Post on 07-Aug-2015
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 1
PARA LA VIGA INDICADA DETERMINE EL DESPIECE DEL ACERO
LONGITUDINAL
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 2
Para viga y carga mostrada realice la disposición y detalle de armaduras de
refuerzo longitudinal de acuerdo a la norma venezolana 1753-06.
Observe que el extremo A se considera empotrado a la columna y el extremo C se
considera articulado. Para el análisis se utilizó métodos aproximados, utilizando los
coeficientes propuestos por el ACI.
1) ANÁLISIS DE CARGAS:
wu = 7,2 ton/m
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 3
DATOS:
MATERIALES:
f’c = 280 kg/cm2, fyv = fyl = 4200 kg/cm2
Asmin = 5,35 cm2 ,
rmin = 4 cm y rd = 6,5 cm, b = 30 cm, h = 50 cm, d = 50-6,5 =43,5 cm
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 4
COLOCACIÓN DEL ACERO PARA MOMENTO POSITIVO As+.
Consideremos el tramo A-B
Al extremo discontinuo A, al menos 1/3 del As+ correspondiente al momento
máximo positivo en el tramo A-B debe llegar hasta este apoyo. (Ver sección
12.2.3.1a NV 1753-06 y 12.11.1 ACI 318-08)
Como (1/3)As+ es menor que el acero mínimo se debe colocar el As min = 5,35
cm2, este se cumple con 2#6 = 5,70 cm2,
El resto del acero es:
Se satisface con 2#7=7,76 cm2
Acero colocado 2#6+2#7 = 13,43 cm2
Calculamos la fracción As prolongado / As requerido = 5,70 / 12,7 =0,45
( )
Se calcula ahora el cortante actuando en la cara interior del apoyo A para la
combinación de Mmax = 18,5 ton-m en el tramo con el momento MA = 16,2 ton-m,
actuando en la cara interior del apoyo A.
√ ( )
√
( )
( )
( )
Estas son las coordenadas medidas con respecto a la cara interna de la columna
del apoyo A, donde el Momento Mu = 8,303 ton-m, es resistido por las dos barras
#6, y por ende los puntos desde los cuales las dos barras #7 dejan de ser
necesarias.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 5
Estos puntos serían los puntos de corte teóricos de las barras “a”, es decir de las
2#7. Las normas no permiten que se corten en estos puntos sino que se deben
prolongar una longitud de anclaje: * + (Sección 12.2.3 de la NV
1753-06, y sección 12.10.3 del ACI 318-08)
Con la barra mayor #7
( * +
* +
Para barras de lecho inferior:
Considere la sección del tramo A-B
Considerando la barras #7, db = 2,22 cm
Recubrimiento libre:
El estribo #3 db =0,95 cm,
( )
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 6
Separación libre:
( )
( )
Se cuenta además con refuerzo transversal mayor al mínimo:
Se aplica la fórmula 12.3 de la tabla 12.2.1ª (NV 1753-06)
Considerando barra de lecho inferior, α = 1, sin epoxi 𝜷 = 1, concreto de peso
normal λ = 1
( ) (
√ )
( ) (
√ )
Considerando que la estructura pudiera resistir cargas laterales: Se requiere que el
acero As+ que llega al apoyo desarrolle la fluencia en la cara interna del apoyo A.
Se entonces terminará las barras con un gancho estándar, esto permite no
chequear lo establecido en la sección 12.2.3.1 de NV 1753-06.
12.2.3.1 b. Cuando un miembro flexionado sea parte del sistema resistente a
cargas laterales, los aceros de refuerzo para resistir momentos positivos que deben
prolongarse dentro del apoyo según el párrafo anterior se anclarán para desarrollar
en la cara del apoyo la resistencia cedente especificada fy. Cuando la viga termine
en una columna, regirá la Sección 18.5.4.
18.5.4 Longitudes de anclaje del acero de refuerzo longitudinal
El acero de refuerzo longitudinal de la viga que termine en una columna, se
extenderá a la cara más lejana del núcleo confinado de la columna y se anclará en
tracción de acuerdo con la Subsección 18.5.4.1 y en compresión según el Capítulo
12.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 7
18.5.4.1 Barras con ganchos
En concretos con agregados normales y cuando se trate de barras No. 3 a No. 11,
la longitud de transferencia de tensiones por anclaje Ldh para una barra con un
gancho estándar de 90°, no será menor que 8db, 15 cm o la longitud requerida por
la ecuación (18-9):
Para concretos con agregados livianos, los valores de la longitud de anclaje
anteriormente mencionado, deben incrementarse en un 25%.
En todo caso, el gancho de 90° de la barra, debe estar situado dentro del núcleo
confinado de una columna o de un miembro de borde.
Calculamos Ldh para las barras #6:
( ) (
√ )
Debe ser mayor que 8*db =8*1,91 = 15,3 cm y mayor de 15 cm (ok)
Se dispone de 35 cm con una columna de 40 cm.
Longitud vertical del gancho: 12 db + 4 db +R libre =
( )
Los 4 db es el radio de doblaje de la barra número más un diámetro de la barras = 3
db + 1 db = 4 db
La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de
momentos donde el momento Mu es positivo, incluyendo los momentos resistentes
de diseño φMn para la armadura total para momento positivo As (2 barras No. 6 y 2
barras No. 7) y para 2 barras No. 6 en forma separada. Para 2 barras No. 6 y 2
barras No. 7: φMn = 20,12 ton-m. Para 2 barras No. 6: de manera aproximada se
tiene φMn = 8,3 ton-m.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 8
Como se puede observar, las 2 barras No. 6 (barras “b”) se extienden en la
totalidad de la luz, entrando en el apoyo A 0,35 m y terminando en gancho de 0,35
m, además entrando en el apoyo derecho 0,95 m, esta longitud embebida mayor
que la longitud de desarrollo para garantizar que desarrolle el esfuerzo de
cendencia fy en la cara del apoyo bajo la acción de cargas laterales.
Las 2 barras No. 7 (barras “a”), se terminaban tentativamente a 0,75 m y 0,95 m de
los apoyos exterior e interior, respectivamente, con una longitud de 4,30 m, pero
para evitar errores en la colocación definitiva, se decide colocarla de manera
simétrica a 0,75 m de las caras de las columnas, con una longitud de 4,50 m.
Las dimensiones (1) y (2) deben ser iguales a
Las dimensiones (3) y (4) correspondientes al anclaje para las barras No. 6
ubicadas en las esquinas deben ser mayores o iguales que Ld . (12.10.4)
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 9
Cálculo de la distancia (3)
Se tiene x1 = 1,42 m desde la cara de la columna, sumamos lo que entra la barra
en forma recta dentro del apoyo 0,35 my resulta L3 = 1,77 m
Cálculo de la distancia (4)
Se tiene x2 = 4,79 m desde la cara de la columna, restamos esta distancia de Ln =
6 m, (6 – 4,79) =1,21 m, sumamos lo que entra la barra en forma recta dentro del
apoyo B, 0,95 m y resulta L4 = 2,16 m
Dimensión (3): (1,77 + 0,35)m > 0,92 m (VERIFICA)
Dimensión (4): 2,16 m > 0,92 m (VERIFICA)
Cálculo de la longitud del las barras “a”, a cada lado del punto xmax:
Se tiene xmax = 3,105 m, se le resta x1 = 1,42 m, resulta (3,105 – 1,42) =1,685 m,
a esto se le suma la longitud de anclaje 0,435 m, resulta (1,685 + 0.435) = 2,12 m.
Observe que la distancia desde el punto xmax hasta el punto de coordenada x2 =
4,79 m, es también igual a 1,685 m.
Se puede comprobar que la longitud embebida de las 2 barras No. 7 son mayores
que la longitud de desarrollo de las barras No. 7, La longitud 2,12 m > 1,07 m
Consideremos el tramo B-C
Al extremo discontinuo C, al menos 1/3 del As+ correspondiente al momento
máximo positivo en el tramo B-C debe llegar hasta este apoyo. (Ver sección
12.2.3.1a NV 1753-06 y 12.11.1 ACI 318-08)
Como (1/3)As+ es menor que el acero mínimo se debe colocar el As min = 5,35
cm2, este se cumple con 2#6 = 5,70 cm2,
El resto del acero es:
Se satisface con 2#6=5,70 cm2
Acero colocado 4#6= 11,4 cm2
Calculamos la fracción As prolongado / As requerido = 5,70 / 11,2 =0,51
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 10
( )
Se calcula ahora el cortante actuando en la cara interna del apoyo C para la
combinación de Mmax = 16,4 ton-m en el tramo con el momento Mc = 0 ton-m,
actuando en la cara interna del apoyo C.
√ ( )
√
( )
( )
( )
Estas son las coordenadas medidas desde la cara interna de la columna C, donde
el Momento Mu = 8,35 ton-m, es resistido por las dos barras #6 (barras “b”), y por
ende los puntos desde los cuales las otras dos barras #6 (barras “a”) dejan de ser
necesarias.
Estos puntos serían los puntos de corte teóricos de las barras “a”, es decir de las
2#6 centrales. Las normas no permiten que se corten en estos puntos sino que se
deben prolongar una longitud de anclaje: * + (Sección 12.2.3 de la
NV 1753-06, y sección 12.10.3 del ACI 318-08).
Con la barra mayor #6
( * +
* +
Para barras de lecho inferior:
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 11
Considerando la barras #6, db = 1,91 cm
Recubrimiento libre:
El estribo #3 db =0,95 cm,
( )
Separación libre:
( )
( )
Se cumple la condición de refuerzo transversal mayor que el mínimo y se aplica la
fórmula 12.3 de la tabla 12.2.1ª (NV 1753-06)
Considerando barra de lecho inferior, α = 1, sin epoxi 𝜷 = 1, concreto de peso
normal λ = 1
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 12
( ) (
√ )
Considerando que la estructura pudiera resistir cargas laterales: Se requiere que el
acero As+ que llega al apoyo desarrolle la fluencia en la cara interna del apoyo C.
Se entonces terminará las barras con un gancho estándar, esto permite no
chequear lo establecido en la sección 12.2.3.1 de NV 1753-06.
En la sección anterior se aplicó la ecuación 18.9 para calcular Ldh para las barras #6
y se obtuvo:
( ) (
√ )
Debe ser mayor que 8*db =8*1,91 = 15,3 cm y mayor de 15 cm (ok)
Se dispone de 35 cm con una columna de 40 cm.
Longitud vertical del gancho: 12 db + 4 db +R libre =
( )
Debido a que este gancho se encuentra en la parte inferior de la viga, se encuentra
confinado por el concreto de la columna no requiere la colocación de estribos a lo
largo de la longitud Ldh.
La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de
momentos donde el momento Mu es positivo, incluyendo los momentos resistentes
de diseño φMn para la armadura total para momento positivo As (4 barras No. 6 ) y
para las 2 barras No. 6 centrales en forma separada. Para 4 barras No. 6: φMn =
17,3 ton-m. Para 2 barras No. 6: de manera aproximada se tiene φMn = 8,35 ton-
m.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 13
Como se puede observar, las 2 barras No. 6 (barras “b”) se extienden en la
totalidad de la luz, entrando en el apoyo C 0,35 m y terminando en gancho de 0,35
m, además entrando en el apoyo B, 0,95 m, esta longitud embebida mayor que la
longitud de desarrollo para garantizar que desarrolle el esfuerzo de cendencia fy en
la cara del apoyo bajo la acción de cargas laterales.
Las 2 barras No. 7 (barras “a”), se colocan iniciando en la cara de la columna C,
con una longitud de 4,00 m, quedando el extremo izquierdo a 1,00 de la cara de la
columna B
.
Las dimensiones (1) y (2) deben ser iguales a
Las dimensiones (3) y (4) correspondientes al anclaje para las barras No. 6
ubicadas en las esquinas deben ser mayores o iguales que Ld . (12.10.4)
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 14
Cálculo de la distancia (3)
Se tiene x2 = 3,63 m desde la cara interna de la columna C, restamos x2 de Ln = 5
m, (5 - 3,63) = 1,37 m, sumamos lo que entra la barra en forma recta dentro del
apoyo 0,95 my resulta L3 = 2,32 m
Cálculo de la distancia (4)
Se tiene x1 = 0,64 m desde la cara interna de la columna C, le sumamos lo que
entra la barra en forma recta dentro del apoyo C, 0,35 m y resulta L4 = 0,99 m
Dimensión (3): 2,32 m > 0,92 m (VERIFICA)
Dimensión (4): (0,99 + 0.35) = 1,34 m > 0,92 m (VERIFICA) (Se agrego la longitud
del gancho). Ya por sólo terminar en gancho estandar que cumple con longitud
recta mayor que Ldh, verifica.
Cálculo de la longitud del las barras “a”, a cada lado del punto xmax:
Se tiene xmax = 2,134 m, se le resta x1 = 0,64 m, resulta (2,134 – 0,64) =1,494 m,
a esto se le suma la longitud de anclaje 0,435 m, resulta (1,494 + 0.435) = 1,929 m.
Observe que la distancia desde el punto xmax hasta el punto de coordenada x2 =
3,63 m, es 1,496 m.
Se requere que las barra mida 3,90 m, si se escoge colocar 1,95 m a cada lado del
punto de xmax, mediante cálculos sencillos se determina la distancia a la que
quedan los extremos de las cabillas “a” de la caras dela columnas, se obtiene que
el extremo derecho queda a 18 cm de la cara de la columna C, y el otro extremo a
92 cm de la cara de la columna B, por razones prácticas se colocan barras de 4,0
m, inciando a 10 cm de la cara de la columna C, de tal manera que el otro extremo
quede a 90 cm de la cara de la columna B.
Se puede comprobar que la longitud embebida de las 2 barras No. 6 son mayores
que la longitud de desarrollo de las barras No. 6, La longitud 1,93 m > 0,92 m
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 15
COLOCACIÓN DEL As –
Consideremos el apoyo A:
Se debe continuar al menos 1/3 del As-, más allá del punto de inflexión PI, una
distancia La ≥ { 12 db, d , Ln/16) (Ver sección 12.2.3.2 NV 1753-06 y 12.12.3 ACI
318-08).
Como (1/3)As- es menor que el acero mínimo se debe colocar el As min = 5,35 cm2,
este se cumple con 2#6 = 5,70 cm2,
El resto del acero es:
Se satisface con 2#6=5,70 cm2
Acero colocado 4#6= 11,4 cm2
Acero prolongado / Acero requerido = 5,70 / 11,2 = 0,51
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 16
Consideremos en este caso
Se considera sólo la solución x1 = 1,135 m, medidos desde la cara interna de la
columna A.
En un extremo que termina en una columna debemos terminar las barras a tracción
por momento negativo con un gancho estándar.
Calculamos Ldh para las barras #6:
Debido a que el gancho se encontrará confinado por la columna, se considera que
tendrá recubrimiento mayor de 6 cm.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 17
Sin epoxi, 𝜷 = 1, y cumpliendo con la condición 1, λdh = 0,7
( ) (
√ )
Debe ser mayor que 8*db =8*1,91 = 15,3 cm y mayor de 15 cm (ok)
Se dispone de 35 cm con una columna de 40 cm.
Longitud vertical del gancho: 12 db + 4 db +R libre =
( )
Los 4 db es el radio de doblaje de la barra número = 3 db + 1 db = 4 db
DESPIECE PARA EL ACERO PARA MOMENTO NEGATIVO. As – EN EL
APOYO A.
Considerando la barras #6, db = 1,91 cm
Recubrimiento libre:
El estribo #3 db =0,95 cm,
( )
Separación libre:
( )
( )
Observe que la separación libre es mayor de 2·db, es este caso no es necesario
chequear refuerzo transversal mínimo y se aplica la fórmula 12.3 de la tabla 12.2.1ª
(NV 1753-06)
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 18
Considerando barra de lecho superior, α = 1,3, sin epoxi 𝜷 = 1, concreto de peso
normal λ = 1
( ) (
√ )
Las barras “a”, es decir las 2#6 centrales dejan de ser necesarias a x1 = 1,135 m de
la cara interna de la columna A, pero se deben extender más allá la distancia La >=
12db ó d, lo cual resulta d = 43,5 cm. Entonces estás barras se prolongan con
respecto a la sección crítica (la cara interna de la columna A).
Esta longitud embebida es mayor que la longitud de transferencia para las barras
#3, Ld = 1,197 m, se decide extender las barras “a” la longitud embebida igual a
1,60 m con respecto a la cara de la columna.
Como las barras “b”, las dos barras #6 ubicadas en las esquinas de los estribos,
representan el acero mínimo y se prolongan mucho más allá que la distancia
La ≥ { 12 db, d , Ln/16) del punto de inflexión PI, que se ubica a 0,96 m de la cara
interna de la columna A, no se requiere verificar esta condición.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 19
CONSIDEREMOS EL LADO IZQUIERDO DEL APOYO B:
Se debe continuar al menos 1/3 del As-, más allá del punto de inflexión PI, una
distancia La ≥ { 12 db, d , Ln/16) (Ver sección 12.2.3.2 NV 1753-06 y 12.12.3 ACI
318-08).
Como (1/3)As- es menor que el acero mínimo se debe As- = 5,78 cm2, aunque no lo
satisface exactamente se decide colocar 2#6 = 5,70 cm2,
El resto del acero es:
Se satisface con 3#7=11,64 cm2
Acero colocado 2#6+3#7= 17,34 cm2
Acero prolongado / Acero requerido = 5,70 / 17,34 = 0,329
Considerando el tramo A-B, del análisis para momento máximo en el apoyo B,
Mbmax = 24,2 ton-m, y momento Ma = 16,2 ton-m, se determinó el valor
correspondiente del cortante en la cara interna de la columna A igual a:
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 20
Para el estudio del momento negativo cercano a la cara izquierda de la columna B,
la solución que corresponde es x2 = 5,20 m, lo que significa que se tendrá un
momento M- = -7,96 ton-m a 0,80 m de la cara de la columna B, el cual será
resistido por las dos barras #6.
DESPIECE PARA EL ACERO PARA MOMENTO NEGATIVO. As – EN EL LADO
IZQUIERDO DEL APOYO B.
Considerando la barras #7, db = 2,22 cm
Recubrimiento libre:
El estribo #3 db =0,95 cm,
( )
Separación libre:
( )
( )
Observe que la separación libre es mayor que el diámetro de la barras, pero es
ligeramente inferior a la separación mínima permitida por la norma de 2,5 cm. A
pesar de esto se decidió continuar con la solución adoptada.
Considerando barra de lecho superior, α = 1,3, sin epoxi 𝜷 = 1, concreto de peso
normal λ = 1
( ) (
√ )
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 21
Las barras “a”, es decir las 3#7 centrales dejan de ser necesarias a 0,80 m de la
cara izquierda de la columna B, pero se deben extender más allá la distancia La >=
12db ó d, lo cual resulta d = 43,5 cm. Entonces estás barras se prolongan con
respecto a la sección crítica (la cara interna de la columna B).
Esta longitud embebida es menor que la longitud de transferencia para las barras
#7, Ld = 1,391 m, se decide extender las barras “a” la longitud embebida igual a
1,40 m con respecto a la cara de la columna B.
Como las barras “b”, las dos barras #6 ubicadas en las esquinas de los estribos,
representan el acero mínimo y se prolongan mucho más allá que la distancia
La ≥ { 12 db, d , Ln/16) del punto de inflexión PI, que se ubica a 1,33 m de la cara
izquierda de la columna B, no se requiere verificar esta condición.
ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES Página 22
CONSIDEREMOS EL LADO DERECHO DEL APOYO B:
Considerando el tramo B-C, del análisis para momento máximo en el apoyo B,
Mbmax = 24,2 ton-m, y momento Mc = 0 ton-m, se determinó el valor
correspondiente del cortante en la cara interna de la columna C igual a:
Para el estudio del momento negativo cercano a la cara derecha de la columna B,
la solución que corresponde es x2 = 4,20 m, lo que significa que se tendrá un
momento M- = -7,96 ton-m a 0,80 m de la cara derecha de la columna B, el cual
será resistido por las dos barras #6.
Lo anterior hace que la solución debe ser igual a la obtenida para el lado izquierdo,
es decir una longitud embebida de 1,40 m medidos desde la cara derecha de la
columna B
Como las barras “b”, las dos barras #6 ubicadas en las esquinas de los estribos,
representan el acero mínimo y se prolongan mucho más allá que la distancia
La ≥ { 12 db, d , Ln/16) del punto de inflexión PI, que se ubica a 1,34 m de la cara
derecha de la columna B, no se requiere verificar esta condición.