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7/29/2019 Ingenieria Sismica Co
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FACTORES DE PARTICIPACION DE MASA
J hon Francisco Romaa GarcaIngeniero Civil
Candidato a Magster en Ingeniera GeotcnicaUniversidad Nac ional de C olombia Sede Medelln
INGENIERIA SISMICA
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FACTORES DE PARTICIPACION DE MASA
Los sistemas lineales de un grado de libertad [Figura 1] han sido
tradicionalmente utilizados en los estudios de la fsica clsica. Estossistemas solo requieren una coordenada natural para determinar su
posicin en funcin del tiempo y se rigen por la siguiente ecuacin
[Chopra, Dynamics of structures]
0=++ kxcm &&& (1)
x&& : Aceleracin absoluta
x& : Velocidad relativa
: Desplazamiento relativo
m: Masa del sistema
c: constante del amortiguador
k: Rigidez el resorte
Figura 1. Sistema lineal amortiguado de un grado de libertad
Extendiendo ahora a sistemas de varios grados de libertad para el caso
en vibracin libre no amortiguada [Chopra, Dynamics of structures]
{ } { } { }0][][ =+ UKUM &&& (2)
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Figura 2. Sistema lineal no amortiguado de dos grados de libertad
Donde:
[M]: Matriz de Masa
[K]: Matriz de Rigidez
{ }U&& : Vector de aceleracin absoluta
{ }U : Vector de desplazamiento relativo
La solucin del sistema anterior de ecuac iones diferenciales simultneas
es del tipo:
{ } { } )()( )( tftUi
i
i= (3)
Luego de realizar un procedimiento de separacin de variables se
obtienen las siguientes expresiones:
( ) 0
0
1
2
2
=
=+
=
)i(
j
n
j
ijiij
i
mk
)t(fi)t(if
&&
(4)
Donde la primera de estas ecuaciones se resuelve igual que para elcaso de sistemas de un grado de libertad, mientras que los valores de la
frecuencia natural de vibracin2
i se hallan por medio de la segunda
ecuac in, la cual expresada en forma matricial es:
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[ ] [ ]{ } { }0)(2 = iiMK (5)
Este sistema solo tiene solucin no trivial si el determinante de la matriz
de coeficientes es cero
[ ] [ ] { }02 == MK i (6)
Donde:
: Determinante caracterstico del sistema de ecuaciones diferenciales
simultaneas
Luego de expandir el determinante y solucionar el polinomio e orden 2n,
se obtienen las n races, las cuales son las frecuencias naturales del
sistema llamadas valores propios (eigenvalues)
Para obtener los valores de las amplitudes { })(i , se reemplaza los
valores de2
i en la ecuacin (5), donde para cada valor de
2
i existe
un vector { })(i llamado vector caracterstico o modo de vibracin
(eigenvector)
[ ] [ ]{ } { }02 = )r(r MK r=1,2..n (7)
Se realiza el proceso de normalizacin de los vectores caractersticosasignando el valor de la unidad a uno de los elementos del vector, los
vectores resultantes se denominan modos normales[Garca Reyes, 1996,
Pg. 379]
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De otro lado cuando el sistema de varios grados de libertad se ve
sometido a una excitacin en su base la ecuac in (2) cambia a :
{ } { } [ ][ ]{ }oXRMUKUM &&&&& =+ ][][ (8)
Donde:
[M]: Matriz de Masa
[K]: Matriz de Rigidez
{ }U&& : Vector de aceleracin relativa
{ }U : Vector de desplazamiento relativo
{ }oX&& : Vector de aceleracin del terreno
El vector [R] depende de las componentes del acelerograma, es dec ir
sus trminos son iguales a 1 si la aceleracin del terreno es colineal con
la aceleracin de los grados de libertad, en caso contrario se coloca 0
a la componente correspondiente.
Despus de realizar un procedimiento matemtico [Garca Reyes, 1996,
Pg. 431], se obtienen la siguiente expresin para hallar los factores de
participacin de masa:
[ ][ ]
[ ][ ]
i
T
i
T
i
T
ii
T
M
RM
RMR
MRFPM
=
= (9)
Donde:
FPM: Factor de Participacin de masai: Vector Modal correspondiente a la frecuencia de vibracin i.
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EJERCICIO
Del perfil presentado a continuacin obtener los factores de
participacin modal para los modos de vibrac in correspondientes a los
grados de libertad establec idos:
Figura 3. Perfil de suelo Analizado
CONSIDERACIONES:
Conocidas las propiedades de cada estrato de suelo [Figura 3], se
realiza la idealizacin del sistema en masas concentradas asignando un
nodo grado de libertad a la interfaz de cada estrato, uno adicional a
5m de profundidad, lugar al cual se supone ubicado el nivel fretico y
otro en la parte media del primer estrato debido a que ste es el menos
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rgido de todo el perfil [Figura 3], por lo tanto es necesario realizar un
proceso mas detallado de discretizac in.
Figura 4. Modelo simplificado del Perfil de suelo Analizado
Inicialmente se calcula el modulo de rigidez a cortante para cada
estrato de la siguiente manera:
MODULOS DE DEGRADACIN
Este se calculo para cada estrato de suelo con la siguiente ecuac in,
= 2
2
S*V
GmKn
g
(10)
ESTRATO 1
2
32
m/sg81.9
/20*(600m/sg)G
mKn= 2/96,733944G mKn=
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ESTRATO 2
2
32
m/sg81.9
/16*(250m/sg)G
mKn= 2/80,101936G mKn=
ESTRATO 3
Subestrato 3 - A
2
32
m/sg81.9
/13*(180m/sg)G
mKn= 2/78,42935G mKn=
Subestrato 3 B
2
32
m/sg81.9
/13*(180m/sg)G
mKn= 2/78,42935G mKn=
ESTRATO 4
2
32
m/sg81.9/17*(150m/sg)G mKn= 2/83,38990G mKn=
MATRICES DE MASA LOCALES
Se procedi a armar las matrices locales por medio de la siguiente
ecuacin:
=3
16
1 6
1
3
1h*Mij ii g
(11)
Nudos 1 - 2
=
31
61
61
31
/81,9
3*/20Mij
3
sgm
mmKn
=
42.0387359821.01936799
21.0193679942.03873598Mij
Nudos 2 - 3
=
3161
61
31
/81,9
3*/20Mij
3
sgm
mmKn
=
42.03873598019367992,1
019367992,142.03873598Mij
Nudos 3 - 4
=
31
61
61
31
/81,9
3*/16Mij
3
sgm
mmKn
=
71.6309887830.81549439
30.8154943971.63098878Mij
Nudos 4 - 5
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=
31
61
61
31
/81,9
3*/16Mij
3
sgm
mmKn
=
630988787,1815494393,0
815494393,0630988787,1Mij
Nudos 5 - 6
=
31
61
61
31
/81,95*/13Mij
3
sgmmmKn
=
08630649,2104315324,1104315324,108630649,2Mij
Nudos 6 - 7
=
31
61
61
31
/81,9
3*/12Mij
3
sgm
mmKn
=
22324159,1611620795,0
611620795,022324159,1Mij
Nudos 7 - 8
=
31
61
61
31
/81,9
1*/17
Mij
3
sgm
mmKn
=
577641862,0288820931,0
288820931,0577641862,0
Mij
Nudos 8 - 9
=
31
61
61
31
/81,9
1*/17Mij
3
sgm
mmKn
=
577641862.0288820931,0
288820931,0577641862.0Mij
MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES
Se procedi a armar las matrices locales por medio de la siguiente
ecuacin:
=
11
11Kij
gh
G
i
i (12)
Nudos 1 - 2
=
11
11
3
/95,733944Mij
2
m
mKn
=
244648.318244648.318-
244648.318-244648.318Mij
Nudos 2 - 3
=
11
11
3
/95,733944Mij
2
m
mKn
=
244648.318244648.318-
244648.318-244648.318Mij
Nudos 3 - 4
=
11
11
3
/7992,101936Mij
2
m
mKn
=
633978.9330633978.9330-
633978.9330-633978.9330Mij
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Nudos 4 - 5
=
11
11
3
/7992,101936Mij
2
m
mKn
=
633978.9330633978.9330-
633978.9330-633978.9330Mij
Nudos 5 - 6
=11
11
5
/77982,42935Mij
2
m
mKn
=
38587,1559638587,15596-
38587,15596-38587,15596Mij
Nudos 6 - 7
=
11
11
3
/02752,39633Mij
2
m
mKn
=
713211,0091713211,0091-
713211,0091-713211,0091Mij
Nudos 7 - 8
=
11
11
1
/82569,38990Mij
2
m
mKn
=
938990,8256938990,8256-
938990,8256-938990,8256Mij
Nudos 8 - 9
=
11
11
1
/82569,38990Mij
2
m
mKn
=
938990,8256938990,8256-
938990,8256-938990,8256Mij
Para el ensamble de la matriz de rigidez global, se procede a ubicar losgrados de libertad (GDL) locales de cada elemento en loscorrespondientes a los grados de libertad (GDL) de toda la estructura(idealizacin en masas) de acuerdo a la numeracin elegida para
dichos grados de libertad [Ver figura 3]. Observando la grfica se vecomo el GDL No 1 se encuentra en el estrato rocoso, su desplazamientoes muy bajo, por lo cual se cancela las primeras filas y columnas decada matriz
MATRIZ GLOBAL DE MASA
Ensamblando las matrices locales de masa obtenemos la siguiente es la
siguiente matriz de rigidez global:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2.039 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1.019 4.077 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 0.000 1.019 3.670 0.815 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 0.000 0.000 0.815 3.262 0.815 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.000 0.000 0.000 0.815 3.840 1.104 0.000 0.000 0.0006 0.000 0.000 0.000 0.000 1.104 3.432 0.612 0.000 0.0007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.612 1.801 0.289 0.0008 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 1.155 0.2899 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 0.578
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Eliminando el nudo 1 por su restriccin de movimiento finalmente
obtenemos la siguiente matriz global de rigidez:
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4.077 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.019 3.670 0.815 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 0.000 0.815 3.262 0.815 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.000 0.000 0.815 3.840 1.104 0.000 0.000 0.0006 0.000 0.000 0.000 1.104 3.432 0.612 0.000 0.0007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.612 1.801 0.289 0.0008 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 1.155 0.2899 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 0.578
MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ
Ensamblando las matrices locales de rigidez obtenemos la siguiente es
la siguiente matriz de rigidez global:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 244648.32 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 -244648.32 489296.64 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3 0.00 -244648.32 278627.25 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 0.00 0.00 -33978.93 67957.87 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00
5 0.00 0.00 0.00 -33978.93 42566.09 -8587.16 0.00 0.00 0.00
6 0.00 0.00 0.00 0.00 -8587.16 21798.17 -13211.01 0.00 0.00
7 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13211.01 52201.83 -38990.83 0.00
8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 77981.65 -38990.83
9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 38990.83
Si se observa la figura No 2, el nudo tiene la particularidad de tener
restringido el movimiento, por esta razn en la matriz anterior se eliminan
la fila y columna correspondientes a este nudo, quedando la matriz de
rigidez de la siguiente forma:
2 3 4 5 6 7 8 9
2 489296.64 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3 -244648.32 278627.25 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 0.00 -33978.93 67957.87 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00
5 0.00 0.00 -33978.93 42566.09 -8587.16 0.00 0.00 0.00
6 0.00 0.00 0.00 -8587.16 21798.17 -13211.01 0.00 0.00
7 0.00 0.00 0.00 0.00 -13211.01 52201.83 -38990.83 0.00
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8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 77981.65 -38990.83
9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 38990.83
Para obtener las frecuencias de vibracin y los correspondientes modos
de vibracin se utiliza el programa MATLAB.
Despus de construidas las matrices globales de rigidez y masa se crean
archivos independientes para cada una de estas en Excel y por medio
del formato csv, el cual permite el intercambio de datos entre distintos
programas MATLAB puede leer dichos archivos con tal extensin de la
siguiente manera:
csvread( M Masa.csv)
csvread( M Rigidez.csv)
Luego por medio de la instruccin eig se hallan los valores propios
(eigenvalues) y por ende los periodos de vibracin correspondientes a
cada frecuencia para as comparar con los valores obtenidos
tericamente mediante la expresin:
( )VsH
nTn
12
4
=
(13)
PERIODOS DE VIBRACIN TEORICOS
Los periodos de vibracin tericos dados por la ecuacin (13) son los
siguientes:Para este el velocidad de onda de corte (Vs) del estrato se trabajo
como una veloc idad ponderada regida por a siguiente ecuacin:
H
VsihiVsa
= (14)
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Para el caso estudiado tendremos los siguientes periodos de vibracin
tericos:
Teniendo a H = 22m y Vs = 311m/s, los T tericos son los siguientes:
T (Tericos) Formula
0.283( )Vs
HTn
1
4=
0.094( )Vs
HTn
3
4=
0.057( )Vs
HTn
5
4=
0.040( )Vs
HTn74=
0.031( )Vs
HTn
9
4=
0.026( )Vs
HTn
11
4=
0.022( )Vs
HTn
13
4=
0.018( )Vs
HTn
15
4=
Las frecuencias naturales de vibracin calculadas utilizando el
programa MATLAB son las siguientes:
wi(rad/s) wi(rad/s) F (frecuencia) T (Periodo)
0.0044x1.00E+05 20.9762 3.3385 0.2995
0.0320x1.00E+05 56.5685 9.0032 0.1111
0.0916x1.00E+05 95.7079 15.2324 0.0656
0.2151x1.00E+05 146.6629 23.3421 0.04280.4184x1.00E+05 204.5483 32.5549 0.0307
0.4863x1.00E+05 220.5221 35.0972 0.0285
2.0228x1.00E+05 449.7555 71.5808 0.01402.3446x1.00E+05 484.2107 77.0645 0.0130
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Para obtener los modos de vibracin correspondiente a cada
frecuencia natural, se procede en MATLAB mediante las siguientes
instrucciones:
J 1=K-w(1)*M
W1=null(J 1)
.
.
.J i=K-w(i)*M
Wi=null(J i)
w(1) corresponde al valor de frecuencia de vibracin al cuadradoubicado en la primera casilla del vector w anteriormente obtenido
mediante w=eig(K,M). W1=null(J 1) devuelve una base ortonormal del
subespacio nulo (conjunto de vectores 1W tales que [ ]{ } 011 =WJ . De
igual manera se obtiene para los restantes i valores de w.
Los modos de vibracin correspondiente a cada frecuencia natural, utilizando
el programa MATLAB posteriormente normalizando fueron los siguientes:
Profundidad(m) m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8
0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 0.023 -0.117 0.136 -1.386 0.308 -0.235 0.009 -21.3326 0.045 -0.224 0.242 -2.087 0.342 -0.232 -0.007 20.5859 0.201 -0.843 0.597 -0.921 -0.673 0.622 -0.005 -7.36612 0.345 -1.102 0.307 2.127 0.335 -0.534 0.022 2.20917 0.793 -0.208 -1.202 -1.165 0.114 0.500 -0.064 -0.88220 0.961 0.732 0.310 -0.309 -0.832 -0.916 0.278 0.63421 0.990 0.931 0.810 0.588 0.290 0.206 -0.799 -0.90422 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
Finalmente realizando el proceso de normalizacin dando el valor de la
unidad al trmino inferior de cada modo se obtiene los siguientes modos de
vibracin:
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MODO 1
MODO 2
MODO 3
MODO 4
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MODO 5
MODO 6
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Se debe tener en cuenta que el modo de vibracin fundamental para este
caso fue el correspondiente al primero, puesto que posee el periodo de
vibracin ms largo.
Es importante observar por medio de la grfica anterior como la
representacin de los modos cortan el eje vertical, es decir el modo de
vibracin n cruza tal eje en n-1 vez. Adems tener en cuenta que el modo de
vibracin fundamental para este caso es el correspondiente al primero debido
a poseer el periodo de vibracin ms largo.
Los factores de participacin de masa fueron calculados con la siguiente
formula:
[ ][ ]
[ ][ ]
i
T
i
T
i
T
ii
T
M
RM
RMR
MRFPM
=
= (15)
wi(rad/s) r FPM FPM (%)
0.00440 1.41210 0.56100 56.10%
0.03200 -0.68350 0.19210 19.21%
0.09160 0.44160 0.05060 5.06%
0.21510 -0.31020 0.15420 15.42%
0.41840 0.43360 0.02470 2.47%
0.48630 -0.29760 0.01110 1.11%
2.02280 0.01310 0.00000 0.00046%
2.34460 -0.009100 0.0064 0.64%
FPM 100%
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Estos resultados indican como en el modo de vibracin No 1
corresponde al correspondiente al fundamental participa el
aproximadamente 56,10% de la masa del sistema, adems la sumatoria
de los factores de participacin modal que supera el 90% impuesto por
la norma NSR - 98(Normas Colombianas de Diseo y Construccin
Sismoresistente )
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BIBLIOGRAFA
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