Control Digital/Avanzado Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Estabilidad, Función de

Transferencia, TransformadasTransferencia, TransformadasM. en C. Luis Adrián Lizama PérezM. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

La respuesta al impulso se denota por h(t) y La respuesta al impulso se denota por h(t) y constituye la respuesta de un sistema LTI constituye la respuesta de un sistema LTI relajado a un impulso unitario relajado a un impulso unitario (t)(t)

Los métodos en el dominio del tiempo son Los métodos en el dominio del tiempo son tediosos, por lo que es más fácil si se acude al tediosos, por lo que es más fácil si se acude al dominio transformadodominio transformado

Impulso de entrada (t) Sistema LTI relajado

Respuesta al impulso h(t)

La respuesta al impulso h(t) es la derivada de La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón s(t):la respuesta al escalón s(t):

h(t)=s’(t)=ds(t)/dth(t)=s’(t)=ds(t)/dt s(t)=s(t)= h(t)dt h(t)dt Un impulso produce un cambio súbito de Un impulso produce un cambio súbito de

estado (condiciones iniciales)estado (condiciones iniciales)

Resolver y’(t)+Resolver y’(t)+y(t)=y(t)=(t), y(0)=0 es (t), y(0)=0 es equivalente a y’’(t)+equivalente a y’’(t)+y(t)=0 , y(0)=1y(t)=0 , y(0)=1

-

t

De manera similar un sistema de segundo orden De manera similar un sistema de segundo orden y’’(t)+y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=x(t), puede encontrarse y’(t)=x(t), puede encontrarse mediante la ec. homogénea y’’(t)+mediante la ec. homogénea y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=0, y’(t)=0, c.i. y(0)=0, y’(0)=1c.i. y(0)=0, y’(0)=1 Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0, Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0,

raíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kraíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kee-2t-2t

con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=ee-2t-2tu(t)u(t) Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es

ss22+3s+2=0, raíces s+3s+2=0, raíces s11=-1, s=-1, s22=-2, la respuesta natural es =-2, la respuesta natural es h(t)=Kh(t)=K11ee-2t -2t + K+ K22ee-2t-2t, con h(0)=0, h’(0)=-K, con h(0)=0, h’(0)=-K11-2K-2K22=1, de donde =1, de donde KK11=1 y K=1 y K22=-1, entonces h(t)=(=-1, entonces h(t)=(ee-t -t - - ee-2t-2t)u(t))u(t)

Función de transferenciaFunción de transferencia

La función de transferencia o ganancia del La función de transferencia o ganancia del sistema se puede definir como el cociente de la sistema se puede definir como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en salida en estado estable entre la entrada en estado estable:estado estable:Función de transferencia = Salida Estable / Entrada EstableFunción de transferencia = Salida Estable / Entrada Estable

Ej: Al insertar una moneda en una máquina de Ej: Al insertar una moneda en una máquina de chocolates se obtiene la de salida de una barra de chocolates se obtiene la de salida de una barra de chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el sistema es chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el sistema es LTI para dos monedas se obtienen dos chocolatesLTI para dos monedas se obtienen dos chocolates

Hasta se ha considerado los valores en estado Hasta se ha considerado los valores en estado estable pero no los cambios transitorios en el estable pero no los cambios transitorios en el tiempotiempo

Ahora veremos el comportamiento de los Ahora veremos el comportamiento de los sistemas en el tiempo, se decir el sistemas en el tiempo, se decir el comportamiento dinámico de los sistemascomportamiento dinámico de los sistemas

Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con la salida y por la ecuación:la salida y por la ecuación:

Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda:Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda:

donde G(s) es la función de transferencia donde G(s) es la función de transferencia

iooo xbya

dt

dya

dt

yda 1012

2

2

)()(

)(

)()()()(

012

2

1

1012

2

sGasasa

b

sx

sy

sxbsyassyasysa

i

o

iooo

Ej: Escriba la función de transferencia para los Ej: Escriba la función de transferencia para los sistemas siguientes:sistemas siguientes:A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F como A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F como

entrada y x como salidaentrada y x como salida

B) Un circuito resistor-capacitor con v como entrada y vB) Un circuito resistor-capacitor con v como entrada y vcc

como salidacomo salida

Fkxdt

dxc

dt

xdm

2

2

CC v

dt

dvRCv

C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v como entrada C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v como entrada y vy vcc como salida como salida

D) Un sistema eléctrico con v como entrada y vD) Un sistema eléctrico con v como entrada y vcc como salida como salida

E) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h como salidaE) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h como salida

cc

c vdt

dvRCdtv

L

Rv

CCC v

dt

vdLC

dt

dvRCv

2

2

R

gh

dt

dhAq

F) Los elementos en el sistema de un motor de cd controlado F) Los elementos en el sistema de un motor de cd controlado por armadura. Entrada (vpor armadura. Entrada (vaa-v-vbb), salida i), salida i

Embobinado de armadura: entrada iEmbobinado de armadura: entrada iaa, salida T:, salida T:

Carga: entrada T, salida Carga: entrada T, salida ::

Lazo de realimentación:Lazo de realimentación:

G) Sistema hidráulico con carga:G) Sistema hidráulico con carga:

aaa

aba iRdt

diLvv

kxdt

dyc

dt

yd

2

2

T

dt

dI

akiT

kvb

EstabilidadEstabilidad

En el dominio del tiempo, la estabilidad de En el dominio del tiempo, la estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que cada entrada acotada resulta en implica que cada entrada acotada resulta en una salida acotadauna salida acotada

Las condiciones de estabilidad se pueden Las condiciones de estabilidad se pueden determinar de la ecuación característica:determinar de la ecuación característica: Cada raíz debe tener una parte real negativa y la Cada raíz debe tener una parte real negativa y la

derivada más alta de la entrada no debe exceder a derivada más alta de la entrada no debe exceder a la de la salidala de la salida

Las raíces con partes reales negativas aseguran que la Las raíces con partes reales negativas aseguran que la respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado cero) siempre permanece acotada para una entrada cero) siempre permanece acotada para una entrada acotadaacotada

Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes reales iguales a cero producen una respuesta natural reales iguales a cero producen una respuesta natural constante (o senoidal) que es acotada, pero si la constante (o senoidal) que es acotada, pero si la entrada es una constante o una senoide, la respuesta entrada es una constante o una senoide, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente forzada es una rampa o senoide creciente

Las raíces repetidas con parte real igual a cero Las raíces repetidas con parte real igual a cero producen una respuesta que es un polinomio o producen una respuesta que es un polinomio o senoide crecientesenoide creciente Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que

las raíces de su ecuación característica slas raíces de su ecuación característica s22+3s+2=0 son s=-1, +3s+2=0 son s=-1, -2 y tienen partes reales neg-2 y tienen partes reales neg

El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su ec. Característica sec. Característica s22+3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no +3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural es acotada, la entrada escalón produce una respuesta es acotada, la entrada escalón produce una respuesta forzada de la forma Ctu(t) que no es acotadaforzada de la forma Ctu(t) que no es acotada

El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las raíces de su ecuación sraíces de su ecuación s33+3s+3s22=0 son s=0 son s11=0, s=0, s22=0 y =0 y

ss33=-3 que producen la respuesta natural =-3 que producen la respuesta natural

yyNN(t)=Au(t) + Btu(t) + C(t)=Au(t) + Btu(t) + Cee-3t-3tu(t) que es no acotadau(t) que es no acotada

Basic Tool For Continuous Time: Basic Tool For Continuous Time: Laplace TransformLaplace Transform

Convert time-domain functions and operations into Convert time-domain functions and operations into frequency-domain frequency-domain ff((tt) ) FF((ss) ) Linear differential equations (LDE) Linear differential equations (LDE) algebraic expression algebraic expression

in Complex planein Complex plane Graphical solution for key LDE characteristicsGraphical solution for key LDE characteristics Discrete systems use the analogous z-transformDiscrete systems use the analogous z-transform

0)()()]([ dtetfsFtf stL

Laplace Transforms of Common Laplace Transforms of Common FunctionsFunctions

Name f(t) F(s)

Impulse

Step

Ramp

Exponential

Sine

1

s

1

2

1

s

as 1

22

1

s

1)( tf

ttf )(

atetf )(

)sin()( ttf

00

01)(

t

ttf

Laplace Transform PropertiesLaplace Transform Properties

)(lim)(lim

)(lim)0(

)()()

)(1)(

)(

)0()()(

)()()]()([

0

0

2121

0

2121

ssFtf-

ssFf-

sFsFdτ(ττ)f(tf

dttfss

sFdttfL

fssFtfdt

dL

sbFsaFtbftafL

st

s

t

t

theorem valueFinal

theorem valueInitial

nConvolutio

nIntegratio

ationDifferenti

calingAddition/S

Orden de un sistemaOrden de un sistema

El orden de un sistema es la máxima potencia de la El orden de un sistema es la máxima potencia de la derivada en la ecuación diferencialderivada en la ecuación diferencial

La máxima potencia de s en el denominador de la La máxima potencia de s en el denominador de la función de transferenciafunción de transferencia

Primer orden: Primer orden:

En el dominio de s: aEn el dominio de s: a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)

G(s)= bG(s)= b00 / (a / (a11s + as + a00))

xbyadt

dya 001

En el dominio de s: aEn el dominio de s: a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)

bb00/a/a00 es la F.T. en estado estable G del sistema, es la F.T. en estado estable G del sistema,

aa11/a/a00 es la constante de tiempo es la constante de tiempo del sistema del sistema

1)/(

/)(

01

00

saa

absG

1)(

s

GsG

Segundo orden: Segundo orden:

donde bdonde b00, a, a00, a, a11 y b y b00 son constantes. Con c.i.=0 se son constantes. Con c.i.=0 se

tiene en el dominio de s: tiene en el dominio de s:

aa22ss22Y(s) + aY(s) + a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)

G(s)= bG(s)= b00 / (a / (a22ss22 + a + a11s + as + a00))

xbyadt

dya

dt

yda 0012

2

2

1)/()/(

/)(

012

02

00

saasaa

absG

La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos de la frecuencia natural de la frecuencia natural y del factor de amortiguamiento y del factor de amortiguamiento ::

es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en ausencia de cualquier amortiguamiento y ausencia de cualquier amortiguamiento y es el factor de es el factor de amortiguamiento. En el dominio de s: amortiguamiento. En el dominio de s:

ss22Y(s) + 2 Y(s) + 2 s Y(s) + s Y(s) + 22Y(s) = bY(s) = b002 2 X(s)X(s)

xbydt

dy

dt

yd 20

22

2

2

22

20

2)(

ss

bsG

First Order SystemFirst Order System

Impulse responseImpulse response ExponentialExponential

Step responseStep response Step, Step, exponentialexponential

Ramp responseRamp response Ramp, step, Ramp, step, exponentialexponential

1 sT

K

/1

2 Ts

KT-

s

KT-

s

K

/1

Ts

K-

s

K

No oscillations (as seen by poles)

Respuesta al escalónRespuesta al escalón

1 2 3 4 5

0.63G

0.86G0.95G

Tiempo

y

G

y= G(1-e-t/) para una entrada escalón unitario

1 2 3 4 5

0.63G

0.86G

Tiempo

y

G

y= G[1- (1-e-t/)] para una entrada rampa unitaria

Respuesta a la rampaRespuesta a la rampa

1 2 3 4 5

0.37G/

Tiempo

yG

y= G ( 1/ ) e-t/ para una entrada impulso unitario

0.13G/

0.05G/

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

Respuesta a la rampaRespuesta a la rampa

Tiempo

y

Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada rampa unitaria

y= bt, =0

y= bt - 2/

<1

=1

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

t

y/b0

Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada impulso

=0.1

=0.5

=1

=2

statesteady of % specified within stays time Settling :

reached is valuepeak whichat Time :

valuestatesteady reachfirst untildelay time Rise :

valuestatesteady of 50% reach untilDelay :

s

p

r

d

t

t

t

t

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Mp = Máximo sobrepaso

tstptrtd

Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón

Sistemas DiscretosSistemas Discretos

Respuesta al impulsoRespuesta al impulso

Es la respuesta de un sistema a un impulso Es la respuesta de un sistema a un impulso unitario unitario [n][n]

Proporciona un método para encontrar la Proporciona un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre cualquier entrada usando superposicióncualquier entrada usando superposición

La respuesta al impulso y la repuesta al La respuesta al impulso y la repuesta al escalón se usan para evaluar el funcionamiento escalón se usan para evaluar el funcionamiento de los sistemas digitalesde los sistemas digitales

h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=[n][n] s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n]s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n]

Impulso de entrada [n] Sistema LTI relajado

Respuesta al impulso h[n]

Respuesta h[n] por recursiónRespuesta h[n] por recursión Ej: Encuentre h[n] si y[n]-Ej: Encuentre h[n] si y[n]-y[n-1]=x[n]y[n-1]=x[n]

Se encuentra h[n] como la solución a Se encuentra h[n] como la solución a h[n]= h[n]= h[n-1] + h[n-1] + [n] sujeto a la condición y[-1]=0. [n] sujeto a la condición y[-1]=0. Por recursión:Por recursión:

h[0]= h[0]= h[-1] + h[-1] + [0]=1 [0]=1 h[2]= h[2]= h[1] = h[1] = 22

h[1]= h[1]= h[0] = h[0] = h[3]= h[3]= h[2] = h[2] = 33

La forma general de h[n] se puede encontrar como La forma general de h[n] se puede encontrar como h[n]= h[n]= nnu[n]u[n]

EstabilidadEstabilidad

La estabilidad de entrada acotada, salida La estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada debe corresponder a una salida acotada debe corresponder a una salida acotadaacotada

Las condiciones de estabilidad se determinan Las condiciones de estabilidad se determinan por medio de las raíces de la ecuación por medio de las raíces de la ecuación característica: una condición es que cada raíz característica: una condición es que cada raíz debe tener una magnitud menor que unodebe tener una magnitud menor que uno

Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al sistema inestable: sistema inestable: Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria

producen una respuesta natural constante o senoidal que es producen una respuesta natural constante o senoidal que es acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente (véase Tabla 5.2)senoide creciente (véase Tabla 5.2)

Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial crecientecreciente

Los filtros FIR son siempre establesLos filtros FIR son siempre estables

|z|=1

Longer settling time

Re(s)

Im(s)

Unstable

Stable

Higher-frequencyresponse

Tsez :Intuition

Transformada ZTransformada Z

Example 1: Example 1: Consider the time functionConsider the time function x[n] nu[n]

X(z) x[n]z n nz n (z 1)n

n0

n0

n

1

1 z 1 z

z

Another example …Another example …

Example 2: Example 2: Now consider the time functionNow consider the time function

Let Let Then, Then,

x[n] nu[ n 1]

X(z) x[n]z n nz n (z 1)n

n

1

n

1

n

l n;n l ;n 1 l 1

(z 1)n (z 1)l 1 l1

n

1

(z 1)l 1 1

1 z 1 1

1 z 1l0

The importance of the region of The importance of the region of convergenceconvergence

Did you notice that the Did you notice that the ZZ-transforms were identical for Examples 1 -transforms were identical for Examples 1 and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, very different time functions can have the same very different time functions can have the same Z-Z-transform! transform! What’s missing in this characterization? The region of What’s missing in this characterization? The region of convergence (ROC).convergence (ROC).

In Example 1, the sum converges only forIn Example 1, the sum converges only for

In Example 2, the sum converges only forIn Example 2, the sum converges only for

So in general, we must specify not only the So in general, we must specify not only the Z-Z-transform transform corresponding to a time function, but its ROC as well. corresponding to a time function, but its ROC as well.

X(z) nz n

n0

z

X(z) nz n

n

1

z

What shapes are ROCs for What shapes are ROCs for ZZ--transforms?transforms?

In Example 1, the ROC was We can represent this In Example 1, the ROC was We can represent this graphically as: graphically as:

| z || |

What shapes are ROCs for What shapes are ROCs for ZZ--transforms?transforms?

In Example 2, the ROC was We can represent this In Example 2, the ROC was We can represent this graphically as:graphically as:

(ROC is(ROC is

shadedshaded

area) area)

| z || |

Propiedades de la Transformada ZPropiedades de la Transformada Z

Transformadas Transformadas

ZZ

Polos de Transformada ZPolos de Transformada Z

Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable ya que las raíces de la ec. característica ya que las raíces de la ec. característica zz22-(1/6)z-1/6=0 son z-(1/6)z-1/6=0 son z11=1/2 y z=1/2 y z22= -1/3 y sus = -1/3 y sus

magnitudes son menores a 1magnitudes son menores a 1 Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La

raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la respuesta natural yrespuesta natural yNN=Ku[n] que es acotada, pero si =Ku[n] que es acotada, pero si

x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no acotadaacotada

El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es inestable. Las raíces de zinestable. Las raíces de z22-2z+1=0 son iguales y -2z+1=0 son iguales y producen la respuesta natural no acotada producen la respuesta natural no acotada yyNN[n]=Au[n] + Bnu[n][n]=Au[n] + Bnu[n]

Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, variante e inestable. La entrada en escalón variante e inestable. La entrada en escalón (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que incluye a la rampa un[n] que es no acotadaincluye a la rampa un[n] que es no acotada

Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable porque describe un filtro FIRporque describe un filtro FIR

Tarea C. DigitalTarea C. Digital

1.1. Evalúe la respuesta natural, forzada, de Evalúe la respuesta natural, forzada, de estado cero, de entrada cero y total. Suponga estado cero, de entrada cero y total. Suponga y’(0)=1 y las otras condiciones iniciales y’(0)=1 y las otras condiciones iniciales iguales a ceroiguales a ceroy’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2ee-t-tu(t) u(t) y(0)=0 y(0)=0 y’(0)=1y’(0)=1

y’’(t) + 4y’(t) + 3y(t) = 36t u(t) y’’(t) + 4y’(t) + 3y(t) = 36t u(t) y(0)=0 y(0)=0 y’(0)=1y’(0)=1

2.2. Obtenga la Transformada de Laplace de las Obtenga la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:siguientes funciones:

a)a) Un escalón de voltaje de magnitud 6V que Un escalón de voltaje de magnitud 6V que empieza en t=3sempieza en t=3s

b)b) 5e5e-2t-2t c)c) 5(1-e5(1-e-2t-2t))

3.3. Obtenga por medio de fracciones parciales la Obtenga por medio de fracciones parciales la Transformada de Laplace inversa de: Transformada de Laplace inversa de:

( 6s+8 ) / [ s(s+1)(s+2) ]( 6s+8 ) / [ s(s+1)(s+2) ]

4.4. Utilice Matlab para encontrar los polos y Utilice Matlab para encontrar los polos y ceros de la función de transferencia: ceros de la función de transferencia: (5s(5s22+3s+4)/(s+3s+4)/(s33+2s+2s22+4s+7)+4s+7)

5.5. Utilice Matlab para obtener la respuesta a Utilice Matlab para obtener la respuesta a una entrada escalón para un sistema con una una entrada escalón para un sistema con una función de transferencia: 5/(sfunción de transferencia: 5/(s22+3s+12)+3s+12)

6.6. Utilice Matlab para obtener la gráfica del Utilice Matlab para obtener la gráfica del lugar geométrico de las raíces para lugar geométrico de las raíces para G(s)=(s+1)/(sG(s)=(s+1)/(s22+4s+3)+4s+3)

Comandos de referencia de Matlab:Comandos de referencia de Matlab:>> num=[]>> num=[]

>> den = []>> den = []

>> [z,p,k]=tf2zp(num, den)>> [z,p,k]=tf2zp(num, den)

>> step(num, den)>> step(num, den)

>> rlocus(num, den)>> rlocus(num, den)

Tarea C. Digital AvanzadoTarea C. Digital Avanzado

1.1. Para el sistema {1 – zPara el sistema {1 – z-1 -1 – 2z– 2z-2-2}y[n]=x[n] }y[n]=x[n] establezca su ecuación de diferencias y establezca su ecuación de diferencias y calcule la respuesta totalcalcule la respuesta total

2.2. Encuentre la respuesta al impulso h[n] por Encuentre la respuesta al impulso h[n] por recursión hasta n=4 para los sistemasrecursión hasta n=4 para los sistemas

y[n] – y[n-1] = 2x[n]y[n] – y[n-1] = 2x[n]

y[n] – 3y[n-1] + 6y[n-2] = x[n-1]y[n] – 3y[n-1] + 6y[n-2] = x[n-1]

3.3. Investigue la causalidad y estabilidad de los Investigue la causalidad y estabilidad de los sistemas:sistemas:

y[n] – 2y[n-1] = x[n]y[n] – 2y[n-1] = x[n]

y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]

y[n] = x[n] + x[n-1] + x[n-2]y[n] = x[n] + x[n-1] + x[n-2]

4.4. Encontrar la T.Z. de la secuencia 0,1,2,3…Encontrar la T.Z. de la secuencia 0,1,2,3…

5.5. Determinar la función de transferencia para Determinar la función de transferencia para un sistema que tiene la ecuación en un sistema que tiene la ecuación en diferencias y[n+2] – 5y[n+1] + 6[n] = x[n]diferencias y[n+2] – 5y[n+1] + 6[n] = x[n]

6.6. Encontrar la transformada z inversa para las Encontrar la transformada z inversa para las siguientes funciones:siguientes funciones:

F(z)=z/[(z-1)(z-2)(z-3)]F(z)=z/[(z-1)(z-2)(z-3)]

7.7. Utilice Matlab para simular la salida del Utilice Matlab para simular la salida del siguiente sistema a una entrada escalón y una siguiente sistema a una entrada escalón y una entrada senoidalentrada senoidal