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PROGRAMA
PROFESIONAL
INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
CONTROL
AUTOMATICO II
INFORME AVANCE N2
HECHO POR:
HUAYLLAZO CANCAPA
JAIME ABRAHAN
DOCENTE:
MALAGA CHAVEZ
CESAR EDUARDO
Grupo : N4
9:00-11:00
2015-AREQUIPA
SEGUNDA PRÁCTICA DE LABORATORIO:
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD-RAICES DEL SISTEMA
I. OBJETIVOS
1. Aplicar Matlab para crear y manipular funciones de transferencias
2. Analizar la estabilidad de un sistema realimentado a partir de sus raíces
II. TEMAS A TRATAR
1. Concepto de estabilidad
2. Análisis de las raíces de la ecuación característica
3. Respuesta ante señales acotadas, sistemas BIBO (bounded input bounded output)
IV. MARCO TEÓRICO
a) Funciones de transferencia
MatLab permite una serie de comandos para trabajar las diversas formas de
representación de los sistemas de control a partir de sus funciones de transferencia, por
ejemplo
Numerador, denominador de la FT
>> n=[1 2 3], d=[4 15 6]
Ganancia, ceros, polos
>> k=10, z=[-1;-4; 3], d=[0;-4;-1+i; -1-i]
Se puede convertir entre una forma de representación y otra, por ejemplo
>> [z,p,k]=tf2zp(n,d)
o
>> [n,d]=zp2tf(z,p,k)
de igual manera a partir de la función de transferencia de lazo directo para un
servomecanismo se puede obtener la función de transferencia de lazo cerrado
>> ng=[1 2 3], dg=[4 15 6], [nw,dw]=cloop(ng,dg)
a) Raíces del sistema
Es particularmente importante el denominador de la función de transferencia de lazo
cerrado se llama ecuación característica,
1+G(s)H(s)=0
de su solución obtenemos las raíces del sistema de control:
>> raices=roots(dw)
la ubicación de estas raíces en el plano complejo determinan la estabilidad del sistema de
control
Podemos observar el aporte temporal de cada raíz según su ubicación en el plano
S
• Si los todos los polos de la función de transferencia están en el lado izquierdo
de plano-s entonces el sistema es estable.
Zona de
estabilida
d
Plano S
Zona de
inestabilida
d
R
e
Imj
• Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje
imaginario del plano-s.
• En el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son
importante, los zeros son irrelevantes.
• Los polos de un sistema son las raíces obtenidas de el denominador de la
función de transferencia cuando es igualado a cero. Polinomio característico.
• El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo
abierto.
c) Respuesta ante entradas acotadas
La estabilidad se define como la capacidad del sistema de responder ante
entradas acotadas como una constante, o una onda seno de amplitud constante o
un tren de pulsos de amplitud constante, etc. Matlab considera comandos para
analizar la respuesta de los sistemas, el comando step halla la respuesta ante una
entrada constante e igual a uno:
>> num=[1 7], den=[1 3 10], step(num,den)
los resultados pueden ser guardados en vectores para su manipulación posterior
Es posible también hallar la respuesta frente a cualquier entrada siempre y
cuando esta halla sido definida en el tiempo, a través del comando lsim
>>t=0:0.1:5, u=2*sin(t), [x,t]=lsim(num,den,u,t)
Todos los comandos descritos en esta parte pertenecen al toolbox de control y son
accesibles a partir del help
>>help control
V. ACTIVIDADES
Para los ejercicios propuestos a continuación
Desarrolle la solución
Defina el formato de cada uno de los comandos en Matlab que use (puede
hacer la consulta en la opción help de la ventana de comandos, a través de la
tabla de contenidos eligiendo CONTROL
Escriba el programa en MATLAB para implementar la misma
Para los sistemas realimentados de control descritos:
1. hallar las funciones de transferencia de lazo directo G(s), inverso H(s), abierto
G(s)H(s) y cerrado W(s) expresadas como modelos (sistema) en su forma:
FT lazo directo
i. polinómica (tf)
ii. ceros y polos (zpk)
lazo inverso
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
lazo abierto
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
lazo cerrado
polinómica (tf)
Continuous-time transfer function.
ceros y polos (zpk)
B)
FT LAZO DIRECTO
i. polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO INVERSO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO ABIERTO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO CERRADO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
c)
FT LAZO DIRECTO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO INVERSO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO ABIERTO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO CERRADO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
d)
FT LAZO DIRECTO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO INVERSO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO ABIERTO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
LAZO CERRADO
polinómica (tf)
ceros y polos (zpk)
2. hallar las funciones de transferencia de lazo directo G(s), inverso H(s), abierto
G(s)H(s) y cerrado W(s) expresadas como valores numéricos en su forma:
Para A)
lazo directo G(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo inverso H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo abierto G(s)H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo cerrado W(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
Para B)
lazo directo G(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo inverso H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo abierto G(s)H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo cerrado W(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
Para C)
lazo directo G(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo inverso H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo abierto GH(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo cerrado GH(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
Para D)
lazo directo G(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo inverso H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo abierto G(s)H(s)
i. polinómica (num,den)
ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
lazo cerrado W(s)
polinómica (num,den)
i. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)
3. Encontrar las raíces del mismo (usar el comando roots) y definir la estabilidad
(justifique Su respuesta).
Para A)
paraB)
paraC)
paraD)
4. Hallar la respuesta ante una entrada escalón unitario, en forma tabulada y como
gráfico, indicar si la misma es acotada o no.
paraA)
t C(t)
10.0000
9.5469
9.1142
8.7010
8.3064
7.9295
7.5696
7.2260
6.8977
6.5843
6.2849
5.9991
5.7260
5.4653
5.2163
4.9786
4.7515
1.0e+26 *
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0002
0.0002
4.5346
4.3275
4.1298
3.9409
3.7605
3.5883
3.4238
3.2667
3.1166
2.9734
2.8365
2.7059
2.5811
2.4619
2.3481
2.2394
2.1356
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0004
0.0004
0.0005
0.0005
0.0005
0.0006
0.0007
0.0009
0.0010
0.0011
0.0012
0.0014
0.0015
ParaB)
t C(t)
0.0000
0.0003
0.0010
0.0023
0.0044
0.0073
0.0111
0.0160
0.0218
0.9044
0.9057
0.9062
0.9068
0.9075
0.9081
0.9088
0.9095
0.9103
0.9110
0.9118
0.9126
0.9135
0.9144
0.9153
0.9162
0.9171
0.9181
0.9191
0.9201
0.9211
0.9222
0.9232
0.9243
0.9254
0.9988
0.9999
1.0009
1.0019
1.0029
1.0040
1.0050
1.0060
1.0070
1.0080
1.0090
0.0000
0.0003
0.0010
0.0023
0.0044
0.0073
0.0111
0.0160
0.0218
0.0287
0.0367
0.0458
0.0559
0.1060
0.8330
0.8393
0.8451
0.8506
0.8557
0.8605
0.8650
0.9033
0.9037
0.9040
0.9042
0.9044
0.9045
0.9
0.9020
0.9019
0.9018
0.9017
0.9016
0.9015
0.9015
0.9015
0.9015
0.9016
0.9017
0.9019
0.9020
0.9022
0.9025
0.9028
0.9031
1.0100
1.0110
1.0120
166
1.0275
1.0285
1.0294
1.0304
1.0313
1.0322
1.0332
1.0341
1.0351
1.0361
0.9034
0.9038
0.9042
0.9047
1.0692
1.0701
1.0710
1.0718
1.0727
1.0736
1.0744
1.0753
1.0761
1.0770
parac)
paraD)
0
0.0002
0.0008
0.0017
0.0029
0.0044
0.0061
0.0080
0.0101
0.1247
0.1260
0.1273
0.1285
0.1297
0.1309
0.1321
0.0333
0.0361
0.0389
0.0417
0.0446
0.0474
0.0502
0.0529
0.0557
0.0584
0.0611
0.1112
0.1128
0.1716
0.1716
0.1716
0.1332
0.1343
0.1354
0.1364
0.1374
0.1384
0.1394
0.1446
0.1454
0.1462
0.1469
0.1698
0.1699
0.1716
0.1717
0.1717
0.1717
0.1717
0.1718
0.1718
0.1718
0.1718
0.1718
0.1719
0.1719
0.1719
5. Hallar la respuesta ante una entrada constante igual a 4 indicar si la salida es
acotada o no.
paraA)
t C(t)
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
40.0000
-0.4570
-0.6524
-0.3535
-0.4605
-0.5875
-0.4049
-0.4647
-0.5469
-0.4355
52.6316
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
-0.4686
-0.5215
-0.4537
-0.4718
-0.5058
-0.4645
-0.4742
-0.4959
-0.4709
-0.4760
paraB)
t C(t)
0
3.7455
4.3987
4.8544
5.1804
5.4136
5.5805
5.6999
5.7853
5.8464
5.8901
5.9214
5.9437
5.9598
5.9712
5.9794
5.9853
5.9895
5.9925
5.9946
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
52.6316
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
paraC)
t C(t)
0
3.8442
3.9935
3.9998
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
52.6316
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
paraD)
t C(t)
0
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
0.6897
52.6316
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
6. Hallar la respuesta ante una entrada sinusoidal 2sin(t), indicar si la salida es
acotada o no.
paraA)
Tabulado
t C(t)
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
52.6316
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
0
0.1058
0.2661
0.1255
-0.1929
-0.2451
-0.0900
0.1133
0.2588
0.1430
-0.1333
-0.2520
-0.1383
0.0916
0.2528
0.1688
-0.0861
-0.2476
-0.1753
0.0578
paraB)
Tabulado
t C(t)
0
0.0001
0.0011
0.0048
0.0137
0.0299
0.0555
0.0919
0.1399
0.1998
0.2712
0.3531
0.4443
0.5430
0.6473
0.7548
0.8634
0.9707
1.0744
1.1723
0
0.1053
0.2105
0.3158
0.4211
0.5263
0.6316
0.7368
0.8421
0.9474
1.0526
1.1579
1.2632
1.3684
1.4737
1.5789
1.6842
1.7895
1.8947
2.0000
paraC)
tabulado
t C(t)
0
5.2632
10.5263
15.7895
21.0526
26.3158
31.5789
36.8421
42.1053
47.3684
52.6316
0
-1.6401
-1.7801
-0.2238
1.5459
1.8419
0.3820
-1.4421
-1.8914
-0.5376
1.3287
57.8947
63.1579
68.4211
73.6842
78.9474
84.2105
89.4737
94.7368
100.0000
1.9283
0.6897
-1.2065
-1.9524
-0.8371
1.0762
1.9636
0.9790
-0.9389
paraD)
Tabulado
t C(t)
0
0.0025
0.0136
0.0329
0.0577
0.0859
0.1157
0.1458
0.1754
0.2036
0.2300
0.2541
0.2756
0.2940
0.3093
0.3212
0.3295
0.3342
0.3352
0.3325
0
0.1053
0.2105
0.3158
0.4211
0.5263
0.6316
0.7368
0.8421
0.9474
1.0526
1.1579
1.2632
1.3684
1.4737
1.5789
1.6842
1.7895
1.8947
2.0000
VI CONCLUSIONES
Emita al menos cinco conclusiones alrededor del análisis algebraico de estabilidad en
Matlab y de su significado en relación al tipo de respuesta obtenido
El sistema será acotable si ante cualquier entra acotada, el sistema posee una salida
acotada , esto se ve aplicado en las respuestas obtenidas de los sisemas a,c y d
Un sistema no es acotable si ante un valor o entrada acotada genera una respuesta
que crece indefinidamente , esto se ve aplicado en las respuesta obtenidas del
sistema b
La estabilidad de un sistema se puede determinar mediante la ecuación
característica(polo ). Cuando todos los polos reales se encuentran en el plano real
negativo , el sistema es estable ; si alguno de los polos reales se encuentra en plano
real positivo , el sistema es inestable.
Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o
complejas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si
todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s.
VII CUESTIONARIO/EJERCICIOS
1. Considere cuatro comandos del toolbox de control asociados a funciones de
transferencia y respuesta en el tiempo y ejemplifique su uso
A) comando step
el comando step halla la respuesta ante una entrada constante e igual a uno
B) comando roots(W)
Este comando retorna un vector cuyos elementos son las raíces del polinomio c.
En esta práctica se hizo uso de este comando para obtener las raíces de la ecuación
característica y así determinar la estabilidad del sistema.
C) comando Slim(sys,y,t)
Este comando imprime el tiempo de respuesta del sistema dinámico sys a un
intervalo de tiempo t y a una señal u. El vector t se expresa en unidades de tiempo
de sys y consiste de muestras de tiempo espaciadas.
D) comando linspace(x1,x2,n)
Este comando genera n puntos entre x1 y x2.
2. Enuncie la condición de estabilidad para los sistemas de control
Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una
salida acotada, independientemente de su estado inicial.
Si se quiere saber si un sistema es estable o no, bastaría con analizar las raíces
de la ecuación característica. Como se trata de un polinomio, las raíces no se
pueden calcular con una fórmula explícita, salvo escasas excepciones. Por lo
tanto, para analizar la estabilidad, se debería recurrir a un procedimiento
numérico.