Post on 27-Aug-2014
TALLER 1 CΓLCULO INTEGRAL
EJERCICIOS
1. Halle las siguientes integrales:
a. β2 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = β2π₯ + πΆ
b. π₯5 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = π₯6
6+ πΆ
c. (π₯2 β 6) ππ₯
π(π₯) ππ₯ = π₯2ππ₯ β 6 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = π₯3
3β 6π₯ + πΆ
d. 4πβ3 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = 4 πβ3 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = 4πβ3 + πΆ
e. π4π₯ ππ₯
π(π₯) ππ₯ = π4π₯
4+ πΆ
f. 7π₯ ππ₯
π(π₯) ππ₯ = 7π₯
log 7+ πΆ
g. sec2(5π₯) ππ₯
π(π₯) ππ₯ = tan 5π₯
5+ πΆ
h. 2π₯
1+π₯2 ππ₯
π(π₯) ππ₯ = ln π₯2 + 1 + πΆ
i. (1 + sen π₯)2 cos π₯ ππ₯
π = 1 + π ππ π₯
1
ππ’
ππ₯= cos π₯
ππ’ = cos π₯ ππ₯
π’2 ππ’
π(π’) ππ’ = π’3
3+ πΆ
π(π₯) ππ₯ = (1 + π ππ π₯)3
3+ πΆ
j. 12π
3π2β2 ππ₯
2 6π₯
3π₯2 β 2 12
π’ = 3π₯2 β 2
ππ’ = 6 π₯ ππ₯
2 1
π’ 12
ππ’
2 π(π₯) ππ₯ = 2.2 π’ + π = 4 π’ + π
π(π₯) ππ₯ = 4 3π₯2 β 2 + π
k. (4π‘3 β 2) 24π‘ ππ‘
24 (4π‘3 β 2) π‘ ππ‘
24 (4π‘4 β 2π‘) ππ‘
24 (4π‘4) β 24 (2π‘) ππ‘
96 (π‘4) β 48 (π‘) ππ‘
π(π₯) ππ₯ = 96π‘5
5β 48
π‘2
2+ πΆ
2
π(π₯) ππ₯ = 96π‘5
5β 24π‘2 + πΆ
l. (π3π‘ β π ππ 5π‘ ) ππ‘
π3π‘ β (π ππ 5π‘ ) ππ‘
π(π₯) ππ₯ = π3π‘
3+
cos(5π‘)
5+ πΆ
m. βπ‘ππ π ) ππ
π(π₯) ππ₯ = βπ ππ2π + πΆ
n. (βπ 2 + π2π β 5π ) ππ
β π 2 + π2π β 5π ππ‘
π(π₯) ππ₯ = βπ 3
3+
π2π
2+
5π₯
log 5+ πΆ
o. 3β2 π§
π§ ππ§
π(π₯) ππ₯ = 6 β 4 π§
2 π§
π’ = π§
ππ’ =1
2 π§
2 (3 β 2π’) ππ’
3
2 π(π₯) ππ₯ = 2 3π’ β 2 π’2 + π = 6π’ β 2π’2 + π
π(π₯) ππ₯ = 6 π§ β π§ + π
2. Grafique cada una de las siguientes funciones en el intervalo solicitado:
a. π¦ = π₯ β 6 [7,11] con n=8
βπ₯ =π β π
π=
11 β 7
8= 0.5
Puntos de evaluaciΓ³n:
X0=7 X5=9+0.5=9.5
X1=7+0.5=7.5 X6=9.5+0.5=10
X2=7.5+0.5=8 X7=10+0.5=10.5
X3=8+0.5=8.5 X8=10.5+0.5=11
X4=8.5+0.5=9
Puntos medios:
ππ =π₯πβ1 + π₯π
π
π1 =
7+7.5
2= 7.25
π2 =
7.5+8
2= 7.75
π3 =
8+8.5
2= 8.25
4
π4 =
8.5+9
2= 8.75
π5 =
9+9.5
2= 9.25
π6 =
9.5+10
2= 9.75
π7 =
10+10.5
2= 10.25
π8 =
10.5+11
2= 10.75
Suma de Reimman:
π π = π π₯π βπ₯
11
π=7
= 7.25 β 6 + 7.75 β 6 + 8.25 β 6 + 8.75 β 6 + 9.25 β 6
+ 9.75 β 6 + 10.25 β 6 + 10.75 β 6 . (βπ₯)
π π = π π₯π βπ₯ = 1.25 + 1.75 + 2.25 + 2.75 + 3.25 + 3.75 + 4.25 + 4.75 =11π=7
20.25(βπ₯)=(24).(0.5)=12
El Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12
b. π¦ =1π₯2
2β π₯ + 3 [0,4] con n=6
5
βπ₯ =π β π
π=
4 β 0
6= 0.666
Puntos de evaluaciΓ³n:
X0=0 X5=2.666+0.666=3.333
X1=0+0.666=0.666 X6=3.333+0.666=3.999β4
X2=0.666+0.666=1.333
X3=1.333+0.666=1.999
X4=1.999+0.666=2.666
Puntos medios:
ππ =π₯πβ1 + π₯π
π
π1 =
0+0.666
2= 0.333
π2 =
1.333+0.666
2= 0.999 β 1
π3 =
1.999+1.333
2= 1.666
π4 =
2.666+1.999
2= 2.333
π5 =
3.333+2.666
2= 2.999 β 3
π6 =
3.999+3.333
2= 3.666
Suma de Reimman:
π π = π π₯π βπ₯ = [π(π₯1 ) + π(π₯2 ) + π(π₯3 ) + π(π₯4 ) + π(π₯5 ) + π(π₯6 )]
4
π=0
. (βπ₯)
π π = π π₯π βπ₯ = [2.555 + 2.5 + 2.72 + 3.38 + 4.5 + 6.05](βπ₯) = 21.722(βπ₯)
11
π=7
= (21.722). (0.666) = 14.466
El Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (0,4) es 14.466
3. Demuestre mediante una sumatoria de Reimman con particiΓ³n regular que
el Γ‘rea bajo la curva para la funciΓ³n y= x2 β 3x en el intervalo [3,4] es 11/6
6
βπ₯ =4 β 3
π=
1
π
Puntos de evaluaciΓ³n:
X0=3
X1= 3 +1
π=
3π+1
π
X2= 3π+1
π+
1
π=
3π+2
π
X3= 3π+2
π+
1
π=
3π+3
π
X4= 3π+3
π+
1
π=
3π+4
π
π₯π =3π + π
π
limπββ
π(π₯π)βπ₯
π
π=1
π( 3π + π
π
2
β 3(3π + π
π))βπ₯
π
π=1
π 3π + π 2
π2β 3(
3π + π
π))βπ₯
π
π=1
3π + π 2
π2β (
9π + 3π
π)
1
π
π
π=1
9π2 + 6ππ + π2
π2β
9π + 3π
π
π
π=1
π
π=1
1
π
9 +6π
π+
π2
π2β 9 +
3π
π
π
π=1
π
π=1
1
π
9 + 6π
π
π
π=1
+ π2
π2
π
π=1
β 9 β 3π
π
π
π=1
π
π=1
π
π=1
1
π
9 +6
π π
π
π=1
+1
π2 π2
π
π=1
β 9 β3
π π
π
π=1
π
π=1
π
π=1
1
π
7
9π +6
π π π + 1
2 +
1
π2 π π + 1 2π + 1
6 β 9π β
3
π π π + 1
2
1
π
9π +6π π + 1
2π+
π π + 1 2π + 1
6π2β 9π β
3π π + 1
2π
1
π
9π + 3 π + 1 + π + 1 2π + 1
6πβ 9π β
3 π + 1
2
1
π
9π + 3π + 3 +2π2 + 3π + 1
6πβ 9π β
3π + 3
2
1
π
9π + 3π + 3 +π
3+
1
2+
1
6πβ 9π β
3π
2β
3
2
1
π
9 + 3 +3
π+
1
3+
1
2π+
1
6π2β 9 β
3
2β
3
2π
limπββ
3 +3
π+
1
3+
1
2π+
1
6π2β
3
2β
3
2π
3 +1
3β
3
2=
18 + 2 β 9
6=
ππ
π
4. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicaciΓ³n directa
el teorema fundamental y compare los resultados obtenidos con los del punto 2
a. π₯ β 6 ππ₯11
7
π π₯ = π π β π(π)π
π
π₯ β 6 11
7
ππ₯
8
π₯2
2β 6π₯
7
11
112
2β 6 11 = 60.5 β 66 = β5.5
72
2β 6 7 = 24.5 β 42 = β17.5
β5.5 β β17.5 = ππ
SegΓΊn las sumas de Reimman el Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12,
mismo resultado obtenido por teorema fundamental del cΓ‘lculo.
b. 1
2π₯2 β π₯ + 3 ππ₯
4
0
1
2π₯2 β π₯ + 3 ππ₯
4
0
π₯3
6β
π₯2
2+ 3π₯
0
4
π π =03
6β
02
2+ 3(0) = 0
π π =43
6β
42
2+ 3 4 =
44
3= 14.6666
π π β π π = 14.6666 β 0 = ππ. ππππ
La integral por Teorema Fundamental es 14.66, y por sumas de Reimman
obtuvimos 14.466, la diferencia se debe a que la integral considera particiones
cercanas al infinito mientas en las sumas de Reimman usamos solo 6
particiones, como es una curva de funciΓ³n parabΓ³lica la figura geomΓ©trica no
estΓ‘n fΓ‘cil de calcular como los triΓ‘ngulos del punto anterior asΓ que a mas
particiones mayor exactitud.
9
5. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicaciΓ³n del
teorema fundamental del cΓ‘lculo.
a. π‘β3 + 2π‘ β 5 ππ‘2
β2
π‘β3 + 2π‘ β 5 ππ‘2
β2
π‘β2
β2+ π‘2 β 5π‘
β2
2
β 1
2π‘2+ π‘2 β 5π‘
β2
2
π π = β1
2(β2)2+ (β2)2 β 5 β2 = 13.875
π π = β1
2(2)2+ (2)2 β 5 2 = β5.875
π π β π π = β5.875 β 13.875 = βππ. ππ
En realidad en este intervalo (-2,2) la funciΓ³n no es integrable ya que la funciΓ³n
no es continua en este intervalo y no es acotada al acercarse a 0 por la
izquierda tiende a -β y por la derecha tiende a β
b. 6π₯
π₯2+1ππ₯
1
0
10
6π₯
π₯2 + 1ππ₯
1
0
3 2π₯
π₯2 + 1ππ₯
1
0
π’ = π₯2 + 1
ππ’ = 2π₯ + 0 ππ₯ = 2π₯ππ₯
3 ππ’
π’
1
0
3 1
π’ππ’
1
0
3 ln(π’) 0
4
3 ln(π₯2 + 1) 0
4
π π = 3 ln(02 + 1) = 0
π π = 3 ln(12 + 1) = 2.079
π π β π π = 2.079 β 0 = π. πππ
c. 1+ π₯
π₯ππ₯
4
0
1 + π₯
π₯ππ₯
4
0
1
π₯ππ₯ +
4
0
π₯
π₯ππ₯
4
0
π’ = π₯ , π’2 = π₯
2π’ππ’ = ππ₯
π’
π’22π’ππ’
4
0
= 2π’2
π’2ππ’
4
0
= 2ππ’4
0
2π’ = 2 π₯
11
ln(π₯) 04 + 2 π₯
0
4
π π = ln 0 + 2 0 = 0
π π = ln 4 + 2 4 = 5.386
π π β π π = 5.386 β 0 = 5.386
Esta funciΓ³n no es acotada en este intervalo (0,4) por tanto no es integrable.
Tiende a infinito cuando se acerca a cero.
d. 10
3 1+2π₯ππ₯
13
0
10
3 1 + 2π₯ππ₯
13
0
π = 1 + 2π₯
π2 = 1 + 2π₯
2πππ’ = 2ππ₯
12
5 2
3 1 + 2π₯ππ₯
13
0
5 2π
3πππ’ =
13
0
5 2
3ππ’ =
13
0
10
3π
10 1 + 2π₯
3
13
0
π π =10 1 + 2(0)
3=
10
3
π π =10 1 + 2(13)
3=
10 27
3= 10 3
π π β π π = 10 3 β10
3= ππ. ππππ
e. sec π₯ tan π₯
(4+sec π₯)ππ₯
π
40
sec π₯ tan π₯
(4 + sec π₯)ππ₯
π4
0
π = 4 + sec π₯
ππ’ = sec π₯ tan π₯ ππ₯
1
πππ’ = ln π
π4
0
ln(4 + sec π₯) 0
π4
π π = ln 4 + sec 0 = ln 5 = 1.609437
π π = ln 4 + secπ
4 = ln 5.41 = 1.688249
π π β π π = 0.088
13
f. β14 7π + 2 ππ1
0
β14 7π + 2 ππ1
0
π = 7π + 2
π2 = 7π + 2
2πππ’ = 7ππ
β2 7 7π + 2 ππ1
0
β2 π2πππ’ =1
0
β 2 2π2ππ’1
0
β2. 2π’3
3
0
1
= β4 7π + 2
3
3
0
1
π π =β4 7(0) + 2
3
3= β3.7712
π π =β4 7(1) + 2
3
3= β36
π π β π π = β36 β 3.7712 = β32.222 = ππ. πππ
6. Halle el valor medio de las siguientes funciones en el intervalo dado:
a. π π§ = 2π§β3 β 3π§β2 en el intervalo [-2,3]
1
3 β (β2) 2π§β3 β 3π§β2
3
β2
ππ§
1
5 2π§β3 β 3π§β2
3
β2
3
β2
1
5 2π§β2
β2 β2
3
β 3π§β1
β1 β2
3
1
5 β 1
π§2 β2
3
+ 3
π§ β2
3
14
π π =1
5 β
1
(β2)2+
3
β2 =
1
5 β
1
4β
3
2 =
1
5 β
7
4
π π =1
5 β
1
(3)2+
3
3 =
1
5 β
1
9+ 1 =
1
5 8
9
π π β π π =1
5 8
9β (β
7
4) =
1
5 95
36 =
19
36
En realidad esta funciΓ³n no es integrable en este intervalo por que no es
continua ni acotada en el mismo.
b. π π = (1 + 2π)π2 en el intervalo [1.4]
1
4 β 1 (1 + 2π)π2
4
1
ππ
1
3 (1 + 2π)π2
4
1
ππ
1
3 π2 + 2π3
4
1
ππ
1
3 π2ππ + 2π3ππ
4
1
4
1
1
3 π3
3
1
4
+ 2π4
4
1
4
=1
3 π3
3
1
4
+ π4
2
1
4
15
π π =1
3 13
3+
14
2 =
1
3 5
6
π π =1
3 43
3+
44
2 =
1
3 64
3+
256
2 =
1
3 896
6
π π β π π =1
3 896
6β
5
6) =
1
3 297
2 =
297
6
c. π π =π2+π+1
π3 en el intervalo [0,8]
1
8 β 0
π2 + π + 1
π3
8
0
ππ
1
8
π2
π13
+8
0
π
π13
+1
π13
ππ
1
8 π
53 +
8
0
π23 +
1
π13
ππ
1
8 π
53 +
8
0
π23 + πβ
13ππ
1
8 π
53
8
0
+ π23
8
0
+ πβ13
8
0
1
8 3π
83
8
0
8
+ 3π53
5
0
8
+ 3π23
2
0
8
π π =1
8 3 π83
8+
3 π53
5+
3 π23
2 = 0
π π =1
8 3 883
8+
3 853
5+
3 823
2 =
1
8 606
5
π π β π π =πππ
ππ
d. π π =π 2+4
π 2 en el intervalo [2,5]
1
5 β 2
π 2 + 4
π 2
5
2
ππ
16
1
3
π 2
π 2
5
2
ππ + 4
π 2
5
2
ππ =1
3 1
5
2
ππ + 4π β25
2
ππ
1
3 π 2
5 + 4π β1
β1
2
5
=1
3 π 2
5 β 4
π
2
5
π π =1
3 2 β
4
2 = 0
π π =1
3 5 β
4
5 =
1
3 21
5 =
21
15
π π β π π =21
15β 2 =
ππ
ππ
e. π π€ = (π€2 + 3)2 en el intervalo [-1,1]
π π€ = (π€2 + 3)2 = π€4 + 6π€2 + 9
1
1 β (β1) π€4 + 6π€2 + 9
1
β1
ππ€
1
2 π€4
1
β1
ππ€ + 6π€21
β1
ππ€ + 91
β1
ππ€
1
2 π€5
5 β1
1
+ 6π€3
3 β1
1
+ 9π€ β11
π π =1
2 β15
5+ 2(β1)3 + 9(β1) =
1
2 β
1
5β 2 β 9 =
1
2 β
56
5
π π =1
2 15
5+ 2(1)3 + 9(1) =
1
2 1
5+ 2 + 9 =
1
2 56
5
π π β π π =1
2 56
5β (β
56
5) =
1
2 112
5 =
ππ
π
7. Resolver las siguientes situaciones:
a. Las ventas de un producto de temporada vienen dadas por el modelo
π π‘ = 74.50 + 43.75π ππππ‘
6, donde S se mide en miles de unidades y t es el
tiempo empleado en meses, con t = 1 correspondiendo a enero. Hallar las
ventas promedio durante:
El primer trimestre 0 β€ t β₯ 3
El segundo trimestre 3 β€ t β₯ 6
17
1
3 β 0 74.50 + 43.75π ππ
ππ‘
6
3
0
ππ‘
1
3 74.50 ππ‘
3
0
+ 43.75 π ππππ‘
6
3
0
ππ‘
1
3 74.5π‘ 0
3 + 43.75 (βπππ
π6 π‘
π6
)
0
3
=1
3 74.5π‘ 0
3 + 43.75 (β6πππ
π6 π‘
π)
0
3
π π =1
3 74.5 0 + 43.75
β6πππ π6 (0)
π =
1
3 β
262.5
π
π π =1
3 74.5 3 + 43.75
β6πππ π6 (3)
π =
1
3 223.5 + 0
π π β π π =1
3 223.5 β (β83.55) =
1
3 307.05 = 102.35
Las ventas para el primer trimestre en promedio serΓ‘n de 102350 unidades.
1
6 β 3 74.50 + 43.75π ππ
ππ‘
6
6
3
ππ‘
1
3 74.50 ππ‘
6
3
+ 43.75 π ππππ‘
6
6
3
ππ‘
1
3 74.5π‘ 3
6 + 43.75 (βπππ
π6 π‘
π6
)
3
6
=1
3 74.5π‘ 3
6 + 43.75 (β6πππ
π6 π‘
π)
3
6
18
π π =1
3 74.5 3 + 43.75
β6πππ π6 (3)
π =
1
3 223.5
π π =1
3 74.5 6 + 43.75
β6πππ π6 (6)
π =
1
3 447 +
262.5
π
π π β π π =1
3 530.55 β (223.5) =
1
3 307.05 = 102.35
Las ventas para el segundo trimestre en promedio serΓ‘n de 102350 unidades.
8. La siguiente grΓ‘fica lineal representa la fuerza (F) aplicada por una persona
para mover un objeto una distancia (d). Halle el Trabajo (T) realizado por la
persona para mover el objeto desde la distancia 3m hasta la distancia 7m,
teniendo en cuenta que el trabajo realizado se halla mediante la expresiΓ³n
T=F.d.
Nota: Tenga en cuenta que la ecuaciΓ³n que define la grΓ‘fica es F=1/2d + 1
π
2+ 1 ππ
7
3
1
2 π ππ
7
3
+ 1 ππ
7
3
Fuerza (N)
Distancia (m)
19
1
2 π2
2 + π
3
7
π π = 3 2
4+ 3 =
21
4
π π = 7 2
4+ 7 =
77
4
π π β π π =77
4β
21
4= 14
La fuerza aplicada por la persona para mover el objeto de los 3 a los 7 metros es
de 14 Newton.