xr) < 0, se hace que xu = xr y se regresa al paso

2

Si f(xL) f(xr) > 0, se hace que xL = xr y se regresa al

paso 2

MÉTODO DE BISECCIÓN

PASO 4

Si f(xL) f(xr) = 0, xr es la raíz y se detiene el proceso.

CRITERIO DE PARO Y ESTIMACIÓN DE

ERRORES

Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir

cuándo debe terminar el método.

Una sugerencia inicial: Finalizar el cálculo cuando el

error se encuentre por debajo de algún nivel prefijado.

Cuando εa < εs < 0, el cálculo termina.

RESUMEN MÉTODO DE BISECCIÓN