ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO

Introducción

• Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, producen una distribución de fuerzas internas cuya intensidad en un punto recibe el nombre de esfuerzo.

• Bajo la acción de estas fuerzas, el cuerpo experimenta una deformación que se manifiesta como un cambio de forma y/o volumen.

Introducción

Definición de esfuerzos

Definición de esfuerzos

• Humanamente hablando:– Acción de emplear gran fuerza física o moral con

algún fin determinado.• Mecánicamente hablando:– Un conjunto de fuerzas y momentos

estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas de un cuerpo sobre el área de esa sección.

Definición de esfuerzos en un punto

• Cuerpo con cargas externas muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la acción de las cargas externas 1, 2,...𝐹 𝐹 𝐹𝑛

0

0

i

i

M

F

Para que un cuerpo este en equilibrio

Definición de esfuerzos en un punto• Consideremos un punto P en el interior del cuerpo y un plano que

contenga a P y divida el cuerpo en dos partes y además:

• Se produce en la superficie de separación una fuerza distribuida que corresponde a la interacción de una parte del cuerpo sobre la otra.

Si se considera un pequeño elemento de área Δ del 𝐴plano, que contenga a P, actuará sobre él una fuerza elemental Δ . 𝐹

dAdF

AFS

Anr

0

lim

00 ii MF ,

Definición de esfuerzos en un punto

• El esfuerzo tiene dirección y sentido. Dependerá de la orientación del elemento de área utilizado, es decir, dependerá de la dirección de n. Por esto, se hace necesario utilizar en la notación del esfuerzo dos subíndices, el primero indicará la dirección normal al elemento de área donde actúa el esfuerzo, y el segundo la dirección en que actúa.

Definición de esfuerzos en un punto• Es útil descomponer el vector esfuerzo en dos componentes, 𝑆𝑛𝑟

una en la dirección normal al área ( ) y otra tangencial ( ).𝑆𝑛𝑛 𝑆𝑛𝑡• En ingeniería se utilizan los signos:

– σ Para esfuerzos normales– τ Para esfuerzos tangenciales

Definición de Tensor de esfuerzos en un punto

Definición de Tensor de esfuerzos en un punto

Definición de Tensor de esfuerzos en un punto

• La condición de equilibrio de momentos alrededor de la dirección m-m que pasa por P y es paralela al eje x, queda expresada por:

Y análogamente

Estado de esfuerzos plano• El estado de esfuerzos plano se caracteriza porque todas las

componentes del esfuerzo en una dirección determinada son nulas, por ejemplo en la dirección z.

Estado de esfuerzos plano

• Considerando sistema n,t que está rotando respecto al sistema original x, y en un ángulo .𝜃

Estado de esfuerzos planoSi se quiere rotar los componentes de esfuerzos desde la dirección n,t al plano x,ySe debe obtener el equilibrio de fuerzas.

De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección n, se tiene: 0nF

Estado de esfuerzos plano

• Utilizando relaciones de trigonometría

22221

212 22 sincossin,cossin,coscos

Se tiene que:

Estado de esfuerzos plano• De la condición de

equilibrio de fuerzas en la dirección t, se tiene:

222 cossincos

Estado de esfuerzos planoLa expresión para σ tiene la misma forma que la expresión anterior, hay que 𝑡considerar que en el lugar del ángulo , habría que utilizar el ángulo + /2 .𝜃 𝜃 𝜋

permiten conocer las componentes normal y tangencial del esfuerzo en un punto, para un plano con cualquier orientación definida por el ángulo 𝜃

Esfuerzos principales

• Los esfuerzos normales máximo y mínimo, reciben el nombre de esfuerzos principales, los planos donde ellos actúan se llaman planos principales y las direcciones normales a estos planos son las direcciones principales.

• Las direcciones principales se denotarán con los número 1 y 2 y los esfuerzos principales serán σ1y σ2.

Esfuerzos principales

• Direcciones principales.– Si llamamos 𝜃σ al ángulo que forma la dirección

principal 1 con la dirección x, se deberá cumplir para valores máximos o mínimos de σ𝑛 que:

dd

xyyxyx

n 2222

sincos

Esfuerzos principales

yx

xy

xyyx

xyyxn

dd

22

222

0222

tan

cossin

cossin

Finalmente los ángulos de las direcciones principales son:

2

221

12

11

yx

xytan

Esfuerzos principales

• Si calculamos la segunda derivada

0

0

222

2

2

2

2

2

2

dddddd

n

n

xyyxn sincos

Valor máximo para

Valor mínimo para

1 n

2 n

Esfuerzos principales

• Para obtener los valores de los esfuerzos principales σ1y σ2 bastará con reemplazar los valores de los ángulos 𝜃σ1 y 𝜃σ2 en la formula de σ𝑛 .

Esfuerzos principales

• Y que pasa con

• Nos damos cuenta que

• Y como en los planos principales

Esfuerzos principales

• Por lo tanto 0nt

Esfuerzos principales

• Al sumar los esfuerzos principales σ1y σ2 se tiene que:

• En forma mas general

• Esto significa que la suma de los esfuerzos normales es independiente de la orientación del elemento (cantidad invariante).

yx 21

yxtn

Esfuerzo de Corte máximo

• Con un razonamiento similar al que se hizo para el esfuerzo normal σ𝑛, se puede obtener el valor y la ubicación de los planos donde actúa el esfuerzo de corte máximo.

• En los planos donde el esfuerzo de corte es máximo se debe cumplir entonces que:

Esfuerzo de Corte máximo

xy

yx

xyyx

xyyxnt

dd

22

222

0222

tan

sincos

sincos

yx

xy

22tanComo sabíamos

anteriormente que

Se cumple que 122 tantan

Esfuerzo de Corte máximo

• Se deduce que los ángulos 2 y 2𝜃𝜏 𝜃σ difieren en 90° y, por lo tanto, los ángulos 𝜃σ y en 45°.𝜃𝜏

• Si se remplaza ahora el valor del ángulo en la 𝜃𝜏expresión para σ𝑛 y σt , se obtiene

41

2yx

tn

Esfuerzo de Corte máximo

Y remplazando en 𝜃𝜏 𝜏nt

Ejemplo

• Se tiene el siguiente estado de esfuerzos con:– σx=5– σy=-4– τxy=-2

• Determinar:1. σn, σt, τxy para θ=30° 2. σ1, σ2, θσ1, θσ23. τmax, θτmax

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

• El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918), ideó un sistema gráfico para representar el estado de esfuerzos en un punto.

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

• Para efectos de graficar el círculo de Mohr, se adopta la siguiente convención de signos para el esfuerzo de corte . Positivo si la tendencia 𝜏de giro del elemento es en el sentido horario y negativo si la tendencia es en el sentido antihorario.

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

• Supongamos en primer lugar, que σ𝑥 > σ𝑦 y dibujemos un sistema de ejes cartesiano de σ− , el cual presentara los puntos A y B.𝜏

c

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

• Cada punto en este sistema σ− , 𝜏representa un posible plano con sus respectivas componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de corte. Así por ejemplo, el punto A, sobre el círculo, tiene coordenadas (σ ,− ) y, por lo tanto, 𝑥 𝜏𝑥𝑦representa el plano cuya normal es la dirección x. El punto B de coordenadas (σ , ) representa el plano que tiene 𝑦 𝜏𝑥𝑦como normal la dirección y.

• Los puntos A y B se unen por medio de una línea que corta al eje horizontal en el punto C. El punto C es el centro del círculo de Mohr.

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

• Los infinitos puntos que componen el círculo de Mohr, corresponderán a los infinitos planos que pueden pasar por el punto en cuestión.

• Demostraremos, que el punto N sobre el círculo, representa el plano cuya normal es n y que está rotado un ángulo respecto a la dirección x, que es la 𝜃normal al plano que en el círculo de Mohr está representado por el punto A.

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

Representación gráfica por medio del círculo de Mohr

Casos especiales de estados de esfuerzos

• Estado de esfuerzo uniaxial – Se caracteriza porque existe sólo una de las

componentes normales, puede ser de tracción σ𝑥>0, o de compresión σ𝑥<0.

Casos especiales de estados de esfuerzos

Estado de esfuerzo uniaxial

Casos especiales de estados de esfuerzos

• Estado de corte puro: – Se caracteriza porque existe sólo la componente

de corte en el plano donde es máximo.𝜏

Casos especiales de estados de esfuerzos

Estado de corte puro

Casos especiales de estados de esfuerzos

• Estado de corte puro: – En este caso además se cumple que:

– De acuerdo a esto, se podría formular una definición más general del estado de esfuerzo de corte puro, diciendo que es aquel en que la suma de los esfuerzos normales es nula, vale decir, para una orientación (n,t) cualquiera se debe cumplir que:

– Como esta es una cantidad invariante, resulta entonces que para cualquier otra orientación del elemento se cumplirá que la suma de los esfuerzos normales es nula. El círculo de Mohr en este caso particular resulta centrado respecto del origen.

Ejemplo

Es interesante hacer notar que el signo negativo de indica que su dirección está en sentido 𝜏𝑛𝑡contrario a la dirección del eje t, esto no se contrapone con la convención de signos para efectos de la representación gráfica en el círculo de Mohr, donde a le correspondería signo positivo 𝜏𝑛𝑡para el plano considerado.

Concepto de deformación en un punto

• La acción de cargas externas produce en los cuerpos una distribución de esfuerzos y además una deformación.

• La deformación es una magnitud física que requiere de una definición formal. En primer lugar se definirá el concepto de deformación normal en un punto.

• Los cambios en un cuerpo se pueden descomponer en 4 partes:

Traslación Rotación

Deformación Lineal Deformación Angular

Concepto de deformación en un punto

• Consideremos el desplazamiento de D a D’, con lo cual el tramos OD modifica su longitud y gira un ángulo transformando en el segmento OD’.

Concepto de deformación en un punto

• Definimos δ como la deformación unitaria del elemento OD, al cociente entre el desplazamiento DD’ y la longitud OD

Se descompone el vector δ en dos componentes: deformación longitudinal unitaria(ε) y deformación angular unitaria (γ)

Concepto de deformación en un punto

• Deformación longitudinal (normal)– un punto A(x0) y un punto vecino B(x0+dx0) de un

elemento unidimensional orientado en la dirección X. Si este elemento se deforma por alargamiento los puntos A y B se desplazan a los punto A’ y B’ de coordenadas (x,x+dx) respectivamente.

Concepto de deformación en un punto

• En el punto A se define la deformación normal convencional en la dirección X se denota por 𝜀𝑥 a:

• El alargamiento del trazo es Δ = − 0 𝑂𝐴 𝑋 𝑋 𝑋con lo que:

Si la longitud es finita

Concepto de deformación en un punto

• En forma mas general

Concepto de deformación en un punto

• Deformación por esfuerzo de corte o deformación angular .

• Para el caso de pequeñas deformaciones angulares, se tiene:

Concepto de deformación en un punto

• Los subíndices x e y indican que la deformación angular se produce en el plano xy. La componente 𝛾𝑥𝑦 es entonces, de acuerdo a esta definición, la variación que experimenta durante la deformación un ángulo inicialmente recto formado por las direcciones x e y.

Tensor de deformación

• Al igual que los esfuerzos la deformaciones se pueden ordenar en un tensor.

Deformaciones producidas por estados de esfuerzos planos

𝜀𝑥 y 𝜀 𝑦 corresponden a los alargamientos unitarios en las direcciones x e y respectivamente. La componente 𝛾𝑥𝑦 es igual a la variación angular (𝛾1+𝛾2 ) y la rotación es

Deformaciones producidas por estados de esfuerzos planos

• Para la rotación de deformaciones en cualquier dirección se tiene:

Deformaciones principales• En el caso de las deformaciones, las direcciones principales de deformación,

corresponderán a las direcciones en que se producen las deformaciones normales máxima y mínima 1 y 2 respectivamente, y deformación angular 𝜀 𝜀nula. A su vez, las direcciones de deformación angular máxima, se encuentran desfasadas en 45º de las direcciones principales de deformación. Las expresiones correspondientes se pueden escribir por analogía con la de los esfuerzos.

Se cumple también

Circulo de Morh para deformaciones

Circulo de Morh para deformaciones

• Convención de signos

Circulo de Morh para deformaciones

Medición de deformaciones

• Debemos saber que los esfuerzos se calculan y las deformaciones se miden.

• La herramienta más importante del ingeniero para el análisis experimental de esfuerzos, es tal vez, la resistencia eléctrica denominada “Strain Gauge” o “Banda extensométrica”.

Medición de deformaciones

• Se descubrió que la resistencias eléctricas de alambres de Cobre y Hierro cambiaba cuando eran sometidos a carga, y que este cambio se debía a una variación de la resistividad eléctrica del conductor.

• Strain gages: consiste en un alambre pegado a la superficie del elemento que se va a deformar, de manera que la deformación es tomada también por el conductor y medida con un circuito eléctrico simple.

El strain gauge es un elemento que mide sólo deformaciones normales en una dirección dada.Para obtener completamente el estado de deformaciones en un punto es necesario tener una configuración de roseta.

Ejemplo

• Determinación del estado de deformaciones en un punto utilizando una roseta 0º, 60º, 120º.

Ejemplo• Supongamos que en un punto de un elemento tenemos la

roseta de la figura que nos da las deformaciones en las direcciones (a), (b) y (c), digamos , , . 𝜀𝑎 𝜀𝑏 𝜀𝑐

• Estas tres deformaciones normales, definen completamente el estado de deformaciones en el punto.

• Elegimos el sistema de referencia x, y, de manera que, por ejemplo, la dirección x coincida con la dirección (a).

• La expresión que nos da la deformación normal es una dirección n cualquiera es:

Ejemplo

• Ahora, aplicando esta expresión en forma sucesiva para las direcciones (a), (b) y (c), tendremos:

Resolviendo el sistema