Ing. Eduardo Orcés

Sistemas de ControlClase 17

Diseño por Ajuste de Ganancia usando el LGR

Ing. Eduardo Orcés P. Febrero 11/20152014-II

Ing. Eduardo Orcés

TEMAS

Diseño de Sistemas de Control: Método de Ajuste de Ganancia

Introducción a la Compensación de Sistemas

2014-II

Diseño de sistemas mediante el LGREspecificaciones típicas de Diseño

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Diseño por Ajuste de Ganancia

• Trazar el LGR.• Hallar la ganancia K requerida para satisfacer las

especificaciones de diseño, usando las correlaciones de2° orden.

• Justificar la suposición de 2° orden si:- polos de orden superior están más alejados del ejeimaginario (>5x) que los polos dominantes de 2°orden.

- ceros de LC son cancelados aproximadamente porpolos de LC de orden superior, ó, están más alejados(>5x) que los polos dominantes de LC.

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Aproximaciones de Segundo Orden

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• Ejemplo 8.8 (Nise): Seleccione la ganancia K requeridapara obtener un sobrepaso de 1.52 %. También estimeel tiempo de asentamiento, tiempo pico y error de estadoestable. (Usar programa ch8p2)

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a. Caso 2;b. Caso 3

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% (ch8p2) Example 8.8: We can couple the design of gain on the root locus with a % step response simulation for the gain selected. We introduce the command % rlocus(G,K), which allows us to specify the range of gain, K, for plotting the root % locus. This command will help us smooth the usual root locus plot by equivalently % specifying more points via the argument, K. Notice that the first root locus % plotted without the argument K is not smooth. We also introduce the command, % x = input('prompt'), which allows keyboard entry of a value for x in response to a % prompt. We apply this command to enter the desired percent overshoot. We also add % a variable's value to the title of the root locus and step response plots by % inserting another field in the title command and use num2str(value) to convert % value from a number to a character string for display. Let us apply the concepts % to Example 8.8 in the text.

'(ch8p2) Example 8.8' % Display label.clear % Clear variables from workspace.clf % clear graph on screen.numg=[1 1.5]; % Define numerator of G(s).deng=poly([0 -1 -10]); % Define denominator of G(s).'G(s)' % Display label.G=tf(numg,deng) % Create and display G(s).rlocus(G) % Draw root locus (H(s)=1).title('Original Root Locus') % Add title.pauseK=0:.5:50; % Specify range of gain to smooth root locus.rlocus(G,K) % Draw smoothed root locus (H(s)=1).

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title('Smoothed Root Locus') % Add title.pos=input('Type %OS '); % Input desired percent overshoot

% from the keyboard.z=-log(pos/100)/sqrt(pi^2+[log(pos/100)]^2) % Calculate damping ratio.sgrid(z,0) % Overlay desired damping ratio line

% on root locus.title(['Root Locus with ',num2str(pos),'% overshoot line'])

% Define title for root locus% showing percent overshoot used.

[K,p]=rlocfind(G) % Generate gain, K, and closed-loop% poles, p, for point selected% interactively on the root locus.

pause'T(s)' % Display label.T=feedback(K*G,1) % Find closed-loop transfer function

% with selected K and display.step(T) % Generate closed-loop step response

% for point selected on root locus.title(['Step Response for K=',num2str(K)])

% Give step response a title which % includes the value of K.

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• Ejemplo de Diseño: Diseño de una balanza automáticade auto-nivelación en que la operación de pesaje serealiza controlando la posición lineal de un contrapesoWc, y la posición angular de la balanza.

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• Wc = 2 N, Lw = 5 cm, Li = 20 cm, f = 10√3 kg/m/s, Ebb = 24 V.Tornillo, 20 vueltas/cm: Ks = 1/20 (cm/rev) = 1/4000π (m/rad)I = 0.05 kg.m2

• Potenciómetros:a) entrada: longitud = 0.5 cm, Ki = 24V/0.5cm = 4800 V/mb) retroalimentación: longitud = 6 cm, Kf = 24V/6cm = 400 V/m

• Especificaciones: 1) ess = 0 (tipo 1)2) respuesta amortiguada, ζ = 0.503) tiempo de estabilización < 2 s

• Modelo matemático:

sK

ssK

sVs

xKyKtVdtdyflxWWl

lyII

ly

m

m

m

m

m

fim

icwi

i

≅+

=

−=

−−==

≅

)1()()(

)(

τθ

θ

θ

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• Función de transferencia:

iismcfsmi

smiiw

lKKKWKKKsflIssKKKll

sWsX

+++=

))(()()(

2

• Ecuación característica (remplazando los valores numéricos):

010

9610

)38( =+

++

ππmm KKsss

• Obtenemos el LGR en función de la ganancia del motor:

[ ]

( )( ) 0)38(

93.693.693.693.6)10/(1

0)38(

96)38()10/(1

2

2

=+

−++++

=+

+++

ssjsjsK

ssssK

m

m

π

π

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• Con K = 25.3 = Km /10π, las raíces dominantes se colocan en ζ =0.5. Para obtener esta ganancia,

Km = 795 (rad/s)/V = 7600 rpm/V

• Se necesitará un amplificador para proporcionar parte de estaganancia. La parte real de las raíces dominantes es mayor quecuatro y por lo tanto el tiempo de asentamiento, 4/ζωn, es menorque 1 segundo, y se satisface la especificación del Ts. La terceraraíz de la ecuación característica es una raíz real en s = -30.2, y lasraíces complejas subamortiguadas claramente dominan larespuesta del sistema.

• La ganancia de estado estable del sistema es:

WkgcmWW

lWWlx

c

w

cwss ⋅

=⋅

=⋅= 5.2

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• Ejemplo de compensación de un S/C: Control de orientación de un satélite.

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Asumiendo a = 5, b =1, es decir polo adicional dominante, cero menos dominante.

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• Asumamos ahora a = 1, b = 5, es decir el cero adicional dominante, y el polo menos dominante.

En resumen, el cero adicional “atrae” al LGR hacia la izquierda, haciendo más estable al sistema, y el polo adicional lo “repele” haciéndolo más inestable.

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Si uno necesita obtener cierta rapidez de respuesta, el ceronormalmente se lo coloca alrededor de s = - ωn (frecuencia naturaldeseada), y el polo a una distancia de 5 a 10 veces a la izquierdadel cero (compensación por adelanto de fase).

La ganancia total se selecciona de tal manera que los polos de LCse ubiquen en las posiciones deseadas.

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Ejemplo: Encuentre un compensador para que el SP < 20% y el Tr < 0.25 s, para el sistema mostrado.

Solución: Una relación de amortiguamiento ζ = 0.5 da un SP menor que el 20 %. De la fórmula para Tr encontramos ωn:

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• El LGR original no pasa por el‘punto de diseño’ ωn = 9.67, ζ= .50

• Compensación:Probar con cero en -10 y polo en-50.Luego, con cero en -10 y polo en-150.Finalmente, cero en -2 y polo en-10. Ganancia K = 70.¿Puede explicar cual compensador funciona y por qué?

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Sistema compensado (1):

• Cero en -10 (a=10), Polo en -50 (b=50)• Para satisfacer las especificaciones K debe estar aproximadamente

entre 6.2 y 70. Con K=70 se obtiene un sistema subamortiguado muy oscilatorio

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0.5

0.5

9.67

Root Locus

Real AxisIm

agin

ary

Axis

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-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20

-60

-40

-20

0

20

40

60

0.5

0.5

9.67

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Sistema compensado (2):

• Cero en -10 (a=10), Polo en -150 (b=150)• Se satisfacen las especificaciones con K=70 (amortiguamiento crítico)

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-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-15

-10

-5

0

5

10

15Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-20 -15 -10 -5 0 5 10-15

-10

-5

0

5

10

15

0.5

0.5

9.67

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Sistema compensado (3):

• Cero en -2 (a=2), Polo en -10 (b=10)• No es posible satisfacer las especificaciones con algún valor de K

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