GEOMETRÍA

EN EL PLANO

1º ESOProfesor: Fernando de Diego MorenoIES SATAFI ECUACIONES 1º ESO

Profesor: Fernando de Diego MorenoIES SATAFI ECUACIONES 1º ESO

ELEMENTOS BÁSICOS

POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

CIRCUNFERENCIA

PERÍMETROS Y ÁREAS

EJES DE SIMETRÍA

ÍNDICE

IES SATAFI Profesor: Fernando de Diego Moreno GEOMETRÍA 1º ESO

ELEMENTOS BÁSICOS

IES SATAFI Profesor: Fernando de Diego Moreno

ESQUEMA

Elementos: Puntos, rectas, semirrectas, ángulos, segmentos.

Posición relativa entre rectas: Paralelismo y perpendicularidad.

Tipos de ángulos: Recto, llano, agudo, obtuso, complementarios, suplementarios, consecutivos, adyacentes, y opuestos por el vértice.

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DEFINICIÓN:

Un punto es el elemento (dibujo) más básico (sencillo, pequeño)en el plano y no tiene dimensión (tamaño).

Se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, D, …

A ·B ·

C ·

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DEFINICIÓN:

Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados, sin huecos, y sin extremos (longitud infinita).

Se nombran con letras minúsculas: r, s, t, …

r

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DEFINICIÓN:

Un segmento es un conjunto infinito de puntos alineados, sin huecos, con dos extremos (longitud finita) A y B.

AB

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DEFINICIÓN:

Una semirrecta es un conjunto infinito de puntos alineados, sin huecos, con un extremo (longitud infinita) A.

A

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DEFINICIÓN:Un ángulo es la región del plano comprendida entre dossemirrectas r, s (recorridas en sentido directo, anti horario),que comparten un punto común llamado vértice.A dichas semirrectas se les llama lados del ángulo.Los ángulos se escriben con letras griegas: α, β, γ, δ, ε, …

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NOMBRE DE LAS LETRAS GRIEGAS

LETRAGRIEGA

Nombre Correspondencia en español

α alfa a

β beta b

γ gamma g

δ delta d

ε épsilon e

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DEFINICIÓN:

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

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DEFINICIÓN:

Dos rectas son secantes si se cortan en un punto, es decir,si tienen un punto en común.

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DEFINICIÓN:

Dos rectas secantes son perpendiculares si las cuatro semirrectasresultantes forman ángulos iguales.

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DEFINICIÓN:

A los ángulos formados por dosrectas perpendiculares se lesllama ángulo recto.

Llamamos grado al ángulo queresulta de dividir un ángulo rectoen 90 partes iguales, por lo que,un ángulo recto mide 90 gradosy se escribe 90°.

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo agudo al que es menor de un ángulo recto.

α < 90°

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo llano al que es igual a 2 ángulos rectos.

α = 180°

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo obtuso al que es mayor de un ángulo recto.

α > 90°

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo convexo al que es menor de un ángulo llano.

α < 180°α < 180°

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo cóncavo al que es mayor de un ángulo llano.

α > 180°

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DEFINICIÓN:

Llamamos ángulo completo al equivalente a cuatro ángulos rectos, es decir, una “vuelta entera”.Su valor, pues, es de 360 °.

α = 360°

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RELACIONES ENTRE ÁNGULOS:

Dos ángulos pueden ser:

- Complementarios.

- Suplementarios.

- Opuestos por el vértice.

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DEFINICIÓN:

Dos ángulos son complementarios si entre los dos forman un ángulo recto, es decir, si suman 90 °.

α

β α + β = 90°

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DEFINICIÓN:

Dos ángulos son suplementarios si entre los dos forman un ángulo llano, es decir, si suman 180 °.

αβ

α + β = 180°

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DEFINICIÓN:

Dos ángulos son opuestos por el vértice si comparten sus vértices y sus lados están sobre las mismas rectas.

αβ

α = β

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POLÍGONOS

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DEFINICIÓN:Una poligonal es un conjunto de segmentos ordenados y “encadenados”, es decir, cada extremo de un segmento coincide con el extremo del siguiente.

POLIGONAL ABIERTA POLIGONAL CERRADA

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DEFINICIÓN:Un polígono es una poligonal cerrada.

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DEFINICIÓN:Un polígono convexo es aquel en el que todas sus diagonales son interiores. En caso contrario se llama cóncavo.

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO

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TRIÁNGULOS

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ESQUEMA:

- Rectas notables del triángulo: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas.

- Puntos notables o centros de un triángulo: circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro.

- Clasificación de triángulos: Según sus lados. Según sus ángulos.

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PROPIEDAD:

Los ángulos de cualquier triángulo siempre suman dos ángulos rectos.

α + β + γ = 180°

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demostración de que: α + β + γ = 180°

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DEFINICIÓN:

La mediatriz de un segmento ABes la recta perpendicular quepasa por su punto medio M.

La mediatriz está formada por lospuntos que equidistan de A y B,es decir, que están a la mismadistancia de A y de B.

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DEFINICIÓN:

La bisectriz de un ángulo α esla recta que lo divide en dos partes iguales.

La bisectriz está formada por los puntos que equidistan delos lados de ángulo.

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DEFINICIÓN:

Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto.

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DEFINICIÓN:

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.

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DEFINICIÓN:

El circuncentro de untriángulo es el puntodonde se cortan lastres mediatrices y elcentro de lacircunferenciacircunscrita.

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DEFINICIÓN:

El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres bisectrices y el centro de la circunferencia inscrita.

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DEFINICIÓN:El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres medianas y coincide con su centro de gravedad.

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DEFINICIÓN:

El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres alturas.

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CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

SEGÚN SUS LADOS

EQUILÁTERO: todos los lados iguales

ISÓSCELES: Dos lados iguales y el tercero desigual.

ESCALENO: ningún par de lados iguales.

SEGÚN SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO: Uno de sus ángulos es recto.

ACUTÁNGULO: Todos sus ángulos son agudos

OBTUSÁNGULO: Uno de sus ángulos es obtuso.

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EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS CON LAS DOS CLASIFICACIONES

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

RECTÁNGULO No es posible

ACUTÁNGULO

OBTUSÁNGULO No es posible

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CUADRILÁTEROS

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PROPIEDAD:

Los ángulos de cualquier cuadrilátero siempresuman cuatro ángulos rectos.

α + β + γ + δ = 360°

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demostración: α + β + γ + δ = 360°

Una diagonal interior siempre divide al cuadriláteroen dos triángulos cuyos ángulos suman 180° cada uno.

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PARALELOGRAMOS(lados paralelosdos a dos)

RECTÁNGULO: Todos los ángulos iguales.

CUADRADO:

ROMBO: Todos los lados iguales.

ROMBOIDE:

TRAPECIOS(dos ladosparalelos)

TRAP. RECTÁNGULO: Con 2 ángulos rectos.

TRAP. ISÓSCELES: 2 pares de ángulos iguales.

TRAP. ESCALENO: Sin ángulos iguales.

TRAPEZOIDES: No tienen lados opuestos paralelos.

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CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

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Elementos de una circunferencia (la curva exterior)y de un círculo (la región interior)

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PERÍMETROS Y ÁREAS

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DEFINICIONES:

El perímetro (peri=alrededor, metro=medida) de un polígono es la medida de su contorno y se calcula, por tanto, sumando todos sus lados.Se mide con unidades de longitud: m, cm, …

El área de un polígono es el tamaño de la figura.Se mide con unidades de superficie: m2, cm2, …

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO

a, b, c = lados del triángulo P = Perímetro b = base (base en inglés) S = Área h = altura (high en inglés)

2

hbS

cbaP

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO

b, h = lados del rectángulo. b = base P = Perímetro h = altura S = Área

hbS

hbP

22

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO

l = lado del rombo. D = diagonal mayor P = Perímetro d = diagonal menor S = Área

2

4

dDS

lP

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBOIDE

a, b = lados del romboide. b = base P = Perímetro h = altura S = Área

hbS

baP

22

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRAPECIO

a, b, c, B = lados del trapecio. B = base mayor. b = base menor. P = Perímetro h = altura. S = Área

2

hbBS

BcbaP

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CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

π = 3,14… r = radioL = longitud de la circunferencia.

S = área del círculo.

rL 2

2rS

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SECTOR CIRCULAR

π = 3,14… α = ángulo central.S = área del sector circular.

360

2rS

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EJES DE SIMETRÍA

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DEFINICIÓN:

Una simetría axial, respecto de la recta r, es aquella en la que a cada punto A le hace corresponder su imagen A´ “a lo otro lado de la recta (como en un espejo, imagen especular)”, de tal forma que los puntos A y A´ están a la misma distancia de la recta r.

El segmento AA´ es, pues, perpendicular a la recta r.

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EJEMPLO DE SIMETRÍA AXIAL