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Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 1/8
Control por Modos Deslizantes de SegundoOrden de Pilas de Combustible PEM
VIII Simposio CEA de Ingeniería de Control
Dr. Cristian Kunusch
Almerıa, 27 y 28 de abril de 2010
Advanced Control of Energy Systems (ACES)Universitat Politècnica de Catalunya y Consejo Superior de Investigaciones Científicas
Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 2/8
Contenidos
Introducción y motivaciones
Modos deslizantes en sistemas no lineales
Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Aplicación de MDSO en pilas de combustible
Modelado y validación experimental
Discusión y trabajos actuales
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 3/8
Introducción y motivaciones
Principio de funcionamiento de una pila PEM
Una celda de combustible PEM (Proton ExchangeMembrane) funciona según el siguiente principio:
Ánodo: oxidación catalítica de hidrógeno
H2 −→ 2H+ + 2e−
Cátodo: reducción catalítica de oxígeno
1
2O2 + 2H+ + 2e− −→ H2O
TotalH2 +
1
2O2 −→ H2O
La diferencia de potencial entre electrodos puede serexplotada para realizar trabajo eléctrico.
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Introducción y motivaciones
Principio de funcionamiento de una pila PEM
Una celda de combustible PEM (Proton ExchangeMembrane) funciona según el siguiente principio:
Hidrógeno Oxígeno
Me
mb
ran
a
H
N H O
O 2
2
2
H
N O
O 2
2
2
2
H 2
H+
H+
H+
H+
Anodo Cátodo
Cargae- e-
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
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Introducción y motivaciones
Motivaciones
Reducción de emisiones de gases.
Dependencia energética de combustibles fósiles.
Optimización del rendimiento ⇒ control.
Modelos no lineales (EDO). Alto orden (stack > 5). Incertidumbre paramétrica. Incertidumbre estructural. Incidencia de perturbaciones dinámicas. Variables internas inaccesibles.
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Introducción y motivaciones
Motivaciones
Reducción de emisiones de gases.
Dependencia energética de combustibles fósiles.
Optimización del rendimiento ⇒ control.
Modelos no lineales (EDO). Alto orden (stack > 5). Incertidumbre paramétrica. Incertidumbre estructural. Incidencia de perturbaciones dinámicas. Variables internas inaccesibles.
⇒ control por modos deslizantes
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
SNL afín al control
x = f(t, x) + g(t, x).u
y = h(t, x)
x ∈ X ⊂ Rn, f : R
n → Rn y g: R
n → Rn campos
suaves, h(x): Rn → R campo suave.
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
SNL afín al control
x = f(t, x) + g(t, x).u
y = h(t, x)
x ∈ X ⊂ Rn, f : R
n → Rn y g: R
n → Rn campos
suaves, h(x): Rn → R campo suave.
Modo deslizante estándar
Si g(x) 6= 0 ∀x ∈ X, se define s como una función derestricción suave s : X → R, cuyo gradiente ∇s es nonulo en X.
⇒ S = x ∈ X : s(x) = 0
sub-variedad en X de dimensión n − 1, llamada varie-dad de deslizamiento o “superficie” de conmutación.
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Se puede plantear una ley de control imponiendo unaacción de control discontinua u que tome un valorentre dos posibles. Por ejemplo:
u =
u+(x) si s(x) > 0
u−(x) si s(x) < 0
u+(x) 6= u−(x), funciones continuas suaves de x.
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Se puede plantear una ley de control imponiendo unaacción de control discontinua u que tome un valorentre dos posibles. Por ejemplo:
u =
u+(x) si s(x) > 0
u−(x) si s(x) < 0
u+(x) 6= u−(x), funciones continuas suaves de x.
El sistema alcanzará la variedad S si s(x)s(x) < 0.
s(x) = Lf+gus(x) = Lfs(x) + Lgs(x)u , Lgs(x) 6= 0
⇒
lims→+0
Lf+gu+s(x) < 0
lims→−0
Lf+gu−s(x) > 0
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Se puede plantear una ley de control imponiendo unaacción de control discontinua u que tome un valorentre dos posibles. Por ejemplo:
u =
u+(x) si s(x) > 0
u−(x) si s(x) < 0
u+(x) 6= u−(x), funciones continuas suaves de x.
El sistema alcanzará la variedad S si s(x)s(x) < 0.
s(x) = Lf+gus(x) = Lfs(x) + Lgs(x)u , Lgs(x) 6= 0
⇒
lims→+0
Lf+gu+s(x) < 0
lims→−0
Lf+gu−s(x) > 0
Grado relativo de s(x) debe ser uno!!! (⇔ Condición detransversalidad)
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
La discontinuidad en la acción de control genera ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuas .⇒ no se puede aplicar la teoría convencional de ecua-ciones diferenciales. (Ej. ——————————condición de Lipschitz)
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
La discontinuidad en la acción de control genera ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuas .⇒ no se puede aplicar la teoría convencional de ecua-ciones diferenciales. (Ej. ——————————condición de Lipschitz)
Enfoques utilizados comúnmente:
Método de regularización (interpretación física conhistéresis en actuador).
Método de control equivalente [Utkin, 1961] (sederivan las trayectorias a partir de tomar s(x) = 0).
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
La discontinuidad en la acción de control genera ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuas .⇒ no se puede aplicar la teoría convencional de ecua-ciones diferenciales. (Ej. ——————————condición de Lipschitz)
Enfoques utilizados comúnmente:
Método de regularización (interpretación física conhistéresis en actuador).
Método de control equivalente [Utkin, 1961] (sederivan las trayectorias a partir de tomar s(x) = 0).
Método de Filippov.
Formalismo a la continuidad de solución de ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuo[Filippov, 1969].
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Método de Filippov.
Sea un sistema de orden arbitrario n:
x = F (t, x, u) u(t) =
u+(x) si s(x) > 0
u−(x) si s(x) < 0
F+ = F (t, x, u+), F− = F (t, x, u−), u+(x) 6= u−(x) ys(x) suaves. Si el control se implementa con algunaimperfección no especificada y los puntos de discon-tinuidad están aislados en tiempo ⇒ se puede derivarlas ecuaciones de movimiento del sistema cuandos(x) = 0.
x = µF+ + (1 − µ)F− µ = ∆t1∆t
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Método de Filippov.
µ debe ser tal que la velocidad del sistema seatangencial a la superficie:
s = ∇s(x)x = ∇s(x)µF+ + (1 − µ)F− = 0
µ =∇s(x)F−
∇s(x)(F− − F+)
⇒ x = ∇s(x)F−
∇s(x)(F−−F+)F+ +
(
1 − ∇s(x)F−
∇s(x)(F−−F+)
)
F−
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Problema del chattering
Oscilaciones de alta frecuencia sobre la variable con-trolada, a causa de dinámica no modelada en sistema.
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Problema del chattering
Oscilaciones de alta frecuencia sobre la variable con-trolada, a causa de dinámica no modelada en sistema.
Soluciones:
Uso de control con saturación en lugar de u(t) dis-continua. Continuidad del control, dinámica no res-tringida a la superficie.
Enfoque basado en observación. Deterioro de ro-bustez.
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Modos deslizantes en sistemas no lineales
Problema del chattering
Oscilaciones de alta frecuencia sobre la variable con-trolada, a causa de dinámica no modelada en sistema.
Soluciones:
Uso de control con saturación en lugar de u(t) dis-continua. Continuidad del control, dinámica no re-stringida a la superficie.
Enfoque basado en observación. Deterioro de ro-bustez.
Enfoque basado en Modos Deslizantes de OrdenSuperior. Convergencia en tiempo finito, supresiónteórica del chattering (si GR=r).
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Orden de deslizamiento = N de derivadas continuasde s(t, x).
Objetivo del control por MDSO:
s = s = 0
Condición 2-dimensional en la dinámica del sistema.
S = S = 0
S = 0
S = 0
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Si s(t, x) es de grado relativo 1:
s(t) =∂
∂ts(t, x) + Lfs(t, x) + Lgs(t, x)u(t)
s(t) =∂
∂ts(t, x, u) +
∂
∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +
+∂
∂us(t, x, u)u(t)
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Si s(t, x) es de grado relativo 1:
s(t) =∂
∂ts(t, x) + Lfs(t, x) + Lgs(t, x)u(t)
s(t) =∂
∂ts(t, x, u) +
∂
∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +
+∂
∂us(t, x, u)u(t) = ϕ(t, x, u) + γ(t, x, u)u(t)
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Si s(t, x) es de grado relativo 1:
s(t) =∂
∂ts(t, x) + Lfs(t, x) + Lgs(t, x)u(t)
s(t) =∂
∂ts(t, x, u) +
∂
∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +
+∂
∂us(t, x, u)u(t) = ϕ(t, x, u) + γ(t, x, u)u(t)
Si se encuentran Γm, ΓM y Φ tal que:
0 < Γm ≤ γ(t, x, u) ≤ ΓM
|ϕ(t, x, u)| ≤ Φ∀t, x ∈ X , u ∈ U
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Si s(t, x) es de grado relativo 1:
s(t) =∂
∂ts(t, x) + Lfs(t, x) + Lgs(t, x)u(t)
s(t) =∂
∂ts(t, x, u) +
∂
∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +
+∂
∂us(t, x, u)u(t) = ϕ(t, x, u) + γ(t, x, u)u(t)
Si se encuentran Γm, ΓM y Φ tal que:
0 < Γm ≤ γ(t, x, u) ≤ ΓM
|ϕ(t, x, u)| ≤ Φ∀t, x ∈ X , u ∈ U
⇒ s ∈ [−Φ,Φ] + [Γm,ΓM ]u
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Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)
Algoritmos: (3 ejemplos) Twisting:
u(t) = −r1sign(s) − r2sign(s)
Super Twisting:
u(t) = u1(t) + u2(t)
u1(t) = −αsign(s)
u2(t) =
−λ|s0|1
2 sign(s) si |s| > |s0|
−λ|s|1
2 sign(s) si |s| ≤ |s0|
Sub-optimal:
u(t) = a(t)Usign(s − βsM )
a(t) =
1 si (s − βsM )sM ≥ 0
a∗ si (s − βsM )sM < 0
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Caso de estudio
Pila PEM de laboratorio de 7 celdas, 50 W con mem-branas Nafionr 115 de 50 cm2 de área activa (GrupoACES).
Compresor de Aire
Controlador de flujo
O + N + H O22 2
Pila de
Combustible
Humidificador
de ánodo
Humidificador
de cátodo
Reguladores
manuales
de presión
Resistencia
calefactora
Línea de calentamiento
de cátodo
Línea de calentamiento
de ánodo
H 2H2
Carga
WcpVcp
Variable medida
Variable no medible
Sensor de flujo o presión
cpIa
Wsm smPcaP
Whum,out
hum,diffP humTWca
stT
anP
WH2
rm,caP
rm,anP
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Caso de estudio
Pila PEM de laboratorio y componentes auxiliares(Grupo ACES).
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Modelo no lineal del sistema
x = F (x(t)) + G · u(t)
x ∈ R7 ; u ∈ R ; F : R7 → R7
x1 = ωcp: velocidad angular del eje del motor. x2 = mhum,ca: masa de aire dentro del humidificador
de cátodo. x3 = mo2,ca: masa de oxígeno en los canales de
cátodo de la pila. x4 = mN2,ca: masa de nitrógeno en los canales de
cátodo de la pila. x5 = mv2,ca: masa de vapor en los canales de cátodo
de la pila. x6 = mH2,an: masa de hidrógeno en los canales de
ánodo de la pila. x7 = mv2,an: masa de vapor en los canales de ánodo
de la pila.
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Objetivo de control : Optimización de la eficiencia deconversión
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
15
20
25
30
35
λo2
Pne
t [W
]
Ist=1 [A]Ist=2 [A]Ist=3 [A]Ist=4 [A]Ist=5 [A]Ist=6 [A]Ist=7 [A]Ist=8 [A]Ist=9 [A]Ist=10 [A]
Pnet = Pst − Pcp
λo2=
Wo2,ca
Wo2,react
Wo2,react = Go2
nIst
4F
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Objetivo de control :
En el marco del control por modos deslizantes:
s(t, x) = Wcp − Wair,ref = Wcp − (1 + Ωatm)1
χo2λo2,optGo2
nIst
4F
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Objetivo de control :
En el marco del control por modos deslizantes:
s(t, x) = Wcp − Wair,ref = Wcp − (1 + Ωatm)1
χo2λo2,optGo2
nIst
4F
∂s(t, x)
∂u= 0
∂s(t, x)
∂u6= 0 ⇒ s(t, x) grado relativo 1
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Objetivo de control :
En el marco del control por modos deslizantes:
s(t, x) = Wcp − Wair,ref = Wcp − (1 + Ωatm)1
χo2λo2,optGo2
nIst
4F
∂s(t, x)
∂u= 0
∂s(t, x)
∂u6= 0 ⇒ s(t, x) grado relativo 1
s(t, x, u) = ϕ(t, x, u)︸ ︷︷ ︸
| |<Φ
+
Γm<( )<ΓM
︷ ︸︸ ︷
γ(t, x, u) u(t)
Se acotan los términos ϕ(t, x, u) y γ(t, x, u) y se resuelve laestabilización robusta de la inclusión:
s ∈ [−Φ, Φ] + [Γm, ΓM ]u
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Prueba con algoritmos TW, ST y SO :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5
0
5
10
15
20x 10
−3
tiempo [seg.]
s(x)
Super TwistingSub OptimalTwisting
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Prueba con algoritmos TW, ST y SO :
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
x 10−3
−0.4
−0.2
0
0.2
s(x)
ds(
x)/
dt
Super TwistingTwistingSub Optimal
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Implementación en banco de prueba
Compresor de Aire
Controlador de flujo
O + N + H O22 2
Pila de
Combustible
Humidificador
de ánodo
Humidificador
de cátodo
Sistema de
ControlActuador
Línea de calentamiento
de cátodo
Línea de calentamiento
de ánodo
H + H O2 2H2
Carga
Vcp
Ist
Wsm
Reguladores
manuales
de presión
ust(t) = u1(t) + u2(t)
u1(t) = −αsign(s)
u2(t) =
−λ|s0|12 sign(s) si |s| > |s0|
−λ|s|12 sign(s) si |s| ≤ |s0|
α > ΦΓm
λ >√
2Γ2
m
(Γmα+Φ)2
(Γmα−Φ)
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Algoritmo Super Twisting
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tiempo [seg]
Wcp
[sl
pm]
Wcp,ref
[slpm]
Wcp,real
[slpm]
Wcp,sim
[slpm]
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Algoritmo Super Twisting + FF
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tiempo [seg]
Wcp
[sl
pm]
Wcp,ref
[slpm]
Wcp,real
[slpm]
Wcp,sim
[slpm]
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 6/8
Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Algoritmo Super Twisting + FF
0 50 100 150 200 250 300 350
0
2
4
6
8
10
tiempo [seg]
W
cp [slpm]
Wcp,ref
[slmp]
uff
u2
u1
Vcp
260 300
0
0,3
Zoom
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Algoritmo Super Twisting + FF + Anti- Windup
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
6
7
8
tiempo [seg]
λo2
λo2,ref
Ist
[A]
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
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Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Prueba de perturbaciones
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
6
7
8
tiempo [seg]
λo2
λo2,ref
Ist
[A]
Pca
[bar]
IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion
Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 6/8
Aplicación de MDSO a pilas de combustible
Prueba de perturbaciones
0 50 100 150−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo [seg]
uu
ff
u1
u2
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Discusión y resultados
Se están haciendo aportes en el campo del mode-lado y control de sistemas de pilas PEM.
Se ha probado la aptitud y aplicabilidad de las es-trategias de control por MDSO para la solución delproblema de estequiometría de oxígeno.
Se ha desarrollado y validado experimentalmente unmodelo dinámico no lineal (ODE) para la pila de com-bustible y sus componentes auxiliares.
Se ha implementado exitosamente el diseño de con-trol por MDSO en el banco de pruebas.
Estabilización robusta del SNL. Reducción de chattering en la variable controlada.
Mejora en la respuesta dinámica.
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Discusión y resultados
Trabajos actuales
Estudio de alternativas de control MIMO para satis-facer objetivos de control mixtos.
Comparación y análisis de estrategias de control ensistemas de pilas PEM (LQG, MPC y MDSO).
Análisis de controlabilidad y observabilidad del sis-tema a partir de enfoque geométrico.
Utilización de estrategias Super Twisting de paráme-tros variables (enfoque por Lyapunov).
Reducción dinámica del modelo de control.
Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 8/8
Control por Modos Deslizantes de SegundoOrden de Pilas de Combustible PEM
VIII Simposio CEA de Ingeniería de Control
Dr. Cristian Kunusch
Almerıa, 27 y 28 de abril de 2010
Advanced Control of Energy Systems (ACES)Universitat Politècnica de Catalunya y Consejo Superior de Investigaciones Científicas