METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA - …oa.upm.es/29977/1/Metodos_numericos.pdf · METODOS...
33
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA Enrique Alarcón Alvarez Dr. Ingeniero de Caminos
Transcript of METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA - …oa.upm.es/29977/1/Metodos_numericos.pdf · METODOS...
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA
Enrique Alarcón Alvarez Dr. Ingeniero de Caminos
METDDDS NUMERICDS EN
INGENXERIA SISMICA
Los m~todos numéricos aplicados al estudio de estructuras sometidas a esfuezos de origen sÍsmico han sido utilizados habitualmente en ingenierÍa • La limitación tradicional con que se encontraba el analista radicaba en el enorme esfuerzo de cálculo mecanice necesario para obtener respuestas significativas tan pronto como el modelo matemático a analizar presentaba una cierta complejidad •
Esta situacidn se vió sustancialmente modificada por la aparición del ordenador que , justamente , libera al proyectista del trabajo repetitivo irracional y permite dedicar tiempo a la reflexiÓn , a la par que aumenta espectacularmente la capacidad de modelado •
No es extraño pues , que en los ultimes 30 anos se haya asistido a un renacimiento de una rama de la Matematica ~ue parecfa agostada y que ,fecundada por la nueva herramienta ha ilorecido en un sinf{n de técnicas y procedimientos que ponen al alcance del ingeniero el an~lisis de virtualmente , cualquier problema estructural.
En este capÍtulo se pretende exponer algunas de las ideas subyacentes en estos m6todos nuevos as! como su posible aplicacidn al campo que nos interesa Evidentemente , la limitacion de espacio impedirá profundizar adecuadamente en los temas , pero la finalidad dltima ser~ dotar al estudioso de un marco general en el que situar posteriores aventuras intelectuales
El contenido se articula refieren , respectivamente sísmica , de la estructura respuesta •
en tres grupos al modelado
y cimiento ,
principales que se de la solicitaci¿n
y al análisis de la
Tras lo dicho anteriormente , una exposición que no incluyese alguna manifestaci6n palpable de la influencia de la m'quina estaría indefectiblemente e5viada • Por ello se incluyen como apéndices cuatro bloques de subrutinas ;dos de ellas , en lenguaje Basic de microorden•dor , sa refieren a la transformada rápida de Fourier de la que se hablará mas abajo , y al cálculo de autovalores de estructuras formadas por barras ; la tercera es un pequeño programa , en Fortran IV , que permite obtener la
respuesta de un sistema de un grado de libertad por un método de integracidn paso a paso • En el primer apartado se inserta tambien un programa de determinaciÓn de hipocentros.
Todas las subrutinas son elemEntales y ampliamente mejorables • Creemos sin embargo quP. ello las hace especialmente legibles lo que puede impeler su uso y m~Jora par el estudiante ; intervenciÓn , en definitiva ,deseada y que es el más important~ objetiva al que aspiramos.
!.MODELADO DE LA SOLICITACION
Los m~todos numéricos intervienen en pricticamente todas las facetas que presenta la necesidad de cuantificar los sismos o sus efectos Desde las refinadas tecnicas de análisis de datos ~borrosos puestas a punta por Jeffreys a los sofisticadas metodos de modelización de los parametros focales , que puede personalizarse en Aki.
Uno de los temas en que los métodos numéricos y el ordenador juegan un papel importante es en la fijacion de hipocentros • En las p~ginas que siguen se recoge un programa interactivo desarrollado por R.B.Herrman <Earthquake notes • Eastern Section~ Seismological society of America • vol.50 ,no 2 ,1979.).
Como puede verse , se trata de un proceso iterativo de ajuste por mÍnimos cuadrados de los residuos de los tiempos de llegada ~ esto es , de las diferencias previstas por las tabla& de vg.: Bullen y Jeffreys y de los tiempos reales registrados en el observatorio • Para conseguir la minimizaciÓn del error , el prbblema se linealiza suponiendo que los par~metros del hipocentro estin lo suficientemente ajustadas a la realidad como para que los residuos dependan linealmente de las correcciones de posicion •
Numéricamente el método se reduce a la resolucidn de un sistema del tipo
A X = Y IV /Y 1\/
es decir , simbÓlicamente ,
-1 X = A Y IV N N
Sin embargo , es a la estimaciÓn de los elementos
bien sabido que la inversa de ~es muy sensible inicial , por lo que se aconseja la ponderación de la diagonal principal transformando el
sistema anterior en
2 A + e (V
-1 I) IV
V 'V
15.3
debe que deseados
ser ajustado de acuerdo con los niveles de confianza
c-·-·-,.OC:UI! '01 HMPLE ~fPOCUTtl lllt.tJti ...... TiOII e OUhOHO 1Y 1.1. H(HMJIII u.:n ~-JUIS UIIIYHSITl Ul'T 1171
CONMOiliA6/U .lll,Z,X< 4,511 CONMOIIJSLST, lliLAI Ul ,lllll..ll UI,St'lUU s..fl,IITA COI'IMOII/A\J/.UUI~II CONMOIIIA2/DH TAl U 1,01111) ,D'fUl 1, Tllll tUl IICJ DIMUSIOII STAISll O IN( l., 1011 S t•IU.I ¿l,CU l, TS<Il 1 O 1 N€11 S 1 01 1 P 1 5I 1, 11111 1, Tltll 1 1, TP t 1 U, 11 Cl 1 1 OIN(II$101 11 4,41,C014,•l OIMU$101 TTilll,II,ÁTIIIJ,liLOIUll QIMlUI'lll AI4,41,11.&,41,YUI
C-··lolt 1 CHT llllo f UII(T 1 Olt·-----·····---------------------0/Te J I•ILOATe 4-~ 1•1. Zl
1111 liSTA • U 1111 COIITIIII.I(
\lllU•I.•l' I•C.UnSIM,J•Iii~IIIC, •l •IU' llUOe5,"l IICTY lflliCTY.LT.II ~ro tllt CALL PIQOL 11
96 CONTUU( • fOAAATIII,A.&.III,II,FlJ.Z,U,JI,fiJ,IJ
1JitiTt16.•1 ' 00 YOU W.IT A IEV MGOil IYIU, Y TO llll' C;t.L l 1 YE SitO e IICH IFI IICJ ·".JI 10? fO \IU OlllrE16,'"1' [;ITU STATIOI DATA, ~T•UO OF DATA SIT' lf e 1 r:TY. llf. 1 1 \lt 1 TI 16, 91
t rolN;t.TI • UHl STATIOII IUDIIIIiS 11 Tll( FOLLOWIIC OlOU'I l' STA'/' LAT,I..OII.tP.TP,lS,TS'I
C···----- WLAT 1 S lN IIOITH··---------···--·--·-----------··--·C···---·-UOII 1 S KM f.AST-············-·····--·····-····-------------C-------- 1 P 1 S P \rt ICiHT-·····-·-···----------··-·-·-··--·-·•••·•··-· C--------TS IS S ARliVAL TIIC·----···------···--·---··----·-·---C ·------ -1 S 1 S ~ IJ{ 1 CiHT···----·······--·-·····--·------------- •••• C·-------rp 1 S r Alll'ttAL Tlltt:·······--·-····•••····-····-----·-····•
IFCII:TY.lO.Il W.JT[C6,11 1 fORN.ATC' [ITER STATIOII UADIIIIoS 11 THE FOUOWt~JM; OUU'
1' STA'/' I,,TP-;U,TS'I IIR•I 00 111 I•I,U N. •lll•l 1 fl 1 H"t.ll(. fl lU.DCI, 31 STAll l 1riiKTV.IIE.•.AIID.STAe II.(Q.'HALT'IGO TO ti 1fCilTV.IIE.JI UADIS,•IWI..Aflll,liLOIICII,IrtU,TPIII,ISCII,TSIII
J FOII.N.AT(A' 1 1 fe 1 J.T 1 . lt(. •1 ~ TO lU REACI~,ll SrAIIl ! f 1 STA 1 1 1 • E O . ' HAL T' 1 liO TO 91 REAOC5,"1 Htii,TPC11,1SCII,TS1ll CALL STA~ ST• $TAl J I,)ILAT.C 11, XLOIIC 1 t ,JlV 1 lf 1 JHP .CiT •• I <;O TO U
lll COIIT 1 IIUE 95 Nlt•IIA -1
111 00 J7 1. 1 ,lll l7 IIIIH16.61STAIII,IPIII,TPIII,UC11,T1111 tt wliTU6.•1' d\1 D.t.TA IY/11'
CALL IVESIIQIIICJI IFC IICJ.H.II CiO TO 91
U llliTEC6,•l · COllltT OI.D DATA CY/Il' CAL L IV €SitO< IICJ 1 lfl II(J.LT.II 100 TO In CALL COliCTCSTA,Ir,TP,II,TS,Ill
C-- • -·IIIV[ R T•- ----- ------·-······---------------------·-··-·--·-·-·· 7U CALL M.ATIIIItiA,O
C---- -F 1110 ~OLUT 1011 Y[CTOI·-----·-····--------------------·----------00 liU 1•1. 4 SUN•I 1 00 811 J•l.~
lf\ ~..tN•SJH•A(I,J)•yt.,J) Cl II•SUH
U• COIITIIIIJ( C•PIIIIT SCLUf ION YECTOl
IFI IKTY.N[.II lOO ro, •• C·----O[T[lHIIIIí KM P[A OECiREE LATITUD( AIIO LOIMiiTUDI·------···------·
~~~~A~~~~~ ~LAr·l. S, TI..OI••. 5, TL.AT•I.S, TI.OII··· S, DU, OYY, D ISTl
OYY•AISC OVY 1 e 1 1 1 • cc 1 1 1 o u CCZI • CIZI/OU
U• TLAr•TLAT • CIZI TLOII • TLON • Cl 11 lfCAiSC Cl J 1 I.,T .1. 1 CUI•SIIi:ICI. ,CI JI 1 l•l•CI l 1 IFIZ.L[ .•. fl Z • 1 .... \ ro • ro • ce 41 ITER • lTEl • l
C-·------ T( ST FOl COIY(lli:f 1([··-····-·-----------··•--·----·------IF C AISC Cl 111. L T. 1. E-L.A.D.AISC CU ti.LT. 1.[-•.AIID.
IAISICilll.lT.I.Ill 100 TO.tU 1 f 1 1 TU. L T .l.ll 100 TO 1&
9U CONTIIIUl •~----OIIT A 111 TI U[ OEPTH YAII.ULI liVtlSI---------···------·--------
Hc IOPHLO.EO.IJ ¡;g ro tez 00 941 1•1,4 00 941 J•l,4
9U .O.II,Jl•llll,Jl tU All,ll•lll,ll • SJIOMA(I)
C.ALL N.AfiiiVIA,U Ul C:JIITIIIV[
C•·- -- OHE llH 1 ICE C:OVAI.lAICI l4A n 11··:---------····-------------1 rORMArllll ,Zfl •• ,,flJ.Z,ZFI •• ZI
DO IJSI 1•1. 4 110 951 14•1.4 SI.IN••·• 110 na L • •·• 00 951 J•l,, 110 951 IC•I,,
tU ~~:T;I~~M • Al I,JI•liCJ,LI•xu:,Li•ACM,IOevTltHI.ItiAWf
COl I.MI•SUM tU CONT IIIUE tU CONTIIII.Il
\IIITE!i,•l ' COVAU.Uct JU.Tllll' oo v•• 1•1,,
IU r 1 l liT l , COC 1 • 1 1 , COl 1 , Zl, COf 1 ,l 1, COC 1, U 1 ~~~~~~ili ,C(II.l,ZX,U •• 3,ZII,Il •• U
Wll TE! 1, •) • • 0/ll T[ 16 • 1 1 )
11 /~~~¿,z:_,¡~ sr:r. 1aur AZit All •-uc TPCA&. ,_,., "'
DO n• 1•1 , 111 DTT • 1.1 ors • •·• II'ITP111.n.1 •• 1 On•4TICII•Ttlt•T0t 1 F 1 TSCII. GT .1 .11 DTS•TSC U•l, 7U•TC 11 - TO
11 u ll u u ,.., 11 .., " 1.11 lll lU lll 141 IU
"' 111 111 ltl u• z 11 lU Zll 211 z~• Hl VI :u Z91 Ul lll lZI lll U# lU lU 311 lU lU ..,, "' 4ZI U.l ... Ul tU Hl , .. '" U.f 511 su ill 541 ó5J HJI !71 511 Ul u• 611 6ZI 631
1281 ll91 1311 llll ll=· 1331 IHI 11!11 llU 1311 1llll ll91 ...... HIJ 14ZI 10.1 I•U IH.I ltU 101 1au lf'il IS#. L S 11 \HI 1 '>JI liU IHI IU.I 1511 ISU ISU 1611 1611 16~1 16ll 16~· In• 16&.1 1611 lbll lioil 1111 1111 17U 1731 L 7U 1151 17U 1771 17U 1191 .... 1811 IUI llll l." IISI IIU 1171 LIU u .. ,,, .. '' 11
~o ro .11 ~l'l .,.T:"H i' ·~T:•u(
.a:TEI6, 0 1' ENiiA. ~;~.r.~OII,:lHTi;.O...SI f!MI·I.Ár.liT.I .... Il'11 UTA ·,.a¡r¡¡¡_•l' JEPTH .• r .• • ,,I[D DlP-, 01 .USCDI:,!IO P •
C---·-- ·DMP IIICi rOl LlAST SQu.\1-lS MA1'll'" ••••••··-----·---------·--Sl.;MAe 11•1.1111 Sl!;l4.\e Z 1• •• 1111 S: c;MA( 11•1. 1111 ~1<;.""(4;of.llll HAJtl,•l fLAT,TI.O.,Z,TO 1 OPHLD•f HI! ... T .••• , lOPHLO•I lfl Z.LT .1.11 l•·Z 1 f 1 TI.Á T . H . 1111 . 1 'O TO ti ITU • 1
ti COIIT 1 IIU( DO U6 1•1,11 lffiiCTY.fQ.l) D"li••LATIII•TUT lfiii(T'f.(Q.II 011 II•ILOIII li•TLOit 1 f 1 IKTY. [Q. 1 l OH TACI I•SOITI O.llcli•Dllllt • Ofll I•DYtl U lfiiJCTf.lr.ll wO TO u• C)>.LL Oli...UI TLAT. TlQII,liLA.TIII,lLOIIII),OIIl ),0'1« 1 ),01\.TAII))
Ul COIITIIIU[ CAU Tl'ttDlV CALL TIAATIII, rP, TI, T, IP ,IS .11,11, ... , TIC, na A"4\IT•f.l !le. u• t•I.'IM ~14.11•1.1 AV\Ir•AWT • 'WTI lit 1 11
Zllí COIIr 1 NU[ AYIJT•A~/IIM su"Z•I. 1 DO Ul l•l,IIM OTl-.E•TNIII-TTI ll•TO ~VHZ• SUHZ •Or I!~E-DTIME•vrlll 1 1 11/AWf
Ul :cNT 1 ~1.1[ IIA i TEI & ·' 1 TLAT, TLOII,l, TO,SUMZ DO lll J• 1, 4 SUH••·• ~o lll I•I,IM SuM•SUM•II J, 11•1 TMIII•nC li·TO 1-vfl IIC J) 1/AWf
:111 COIITJ~U( lll H J I•SUM
DO 411 1•1, t Jo a• J•t,• SuM•f .1 00 U\ IC•l,IIM SUN•SUM•KII,O•UJ,ICI-vfl II!ICII/AWf
Ul :OIITJIIU[ I!I,JI•SUM
411 COIITlllliP FCIM lA tT tAl • SIGMI lt DO 611 1•1, • 00 iill J•l. ~
Ul J.ei,JI•III,JI u• Al 1 ,11•11 I,II+SlliMAIII C:••···1401llFY IUITR!Cts 'Ol flli(D otntt-------·-----------
lfe ID'HLO.[Q.II 100 TO 71.1 00 699 1•1,' ¡,¡ 3, 11•1 . .1
111 Al I,JI••·• At l ,ll•l..f Ylll•f.l
AZ•AfANZe DIC 11, OYIIIl•lll ./3. UISUl 14IN•ARSIIIIAIII!IC l11°181.1l.141SU7 lFilAI~ Lf.JII LAIII•IAIIUIU IAIII•IIf-IAIII lftAZ.lT ••. Il A.l•A2•l61. lAl•Al
1 ~~~ ~~~~ j \ Z ISlA e 1 1 ,OIL TAl II,IAZ, Ulll, T~C rl, Tt JJ,Dn ,IPC 11, TSIII,
1% fO~AATtZH ,U,~II,f'I.I,ZIZI.Ili,:UU,n.ZJ,ZX,II,ll, 1~1 F5 Z, H l,lll
911 CONTIMUE SUHJ•SU,..211 IIIH•4 1 C-'LL ELL IPSI SUHl,COI 1 ,II,CO( I,Z I,C:OU,ZII Dlll • SOii.T!SUH3'A.ISeCOII,Illl OLT • SQITISUM3•AI$1C012,2111 Ji.CII • DLII OlAT • Dt..l irllrTY.EO.II DLAT • OI..TIDYY lfiCICTY.EO.Il OLOII • 01..11/DU OZ•SQITC SUH]"(Oil,lll OT•SQIHl SiiNJ'COI 4,' 11 SJ,.l•SQIITe SUNll wa 1 TE lli, 71$i1Hl, TI..AT ,DLAT, DL T, TLOII,DLOI, DLI ,Z, DZ, TO¡I'fo-·
7 I'O~AATI/IH ,'ANS•',fll.:t/IH ,fl •• &,'••',IIJ.,,'I',IW,II.,,,'KM'I IIH ,FIJf.4,'•·',fU • .&,'E',iX,FlJ.4,'1CM'/ IIH ,fii.Z,'•·· ,fii.Z,'ICM'IIH ,Fif,2,'••',fii.Z.'S(C'II
lll COIITIIIUf WUT[I6,•1 ' FIIIIISMU--\IITH DATA sn IY/It • • CAL~ 1 Y€$1101 1 KJ 1 1 te IICJ . L r .• 1 CiO ro ... >JliT[il,•l ' fllllSM PlOGl.AII U/111 • CALL lt(SNOIIICJI lf 1 liCJ. liT .11 c;o TO 9919 1 f 1! IC.J. L T. 11 ¡;Q TO !t6
9999 :o11T:IIUE HOP E NO 'ililllOIITllll MODL 111
C---·--·-fHIS SUUOUTIIII UTAUISNEI TMI IAITI MOOEL TO ll UIIO····-·-COI~OII/A6111L. U, Z ,11 ',lll .;::;,..MQII/AIHO•t 51 1 Cúi'INOII/ A 1611 SW COMMOII/AitiKMO, H Tll. 711 ~O,.HOII/A%1/VI 111, Dllll ,YIQ( U), TNICIIIt, TI DI IJ,III,OIIC 11,111 .CHHOIIIA.~ZIFC 11, lf t ,liC 4, 111, Hl 11 I,DrPTIU 111 ,IOitl CO,..,..OII/Al-4/FL T(P 1 S\J•I ION( •1
I.IA l He 1. • 1' IIIPUT ClUITAL NODIL • wAI Tf 1 6. • 1' 1 • 11[\1, 1 • •uTTll, 1 • IMIAYMIIT, 1 • UILAIIDt • ·.;ot!Hti,•t ' STATIOII COIUCTIOIII All IOf IICI,IIIIO 11 fiOIUI H401 5, • l MOOI,. lfiHOOL.(Q.Il lOO ro IZI CAU MODUCNOOI..I Go ro 1 &1
C:··--•: II'UT CIUITAL MOOIL•••···-·--·----·•••••-•••~•••••••-•····-··• :!! ~~:~~~~11,7li,'CRUSTAL MOOII.'IIII,'VILOCITY DIPTII'J
WAIT(t6,•) " lllt'l:l VILOClTY,OUnl TO.TOf Qf LAYII' ~~ 1 g~ 1 ~::.;
111EUTIVE VUOC 1 TY, un• TO lit IIPIIT'
I(AQ,I, 0 1 'IY,OO lf 1 IIV.L r .1.111 100 , .... y( ll•tiV
••• iH eil ';. .... Ul 711 711 1:1 7ll Hl 7U 7U 711 7U ,, ... 111 lll IU
"' '" a u i11 ..... ... , .. tll Uf 911 tU h.l Ul 171 Ul 9 ..
1111 lllt u u ~~~ 114l t.na liU IIH lfU !<Id 1111 1111 IIU 1 ill ,, .. ILU 1!.4 111fl 11'-1 !IU 1U6 !UI \ZU ¡ZJ,¡¡ \14.1 ll'a.l llU lUI
1921 1 ~JII ISU 11lil 19U 1911 191.1
' '" Ull Ulll ll'll ZI3JI ZIU ZISl u u 2tll ZIH ll\1 2 iH z 111 ZIU ..... llll ~
ZIU ~;; ZISI
~' ~IU Z, Zl 71 Zltil
~ ZIU lZII ZZII r u u o zzu ~ llU ,_ U'U ... zzu i: Ull llU 2ZU
~ nu Ull e'\ u u ;¡_
tlll ~ llU u u Zllil 1111 u u Zltl l•ll l•ll ltZI ZUI ZHI ZHI ZU.f Uh ,. .. hU u.u u u u u lUI Uü Ull
oc l 1•00 tU ;.J•ourc 11f,ZFtr 11
OH fllt L. •Oc ll VSOH I•VC L t•vc ~.1
IU COIIT!IIU(
lll :~~:!,;~~/,' ••••• UlOl ClUtTAI. ltOOl~ UCEEOS .UUY DIMEISIOU'I sro•
IU ll~•l·l ltl "•ITfll,lft)
00 111 l•l.ll~ 111 ,._a¡ T( 1., 1 Z\ lVI LI,OUTMI U
e----~l;~~-:,ucccuss, 1 .uo e; Mnlcn------------------------------oo 145 l•l. 111 THlCli•OCL•II·Oill
e-~~!.~~~:~~'~~~ .u o 1» u----------------·--·------------------------··· 00 IU J•t,.l e; e 1. J,. ~ouc u H vsac J 1-vscc 111111 wc 1 1 •ve J 11 e; e z, J 1• s~u e A e~ e ~se e J 1- ~soc z ' 1 11 e-. c z 1•11 e J 1 1 cocl JI•V<II/hnc.uscvsocJ:-wsoctll•l.lllll\1 101 t :J 1•111 Z 1/So;Hc AH! 't'SQI J I·'ISQI Z 11•1.111111 1 lftJ.l[.ll c;jc,JI•I.f IFIJ.l(.ZI li12.JI•I.I lfiJ.l(.ll ;11.JI•I.J lftJ.lE.21 !;ICJI•I.f 00 IU l•l,lll Ftl,JI•I. lfll.H.JI fll,JI•Z.
tU CJIITI~U( 00 IU J•l ,Ml DO l6 5 10•1 , IIL r t oc J ,141•1 .1
111 D!CtJ,Hl•f.l 1>0 171 J•I.•L :lO 171 I'•J. .. l JrcN.EO.l 1 .00 TO 111 N e.,.., !lO ~U L•l ,MI SQT•Sía re 't'S<:.IOII•YSC: lll Tllol•fto~ll1°SQT/C't'I\.I"VIIUI Ol,.•fill(t i. I"IIIL 1/SCT T 1 D 1 J • H 1 • r lO 1 J , M 1+ f 1 l , J 1•T1M
"' D!JI J ,HI•OIOI J .HI•fl L .J I"OIM 171 COIIr!N~l
Hrvllf ("O
e-----~~·~~~~~~~ ~:;~:~ filO( UD OEiliVATlVU FROII eRUSTA\. MOO[l CuMPtCN /AZ/0€1. l 41 !a 1 l, 0 ~~51 1, 0' 1 SI 1, TI 51 1
e-----;~:':'::~~:'~~~ ~=S~ •: ~~,¡~~~U or STAT 1 OIIS, Z•Ol PTM· -- ·--- • ••• ··--- --· Cut<M011i,t.VJ01 1 51) CQI'I'OII/.\I.IAN! ~~SI 1 c;:. .... u~/A1611Sw CC,.HOII/AI9/liK('. Fl TI 2, 76 l
C·---- H r 1~ ONU FOI STAriOII H(IIATIO• OELAY, ISV•\···--···--····--·-CO,.HO!t ·Al II'YC 1 1 1, a 1 l 1 1, ~SOl lll, TIUCC 111, T 1 DI 11, \11, O 1 DI 11 o 111 CO"I'IC./AH/F 1 . 1. 11 l, ¡;,¡ 4, 1~ l, 111 1•1, O[Pfllt 111, 1OM[ CS ... HON1>.!4/F~ OE,
e-----~~~~~~:~~-~:~~~~~~:.~~~~~~~~:~~~:!~--------------------------------zsv•z•z
C··-·-C.ALCU\.ATIOI Fo• DIREeT WAYl ·------····-·-··--------··--·--··--911>1Jl ME.ll!;OTO¡If
SOT•SQITt !SO•Otl TAl: ¡ooz 1 rJJI·S~T/\1( 11 lf dOJI .;;E. TMIMI ;o ro U
C-----ro,I/H riMt • J[RIYATI~ES FOI OIU\:T WAVt IM flllST lAYU·--------T. ll•rOJI DTC.ú•O(LTAI ll/<111 li•SQTl DTOn•Zll._t li"S<lT 1 ANI•I l ••CL.T~: 1 liSQT ;;o ro Uf
C-----flltO .\ 0/HCT JAV( THAT IIILL UtUI:( AT TNE ST.t•TIOII·------·-·····-1 •• t& ¡¡;•OH Hl 11
lll f•O(L TAl II•TICJ/Z Ul•lllCO/SOUI UJc;••z•TICJSOI l.ll•IL IT 1 SQIT! l, 1 T .. Z•TKJSQ 1 t.IISQ•U&••z \.tL ~:l•Ut.. ••2 O[Lilc;•TKJ•UII~QRTI l.lfiiii•UISOI O! lL 1 f• TICJ"UL 1 SCRTC l. 111111 ·UL SOl J I•JL-1 DO 11• l•I,JI DíLI ICO•OH 1 "•t TIIICC L I"UI 11 SOR Tt IISQC JL 1/VSQC l l·UISO 1
111 DHLlT•DlLliJ•tTHtCILl"vL IISOITIYSQCJL 1/IISOIL.l-ULSOI Do 1 7 f L l • 1 . ZS lf tDHIICO·O(LLIT .LT. I.IZI liO TO 11• Hl• Cll T • 1 O(L TAl 1 1-DHll T l"C 11 "·XL 1T 1/1 OH 1 ICO·DlLL lT 1 u • e fl/SOl Te • U • •t• TlJ SOl US~•U••¿
0(\. t TI•JJ:J•U/SilATI 1 .611 •• \ ·U$Q) 00 IU L•l ,J 1
&U 0( LITI•O(LITI• l Tltltlll"U 1/SQlTc VSQI Jl 1/VSQI L I•USQl H(STeiEL TAl 11-0(LlTl lf IAUIHI$TI .L(. f.ltl liO TC 11• lf IUUTI 146,116,1~1
H .. ~lt;•&TI O(Lilli•OHITt <00 TO IU
&U lL IT•lTI DLLL 1 T-IIU l&Tl
IU lf ILL .LT. 1•1 SOTO 171 lf t 1.•-11 .\.T. 1.6.121 c;o TO IU
116 COIITIIIIIl 11. IITI•f.S•IIIIIi•IILITI
U•ITl1 SQaTIITl• •Z•TIJSQ l usa-v••r
1 t• lf 1 1 . 1-11 . liT. 1. •••z 1. c;o TO ZU e----H U IS TOO 1-l.A .. 1, COMIIUTI TDU Al WAYI ALO·~ TMI TCIP 01 LAYU JI.
lf IIN .(Q. &01111 liO TQ ltl TDC•r\DIJL,.JI.l•OILTAI 11/YIJLI c;o Ta u•
ltl ~~~~ ~;:~t;.:: ~~~: j~~ .. , ll,.IL l•tiiZ•~CZ.JL I•TIDIJ~,Jl 1
1M lf IJL .lQ. a.1 liO TO Zl. 1' ITDC .~. llUII IOQ TO U
U. TI 1 l•T'OC ITD .. I.I/VIol\) OTOII••.I lollll ll•f.lt"'" 'Q TQ ZU
e--·-·TU.It(L Tll. • Olli'IATIVU fO& IIIIC'T WAVI IILOW FJUT LAfll----IU Tlll•TIJICVIJL t•WATI Lf•UtQ·Il . '
00 ZU L•I,.JI 141 TIU•fOII•t TUl L I.YI JL 1 111 VSQIL a•SOITC VSOt.JL l.fVSOC L 1•\110) 1
15.4
~ :- "1. ~ , . ' ~· lhl :•u : ~JII ~ :111
;· ~ ~· ;6 JI
Zb '' :HI !Hf Ull ZtitU Z191 ~HI 2~ 11 !'j,.!' .:: ,.j, .''1•1 ZHI z.~, .. z 'J:. 2qU lHI JdU JI ll 11a )jj" JIU JI SI HH )¡fl¡
lflll' H'U .;~ ... ) 111 lll• llll ll •• J 15.1 JIU ]17. llU ] 19.
1 r : , . ., t ~ l : .. f ";e re s e- · .. ,~: ... ~.._~ ..... :-¡: .. ~J.t '=•t.: t.."'"f" .. '=-e:.···--- ....
JC t • • •• ._;.,
: F , oc" 1 • ,. r. z' 'o ro 1 COIIT:•w[
JL ••l c;o ro l
z JJ•l J~o •L -a
1 fKJ •t·OI JL 1 fK J SQ•Tr J ••z •1. ,16111 lf : Jl • lO. IIL 1 lio ro DO ' L •JJ. IIL SQT•!OlTI IISC:.Il I•VSOI JL 11 T IIIJ 1 L 1• T 1 01 J\., l 1- TKJ • SO TI 1 YILI•YC Jl ))
'DIOJCLloOI:li;,,~,-:(J•~cJll/SQT • O • OU 1• 11 J J 1 • Vt Jt.. 1"' T!- J C JJ 1· TI DI JL, JL 11/C VI JJ l -1111 Jt. 11 )0 Ul i•!.-l . f · iSW . N(. 1011() 100 TO 6S
C··---.~ll!'~IZ.ATICII Hll ~Aa!liL( LAUl MOD(L ·-·--··- ------·····----· • 1 • • D ll : · -o~" z .• ;~T:uo Jtl :r Z .1..T. f.!E'• 0(-flttll•f.I•CHTIICIIO,,UI•ft.THI 'kC II•O(pr,n: • '"'•2l•O:)I·O(P~•H2' J .. : •THI( : '-Hr: .' JI"I.,?•TH&.,J J-"C ~,
: '. l• ¡ .... li )(Hktll COT.ZIIiOTOU
;1 .,-~T ~~U[
~'- • IIIL •o ro u
U ;~·L ..; L •~o. •1
ll T(~·l·D[PTNI JL 1
'«~SO•T'II.J••z•l.llll•t :r Jl .(0. Nl.l ;oTO 111
C--···:.A, :uL.ATI;!II fJ~ •f~II..,CTi:!l WAYES ··-···----··--·----···----------· 'JO U L.•JJ.IIl S~T·~OITCVSOtL;-vs::¡cJtll
r 1 --~ C 1 • JL •• OH 1 "'' 1 , L 1•' 1 'l, JL I"OHZ•Sc l, l. hT 1 Oc Jl, L l D: 'l •f 1 1 . J l 1• illll "': 1, ~ l• F 1 l, Jl l•DH2 "' 1 4 ,li•D 1 DI JL, L 1 'l ~J 1 l 1 • T IX· T 11:,)' >aT 11 Y! L l •y¡ Jl 11
41 Oto;Jt L I•Oili·TKJ••I( Jli.'\QT T! l • F 1 1. JL ¡ "0" 1 ·~ i i . J~ '•i 1 2. JL I•DMZ•I:I t ,,n lo TI DI J~, Jll •v~Jo\AI•Iil ~J ,.,., JL 1•c r l~tJc JJ J·fllllll ve JJ 1-vc JL 11 (;0 TO U
U ~f •JL .[0. IILI ;;oTO Uf SI <:o ~~ M•JJ, •L 61 •¡¡: M J•TIIIJIIo 1•DH TAl lllwiHI
TMI~•t99.i9 00 11 I'I•JJ,III. ;; !Tl(IC . .;T. TMIIO;OT071 :r IOIJJIMI .liT. D(lT.AIIIt lOO TO 71 ..,. HU II•Tlt M l
71 COIITIMU( IF 1 D[L TAl! l .L T. lOVMAX l 1:0 TO ,.
C;··-·H.•••EL TIM( • DO.IVATIVES FOR IEFU.CTID IIIAVI·--------------16 Tt! I•TIIIICI
DTOO•I.f¡'t'I!Cl O T Dio •- iQA TI ll'>¡;jC ' l-liSQC Jl l 111 Yl l 1 •ve JL 1 1 All! NI l I•·V( JL. 11'111( 1 'o ro lil
if IJl .[Q. IILI ~OTO US : r TD 11 . lOE . TH 1 11 1 ~O TO 81
z¡s ,, 1 l• rota o>U•SIOII.TII.-IJSQI S~ r•SIIl••l AL;A•TlO/SU H TA•TICJ•U/l VI JL I"SilT 1 )(.) :!11 L •1 • J 1 ; 'K., soi r 1 v~c1 JL 1111~:11 L 1-uso ¡ 1• •:¡ 1B •Ttif' lll' V'iOill"STIC 1 J.Lf.I.•ALiA•IIT('·tSOC JL 1
l~· oi("C.A•iíTA•Vr~·vc JLJ•U :J T OC •1 [ T A J .lL 7 A
JT~rt•ll.l·oiCJLl"U"OTDOIIIoiiJLI 0 Sll) .l>N 1 "' 1 I•U
e--- ·SET JP PUTIAL Oti\IV~TI'IES fOA Rt!OllUIOI AIIALYSIS ·-------···-~6.1 ,, ; • ll•·!lTOD'Oxi!IIOEL T.'lll
A,!. 1 ••·OTOQ•Qy¡ 1 l/OEL TAl 11 < t J. l '•OTDH
ll. C..)IH '•Uf a í r~o~.ll [ Nll :>u&IOUTIII( AA~Il'IYtA,III íll'"f•Sivll ~IL0,\11•1 lrtiS ALIOvRITHM OETERHIIIES TKE IIIVUSE Qf A SYMMETll~ 1 l i1 KATtllt TH( IIIYUSE IS OfTEO."IIIEQ AIIO lETUlaU U Tltl S.t.lt( LQCAT!OII AS A .,,..1 •• - l OuJSIC.•l,ll ~1-wor • 1.1/.lii.U ~o a 1 • z. •
U 1111-c) • All,ll :lO ll 1 • 1, IIMI ; r • -YI 1 1 • P 1 \IOT .Id 1 .11111 • YV .0 11 J • 1 ,ICM l
lll olii,Jl • All•l,J•Il • YI.Jl o YV lS ~ 1 N. 11 • - P 1 VOT
~c. '~ 1 • 1,11 OC. 41 J • l. M
•• A 1 1 . J 1 • - Al 1 , J l LIO 5.1 1 • Z •• 1 1 • 1 - 1 00 ~ .. J • 1, 11
5. "'1 1 . J) • lol J. 11 ¡¡ t Tllllll E '10 >uUJUTI IIE IIELAZI ELAT .llOA, SLAT, SLO• ,DI,DY ,Dll. TA 1
e POL.••OMIAL 'IT ro UCHTU•s ltlTMOO fOil LOCAL UATIIQIIA&IS e All A~ TUIIATIYE MICOHT U e 0.1 • OLAT • 1 ll. lt5
011 • f.S • ICOSIELATI • COSISLAT) 1 • D\.0. • lll.ltl e \IH(U TH( CQSilll AlCOUMliiT WOULD lE 11 &ADIAIII Of" eOUUt: e AICD THE OTHU AlliUMhTS 11 DlGUU
AYl.t.T••., "llLAT•SLA T 1 A•l. IU711•AVLAT-I .1.1 SZU•AYlloT•c • .fiiU•A'ilAT•c l.lll171·1 111 1•1. IUU4 •AitLAT"I•I. U7UE·hAY\..AT•II .7ttt3l·6•AYLAT•C ••• UU 7( ... llll OI.AT•SlAT-lLAT CLOII•UOM·(~DM DI•.I."ILOII•U. Dt•I•IILAT"U. Oh TA•,CITI OX•D.J•OY•oy 1
· ll( TU~· hD
H•l J: j
¡ ~? 1 lll• ll•l l ~ \' l ~ .... 12.'1 I~U
J: 'i ~ lll" llll lJ!J lllf l) •11 lH4 llU Jl7f llll )JU ltlf ,. ; ~ J '=· )IU
HU HH 3•61 Hli Hlil lOo! lS.olll lS 11 )~~· JSJI 3!141 JHI J~ol J-;;1 JSIU 1HJ 16J;r 361. H:1 hlf HU HU lb.l li IJ HU 3651 ;¡:¡u. 3!!1 jl~
17JI ·; l ,,~
; ~· HU l i '~ ~ ~ ¡; ~ JH:: l••u ~c.:. w ;&·,,¡. )tU
6 i ~ i 46~! ,, l.i ,¡¡ •• >1~). ...
a u H111 HGI !tU HJIJ nll OZI ; !ll ,, ...
:~'"'
:t z: ;..
-61~1 "1
A/6,1 , 4111 •7U" .~u
~~· • d •• •• u HU -JIU ..... Ahl .. ,. 4!1111 .... ~ ¡, 4 ~~u • i9ZJ HJ.il 19 .; •• u HU tt11 4UI ...... u .u s• ¡ • Ull UlJ SIU 5•H iiU.M U11 \li .. Shl S¡ U "11
SiJUOUT 1111 HAl S TI II.U.C ,llo\T ,.lLOII ,JMP 1 C·····TitiS SuUOIHI!IE fiiiOS TH[ COOIDIIU.TES COIIHSPOIIDIIIIi TO Tllt:······•• C·····--·SEnHOGlPit STATIOII EIITUfD WITit Ht( lUOIIIIi$. IT .uSO lilVU·C·-··----H•E CH.UC( TO COIUCT SH~LIIIC ilROIIS UFOU IT .t.UUI'U Ttt.t.T••• C···-----rtt( COOI~IUT(S fOil TMl STATIOII HAV( TO 1( [IITfl[O. 111 TIIIS••• ·--······CASE litE .:OOIOINAHS 41[ ll .. E .. IUlD FOI OTrHl lúiiS UIIDt•····••• · .. ----·-·THE SAI'If IIITlllACTJV( S[SSJOII.·········-·················---··· ·-···TIIIS STATIOII LIST IS ;oa TKI SAIIIT LOúJS ~IIIVHSITV lléT\oUU·······
C··--·TO CIIAN(i( lit( LIST, "LL TIIE SOA,LATocON AU,t.VS ~I.,ILAILY····-···· C···-·AIID CM.~Ii( Tlll CAlO AT STo\TUtt:IIT 1111 IN Tll( "-lJII '~~IAII líHICM••• C·····ll.f..t.O$ •HA • ]. TO Tll[ IUMHI Cf STATIOII$ 111 fOUI LIST········-···
COIIIIOII/Sl ST ILAT olOII, HA, liSTA 01 •EMS :ul u,Tc U I,LOII! i.l, STA( Ul HAL LAT ,LO•,IUJll OATA STA/' CIUO,· OOII',o OWM',' ECD' ,• ElC',' 'IT' ,o JNP',o LST',
lo Lrll',' rur•,• Ol(f,;',' Pt;A',' POW',' tllll',' TY$ 0,' ....:K",'IPI•. 0
0
zoCIIIL'o'CSILo,.IIIILo,oSPIII','VOIII','IoiSIL',· IL<loo, C'M',' FVM' lo' lt(T',' ~~·.· SLN',' TUL',l••· 1
DATA LATI]b >nol1.17&.U.lln,U.IUol7-liS.lloa4,li.UI,J6 \2], IH.I6~.l!iol'>.l.lSo6ld,l6:U#oll.lUol6 IU.JI.Sl!iol6.U4,31.l.l!, l ll !oll.l7.blZ,l1o9Z7.l8oSUoll.nl,li.Ullolt.~7~.Holl7,l7 114, l H.lll.l7 il~.lll.ól6.J5.9ll,l#"I.J/ DAr" ,QH/·i'i -lllo •d9. 9]], ·89. C<jlfo ·d9 o Hl o ·U. ~:!1. -~9. c:1, ·11. Sil,
1 -119. 'll. ·o9 .s ••, ·d9.su, -u. &'l$. -~r .• zr, -u. 1 u .. u .111, -u. u a. Z -iiW.•Ho·llii.B2.·8Ioli8,•Uo7ii,·B8ol11,·87.617,-0o1li,·U.11S, J ·ob.SlZo·H.Sllo·U.4H,-i9.926,·91.i69o·Uo!36.·~5o7U,ZI•I.I/ zu co .. rt~uE .iltt •• IIIIIAII(.EQ.·KALT'I JNP•I lfi~AI1(.[Q.·;,,t,I,.T'I l[TUIII oo 1111 1•1.-UA lf!STAiii.[Q,IIAM[) '0 ro lll
111 CONT 1-u[
C-·-·-STATION NOT !11 L:ST CHECK TO S(( lf I!ISSI'ELLEO•··················· 111 1 Tl 1 li, • 1 ' S lo\ TI ON 110 T 111 L 1ST , 1 S 1 T 141 S SPE L liD 1 l/111 • CAL~ 1 Y( SIOI UJ 1 1 f 1 1 O::J. L r. 1 1 ;;o TO ZSI '.IR.IH!ó,"l ' [IITEl CORRECT STATIOW IIAMf' HAOIS,IIVJtE
1 FJII'IA r, AC 1 .. u ro lbJI
l51 CON! INUí ·.;~!Hóli,"l ' EIITEII LATITUDEoLOIIIOITUOE fOI STATIOII' ~tAOI),"I WLAT,tLOII MSTA•NSTA•I ~TAINiTAl•~AH[
LAT< NSTA J••L.t.T .ú,l •:iTA I•J~CII HT!>oh
JIJ CONllNut HA r•LA TI 1 1 AlOO.•lJNC 11 HTullll <~o
~uaaouTIII[ TIH..t.TC X, TP, TSo T, I'.IS.II,IIII,IIM, Tlll, TT 1 C-····fhiS SvHOUT;II[ StTS üP THE ¡ASIC "-lUICES U OISEIVATIOII UTH[l· C • ---- ·-- TIIAII dY ~TATIOH···- -·-···· •• -·· ··- -· •• •••••••••••••••••••••••••
O l.,t.~ ~ 1 vil 11 •, Si ¡ • TP 1 S 1 1 , TS 1 51 1, T 1 S 1 1, 1 PI 51 l, 1 S¡ 51 1, IIC S 1 1 O 1 1'1{ N~¡ 011 Y< 4, 51 1 , TTC S 1 1 , Tl11 51 1 Nto4•.1
001-ifl•lolll : f 1 TP 1 1 1 • LE 1. 1 1 e; o TO 51 .. ,... '". 1 11 1, Hl11 • l( l, 1 1
D!ll•l.l 1111 •••. 71 a e J 1·~•. '<141•8 18 [;1 4 }•4•.
.t~l·ioll
úl S ··~7 o
NL •ft .oo ro , ••
C·····f liD IIOOEl llfOIMA TIO.··········-·-····--··•·····-------······-U. O<l ~11 l•loiiL OHTrH 1 1•01 11 ~SO! ll•\11 11••2
51. CO•TI ~U[ HTollll liD SUBI~UTlllf COUCTCSTA,IP, TP,IS, TS,III
C-----suuounn TO COllfCT Oa CMJHil OATA UTIIU. OTIIU WAU ~ DOIIMi C·····TIII S fiCJST, IUT TNIS AllOVS OIU: TO lo'OII: WITII STArJOII II..UI(S
~::~~~~~: STAC li,IPC 11, TI'III,ISC 11, TSC 1 t
1•• COIITIIIU[ llllf.Ei6,•1' tiTtl STA TO BE COI.UCTED. STA•HALT TO IETUU'
~~~~~~~j;';s~:[ IIUMI(l Of STATIOIIS 111 CAIIOT lE CIV,JIGU'
1 ocuu.rc M 1 lfC 15TA.EQ. 'MALT' 1 UTUIA DO ZIJ I•I.U lfCIHA.[Q.$TACI11 ~ TO u• U. COUIIIU(
~~~~~~~.;¡· STA IIOT 111 OATA SIT, 110 *ll! DATA CAII U ADOU'
1•• wiiHI6,111Plll,fPCII,ISIII,TSIII 1 ~~~~ J~ ~! Í :~:r::·~~~~ ¡; '~=~; ~~~~!,' 1 S•' ,11,' T:O•' ,f6, Z 1 ~~A~~ 1 j;; IPC 11, TPII 1, 1 SI 1 1, Tll 11
[110
:~::o~¡~~~ [Ll 1'51 SIIN,All,AU ,AZZ 1
llETU•A 1 I"AIZ·AU•AtZ' lllli•AZZIOITtl DZZI•AIIID(TU 0121•-All/MT'[a
~~~!~;~ai:;:~A.UU.•oa.!I,Dili·OUI 1 S•IIIC Tltl'fAf ~o-c•c•out • z.-c'"'••u• • s•s•tzza ~;!;~;;:~~"~··c•a•oul • c•c•ozu l Z•SQaTI S.Utl Tlll TA•TII(TA•\7.lft17M TllfT.A•U.·TIM:TA 1 re TIIUA.lT .1 o.J TMIT,..TIIITA e IU, lf 1 TNlTA.GT, )W. 1 TIICTA•TMITA • IU,
e----~~~:,¡~~~~~~~~:- IOaTll 1'1t TIIC I•AIII Of Tltl lLLIPII
llf~~~~~· • 'llAGa ILLI•II 1•' ,FJ.z,• lOe , •• ,n.z, • IQI TllrTA •'
llffiiU (110 IUII.OU1't. !fiQOUl.U
C-··TiiU SUUUIITUI ;lVII 1&.1-& 1• A YUIIU UIU C•··-- •l fOI A IIUOt IIP\.'
15.5
,, l.'"' .• , ~ .. 1 r 1 J, ~141 • Wf J, 11 1 11 1111 l•IPC 11 r T 1 )IN , • TI 1 1 Tl11 NMI•T,III
U HITSCII.LE.I .• I 'Q 1'0 , •• ""t•'IM• 1 W! 1,111 .. ·~11,1 1"1.712 'fl l,NMI•liC ~.11•1. lll 1 1 l ..... 1. ( ( 1 . 1 1. 1 • 1ll 1 1: .,., - 1 'H " r r, "" 1• r' 1; •1. 11 '141 lol1 l•T~I 1 1
11• ~JIIT 111\Ji: 00 lll l•I.JCIC co 211 J• 1 • )
Z~# • o J. 1 , • teJo 11 •r r ~•" \."'O ~ ,UIJIJT 111[ I'IODI.L l MOOL 1
-·-·-~•:S SuilOUTI~E E-IHS TO ELIIUIIAR UUTU OF UUII MODIL D•TA·•• --·-·(ao:~ 'lit( T;.( •RO<;IU14 IS RUII. IT "[ASILY ChAAUi) ll····------····.O:'o.U.,;'Io;; T'IE '!'I.ST c;o ro SUTEI!(IIT AMO SUIS[JU(:!T UROS AIIO······· -· --.l.;iO 11 CI1,.,11;1N.0 oH( 'la.tPT'ii 111 SUIIOUTIII( 1100LU··•·············· ---··· ·VC 11 IS r~t ,¡[LQ(Ift OF TN[ LAY[l························-···· ··- ·-··llC l1 IS THL QUTII TO filE TOP Of I.AlEI•···············•········· ........ ~L 1$ riH ~UM!Iii Of LAtEIS IIICLUOIII(, IIALfSPAC[·················
C OHHQIIU.6 ¡ IIL . 1- o Z, '1 4 o U 1 C<l>4110Ntoll•/•l :il,:ll t•lo\ISQC III,THK( I.I,TIDI l •• lll,OIDI 11.1.1 :01411011 .'A.! l.· fe i 1. ; 1 1 . ;; e 4, lll oH 1 1•1, OlP Tlll 111, 1 ONl
C• •• • -~Orl ! ,f Ooti'IA T 1 ON··-· • ··-- ···•••· • ••••••••••• • • ---····- • •••• ----;.) TO 1 1111 . .:il.liii,NOOI.
<:·- ·• ,.JTT\.1 lt\lDEL 1 11 'll 1 1 • ¡¡. 1 S
J 1 1 1 • i .• \11 z l•li o ••
01 2 I•Z•o J( ll•l.ll 01) 1•••. •e e 1•1 .37 ~· 41•117. IIL •• ;o ro u•
C - • • • • t ,. BA Y 11( , T MO O E L Ull VI li•Z.ill
01 1 l•# ol \11 21•l. ~· l){ ~ J •l., JI ]¡•!i .... J!)I•I.'J ·•e C1•6. Hi ~~~•·Zol Jl51•1i.11 :J( 5 1•2•. vt61•1.!11 :, 1 6; •••
"' 71•1 .31 0171•t7. IIL •7
~o ro ••• C-----JPLANOS ltOOH
lll ., < 1 1 • S . 61 01( 1•1 ol \/( z, • ¡¡. 15
Ul COITIIIU[ 1 ~J • ·1 af..t.OCS,ll lk
1 FOlH..t.fiAl 1 lfii1C.EQ. 0 II'I UTUU 1F 1 IC 11(. o f' 1 liO TO ••• 1 (J • •1 11.( TUII.II
111 C )liT 1 JIU[ I.IIIH16,•1' lESPOWD WITIC A Y 01 U. o•u• .;a ro u• fll() f UIICTI 011 .t.lS IICCIC 1 HSIII • A511Cti) UTIJll.ll lND
.. , .. "" \7111 \1-tl H~l
"'' !11:1 ... l., \141 'al U u u
"'' \UI ~4~1 ~ ... u .. 'aHI ~u• St&l U'.l \Hf \ l/1 Hlll hU \IU
" • ~' ~. Ul.f .... ·-l>IIS. ..:..~ fl• ol .. ,, -..... "" illf --::. ~ ~. .. :. '1 11 ..u S 1\1 IÍ' l.i
': 1' , .... 6;" 6lH olt 1
·~ .' 1 •l ••
-~ .. •z~J
~ J '. ó? l. •: 11 b ~ i' ~ j.' u ... 6l.l 6 J S# .. "4 b l'.j
'J ';t,J
6 J JI ~! l#
Q .i )a>'
IOIUJ 11~4
! :cd llfl >~•• ,,u "'' 71 '. J: :• 7ilA 11&1 11\4 1hil 11 11 J:ou HU
15.6
Otro tema donde les métodos numéricos están mostrando su potencia consiste en la simulacion de terremotos a partir de caracterÍsticas establecidas sobre su supuesto origen en una falla al estilo de la teorÍa de REID •
.. 1 Entre los muchos trabajos que se han presentado ultimamente , se ha escogido el publicado por R.J. Archuleta y G.A.Frazier en el numero 3 del volumen 68 del Boletin de la SSA • Se trata de simular numericamente una ralajación de tensión en una falla plana da tamaño finito , embebida en un semiespacio elástico tridimensional • En la figura 1 se muestra la malla de elementos
FIGURA 1
finitos utilizada , reducida a la mitad al tener en cuenta la simetría del problema • Para definir éste se precisa especificar el hipocentro , la geometría del plano de falla , la velocidad de ruptura , el estado inicial de tensiones y el coeficiente de rozamiento entre los labios de la falla .
El método usado para el an~lisis fué una integración paso a paso con diferencias centradas en el tiempo y la malla de elementos finitos está formada por 20 x 20 x 15 elementos paralelepipédicos Aparentemente no se tomaron precauciones en el contorno del tipo que se comentará mas adelante , aunque el modelo se validÓ a través de su comparación con otros resultados previos •
En la figura 2 s~ recogen los contornes de la velocidad horizontal adimensional y m~xima de una partlcula en la superficie del terreno resultantes de una rotura subsÓnica
15. í'
FIGURA 2
tipo falla de rumbo , iniciada en la misma superficie •
Como mis adelante se veri , el tipo de simulación anterior está todav{a limitado al interes de c{rculos acad~micos o de investigacidn , por el elevado coste que su resolucidn exige . Quizá la tecnica de elementos de contorno que se describirámas adelante podr{a revelarse Útil cÓmo alternativa en estos casos en que la tridimensionalidad es inevitable •
Por el contrario , un aspecto que se analiza en forma corriente es la transmisión de ondas en medios estratificados como el indicado
y~ ( -T ,. . . . " ~t . . . . .. . . . . . \-\-
>ls i·· X¡,- .•.. ·.· ..• : 1 ~ . . . 1 '2. . . • . . .
)'.3 . -:..t • • ~ .• • : • • ·. • . Hz • 1 - • • /
fl'l-t •. )(3 ..V • . .. . · ...
. ·x, .·. ·.
~3 FIGURA 3
en la figura 3 •
x,
•' • 1 • ,....:.....::....:_;..;.....;;...~~...-.:;.~-~~ ;, 1 • ' ., •••• 1 -..
El problema que se plantea se refiere al cilculc da los movimientos en superficie , provocados por una onda que progresa desde el fondo de los estratos , o su rec{proco ,asto es , la ~deconvolucidn' de un movimiento conocido en superficie para evaluarlo a una cierta profundidad • Se trata , como se verá mas
15.8
adelante , de un problem~ previo a cualquier posible an~lisis de interaccidn terreno-estructura •
El método que se emplea consiste en la aplicacidn de la filosofia conocida como ~matrices de transferencia' Cada capa se caracteriza por una matriz que recoge las propiedades de interé's para la propagacion entre sus bordes superior e inferior , y las variables de campo se representan mediante un vector ~de estado' que va siendo multiplicado por la correspondiente matriz de transferencia cada vez que se atraviesa una capa • El me!todo fue desarrollado por Thomson en 1950 y reelaborado por Haskell ~n
publicaciones de 1953 , 1960 y 1962 • En el casa SH por ejemplo , el vector de estado es
n -u2.t
1 1
1
• S = : 1 du 2 : ~'~n 1_
1 G ---: 1. oxdj •l l..
donde , evidentemente , uz representa el movimiento horizontal y x 3 la coordenada segun el eje vertical La matriz de transferencia correspondiente es
=
i ces s H sen s H
{ n n G S n n
n n
------------------t----------------i G s sen s H
n n n n cos S H
n n
l
El encadenado de las capas sucesivas es pues
n S <x "'n 3
= 6 .G .6 ""n ""n-1 ""n-2
••••••• G • G • S <O> "'1 "'1
= T. S (0) "'1
donde T es la mencionada matriz de transferencia •
El metodo puede aplicarse a cualquier tipo de ondas , y as{ , en la figura 4 se representan los resultados obtenidos al analizar
1 5. 9
~ .t==~====-~------- ----- ~-.-_-~)
---.-;-n-
·--... 1[1--':) lO
~ '!1-~ 30 --
t: 2:0--~ 40
,., ~o
FIGURA 4 1'1 q,O<H"-; ( 1
la distribuciÓn de energÍa en una onda P para diferentes f r ecuenc i a_s y CÍngulos de i nc i denc i a , en un modelo que pretende representar la corteza terrestre continental , con 37 km. de espesor , c<S>= 3.635 km/seg , c<P> = 6.285 km/seg , ?=2.869 g/cm cuando está apoyada sobre un medio semiinfinito de c<P>= 7.960 km/seg , c<S> = 4.600 km/seg. p = 3.370 g/c:m
1
El método está basado en la propagaciÓn de ondas con una determinada frecuencia , por lo que cuando se aplica a un movimiento definido por su historia en el tiempo , es preciso
1 -proceder a descomponerlo en armon1cos •
Este proceso fue relativamente costoso hasta la aparic:idn de un interesante algoritmo numérico la transformada rapida de Fourier puesta a punto por Cooley y Tukey , que permite obtener transformadas y antitransformadas de forma competitiva con otros métodos de integracion.
Para facilitar su aplicacion por el principiante , mas abajo se incluye un programa para micro tipo HP-9845 , que permite obtener la transformada directa o inversa de una funcidn definida por un conjunto de valores discreto . Debido a las caracter!sticas de la miquina , que no admite tratamiento de complejos , ha sido preciso crear dos conjuntos con las componentes real e imaginaria , segun puede verse •
Otro aspecto importante en que el tratamiento digital se ha impuesto ha sido en el tratamiento de los espectros de respuesta Como es sabido , ante la dificultad de disponer de acelerogramas fiables , Housner propuso en 1941 el uso de aqu¿llos para intentar caracterizar una ~intensidad sísmica~ qu~ fuese objetiva en oposici&n al concepto clasico de intensidad de Mercalli •
Segun se ha explicado en capitules previos , el evolucionada hasta convertirse en Ún util de diseño
metodo ha habitual •
15.1 o
~360 SUB rft<Ar<•>,Ai<•O,INTEGER NJNb,REAL·-:¡··,·tLt2~t3i 5370 1 5380 1 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
5390 1 CALCULA LA TRANSFORHADA DIRECTA O INVERSA DE FOURIER 5~00 DE UNA FUNCION DlCRETA
5410 ·····~·············································· 5420 5430 •••••••••••••••••••••••••• 5440 PARAMETRDS DE LA SUBRUTINA 5450 •••••••••••••••••••••••••• 5460 5470 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ) 5480 Ar=COHPONENTE REAL DE LA FUNCION D~ ENTRADA Y DE LA TRANSFORMADA 5490 Ai=COHPONENTE IMAGINARIA DE LA FUNCION DE ENTRADA OY DE LA .TRANSf 5500 N•EXPONETE DE DOS TAL QUE 2 4N~Nb 5510 Nb=NUMERO DE PUNTOS DE LA FUNCION DE ENTRADA Y DE LA TRANSFORHADf. 5520 !=VARIABLE DE ELECCION 5530 I=O TRANSFORMADA DIRECTA DE FOURIER 5540 I=t TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER 5550 ***********•******~****X****~****•****************~•~x********** :SSóO 5570 OPTION BASE 1 5580 5590 ! DIVISION DE TODOS LOS ELEMENTOS POR EL NUMERO DE PUNTOS 5600 ! EN EL CASO DE LA TRANSFORMADA DIRLCTA 5610 1
5620 IF I=t THEN Hant 5630 FOR J•t TO Nb 5640 Ar<J>=Ar<J>/Nb 56SO Ai<J>=Ai<J)/Nb 5660 NEXT J 5670 Hant: Nbd2~Hb/2 5680 l 5690 1 REORDENACION DE LA SERIE DE VALORES PARA EL CALCULO DE LA TRAHSFO 5700 ' 5710 Nbl'll=Nb-1 5720 J'=1 5730 FGk L=l TO NbM1 ~740 l ¡· L>=J THEN Man2 5750 Tr.,Ar<J> 5760 Ti=Ai<J> 5770 Ar<J>=Ar(L) 5780 Ai<J>=Ai(L) 5790 Ar ( Ll =Tr 5800 Ai.<L.>=Ti 5810 Han2: K=Nbd2 5820 Han3: IF K>=J THEN Han4 58:'50 J=J-1( 5840 K=K/2 5850 COTO ManJ 5860 Han4: J~J+K 5870 NEXT L 5880 Pi=3.1415926536 5090 FOR H=1 TO N 5900 Ur:::l 5910 Ui=O 5920 Me=l 5930 Me=2 4 t1 5940 I<"'Me/2 5950 IF l=t THEN Man5 5960 ! 5970 1 FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA DIRECTA 5980 1 5990 Wr•COS(Pi/K) 6000 Wis-SIN(Pi/K) bOlO GOTO Hanb 6020 ! 6030 ! FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 6040 1 6050 HanSa W~=COS<Pi/K) 6060 Wi=SIN<Pi/K) 6070 Han6: FOR J=1 TO K 6080 6090 ! CALCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 6100 ! 6110 FOR L=J TO Nb STEP He 6120 Lplr•L+I< 6130 Tr=Ar<Lpk>•Ur-Ai<Lpk)•Ui 6140 Ti•Ar<Lpk>•Ui+Ai<Lpk)*Ur 6150 Ar<Lpk>•ArCL>-Tr 6160 Ai<Lpk>•AiCL)-Ti 6170 Ar<L>•Ar<L>+Tr 6180 Ai<L>=Ai<L>+Ti 6190 NEX·, L 6200 Urr•Ur 621 O Uii•Ui 6220 Ur=Urr*Wr-Uii*Wl b230 Ui=Urr•Wi+Uii*Wr 6240 NEXT J 6250 NEXT H 6260 SU9END
15.11
Les primeros espectros fueron obtenidos por m¿tcdos analdgicos , con un péndulo de torsidn , lo que disminuÍa la fiabilidad para pequeños valores del {ndice de amortiguamiento y distorsionaba completamente el importante caso en que aquél era nulo •
Nigam y Jennings en 1968 demostraron la superioridad de los métodos numéricos as{ como su fiabilidad y ,desde entonces , el proceso de tratamiento ha sido continuamente digital.
Segun se ver¿ en el pró~imo capitulo , el espectro se utiliza no solamente para el cálculo determinista en problemas lineales , sino que la filosofia impuesta a traves de la Nucle~r Regulatory Comission USA ha provocado la apariciÓn de mJtodcs de simulacidn de sismos sintéticos a los que se les exige entre otras cosas un espectro de respuesta semejante a los ya detectados •
Ello ha provocado la apariciÓn de procesos de simulacidn en los que , a partir de una primera aproximacidn , que consiste generalmente en la transformada de Fourier del espectro medio para amortiguamiento nulo , se procede iterativamente por un m~todo de aproximaciones sucesivas , hasta que el acelerograma generado reune todas las caracter{sticas exigidas •
Evidentemente los métodos numericos juegan un papel predominante en estos procesos aunque , debido a que se les dedica un capÍtulo exclysivo , se prescindirt de mas comentarios.
2.MODELADO DE LA ESTRUCTURA
Un paso definitivo para obtener resultados realistas en un procedimiento numérico es el modelado de la estructura • En este sentido los metodos computacionales han actuad~ en tres direcciones
a> Ampliando el numero de grados de libertad manejables en los ccÍlc.ulos.
b>Permitiendc la elaboracidn de metodos congruentes de modelado , en particular el metodo de los elementos finitos • CFEM)
c>Permitiendc la representaciÓn de leyes de comportamiento adecuadas a la complejidad de los materiales que se usan.
Gracias al primer tipo de ventajas , ha sido posible analizar sistemas clásicos , pero con una mayor representatividad en cuarito a riqueza de libertades se refiere.
AsÍ por ejemplo , en la figura 5 se incluye el esquema de cálculo
15.12
FIGURA 5
de una central nuclear Como se explic¿ en un cap{tulo precedente el cálculo se solía realizar asemejando el comportamiento de la lámina envolvente y las estructuras inte~iores del edificio de contención mediante voladizos equivalentes en los que se ten{a en cuenta la deformabilidad a cortante •
Evidentemente , sin la capacidad del ordenador y de los matados computacionales adecuados hubiera sido imposible calcular el numero de frecuencias o los modas necesarios para su an4lisis ~
En cuanto al segundo punto , no cabe duda que el gran impulso al modelado de estructuras ha venido del desarrollo del metodc de los elementos finitos , obtenido como genial culminacidn de las nuevas posibilidades mecánicas y del viejo espíritu de aproximación e interpolacion matemitica •
En las p~ginas siguiente se han compuesto dos cuadres en los que se pretende recoger ~n forma breve y concisa el f~ndamento del FEM y de otras alternativas con á1 relacionadas •
El problema representativa opsrador A •
se centra en la resolucidn del comportamiento del modele
de una ecuacidn , gobernada por un
En los métodos proyectivos , base de la mayoría de los procedimientos num¿ricos actuales , se procede a resolver problemas aproximados , mediante operadores aproximados tambien al operador real •
En particular la soluciÓn se escribe en una base finita de funciones conocidas , lo que lleva implÍcito un proceso de interpolación , y acto seguido se establece una relaciÓn de tipo integral utilizando otra familia de funciones para ~proyectar~ , ponderando algun error •
15.13
TABLA I
1--\0'bELAbo 'bt LA t:SíRUcTURA
Au = f u~ X -t6 y
X A >(Y)
~1LA~>J; An lJ = _n_ f )'\ * u"'=nu"' ~ u
ME TODOS t:>Ro Yf=.c.. T 1 VOS
* ~ U= La.q_J.
Mf:10DO i>e
1 d- d I'YJ
nLt"' = ¿_ a.· Y'· \ d d
15.14
TABLA II
NETODO Df LOS "RESIDUOS l'OJJ!>t'RAbOS
(A 1LUvt 1
t¡J7 ) = ( fJ ~t) = (A u 1 U(t )
[A (T1.U~- u), yJtJ= o
~ ( 8.) t.p ~);:_o ~ s,. Y) ---"? Oo
(..
k-it;: TObo :bE RAY LE l ~+-1 -""RtT.:¿.
lf·:::: ll)~ L lL
¿~(A4'i-'4'd)::. (f, 4'¿) METObO :DE LOS HltJIMOS CLJAbrGAbOS
~RCJJ)VCTO IIJ11:12A O 1"EaJE"~6)éT/CO)
e . ~ . ) = (A . / · )
¿ a.l (Cf.. lf,) = e u.l ~-) a '' ~ ~ L A
l--ttTObO be LOS ~LEMENTOS Fll\)lTOS
RAYLE1t;U-Rtr~-+ splinqs :rol ;.,6micos ole. So-rc'rle Ccrnpdcto.
METObOS 1)6 COA)TO~NO
(A (). 1 c.v¡,* ~= a (u/ ~·>t h.¡. b(u, lf/),.n:: (~ Y:~..Q C u.
1 A~~ ).n..: a ( 1,( , ~:")..a + & ( Cft 1A) d .n..:: ( f~ u ).n..
(_E u.., N~·*)d.s/ {Nu, :Ftf¿'* ~..r/ ( ~ ~·* ~- Cf~ t.1 l..n
~ \C..:: o -, H-ETOl>OS 1>E T 12-t.fF\~
t~-= &(~-~)..., ~-l. E. H.
15.15
/ Lo interesante del FEM es , como se dec1a mas arriba , la sÍntesis en un todo congruente de las numerosas ide•s dispersas con~usas y , a veces , contradictorias que flotaban alrededor del tronco común • Desde este punto de vista , el FEM no es mas que el m~todo de los mínimos cuadrados cuando la distancia se mide con una norma adecuada , o el método de Rayleigh-Ritz cuando se utilizan para interpolar splines polinomicos de pequeño soporte •
Una técnica alternativa que est~ gozando de una creciente popularidad en los ambientas académicos es el método de los elementos de contorno <MEC> , que parte igualmente de una relacidn de tipo integral basada en los conocidos teoremas de reciprocidad a los que se aplica la tácnica interpolatoria del FEM Mas abajo indicaremos alguno de sus posibles usos en . . / / . 1ngen1er1a S1sm1ca.
Finalmente , y como exponante de las posibilidades de representacidn realista de las leyes de comportamiento de los materiales , la figura 6 recoge las llamadas reglas de TAKEDA que se utilizan para representar el comportamiento din~mico de estructuras de hormigón •
Como puede verse , el modelo es elastopléstico y degradable , representando la enorme complejidad que la respuesta de una estructura de hormigon armado , con sus proceses de fisuraci6n progresiva o acumulable ,va sufriendo •
Precisamente la elección del comportamiento lineal o no es uno de los primeros puntos de bifurcaciÓn en que se precisa ~cudir a la capacidad ingenieril • En general , la elecciÓn del modelo lineal está provocada por el deseo de ahorro computacional ; pero en ocasiones la no linealidad se presenta inevitablemente ,vg.: al analizar problemas de inestabilidad grandes deformaciones etc.
Conviene recordar sin embargo que los modelos lineales mantienen su validez todav{a y , de•de luego , bajo el punta de vista computaciona~pues en los procedimientos paso a paso de los que se hablará mas abajo la estructura se trata como lineal a trozos •
El modelo de Takeda se ha aplicado al estudio de la respuesta de estructuras porticadas de hormig6n , en la que como integración se utilizaba un método paso a paso , y dentro de él la idea de matriz de rigidez tangente , buscando los incrementos sucesivos de fuerza
En estos casos se realiza una prediccidn de las propiedades que se corrige a posteriori , siendo normal la t~cni~a da las llamadas fuerzas desequilibradas que ,en esencia , consista en buscar la distancia entre el punto a que se llega en al proceso de intagraci~n precitado y la curva real tension - d•formacion del material • Esa distancia mide el desequilibrio provocado en la
15.16
FIGURA 6
<D: Rule Jt u,. ®: Rul• 6
~
<!>: B\lle 7 u 5
®: Rule 8 L&..
@: Rule. 9 ®: l\ll.• 10
(!>: Rule 11
®: RUle 12 Deflectlon ®: RW.e 13
~= New RW.e 10
(e:)
<D: lule 4 u. (2:): 1\ile 6 • ~: Rule 7
u ... o
®: Rule 8 LL
(!): Rule 9 (j): lule 10
<i>: Hew ·lvl• 6 ®: N.., bl• 7 Otflection <!): ,.. ... Jlule 8
15.17
hipótesis de integracidn , y para eliminarla se concentra en los nudos como cargas equivalentes que se a~adan en el intervalo de tiempo siguiente •
El programa citado tiene en cuenta tambi~n un cierto grado de no linealidad provocado por los desplazamientos , a través del llamado efecto P -delta , que consiste en llegar a e•tablecer el equilibrio en la posicion final de los pilares verticales , lo que implica la aparición de momentos de empotramiento provocadas por el descentramiento del esfuerzo axil respecto a la directriz nominal.
Otra posibilidad que debe mencionarse en este capÍtulo es el tratamiento con subestructuras en problemas come el de la figura ~
BALSARA & NORMAN (EESDJ \975)
FIGURA 7
donde se manejan medios muy distintos • Esta tJcnica permite en algunos casos simplificar al problema enormemente al tener en cuenta la posibilidad de concentrar las efectos de una subestructura en el contorno de la otra , tal como &a vid al tratar de los problemas de interacciÓn terreno-estructura t{picos en el calculo de las centrales nucleares Cfig 8>.
En este sentido es interesante considerar las posibilidades que puede ofrecer un método como el de los elementos de contorno para simplificar la obtencion de las caracter{sticas citadas (fig 9 >.
15.18
+
+
ll
15.19
r---1
"
15.20
Finalmente , en la tabla III 5e incluye el proce5o de discretización que conduce a las ecuaciones dinámicas representativas del sistema en estudio. TABLA III
q = - e U.. -"tb IV "- DlSCRt.Tl ?_ACtO~
i, = J...J 2_,. ···.~ 111
'll
iLU u.~ ¿__ ct · LV· n l d d
(h
~- o_d (»~ LIJ· ~ 4';) m , *
+ .2_ ad. (e l{J_ ) LP¿ ) + 1 d
VV\ X+C~+k X::: 1"\.."' lVI\.. ~,..,.
15.21
3.RESPUESTA DINAMICA
Una vez que cargas y estructura han sido modeladas es preciso resolver las ecuaciones del sistema-Las tablas IV,V y VI recogen TABLA IV d (
1) A Y\~ llSIS VVlD c9
Ya.X+Cx-+kx.:: F ~"\,..-/"\.- of'\...1"'\..- ("'\..A,... "'-
fYVb l ~m~ d~ óluto c..1:J.lo ras
[- ~ w"t-+ t] 9:_ =o --7> ~ x~ 4 ~ ,...._ """ ,.,.,
( cfnn <b) ~-\-e cp1c 4) ~+ (cP\<t>) ~ ~ q} ~ ('\..-" ~ 1'\. ,._ 1'\..o- _,... ~ 1\- 1\. A - /"-
este procese. TABLA V
15.22
¡¿, ) 'Re sr u asta. . €A.t.. i 1'"-Q: C-u Q..v¡ ci Cl
~1·x +ex~- k'>< = fC-L) ('\..-.~'\...- /\...1"'\.. 1'1.- 1'\... /'""\.-
~{el)= <f}ffCt) = ((Jf'~ 1 ~F2 ;--·· :J;'F ... / XCo()= !?fx{-LJ
(-o( 21:!:!- .¡_ -¿"~ ~ -t 15. ) ~ (O() = ,E{%)
1 'J·oU_. X {o( J.:- fl {ot, c.U) t { D( j
( 1 í. -1 i1 lo(/ (..U) ..:: -------
-k r i - e ~ )z+ i 2 ~ ( ~ )] t1t 'bra.et' ~ J-tf2J ~y)'~
sx(<><) .:> t-\ e~) c.)). +f ( o(l 'U) S:.w )~ 1 H-¡"2. s_f' (11 . 3 . el. (> ~
R~Co )~ ~ ~[ L§J o() ,2f e~~ ~ (r<) ~ 5t J ~; ;2,/o<h c~<f 1 ~ ?r-Cor) <j:1
( .. n?r1
..::1 ) e~-uUVIet~ ck &.:r c.-vt "ti bLtc<cMeJ ~cuty
b) &e-i~ CA~ ck ~ ~d.« c;l;) ~ 4-J; !-IJ
15.23
TABLA VI
S~ d- l-eS~ x ::L(x. -2~ +X )
t .h. t.. 'l '1.- i. + Á 1:: ,..._ t: ....... -1: - t.-1:.
• J ~ - >< '><t.::. _L.... -1:--+A-l: "-t-At-¿-/; 2
~ ·~1;-+~~1:- ~ ~ ~é-= f (t)
( 11M. + ~ e ) x ::::: ~-t' f + /~ ?. ~ "--t+.Ai:- ~
= 6..1? -r + r 2 ~ - .6-1? ~ 1 x-t + L ~ ~- ~ 1 -./
15.24
Las tablas anteriores resumen los metodos de c.lcula adecuados • Cada uno de ellos presenta problemas computacionales de interes • Asi por ejemplo el incremento en numero de grados de libertad ha hecho necesario desarrollar mdtodos que permitan calcular autavalores y autovectores con ~conomia y pr ecisidn , lo que es clave en el m~todo de los modos normales.
1 El programa Vibrapor , por ejemplo , esta preparado para el analisis modal de pÓrticos planos en un IBM-PC • A continuación se incluyen las subrutinas que realizan el calculo de autovalores por
PROGRAMA ·" V I B R A P O R .. Este programa realiza el calculo de las frecuencias propias y modt de vibracion de estructuras reticuladas de nudos rígidos.
~***~**** DICCIONARIO
~NN
"MS "NF "N3=NN*3 'NP=N3+1 "N=N.3-NF .,. M 1 ••••••••••• "A <N-3, N3>
"XXCN3,NP> :o AM {M 1) ••••••• 'VCCN,Ml)
"'X<NN) ~v<NN>
'IG <N>
'Z<N>
Numero de nudos Numero de barras Numero de g.d.l. coartados Numero de g.d.l. totales
Numero de g.d.l. reales Numero de frecuencias a obtener ( <=N ) Matriz de rigidez de la estructura total en globales, sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la inversa de A y acaba recogiendo el producto <INV K>*H Matriz de masa en coordenadas globales Vector de autovalores Ml vectores modales de un numero de componentes igual al num~ro real de g.d.l N. Vector de coord~~adas X de los nudos Vector de coordenadas Y de los nudos
Vectores auxiliares
~NSlNF> ••••••• Numero del g.d.l. coartado 'DC<6,6) .••••• Matriz de rotacion 'SM(6,6> •••••• Matriz de masa consistente elemental en locales y
globales. ,52<6,6> •••••• SM.DC .Matriz auxiliar para el calculo de la
SM en globales :ovE<N> •••••••• Vector que va recogiendo las diferentes columnas de
la matriz CINV A>tM
'********************************************************************:
15.25
un procedimiento de iteracion inversa y barrido •
70 71 ######## PROGRAMA PRINCIPAL 72 73 81 OPTION BASE 1 82 PRINT 83 PRINT .. ANALISIS MODAL DE ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS" 84 PRINT 85 PRINT .. Numero de nudos .. 86 INPUT NN 87 PRINT .. numero de barras .. 88 INPUT MS 90 PRINT"Numero de grados de libertad coartados .. 100 INPUT NF 110 N3=NN*3 1~0 NP=N3+1 130 N=N3-NF 140 PRINT .. Numero de frecuencias propias a calcular(menor o igual que .. ;N; 150 INPUT M1 151 7
152 7 D1mensionamiento de conjuntos
160 170 171 ,.
DIM A<N3,N3>,XXCN3,NP>,AM<Ml>,VC<N,M1>,X<60>,IG(N),Z(NJ,NS<NF>,Y<NN DIM DC<6,6>,SM<6,6J,S2<6,6>,VE<N>
172 'E~j enviado a formar las matrices de masa y rigidez, a invertir esta 173 "y a formar el producto CINV K>*M 174 7
180 190 200 210 211 ,.
GOTO 1760 PRINT PRINT"Se estan calculando los .;;_._¡tovalores" PRINT
212 7 Se calculan autovalores por el metodo de las potencias 213 ,. 220 GOSUB 350 230 FOR 1=1 TO Ml 240 PRINT"autovalor= 11 ;AM<I> 250 PRINT 11 frecuencia= 11 ;SQR(l/AM(l))/(2*3.141618) 260 PRINT"El autovector es .. 270 PRINT" " 280 FO~ J=1 TO N 290 FR I NT VC < J , I > ; " .. ; 300 NEXT J 310 PRINT 320 PRINT 330 NEXT I. 340 END 341 ' ~~####tttttt#tt############tt##################tt########'ltUUt## :ttt#lttt##tUUt###
15.26
1 Evidentemente el metodo no es el mas adecuado para problemas
350 MN=N 360 NN=N 370 GOSUB 1240 .380 M=l 390 FOR 1=1 TO NN 400 VCCI,M>=XCI> 410 XXCI,M>=VCCI,M> 420 NEXT I 430 AMCM>=XM 440 IF M1<2 THEN 230 450 FOR M=2 TO M1 451 , 452 , Proceso de 11 barrido 11 de la matriz
FOR 1=1 TO NN K4=ABS(XXCI,M-1>-1> IF K4<9.999999E-06 THEN IR=!
NEXT I IGCM-l>=IR
453 , 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780
FOR 1=1 TO NN XXCMN-I+1,MN-M+3>=A<IR,I>
NEXT I FOR I==l TO NN
FOR J=1 TO NN Zl=MN-J+1 Z2=MN-M+3 A<I,J>=A<I,J>-XX<I,M-1>*XXCZ1,Z2>
NEXT J NEXT I FOR 1==1 TO NN
IF I=IR THEN 710 IF I>IR THEN Kl=I-1 IF I<=IR THEN Kl=I FOR J=l TO NN
IF J=IR THEN 700 IF J>IR THEN K2 = J-1 IF J<=IR THEN K2=J
ACK1,K2>=ACI,J> NEXT J
NEXT I NN=NN-1 M3=NN IF M<>MN THEN XM=A<1,1) XC 1 > =1 GOTO 790 GOSUB 1240
780
15.27
grandes , por lo que la citada subrutina solo debe tomarse en su
790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200 1210 1220 1230
FOR 1=1 TO NN XX<I,M>=X<I>
NEXT I AM<M>=XM M4=M-1 M5=1000-M4 FOR M8=M5 TO 999
M6=M3+1 M2=1000-M8 M7=IGCM2>+1
IF M6<M7 THEN 960 N9=1000-M7 N8=1000-M6
FOR 13=N8 TO N9 1=1000-13
XCI>=X<I-1> NEXT 13
J=IG<M2> X<J>=O SM=O
NEXT MB NEXT M RETURN END
FOR 1=1 TO M6 Z3=MN-I+1 Z4=MN-M2+2 SM=SM+XX<Z3,Z4>*X<I>
NEXT I XK=<AMCM2>-XM>/SM FOR 1=1 TO M6
X<I>=XX<I,M2>-XK*XCI) NEXT I SM=O FOR 1=1 TO Mó
IF ABS<SM><ABSCX<I>> NEXT I FOR I=l TO M6
X<I>=XCI)/SM NEXT I M3=M3+1
IF M2<>1 THEN 1200 FOR 1=1 TO M3
VCCI,M>=X<I> NEXT 1
THEN SM=X<I>
15.28
1 ,
capacidad educativa.Segun se indica el matado actuAlmente mas usado es el de iteraciÓn con subespacios que aprovecha la posibilidad de modelar la respuesta como superposicidn de un numero limitado de modos y utiliza para el cálculo una proyeccicn semejante a la planteada al estructurar el m~tcdo •
El método de respuesta en frecuencia sdlo ha sido posible tras la aparici~n de la transformada rapida de Fourier FFT • Su uso es continuo en problemas de interaccion terreno- estructura o análisis probabilista que es otra de las ramas cuyo desarrollo esta siendo espectacular •
Finalmente los metodos paso a paso son ideales para el tratamiento de problemas no lineales aunque exigen precauciones en lo que se refiere a los problemas de estabilidad y convergencia •
Muy popular ha sido el metodo de solo es condicionalemente estable en el esquema de Newmark correspondiente tabla.
las diferencias centrales que , asi como los metodos basados
que se esquematizan en la
En las paginas que siguen se recoge un pequeno programa que ofrece la respuesta de un sistema con un grado de libertad y una cierta riqueza en la caracterización de sus elementos resolviendo las ecuaciones por un método de predicción corree~ ción : el llamado de la aceleracion media •
' r) .. ll.T,"l."t.-,..r;At"l~·.i:·;·~-~;.-- - .. -···--~ 1 --t-l-F+J-f---t.t-1-~ ..-1,. ..,--;. ~-! ~-H; .,.4-------
•. oc; t:~J 1 vlu tl;t¡(JJ(.;f, lllCA,II,( 1 X 1 )1PI
liOUUll;c LLU A(,:A-t•X-<.•XP --t-~hH.H~--#t~b------+~H4Hl'itt•---------
o U U O l O 11 L r. O 1 ~- U
__ .,.,._f--6:-·~----
15.29
ell1 1 L 1.1'1./l"'.t,,to,/ltl:,
-~'1 ••&.lo 1u ~~:,....;z....¡_~¡_~.u.,..J-.-III'l.IOCI .,lU L ~1'(11111. rLPt.lliC l'i7'1
l.!OOuO;¿ IJI.IJ L -~fJ.b'=l...s-----t> 1. A 1.: l.t-HrG-1+*-• h J 1oo ------·
UOGilLI'• UL(J L ............... ucoon •, t..:rr. e
~O~~Y4----"--.{-~U----4o.--- -~:~P-~-l~--J..~WA.l.------llCJiiG/ ulfi L Tf:Jt-t~,lf.f,ll fJI,/•l IJCUt [JI' IJI Ll l /II:JI,Li•l t'l f,T•4 IJE. l Jl MFU
---""'~I.U P<irU---1.:--__,),...,Ior--.... "-'"-A"-1·(;... -J-~.¡...AL,,--------------------------'"'-(.')U!Ill: t:'J'J c. x.J'Ci:~tUll.ll•l·'' INfriiiL L~Oilll L..[U L 1_1\I~(.U.:IWUUh t.lJP'I~.ll;l.l
-~'lu-U-.1.-.i-- .-.~A--u~~--!. ~~¡.J..A-----·--·-------
L. O (1 LJ 1 ! 1 ", U t 1· 1" 1, ·¡ :-: 'J ;, lli 1~ IJ 1 l /, 1 ' 1 H l U IH.1 11 (. 1 e •"' UUúlll.. UUJ C xl:l/111.11, liLl t-'11/P'IINIO LN lL li\I\TAt-.T[ l
--U-t;.Q.-4,....._ ____ , L Q " • ~·-~l-ll ... ,q,.,~~---4:•\... -v+L--0(.-UM"--b·k-...f..t...-l~~lA-U.lt;...-!-------------llC~IIJl! LLU L i.l-l'l=VIILOII L.l LA l.Ullr?A~JOio U.: ll IIJ~IANl(
lt!J(It¡] 1 lJLU L
-JJ.CU..C .L-1.;..' ---~· .._c;.;.;"--'CI.--__.I';..J*IL<*IL&+.a*..IIMt""'4uéu01L.'M1L----
I.G(.íl;l•· L,Ul C UUIJI:lll IJtU C tt.t~ALA (lf 111\ lOS UUJL lA~
-~U~.~~------~~~~~~J~--4(-------At~•u+u•~$~•••~*~·~A~·~9~*a•••~•~•~v~·~e~•-~~~~----------------------------------------LLUtl; L[Q L tJCIJIJ23 l:lO t:
---f~U~~~~~~------~1·~~~~~~--~~-----~I~r•t~A~u~~~~~-------------------------------------------------UIIJI'~' LCll l. Jti" 1 X0 1 1PO,TII,H,~I,[k~llll,,.lTOD U C U (ll e: L l U C N f 1 P 1 1\ ~K , t, ~ l , t.. V U
--~~~------~~--~----~~~------------------------------------------------------------IJilOIJL'I· tillO e c.:opc u u o " 7. ·~ u t o \,; L n ~ r ~
----U~~~J~·~------~u~~~u~--~~·--------~~----------------------------------------------------------------------ucJUJI UúO C •~••••••••••••••••••••••••• OUUll32 GCU C
~uu~·~~------~~~--~------------------------------------------------~--------------~------------oouUJ't OGUUJ~
L!(l.l
l:LU
c.; e
UOIJG3"/ ULIJ C.
liU]A L~Uf.HJU
········••.;•
UUUII~" U(.U C ~t".lOU:í f'\LlOUO 01 LA AClLli<¡\((ON llt.llJL. UCOI,;,\.~oL----4.1U~',.¿,r;....· __ -.~,.,. ____ tc.ec.¡_rUl.U..::.U-l•l.l•l'l' UL LA •nlii'o 1 1'l0" H[DI 1
U~UI' 1tlt Cl..ll '- ~l.lP:I f#JI.JIJI.,',AMCWrll,uAHJltdO Y Pl~ll.fHtAClO~ POLlNOHJCOS. UIJUflttJ OIIU C 1\IJP:l ~Jh, Y AMlrl!l, PUL!I~Ut1JC'O~ Y flU~T. T~Ot,.' 01. ~Alf\W[S,
~4).UCI.t l,lLIJ e· ·~•¡u·~~¡,¡.l- .... ~U-1 ftCILA IJ~ ~I.I.OicL\i O t'UfiC.I-tu.I~L..,¡li------
UUUOitl tli.Hl C ''"~: f\UHI.I•ll l•L t;ltlfl1..1Lt-4H.~ f'OLlii.O,.IO ul RlGlULle UO~OII'I LLU C ~~~~: "'IJHI.hU Ul CIJll·lt.:llN1l~ POL1Mli'Jfl lJt: AHOklJ(jUAHll "10.
--41~~1;111 ''(!! r.: • \~~U.l.,...J.~--&.14.-~l~U • ..U...N-U .. ~-it.~~-1-41--4'L Pt.RII'IHtACl..Ou..-------OUL.Jnllc. lJl"U C.: l!!l.ft<:\'AU.I, Llll JtJfr,JL!. ldLJfd..'. U 0 O O 11 1 1, r: U t Cl' U C : V~ U. h l fl !" l (.1 Ud 1:. ~ MI (J k 1 H> L A f' Il f\ T O • UCU.IJ" 1 ''1.:1' { _ 1 C•krl ~.:.~~l: .• u; . .J..IrJ..l~~oo,..;,:.i~l~l.~.-<1(~1 -40"~-~olo~·~ ~~~"-------------------ur;Jf:&¡•, LLU (. H.:fi,I·LA l/,'•LUhL'• f•IL!IJLio UUdd'·l Ll.ll t. JC:fA1.LA ~Hu,~L~ AfluldJLrUUllUHG.
~C~1 C.r.U ' l' •fA••&..t I!ALI.iH.~ -""-kii.!~Ol·~lO.U----------------------~CUQ~~ ~co e OOUO~J U[O l ········~~··"' -U.CU~!..· ... ¡ "-''---"'-'"U!-------------utúl:.~ ,,te t liLo• L·5 '- t. lO (.
~-~~~1'~·~~~-----~~-------I.;U~c~·
lJ CJ(!'J .,
uOll!\c.l
Ll IJ l,;~ll
•·r
1.( l1
c. l
f'1Cll(t\t1A f.'f.hr. Ll f ... !:dllfilO úE ~ISTu•t.S llE PrflHlR (iiU(JO POR t'llúOUS · ...,,, tu t t e 1 (.¡"' -e oH .-el 1 L N
15.30
u e ll t: ,, :.. L '- u e 1'1' ro ~ r " t .: P 1 1 , 1 "' e ~o l 1 , 1 L e ~·u 1 1 , e (¡ f H; e H , e u u 1\ 1 a 1 , e o r f' e e e 1 PPEOU1110
~~·.¡.,1(¡.,.,~}---~ll:rJ t-U~-----tl~t.+J41 ~"'tl~"*~ h-~·Wr-r't+·H4y.,l, 1'4-yJl-~ -P-1-IJ(Qf,f..l¡ uCU ucur.bs ut:o
l. (. llt:TUkA (J( LO', lll'lt..'.i In UIIHAilA
--------------------------~~~a~~O---------PRE.fOIIVC PkfCOt.>IJC
-wG4.1-~H lo Ion li ·-------·--· ------------------____,ffl.'~n-bl..f.lU~4.!~t.-r-l¡~.¡,¡...----ll t o e{, 1 ld. o l r ~:. s u o u e b ~~ 11 e u 1 ~· " ~ b
~G\.-+.~----~+~-------~W.'"-4-l,_.~t+l-4.--L _,.,, '-'';..-----',U U 1] 1 L 1 f. U f 0 tcl~ 4 1 U L f. 4 1
·-· J!.I1LlJU.;¡.~•2u.U--P11l CU~.JO
lJ e :J u 1 1 ,. e u ~- ¡; r 1 e , J ·~ r , il 1 ' L t4 e r- ~< L n u • 11 o ~u..¡qJ t.cr:¡ 1 ~.(J.k~-t-¡.~~-4J-.4.¡.__ ___ ¡qa.~.,yst.r..----
' Q(¡¡,¡_; ui.O t.l #Jillltt,•otiiA'" 1 ~v 1 APU 1 1ü,lf,AI,L,I·'PlfJ,,..l1Cil,flfJHPIC I·HLU(~LO
lJ '"l J fl / 11 1 ¡ lll 1t 11 1 (¡,..,.,A 1 1 H 1 t 1 • '' , J ~ , f" ~ • 11 l P 1;[ U U 5 lO -~W.l.) 7 1' 1.1 1 11 &t ~~-WU-J..~.o--'4..1 IU..tlJ~.tU!-----
l (1 U 11 11.. U U 1 ~ le 1 ,f l 1 1 t~ t-' 1 ! 1 ._· 1 r 11 , Hl t A J• lJ 1 H t A f 1 ( R 1< O f. , X " P IH 1.1 U 5 9 IJ
l,CUL!/1 U11J ll12 ro;II'II\11//J-.:..:':.AH~ UL ll,ll-c/IUA'/II~.a 1 f.(.NlJILIOI~f.~ 1Nl(JAL(S 1 /I5li.'Ttd:Pinft.lt•llf.' - .... oow~- "'"~-~,.t-\IU-----4-l-41..:...&.~!~..¡+.~L-.... ~r!..4.. ... JU'--l~.:...!.._.,.~.~~LVt..~~-l--OAO-', E:.l ]., L 1 1UX ~-I~..Af.IU..UC:U~-1-~,;----
UCüL7'' uliJ ;!t.H· FJt,t.L.::',LU.~/lúA'Hn.:HLIIt.til() lll 1Jt:MJ·O:',t:12.!:.110X 1 f:AJ,'OR JolH'lSPih(j(lf•i.'C I'CULfo.l, llt..fJ ..!ll'l.l:',t"l;..•./ltH,'t¡A~A L.¡·L ~.l~.Tlf"fl:',fl7e'd PPLI.(Jt.3r
......... a~l+-o-1 r u 1 ~ '"' , . .( .. ~~.M_..Io),' ._ ~ , •• ""--..,"' ~>~--- _____., llLllú.t..W.uLJ..-----I·:;urot~~ ¡,LO J fOiiMflllltl',l PPlCUt.~(
t. IHJ ll ~ ~ t, l. 11 11 e 11.: T 1 P - ¡: 1 t¡ , '-l 1 l• t-> 1·' l. (;U 11 b ~~ .. 4,.LU-i,;.lio" IQ 11 1~-'-j,..~'--J-.'-W.Ji..._________ ~-'-tLIICttl...O...-----
u (J U L <· ~ l• 1 O 1olll 1 t:. 1 1 t1 P , 1 1 J 1 1 L li ( f ~ 1 M J t K : l t 11. V 1( 1 f.·f¡ L lJ U t: d lJ L C u 11 1 ~ ~. U L U l(Jl f O td·-t A T 1/ 1 '.Jo, ' C • t"l. 11 ~ 1 lL A • (. lJ( f • [) l l PO L1 N l: t1l O '/8 (lf )( , f 1 1 • .. 1 J P rH O U h ~ C
-...i..C~i 7 ·o~f.lJ ¡.¡ 1\.t~-L~~.J...l~U-4:- JH.J;UUlu----LCGI."h 1,.CU lol<lllllt-~l',!l.t¡JILULFCIIUIK:l,t~VC) Pfi(IJU110 Cl:Ut:!!c,. LCU lOit t-C"l-1fdl//~.>.'(.. U[ AHORlll,UHiffNYO. CO[f. Oll P0LlNOMI0'/8C .. X,fll.lfPinOOl2r
-----------------JI:..UL(lJ.llU .. --,~--,, . \J l1'' 1 uro J ,. 1 ,u T 1 r·- ~ 1 r, J 1 b P ~ r r. D 1 4 r. ur:l~JC:'U l.lO HAtJIUC,4IICOLf(; F-'llffJlJ75U
_L,.!J.u_,_r .;;.(·....J''----......¡.,, .-~.1.·~ fJ-J -----~b -"U...1.L~l U.I.J:H- , 1.' • ' t ~o· •ll~< l ,.K...:...l.-..-111 ........ ~--------------------~ur. D .J lt..D-~--- _ Uflo.11:'1'• : ~~~ ll'~ lll .. t-"11 11//-.,)'.'l'unt~l\l-tALJlifh llll..f. Lll POlli\Ot1l0'/811fX,(llelfll PPlOU7H u r, u ·~ ., ~- ú L o .. o r u 'J P r. t r o 1 u e
-Ü.~-~f.;.lOSI4t-----1.1 ~1oo-l' OJ-----:t.~-1-1· !....U.0-\1~ .. ~ ..... 4------- L-UU-1 ~.C....-----ll r U¡ 1 ~ 1 U 0 (1 b l• 1. A 1.í 1 L l C , li l 1 1 TU 1 t- J t K: 1 , N V IJ J fJ R l O U f' O O lJ r: u r¡ •n u :... o o. H 1 T ~ 1 1 H f' .t 1 o 1 , P " L 'J u 1! ¡ u
~ioM..-"---_.-~o!".~,•J.__ __ ...¡l....ll._.~~f'-""0~1.·~-LU..J .. J-.;;...Ll.li!.Uw...LJWAf 1 '1 t1 o 1 A-41U.'"""L""'"~LI~o~-1 ..._t-v ..... • .... •...,•> .... R....._.(..a~~· ... l.._ ___________ __,puQI!..jlt-(,c.¡..:.;.~ié~O-----I · C (¡ l U ~~ 1J C O 1t. ~ 1 l E 1 1 ~: P , 1 1 • u ) 1 1 L: f X ) t J( ::.: 1 t N V U ) 1' 11 [ O U fl JO UOUlOl t..CO lO«.t fUt-c1oU.J't~ti'IX 1 t ll.ftll PPJ.r.Clft40
-4CU.-U;;¿ veo t o 'JO-!:. tL.nll!..C---··· 110Ul0l lJl:(l b lrt"-VI\Illtll,U PWI.fJUtli,C· 00010 1t OCO 12 J([I\IJtll.t,•ll) lltll~ltK:l,NyKJ Plé(11Ull7U
-4l.U.l.l &.~IJ...;¡•.__ __ -4o!UL411-1.10~-----h -"'!...t.l~(....t..J. ' l..!l.IJ..o::..t!g.b~O----
UflUJ(II: \,LU 117 tli!/H/\11//!,X,'l• ~LA!..f'llAo HlilA L( VALOIHS'' PPLCOil'iC iJOOit 1 UCIJ t.hljlEill".t·,ll't..lll"~(K,,'t<:.l,h~KI PUl.IJUqUU
--C-4J..J..4iiJ~HL.._.---4-ol ·.¡.;f'~C·-----*! ..\.-1-.J.U~.J-.W.-r• ~l "Tt-J.J...;,;.~· -+~----------------------------........f'..JtW:C..'l..J..C.-----~-lJij u 1 ( 1 •, 1 i.. U 1 j t- u.l11 1 t L l: , •d l 1 ll: 1 ~ ) , t\ :. 1 t t; 11 t.: 1 P JH 1J lJ ? i lJ
(JUUJltJ IJCO ;..RJlt.llMf',!IIJI PIJ[IlU'rJU -U.tJ.u..w ..... a-----'~~ 11 u t a,a,. 1 t 1. ', • 1
( u¡,.....At:UúUJ...tM.~.Aü.,U....N...I..u T • ~11.• nr vu owts '' P..B.UlC-9 ..... -4.1':-----t tU 0 1 14:' lll. O 1o "' 1 H 1 1 ,_. P ,! U ;. 11 t ll t, ) t K : 1 , t• V l 1 f' n l O L lf 5 U lcUU 1 l:! uLU lO fu ~ PIH l:U~t.C
-UCLJ....U. .... t.._ __ --~.., ..c.'.J.is....1 -----:St"--'""' .~...cr..!L.'-"'.ut.---------------------- -----------....c:..-1Ll.ll.li.9 L . ._ ___ _ 00011~ UlO C PR(OO~üO UrUlll• U(JO C lN!)IAlJIHCIOI\ [J[ VA~Oh(S lrnUALf~ PRLnnftlíiC
-l-CLW E.JLtJ::..LJ)JJu_ ___ _
' C U 1 1 t• 1J l [1 Jll' f 1 1 ;: :H· O P R L O 1 U 1 [1
'• G U 1 1 '' l. L n )1 r M l. :: X~ O P ll l C l fJ :..: C J 001'"'11 ·,ro xr•J,·yu 1-!: .. U.U ... !l ____ _ f.C0121 t;lU l-:'111 pf:[IJlU'IC L:JUti'~ uro
-l...~2l
UtJ 1 ¿,, ,.., o
uru
II~PH:to
e 41 1 ,:1 rr 1 " , H , x r¡ , IFW , lr e.E.lti.~.-..---------------------...z:.Ju.....u.l.O~', .... ll..._ ___ _
r.:c-¡f-101/Al f'I-I[Clrtt.C
15. 31
(.0J~2". UOJ
-trtf.O·l-é!~
LCíl LU
w~~L~--¡-- -- PRL01070
lo: b~ ~ 1 ~~~t-~.J.~~-í-f L PA JJ~ H~-Aoi.Q'*'IA'WI~-tri'i!"~" .. "~'o-N--------~P~I ...... Ii C-l-U~ uCO L PR(OlO~O
.. .:!uL!• •• ·.:n .._:;_1(1 PJ.i(OlliJf. ~-.,...,..----·4.1...,;...· ------i ...... J ......... ll·l-+1-~... - ---.....+!.kl.·U.ll-Hl--
úUU1!L 1.1.0 :.1 l(·n11AII 1 /'t(J>.,"hl~lJLlALO'S'/17>..-INf>JANJt.'lX'I'(fllLIHtAClO~oi'Pf~LUll~C úOúl!l LIJO lu)'~llwl111Udu"bX'VlLUClú·ltJ'lx'AClLliiACJOI>, 1 ) I'RLllllJC
-4H~~~-~r·----4r~L ~~~-----....,..t .... 1'-'-l· ~+! ~~~~4+1, ~, . ..,.,_.~--... ~-~ ·+4;1.-U !-l ... G--LJ0lll~l LLO t,(; lU 1:1,1. PlhCJl~IJ O ü J 1 ! •t 1J L 0 l ; 1 • A 1 P 1~ t. u & l t. C
-b-irL·His IJ~Q ' ~A-UJ..¿·ll-C--l••i-.J 1 JI. ui.U C l~lliJll.. LJL (.UI\~ JAI, Tt:5 L. !:,J 1 J 1 v L (l c.
-4,{;t.,. }- r,' lj.----llJJ-jK.,~Q~------1<'..;-:..,¡·~·I.:.j·~41..._•~X+ol·~l<._.~._,¡¡...o;..· AA...J-l..J':....c;...· • ..----
P.,L o 11 "'e r·~Ll~1t'1C
·----------------------6oi.U·h~~-JLoC-llflOI Ja, ui~O b:XHlHI"t1l'-ll•Hll01JI9AI/IL•Ht::TOUI•HTCO•xPPHl•AT••ZI6. PIIí:.01110
1-'llllll;.: ¿ (l U C ~ l '• L L l. O X l ...; h l ; X t-. 1 ~U-1'+-l----<'-l..rbb~Q----4~~~--------· -------------------1-1-'>L G 1 2 j U-----
lluJ l'lt uLU lt't.J-1121 rtl ,l;: PPL G 1 't 't Cl L IJL l 4 3 lJ (.U C f-Ié l Ci 1 2 ~.O
-4h~ul .. .-4- ••"' r. III•U'"-~~4..1. l~o.~~-4.~----------·----------------_.,~~-~lJ6oC--ul;l.l••·· UI.U L I·I~U~l/70 1.. l) ;j 1 4 l {) r (¡ ;: 1 J r e l - 1 , 2 J ' ~ j 1 2 't ..... l IJ 1 "} lo 1:
~~+~1 IU 2J )j'l- III~~~~N----------------~---~-~-----~~~~~ IJf~U\••u uLU IAII 10 ..:~ t-~idl1llUC hliUI4'• t..f,O 4:'•t )li•l:)l.tMt•~•U•F11lo;.JIJ pj-·I"Ul,HO
-·~ .• ~ •• l -4·----w...-u~-----lio~w~· -J..v--d..---· ------------.,.-~..,1""'.; , ___ -1: • u 1 ', 1 l. L U L.U~J 1 · • .: '-".:u
e l
1
PkO~[SO U[ (0NKLCCJON
----L-Gv ~ ···------<~#--"""""----------.-l, C l; l · lt tJ l. 0 ~· 2 X 1' 1 : A i A P P,. 1 • l. l 1 t. • LIUUl·.~ Lllll t'~ )l.l;:l•+)l.l'f+-'1/L' ... I'ILluUJ
--Y w_.,t.l ~¡.,...._ __ .....,....,~l.rt;Q,._ ____ _.,I.-Mt L-t.--A~-1,--J.-, ~ ,¡ , > il ,¡ ,~ .).. lJllJ1~1 u.LU JffAd~IIXl-XJJHll/XII~li~HOiiiJO,JO,¡L
11lul~-· ULO e·
l'llL Li 1 J .10 j•¡<[ o l Jii o
p.~ '· e l-J:.. ~---..,,;te 1 ~ ... e P~..:t. 1! 1 J 1 e
-----------------+!1-H~-G &· 3 ... ~~--I'IHCI.!S( Phl.t 1 'lut'
~~U-l &-~~· ----ll.loi-<IIArü-J--'a"'.--~E~~.._.~¡,J¡.;.'+! ~l U·+•·A-4ri.--tr-~~ --------------------~~H.-0.1'1~~----GCLlLL LGU C 1. C l• 1 " 1 l. U 0 2 b Al' ... M 1 - )1. P P 1
--a~.; ! t------a·..L""u'-----.· .... J--,)...~-..;:.;...¡.... U001t.J LL.U :!U lfii.Ll.llt1 .. 1ll h(J 10 3~
úiJUlt'l 0(.0 ~oldllllHP.'tllii,Pikl,Xl,XPI,XPPl
~-t.~ w v-:.----llrrii3L-wi.I..-----'+'I.¡,¡U,__.I_...,.'. ~A-k-~..4-,-4.~ .... :,...~ IJU.:.Jt.IJ vL(I llHh~.:.IJMI'li+AilrH·ll
~f1Ult..7 UGO 3~ Xll'l/:.».tJHl
--l..~o.rl4..oo 1.1' ~~J.Lt--.....--------lj e~ 1 L.., den }.1' .- 1': 1 .: Id' ... 1 uO-.~llli UCU H•t:xJ
~Hl ¡;,wu 11.1 ~ '1 , .. ,~~.~~ ~0~11~ UOO ~JUP
IJ 0 IJ 1 7 j Ú i.J 0 [ 1\ U
lt.ú [LI.
PIH OlltlC PUL Cl 1•• J C
-~JU.-I.U~ .. -t--
PnfUJii70 .. ~.u.&.-U 1-'1 g C---
Pflt0l4\ol: ----lW-l.LJ.-!..;..ü.----
1· ''' e 1 ~· 1 e P•il IJ}t¡.(O
---fi-P.Wfl··l ~ 1-~·~ Cl'llt. (J J !..'111
f'Rt Cl ~ ~ll
15.32
•lt'l ·,\' .. A ... ,.lv; i:ir. ~ ¡·,-,-Á;..i;. -4-~J;, J..J-..H-l~---~,;.·.¡ r r-.4-J..I-~W..,..~-----
':OOt•JJ ,.L11 )I,!Jiltltlllol. ~l[LCI,I,~,.ü•,xPP) P~[COOlO
(. PRI.t'UO.'C
---+-+J--~-W,.~~~P-A...._._., L '"'' ~~~~-'~' --~~..-+-~•·4.'~•~.,.~•~~-• ------------~f-&~no~c--L PRLfUO~C
t tl"' ~o '· ' 1.1 e •. 11 1 1 , 1 ti • 'u 1 1 , 1 e e , u 1 t , e o [ ' o • , • , e Ol r K 1 a 1 , e o E F e ' a 1 P u L ~u o ~ r. ~-----~4...-t.;~u~~k-~-.-J...ijK-rh~y..._~.¡.~·-~,,.,..."',l .. ~.n . .J --------------Jo~~U-{}1-l~O-
Jrtt.fll'·liJ,;~,J f.'lquL;IJlt. A ~e_ u l. 1 .,. t J 1 f•ltl IIIHH~ C
...a...---~~-----....¡¡.,..¡:,¡r.• _.¡¡.+-~~ . .,.~ llUL~lHJ-~.t-
11 A:;AtLI.I.f"l.lll~~>l••tl·lt Pl'tl:lJliJ(' ~o:AI~t- f'lll!l!Jllü
4-.o~--~~,__ __ _..,l~!.-t-.~--1- _J::U.OJ..;.:.C_ 1 111 1 l l : ¿ , r·. V M P ll LlH l 1 J O
11. (l:tP((lfKCLI.f)(••fl-J) PI!LC(J!ItrJ
----U~~~------~~~·~-~w~~~\~•~------------- -~L~J~C-< : <.. (¡ t f L t 1 ' P P 1 o r; 1 t~ r tC: 1.1 L=4',kiiC Pt/l.rl.l7C
·----4~"'----1...1 ~J_¡,t,...;·~· ... a..· Ir..,_¡," 1 U-~U...l.~-L.l...=..U.. p~~C.L' U . .L. L:t/X~ PHLCU!~D tO 1 (1 J IJU Plll C()i'IH
---~n.J------4J._.J u..a...~..)..l...~-rJ·.. _ __,l! "-L.~~~ li:.-;' 1 /. : IJ t t 1 , X , } t' t 1. S: P 1 1 X t4 P r.t {'U ( 2 Ü
hO fU 10 Pt-1lOo7H1 ----v~~---.... .,.,;...4',¡,.· -·--_.t.V,.(-.l.a.l-.)..J..II.X~'41----·---- -------- _1~14-L.Ut.:.,!Jo!J.
t.O 1(1 111 ~l<lúlj?:,r;
) Jf(IIVI..JSl,j¡,]¿ rll[fU'?t.l!
~~---~o~~---..Ja..&I-P.."..:;-.J.O•';.a:'·-+-L 1-,-X-,-).Jl...-.'I'P 1 'XM ------------------------'!llt:.IJCi lC-l. e 1 u ·) ! ' 1> •' t L u ? L r
H A:túll•l )IH1 PRLllO('tfJ
~~-----4.~J.----i.t-'J..J-.&.I.L'...I(..l-'-\I..IL)..~U.~...,.J.i--- ------------------------llUCu.!U0.-3 ¡¡ 1.1 : f ~. 1 1 , X , )t :-a , X f' ~ J 1 X H P lit l" G 51 1.!
t.O fu l'• PPI.tiU!:O
u..---~S~' ~·--;;..&-1 a.l< .W.J-l-l..J..X.,.¡N"-----r'---·--------------------------'Ui!. O u!,! C-]fl Jfi~V(I.H,J/,JtS 1 P•IL(l(:i'lll 31 C::t~lt,x,xP,XPPI)l!H f'illflOi~U
.,._ _____ _......,. ¡;_~¡.'. _¡¡ l..LI~..:: ~'-
lll l: 1 (; 1 1 ' 1 1111. M . 1 ' J.l JI L IJll 5 '1 l'
lUU ~pp;AtCA,l1rCrJC',UiJ PU(llOJbO -~-----•"-"'-----_¡~.L,¡,r -~~..-..a.J4. ' _ilJ..(..U .!~J 0-
IH f U tfl\ P P t. 1 • fJ 4 fl C (P,lJ f'IILC04lC'
