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Capítulo V. Teoría cinética elemental de los procesos de transporte
Lección 20Gas diluido. Desequilibrio. Colisiones. Recorrido libre medio
Lección 21Viscosidad y transporte de momento. Coeficiente de viscosidad de un gas diluido. Conductividad térmica y transporte de energía. Coeficiente de conductividad térmica.
Lección 22Autodifusión y transporte de moléculas. Coeficiente de autodifusión de un gas diluido. Conductividad eléctrica y transporte de carga. Coeficiente de conductividad eléctrica de un sistema de partículas cargadas
2
Lección 20
Gas diluido. Desequilibrio. Colisiones. Recorrido libre medio
3
Introducción.
Hemos tratado situaciones de equilibrio, pero ¿cómo se llega a él?
Situaciones de desequilibrio:
Un río
metal
T1 T2QT1 > T2
En un sólido:-gas diluido de electrones-vibraciones de la red (fonones)-ondas de momento magnético (magnones)
Complicado Gas clásico diluido
4
Gas en situación de desequilibrio:
- Se llega al equilibrio mediante choques entre las moléculas- En equilibrio tendremos la distribución de velocidades de Maxwell
Si consideramos un gas diluido:
- Densidad baja: las moléculas apenas interaccionan, tiempo entre choques >> tiempo chocando
- La probabilidad de choques entre más de dos partículas es despreciable- La longitud de onda de de Broglie de las moléculas es mucho menor que la separación media entre ellas: trayectorias clásicas
5
Diferencia entre situción de equilibrio y estacionaria:
Sistema aislado en equilibrio: ninguno de sus parámetros varía en el tiempo
Sistema estacionario: el sistema no está aislado, pero sus parámetros no varían en el tiempo.
Hay que considerar el entorno:
barra
T1 T2QT1 > T2 Situación estacionaria:
Hay un gradiente de T en la barra.Pero si los focos son finitos, acabaremos teniendo T1 = T2
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Estudiaremos procesos de transporte en el gas diluído:
Transporte de: - Momento: Viscosidad- Energía: Conductividad térmica- Materia: Difusión
Consideraremos:- velocidad de las moléculas- tiempo entre colisiones- distancia entre colisiones- número de colisiones
Conceptos:- tiempo de colisión, τ- recorrido libre medio, λ- sección eficaz de dispersión, σ
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Recorrido libre medio: Distancia media entre colisiones
Volumen barrido por una molécula hasta que se encuentra con otra:
Recorrido libre medio = tiempo medio entre colisiones × velocidad media
Recorrido libre medio :
vm
nD
12 =λπ
nDn σπλ 11
2=≈
2Dπσ =Sección eficaz de dispersión:
8
Difusión:movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick)
Coeficiente de difusión, D = m2/s
9
Conductividad térmica:transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
Frio CalienteFlujo de calor
El flujo de energía a través de un area A es proporcional al gradiente de temperatura. (ley de Fourier)
Conductividad térmica, K = W m-1 K-1
C : calor específico
10
Viscosidad:transporte de momento (momento X, transportado a lo largo de la dirección Y)
Pared fija
Pared en movimiento
XY
Si una superficie se mueve respecto a otra, habrá un gradiente de velocidad. Esto produce una fuerza de arrastre sobre cada superficie.
Coeficiente de viscosidad: N m-2 s-1 (CGS: poise)
11
Recorrido libre medio.
Tiempo medio entre colisiones.
Sección eficaz de dispersión.
12
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.Sea una molécula con velocidad v.
Sea P(t) la probabilidad de que pase un tiempo t sin sufrir choques.
0)(,)(,1)0( →∞→↑↓= tPtsitPP
:dtω probabilidad de que una molécula sufra un choque en el tiempo entre t y t+dt.
:ω Probabilidad por unidad de tiempo. Frecuencia de colisión. Es independiente de la historia pasada. Puede depender de la velocidad. Permite obtener P(t).
)1()()( dttPdttP ω−×=+dt
dttdP
tPdttP)(
)()( +≡+
ω−=dtdP
P1
Supondremos que la velocidad no varía (o muy poco) entre choques.La probabilidad es independiente del tiempo.
)exp()(ln tCtPCtP ωω −=+−=
11)0( == CP
)exp()( ttP ω−=
13
P(t) : probabilidad de que la molécula pase un tiempo t sin sufrir choques )exp()( ttP ω−=
Definimos: probabilidad de que una molécula tenga un choque en el intervalo [t,t+dt], después de estar un tiempo t sin sufrir choques
dttdttP )()( =×ω dtet t ωω−=)(Esta nueva probabilidad equivale a: probabilidad de sobrevivir t MENOS probabilidad de sobrevivir t+dt
dtdtdP
dttPtPt −=+−= )()()(
Condición de normalización: (seguro que la partícula choca en algún momento)
1)(0
=∞
dtt
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.
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Tiempo de colisión (o de relajación): es el tiempo medio entre choques.
ωωτ ω 1
)(00
===≡ ∞
−∞
dtetdtttt t
Y podemos escribir:dtedtt
t
ττ 1
)(−
=pueden depender de la velocidad
τω y
Recorrido libre medio: distancia recorrida entre choques.
)()( vvvl τ= λττ ≡= vl
Colisiones: tiempo de colisión, recorrido libre medio.
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Recorrido libre medio: Distancia media entre colisiones
Volumen barrido por una molécula hasta que se encuentra con otra:
Recorrido libre medio = tiempo medio entre colisiones × velocidad media
Recorrido libre medio :
vm
nD
12 =λπ
nDn σπλ 11
2=≈
2Dπσ =Sección eficaz de dispersión:
16
ΩΩΩΩ ≡≡≡≡ θθθθ , φφφφ
Sección eficaz diferencial de dispersión, es la proporcionalidad entre estas magnitudes:
≡Ω ),( V
σ ΩΦΩ= dVdN 1),(
σ
Colisiones: recorrido libre medio. Sección eficaz de dispersión
Antes: v1, v2Después: v’1, v’2
Sistema de referencia fijo en 2:
(Incluye potencial de interacción)
12
V’
V
V = v1 - v2 R = r1 - r2
Flujo de partículas tipo1 que inciden en las tipo2 por unidad de area y de tiempo ≡Φ 1
Tras la dispersión, habrá dN partículas de tipo1 con velocidad entre v’ y v’+dv’ (en la dirección dΩ)
Sección eficaz total de dispersión: Ω
ΩΩ= dVV ),()(0
σσ
ΩΦ ddN y1,
≡)(0 V
σ
17
VndAdt
dAdtVn 1111
)( ==ΦFlujo de partículas tipo1 que inciden sobre el diferencial de volumen:
Número de partículas tipo1 dispersadas por unidad de tiempo en todas las direcciones, por todas las moléculas que haya en d3r:
)()( 301 rdnVn ×σ
La probabilidad de choque por unidad de tiempo para una molécula se obtiene dividiendo por el número de moléculas tipo1 que hay en d3r:
nV 01 στω == −
La probabilidad de choque aumenta si aumentan: La velocidad molecular,
La densidad
La sección eficaz de dispersión
¿ Cuál es la probabilidad de choque por unidad de tiempo ?
)( 31 rdn
Colisiones: recorrido libre medio.
18
Colisiones entre moléculas: recorrido libre medio.
Recorrido libre medio
nVv
v0σ
τλ ==
Vv
será cercano a 1
212
22
12
21
2 vvvvV
vvV
−+=
−= 22
21
221 ,0 vvVvv +==
22
21, vvVvv cm +≈≈
vV 2≈
Y si las moléculas son idénticas:
Por lo tanto:
n021σ
λ ≈
19
Estimaciones numéricas:
Gas a temperatura ambiente y 1 atmósfera.
dcmcm
cmnmdtípicodiámetro
cmmolecskTpnKTcmdinasp
>>≈→≈
==
≈===
−−
−
52160
8
31926
1031012
1022.0:
/104.2/,300,/10
λσ
Nitrógeno:
)(102
106,/105
191
104
microondass
sv
scmv
−−
−
≈=
≈=≈
τω
λτ
n021σ
λ ≈
20 dπσ =
mkT
vπ8=
Colisiones entre moléculas: recorrido libre medio.
20
Lección 21
Viscosidad y transporte de momento. Coeficiente de viscosidad de un gas diluido.
Conductividad térmica y transporte de energía. Coeficiente de conductividad térmica.
21
Fenómenos de transporte
Transporte de una determinada propiedad a lo largo de una dirección, y a través de la superficie normal a esa dirección.
z + λ
z - λ
2λ
Modelo: Las moléculas llevan las propiedades que tenían en la posición de su última colisión, que ocurrió a una distancia igual a un recorrido libre medio de la linea (superficie) a través de la cual estudiamos eltransporte.
22
Transporte de la propiedad F a lo largo de la dirección z.
Flujo de F: cantidad de F transportada por unidad de area y de tiempo.
)(61 λ−=+ zFvnJ z
)(61 λ+=− zFvnJ z
z + λ
z - λ
2λ
zF
zFzF∂∂±=± λλ )()(
∂∂−=−= −+ z
FvnJJJ zzz λ2
61
zF
vnJ z ∂∂−= λ
31
Fenómenos de transporte
Flujo de F:
(si el gradiente de F no es muy grande)
vndAdt
dAdtvn ==Φ 1)(Flujo de partículas que
inciden sobre un dA en dt:
23
Fenómenos de transporte. ViscosidadTransporte de momento (Ejemplo: momento X, transportado a lo largo de la dirección Z)
Pared fija
Pared en movimiento
XZ
Si una superficie se mueve respecto a otra, habrá un gradiente de velocidad. Esto produce una fuerza de arrastre sobre cada superficie.
Ftp
=∂∂ Fuerza ejercida sobre
el gas (o pared)
≡zxP aumento medio, por unidad de tiempo y de area del plano, de la componente x del momento del gas sobre el plano, debido al transporte neto de momento por parte de las partículas que atraviesan dicho plano.
Un río
24
Fenómenos de transporte. Viscosidad
zzzx JJP −+ −=
zv
mvnP xzx ∂
∂−= λ31
= “vienen” - “se van”
λη mvn31=
)(61 λ−=+ zmvvnJ xz
Transporte de momento (Ejemplo: momento X, transportado a lo largo de la dirección Z)
)(61 λ+=− zmvvnJ xz
zv
P xzx ∂
∂−= η
z + λ
z - λ2λ z
FvnJ z ∂
∂−= λ31
≡zxP aumento medio, por unidad de tiempo y de area del plano, de la componente x del momento del gas sobre el plano, debido al transporte neto de momento por parte de las partículas que atraviesan dicho plano.
25
λη mvn31=
Relación Presión-gradiente de velocidad
Viscosidad: relaciones y límites de validez
n021σ
λ ≈m
kTv
π8=
NkTPV =2
31
vnmP =2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
= ληvP
zvv
P x
∂∂== η
λη
mkT
mπσ
η 821
31
0
=03
2σπ
η mkT=σ0 también depende de T
Relación Viscosidad-Temperatura. La viscosidad es independiente de la presión
Pero todo esto sólo vale si el gas es diluído
26
Gas diluido:
0,, σλ ≈>> ddbajanLaltan <<λ,
Gas muy diluido: 0,0,,0 →→≈→ ηλ xFLn
Habrá que considerar choques entre móléculas y de las moléculas con las paredes
1110
−−− += paredesmolecs τττProbabilidad total de choque:
λστ v
nVmolecs ==−0
1
Lv
paredes ≈−1τRecorrido libre medio total: v00 τλ ≡
10
1110 2 −−−− +≈+= LnL σλλ
nLnSi ∝→↓↓ ηλ ,, 0 Gas de Knudsen, ya no tiene sentido hablar de viscosidad
Viscosidad: relaciones y límites de validez
Ld <<<< λ
n021σ
λ ≈
mkT
vπ8=
NkTPV =
2
31
vnmP =
2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
λη mvn31=
032
σπη mkT=
20 dπσ =
27
Viscosidad: estimaciones numéricas
n021σ
λ ≈
mkT
vπ8=
NkTPV =
2
31
vnmP =
2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
λη mvn31=
032
σπη mkT=
20 dπσ =
dcmcm
cmnmdtípicodiámetro
cmmolecskTpn
KTcmdinasp
>>≈→≈==
≈===
−−
−
52160
8
319
26
1031012
1022.0:
/104.2/
,300,/10
λσ
Nitrógeno a temperatura ambiente y 1 atmósfera :
)(108.1
,/105114
4
poisescmg
scmv−−−≈
≈
η
λη
/vP=
28
Fenómenos de transporte. Conductividad térmica
≡zQ flujo de calor (energía). Gas ideal: energía cinética.
zT
Q z ∂∂−= κ
Transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
Frio CalienteFlujo de calor
El flujo de energía a través de un area A es proporcional al gradiente de temperatura. (ley de Fourier)
0),( >∂∂=
zT
zTT
Conductividad térmica, κ = W m-1 K-1
z
29
Fenómenos de transporte. Conductividad térmica
Transferencia de energía en forma de calor debido a un gradiente de temperatura
z + λ
z - λ2λ z
FvnJ z ∂
∂−= λ31
zzz JJQ −+ −=
zT
Tvn
zvnQ z ∂
∂∂∂−=
∂∂−= ελελ
31
31
= “vienen” - “se van”
CvnT
vn λελκ31
31 =
∂∂=
)(61 λε −=+ zvnJ z
≡zQ flujo de calor (energía). Gas ideal: energía cinética.
)(61 λε +=− zvnJ z
zT
Q z ∂∂−= κ
C : calor específico
30
κ es independiente de la presión
Conductividad térmica : relaciones y límites de validez
PMc
mC V==
ηκ
Relación Viscosidad-Conductividad térmica.
Además, todo esto sólo vale si el gas es diluído
Cvn λκ31=
n021σ
λ ≈
mkT
vπ8=
NkTPV =
2
31
vnmP =
2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
λη mvn31=
032
σπη mkT=
20 dπσ =
λη
/vP=
mkTC
vC
00 32
231
σπσκ ==
σ0 también depende de T
Nota: κ real es mayor. Las moléculas más rápidas llevan más energía cinética, y no hemos considerado la distribución de velocidades de Maxwell, sino que hemos considerado a todas las moléculas con la velocidad media.
PMc Vγ
ηκ =
γ varía entre 1.3 y 2.5
31
Conductividad térmica : Aplicación a gases no clásicos. Transporte de calor en metales
Cvngas λκ31= ?¿ metalκ En un metal:
- gas de electrones- vibraciones de la red (fonones)
:metalκ
0 1 20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FEE /
0nn kTContribuyen los electrones
alrededor del nivel de Fermi: nEkT
F
Gas de electrones: kC e 23=
Velocidad de Fermi: mEv FF /2=
Recorrido libre medio: choques con fonones (nf ) y con impurezas (ni)
32
Conductividad térmica : Aplicación a gases no clásicos. Transporte de calor en metales
Recorrido libre medio de los electrones: choques con fonones (nf ) y con impurezas (ni)
A baja T hay pocos fonones excitados térmicamente: (lo veremos en FD y BE)
La densidad de impurezas es fija, por tanto:
)10(,1 KTTn ii <∝≈→∝ − κκλ n021σ
λ ≈
Cvn λκ31=A alta T: predomina la dispersión por fonones
)(,331Dff TTTTn θκκλ <∝≈→∝∝ −−−
En general, fonones + impurezas:
21111Tb
Ta
if
+=+=κκκ
κ
T
33
Conductividad térmica de un sólido aislante a baja temperatura
No hay electrones, el calor se transporta por las vibraciones de la red
Cvn λκ31=
≡∝
≡
∝
λTindepkC
Tindepvv
Tn
sonidof
f
.
.
3
Long. de dispersión del fonón = tamaño del sólido, indep. de T
Por tanto, para un aislante a baja temperatura: 3T∝κ
34
Lección 22
Autodifusión y transporte de moléculas. Coeficiente de autodifusión de un gas diluido.
Conductividad eléctrica y transporte de carga. Coeficiente de conductividad eléctrica de un sistema de partículas cargadas
35
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick).
zz JJtA
N−+ −=
∂∂∂
= “vienen” - “se van”
Coeficiente de difusión, D = m2/s
Habrá movimiento hasta lograr una distribución uniforme.
zn
DtA
NJ z ∂
∂−=∂∂
∂=
36
z + λ
z - λ2λ z
FvnJ z ∂
∂−= λ31
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
zz JJtA
N−+ −=
∂∂∂
zn
vJ z ∂∂−= λ
31
= “vienen” - “se van”
λvD31=
)(61 λ−=+ znvJ z
)(61 λ+=− znvJ z
zn
DtA
NJ z ∂
∂−=∂∂
∂=
37
)()()( dzzJAzJAdzAntt
Nzz +−=
∂∂=
∂∂
zn
vnJ z ∂∂−= λ
31
zJ
tn z
∂∂−=
∂∂
“vienen” “se van”
2
2
zn
Dtn
∂∂=
∂∂ λvD
31=Ecuación de conservación
del número de partículas
z + λ
z - λ2λ
Fenómenos de transporte. Difusión
movimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
38
Coeficiente de difusión: relaciones y dependencias
n021σ
λ ≈
mkT
vπ8=
NkTPV =
2
31
vnmP =
2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
λη mvn31=
032
σπη mkT=
20 dπσ =
λη
/vP=
λvD31=
D sí depende de la presión
ρη11 ==
mnD
Relación Viscosidad-Difusión
( )mTk
PD
3
0
13
2σπ
=
σ0 también depende de T
Cuanto más caliente y menos denso está el gas, mejor se mueven las moléculas
γ varía entre 1.3 y 2.5
γη
ρ =D
39
Coeficiente de difusión: estimaciones
n021σ
λ ≈
mkT
vπ8=
NkTPV =
2
31
vnmP =
2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
λη mvn31=
032
σπη mkT=
20 dπσ =
λη
/vP=
λvD31=
dcmcm
cmnmdtípicodiámetro
cmmolecskTpn
KTcmdinasp
>>≈→≈==
≈===
−−
−
52160
8
319
26
1031012
1022.0:
/104.2/
,300,/10
λσ
Nitrógeno a temperatura ambiente y 1 atmósfera :
scmD
poisescmg
scmv
/5.0
)(108.1
,/105
2
114
4
≈
≈≈
−−−η
ρη11 ==
mnD
( )mTk
PD
3
0
13
2σπ
=
Experimental a 273K y 1 atmósfera :
scmD /185.0 2≈
40
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
Las moléculas tienen desplazamientos aleatorios tras las colisiones.
Estudiaremos la componente Z de dichos desplazamientos:s : componente Z del desplazamiento i-ésimo
La molécula parte de Z=0, tras N choques... =
=N
iisz
1
Los desplazamientos son aleatorios: 00 == zs i
Pero la dispersión no es nula: ≠
==
+=N
jiji
ji
N
ii sssz
1,1
22
Por tanto estudiaremos la evolución de la dispersión con el tiempo
41
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
La dispersión es:
0== jiji ssss 22 sNz =222)( tvstvts zz =→=
222222
31
vvvvvv zzyx =→++=
2
0
22 21 ττ
τ == ∞ −
dtettt
222
32 τvs =
Número de desplazamientos en tiempo t: τ
tN = tvsNtz
== τ222
32
)(
≠
==
+=N
jiji
ji
N
ii sssz
1,1
22
τ
τλλ
2
31
,31
vD
vvD
=
==tDtz 2)(2 ≈
42
La difusión tratada como un problema de camino aleatorio
∞
∞−
= dztznzN
tz ),(1
)( 12
1
2
Lo relacionaremos con la ecuación de difusión (gradientes de densidad):
tN
∂∂× 1
∞
∞−
∞
∞− ∂∂=
∂∂
dzzn
zDdzt
nz 2
12
212
21 z
tN
∂∂=
(por partes)
12 ND=
±∞→→∂∂
zsizn
yn ,011
tDzDzt
22 22 =→=∂∂
Así, usando el camino aleatorio, el coeficiente de difusión es:
tvtz
= τ22
32
)(τ2
31
vD = λvD31=
vv cm ≈
∞
∞−
= dztznN ),(11
ecuación de difusión 2
2
zn
Dtn
∂∂=
∂∂
43
Conducción eléctricaE
Partículas cargadas, en un campo eléctrico, que chocan contra otras partículas
Carga eléctrica media que cruza dA en dt en la dirección z (densidad de corriente)
≡zj
Ej ez σ= Ley de Ohm
Modelo: n partículas cargadas (q) por unidad de volumen
?¿, zzz vvqnj =
)0( =+=→= tvtmEq
vEqdt
dvm zz
zJusto tras un choque:
Si debido al choque v=0:
τστmqn
mEq
v ez
2
=→=
nv
0
1σ
λτ ==
mkTnqn
vmnqn
e01
2
01
2
31
σσσ ==
mkT
vv rcm 3=≈n partículas cargadas, n1 partículas contra las que chocan
44
45
λη mvn31=
Relación Presión-gradiente de velocidad
Viscosidad: relaciones y límites de validez
n021σ
λ ≈m
kTv
π8=
NkTPV =2
31
vnmP =2
21
23
vmkTE ==
VNn /=
= ληvP
zvv
P x
∂∂== η
λη
mkT
mπσ
η 821
31
0
=03
2σπ
η mkT=σ0 también depende de T
Relación Viscosidad-Temperatura. La viscosidad es independiente de la presión
Pero todo esto sólo vale si el gas es diluído
46
Fenómenos de transporte. Difusiónmovimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick). Coeficiente de difusión, D = m2/s
zF
vnJ z ∂∂−= λ
31
zz JJtA
N−+ −=
∂∂∂
zn
vJ z ∂∂−= λ
31
= “vienen” - “se van”
λvD31=
)(61 λ−=+ znvJ z
)(61 λ+=− znvJ z
zn
DJ z ∂∂−=
47
Fenómenos de transporte. Difusiónmovimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick). Coeficiente de difusión, D = m2/s
zF
vnJ z ∂∂−= λ
31
)()()( dzzJAzJAdzAntt
Nzz +−=
∂∂=
∂∂
zn
vnJ z ∂∂−= λ
31
zJ
tn z
∂∂−=
∂∂
“vienen” “se van”
2
2
zn
Dtn
∂∂=
∂∂ λvD
31=Ecuación de
difusión
48
Fenómenos de transporte.
Relaciones entre κη y
κη y,D dependencias con: temperatura, presión, dimensiones del recipiente, etc.
λη mvn31= Cvn λκ
31= λvD
31=
n021σ
λ ≈m
kTv
π8= NkTPV =
ληvP=
2
31
vnmP =
zvv
P x
∂∂== η
λη
mkT
mπσ
η 8123
1
0
=03
2σπ
η mkT=También depende de T
49
Fenómenos de transporte.
Relaciones entre κη y
κη y,D dependencias con: temperatura, presión, dimensiones del recipiente, etc.
λη mvn31= Cvn λκ
31= λvD
31=
n021σ
λ ≈m
kTv
π8= NkTPV =
..MPc
mC V==
ηκ
2
31
vnmP =
..MPcVγ
ηκ =
En la realidad el factor no es 1, va de 1.3 a 2.5
50
Fenómenos de transporte. Difusiónmovimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick). Coeficiente de difusión, D = m2/s
zF
vnJ z ∂∂−= λ
31
zz JJtA
N−+ −=
∂∂∂
zn
vJ z ∂∂−= λ
31
= “vienen” - “se van”
λvD31=
)(61 λ−=+ znvJ z
)(61 λ+=− znvJ z
zn
DJ z ∂∂−=
51
Fenómenos de transporte. Difusiónmovimiento de una sustancia debido a un gradiente de su concentración
El flujo de moléculas a través de un area A es proporcional al gradiente de densidad. (ley de Fick). Coeficiente de difusión, D = m2/s
zF
vnJ z ∂∂−= λ
31
)()()( dzzJAzJAdzAntt
Nzz +−=
∂∂=
∂∂
zn
vnJ z ∂∂−= λ
31
zJ
tn z
∂∂−=
∂∂
“vienen” “se van”
2
2
zn
Dtn
∂∂=
∂∂ λvD
31=Ecuación de
difusión