“IMPORTANCIA DE LAS MATRICES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS”

CONTENIDOIntroducciónDefinición de matrizTipos de matricesOperaciones matriciales

SumaDiferencia

ProductoAplicaciones de las matrices

Utilización del software DeriveConclusionesBibliografía

INTRODUCCIÓN

La gran diversidad de necesidades del ser humano, en cadauno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodosmatemáticos que den una solución rápida y exacta. Una delas herramientas que ha tenido gran aplicación son lasmatrices, las cuales nos dan una solución optima a unsistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas de unplanteamiento del problema.

A su vez se hace más versátil y dinámico el emplear para suresolución un software (Derive). Es por ello la importancia enla gran resolución de problemas de diversos tópicos.

MATRIZ

Es un arreglo rectangular de elementos de unconjunto dispuesto en filas y columnas.

A = aij mxn

m = Número de renglones o filas

n = Número de renglones o filas

a11 a12 … a1n

a11 a12 … a1n

am1 am2 … amn

A =

3x4

mxn

MATRIZ

TIPOS DE MATRICES

TIPO DE MATRIZ

DEFINICIÓN EJEMPLO

Matriz nula Aquella matriz compuestaúnica y exclusivamentepor ceros.

Matriz traspuesta

Una matriz es traspuestade otra, cuando una fila m=a es igual en números auna columna n = a

Matriz simétrica Es aquella matriz que esigual a su matriztraspuesta, es decirA = A

Matriz antisimétrica

Es aquella matriz cuyatraspuesta es igual a ellamisma solo que cambiadade signo A = -A

t

t

t

t

t

TIPOS DE MATRICES

TIPO DE MATRIZ DEFINICIÓN EJEMPLOMatriz diagonal Es aquella matriz diagonal

compuesta por elementos dela diagonal de diferentestipos de escalar.

Matriz escalar Es aquella matriz diagonalcompuesta por elementos dela diagonal de un único tipode escalar.

Matriz triangular Es aquella matriz quepresenta un triangulo deceros en una de susesquinas.

Matriz identidad o unidad

Es aquella matriz escalarcuyo elemento en la diagonales el 1.

OPERACIONES

MATRICIALES

SUMA

DIFERENCIA

PRODUCTO

SUMA

La suma de una matriz es una generalización de lade la suma de vectores.

1211 13

232221

1211 13

232221

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

DIFERENCIA

Se efectúa alterando los signos de la matrizrestante.

1211 13

232221

1211 13

232221

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

-- - -

- - -

PRODUCTO

El producto de dos matrices se realiza mediante lamultiplicación de filas por columnas, lamultiplicación de fila n de la primera matriz por lacolumna m de la segunda matriz y sumados loselementos obtenidos da lugar al elemento (n,m) dela matriz producto.

11 12

21 22

31 32

11 12 13

21 22 23

11 11

21 11

31 11

21

21

21

12

22

32

11 12

21 12

31 12

22

22

22

12

22

32

11 13

21 13

31 13

23

23

23

12

22

32

PRODUCTO

APLICACIONES

Resolver mediante el uso de matrices el siguientesistema de ecuaciones lineales.

(1) 4X1 + 2X2 + X3 = 15(2) 20X1 + 5X2 – 7X3 = 0(3) 8X1 – 3X2 + 5X3 = 24

La matriz aumentada es

(1)

(2)

(3)

APLICACIONES

Tómese el elemento a11 como pivote. Para hacerlo1 y a los otros elementos cero en la primeracolumna, realícense las siguientes operacioneselementales mostradas en orden para cada raíz:

Réstese (20/4) [ecuación (1)] de la ecuación (2)(a) Réstese (8/4) [ecuación (1)] de la ecuación (3)(b) Multiplíquese la ecuación (1) por ¼.

Para obtener (1a)

(2a)

(3a)

APLICACIONES

Efectúense las operaciones elementales para hacer elelemento pivote a22 igual 1 y los otros elementos en lasegunda columna iguales a cero:

(a) Réstese [(1/2)/-5] [ecuación (2a)] de la ecuación (1a)(a) Réstese (-7/-5) [ecuación (2a)] de la ecuación (3a)(b) Multiplíquese la ecuación (2a) por (-7/-5).

Para obtener(1b)

(2b)

(3b)

APLICACIONES

Otra serie de operaciones elementales conduce a un 1para el elemento a33 y ceros para los otros dos elementosen la tercera columna:

La solución para el sistema es:

x1 = 1

x2 = 3

x3 = 5

APLICACIONES

Mediante este método se puede resolver problemas de lavida cotidiana y con ello dar una solución adecuada yóptima a la problemática. Con la ayuda de un softwarede matemáticas (derive) se hace más fácil dicharesolución.

APLICACIONES

Un granjero da de comer a su ganado un a mezcla de 2tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento tipo Aproporciona a un novillo 10 % del requerimiento diario deproteínas y 15 % de carbohidratos. Una unidad estándardel alimento B contiene 12 % del requerimiento diario deproteínas y 8 % del de carbohidratos. Si el granjerorequiere alimentar a su ganado con el 100% de losrequerimientos mínimos diarios de proteínas ycarbohidratos, ¿Cuántas unidades de cada tipo dealimento debe de dar a un novillo al día?

Planteamiento del problema

APLICACIONES

Para dar solución a al problema se debe obtener elmodelo matemático, es decir el sistema de ecuacioneslineales.

Modelo matemático

A(%)

B(%)

REQUERIMIENTO DIARIO(%)

PROTEINA 10 12 50

CARBOHIDRATOS 15 8 50

(1) 10X1 + 12X2 = 15

(2) 15X1 + 8X2 = 0

La matriz aumentada es

APLICACIONES

La solución al sistema es

Transformación a un modelo matricial

Interpretación

APLICACIONES

La solución para el sistema es:

x1 = 2

x2 = 5/2

Es decir se requieren 2 unidades del alimento A y 5/2del alimento B que se deben de dar a un novillo pordía.

Utilización del software DERIVE

APLICACIONES

1. Seleccionar la matriz con respecto al número de filas ycolumnas del sistema mediante el comando authormatriz .

Utilización del software DERIVE

APLICACIONES

2. Dar los valores correspondientes a cada casillero

Utilización del software DERIVE

APLICACIONES

3. Dar la orden de que haga la reducción de columnascon el comando autor mediante la siguiente acciónrow_reduce indicando el número de la matriz a resolver.

Utilización del software DERIVE

APLICACIONES

4. Dar click en el simbolo de igual (=) para obtener lasolución exacta de la matriz.

Utilización del software DERIVE

APLICACIONES

5. Interpretación de resultados.

La solución para el sistema es:

x1 = 2

x2 = 5/2

Es decir se requieren 2 unidades del alimento A y 5/2del alimento B que se deben de dar a un novillo pordía.

CONCLUSIONES

Mediante el uso de las matrices se resolvió un sistemade ecuaciones lineales, además se encontró laimportancia que tienen en la resolución de problemas dela vida cotidiana con lo cual se llega a dar una soluciónexacta para dar mejores resultados en un determinadoproceso.

El empleo de estas herramientas matemáticas se hacenmás interesantes y útiles mediante el uso de un softwareque en este caso empleamos el DERIVE, con ello nos daa mostrar cual tan importantes son las matemáticas en laresolución de problemas.

BIBLIOGRAFÍA

1. Grossman Stanley I. Algebra Lineal, McGraw-Hill.Quinta Edición. México. 2000.

2. Miller Irwing R., Freund John E. Probabilidad yEstadística para Ingenieros. Prentice-Hall. México.1992.

3. Baldor A. Algebra. Publicaciones Cultural. México.2002.