Metodos Numericos tema2

5/11/2018 Metodos Numericos tema2 - slidepdf.com

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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 2. Raíces de Ecuaciones No Lineales.

Tema2

2. Raíces de Ecuaciones No Lineales

2.1. Introducción.

En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que resolver ecuaciones deltipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere conocer el valor ó valores que hacen cero laecuación. El procedimiento común a seguir es intentar despejar la variable x.Desafortunadamente, en la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposibl e. Sinembargo, la solución existe y debe ser encontrada. En este capitulo veremos como lograr esto.

2.2. Definiciones y teoremas básicos

Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el nombre de raíces óceros de la ecuación. El problema de hallar estos ceros también recibe los nombres de:

búsqueda de raíces, búsqueda de ceros, resolución de ecuaciones, resolución de ecuaciones nolineales, solución de ecuaciones no lineales. Para resolver ecuaciones de este tipo existen 3tipos de métodos:

• Métodos Analíticos.

• Métodos Gráficos.

• Métodos numéricos.

2.2.1. Métodos Analíticos

Estos consisten esencialmente en despejar la variable x en función de y. Un ejemplo bastanteconocido, es el de la ecuación cuadrática.1 En la mayoría de los casos prácticos, esto es muydifícil o imposible. Por ejemplo, piensa unos minutos en como despejarías x de la siguienteecuación:

e x x + =3 0

2.2.2. Métodos Gráficos

En estos métodos lo que se busca es trazar la gráfica de y=f(x). Los puntos donde se corte el ejede las x serán las raíces. Estos métodos aunque muy generales, tienen sus inconvenientes:

• La gráfica puede ser difícil de elaborar.• Es posible que las raíces estén ubicadas fuera del intervalo gráficado.• Los valores obtenidos no son muy precisos.2

1Se resuelve por la conocida formula general o del chicharronero.2¿ Por qué ?

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Por estas razones no son muy recomendables, más que para hallar valores aproximados.

2.2.3. Métodos numéricos

Los métodos numéricos como se comentó en el capítulo anterior, generan una sucesión de

valores, que se aproxima a la solución, en este caso a la raíz. Estos métodos son más generalesque los analíticos y mucho más precisos que los métodos gráficos. Por estas razones se empleanmás ampliamente.Para usar estos métodos, dado que no requieren de trazar la gráfica, requerimos conocer dealguna manera por donde la función tiene raíces. Para lograr esto se emplea el siguienteteorema.

2.2.3.1. Teorema del cambio de signo (TCS)

Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x) es continua y además f(a) tiene signo opuesto alde f(b), es decir, existe un cambio de signo (CS), entonces por lo menos existe una raíz en [a,b].El teorema solo nos es útil cuando se cumple, ya que en los casos en que no se cumple no

podremos asegurar que pasa. Por ejemplo es posible que existan raíces, aun cuando el teoremano se cumpla. También es posible que exista más de una raíz, cuando se cumple el teorema.Esto se muestra de la figura 1 a la 4.

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En la figura 1, se puede observar directamente el teorema. En la figura 2 se ve un caso donde elteorema no se cumple y no existen raíces. La figura 3 muestra un caso donde el teorema secumple y existe más de una raíz. La figura 4, es un ejemplo donde el teorema no se cumple ysin embargo si hay raíces.El problema de resolver una ecuación no lineal es muy antiguo. Por esta razón existe una grancantidad de métodos. Inclusive todavía hoy en día se siguen buscando métodos nuevos. Acontinuación se expondrán los métodos más comunes.

2.3. Método de Bisección

Este método es de los más antiguos. También se le denomina método de Bolzano, quien fue el primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se requieren las siguientes condiciones:

• Conocer un intervalo [x0,x1] que cumpla el TCS.• La raíz debe de ser única.

Si se cumple las condiciones anteriores el método funciona. En caso contrario no se puedeasegurar nada. El método lo explicaremos gráficamente. Consideremos la figura 5.

En esta figura se tiene que y0=f(x0) y y1=f(x1). Primero calculemos el punto medio del intervalo.Este valor esta dado por:

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x x x

2 20 1= +

Si evaluamos la función en x2 obtendremos y2=f(x2). Consideremos los intervalos [x0,x2] y[x2,x1]. Aplicando el TCS determinamos que la raíz se encuentra en el intervalo [x0,x2]. Esto semuestra en la figura 6.

Dado que la raíz es única podemos descartar el intervalo [x2,x1], dado que la raíz no esta ahí. Acontinuación, repetimos el procedimiento considerando el intervalo [x0,x2]. El punto medio estadado en este caso por:

x x x

3 20 2= +

Al evaluar en f(x3) obtenemos y3. Gráficamente tenemos en la figura 7

Aplicando el TCS, la raíz esta en [x3,x2]. El proceso puede repetirse cuantas veces seanecesario. Podemos notar intuitivamente que se converge a la raíz. La pregunta obvia es ¿cuándo nos detenemos ? Dado que se trata de un método numérico, tal como vimos en elcapítulo anterior se tiene que fijar un criterio de convergencia. Por las consideraciones hechasen él capitulo anterior el criterio de convergencia es:

cc Tol n

x x

xn n

n= ≤− −| |1

donde :n: numero de iteración.ccn: Criterio de convergencia basado en el error relativo.xn: Valor de la raíz en la iteración n:xn-1: Valor de la raíz en la iteración n-1.Tol: Tolerancia deseada.

La tolerancia la podemos fijar como Tol x NCS = − +5 10 1( ) , por las consideraciones hechas en élcapitulo anterior. Dado que es posible que no exista convergencia, también se fija un tope almáximo de iteraciones. Por esto también pediremos que:

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n axiter >

Como en este problema nos interesa que f(x)=0 también pediremos adicionalmente que:

| ( )| f x Tol n ≤

Resumiendo, el método se detendrá cuando se cumplan los criterios de convergencia:

• cc Tol n

x x

xn n

n= ≤− −| |1

• | ( )| f x Tol n ≤• n axiter >

Se deben de cumplir simultáneamente los criterios 1 y 2, para asegurar que se ha llegado a laraíz. En su defecto se debe cumplir el criterio 3, el cual nos indicara que no se logrado laconvergencia, en un cierto numero de iteraciones.

2.3.1. Ejemplo del método de Bisección

En el año de 1225 Leonardo de Pisa3 estudió la siguiente ecuación cúbica

y f x x x x= = + + − =( ) 3 22 10 20 0

Entre lo que dejó publicado está la solución de la misma. Lo sorprendente es que reporta elvalor de la raíz a 10 cifras significativas, en una época en la que el instrumento de cálculo másavanzado era un ábaco.4 Resolvamos esta ecuación por el método de bisección. Primero definamos los criterios deconvergencia

• cc xn

x x

xn n

n= ≤− −−| |1 5 10 11

• | ( )| f x xn ≤ −5 10 11

• n > 50

Pedimos Tol = −5 10 11 para duplicar el trabajo de Leonardo.Gráficamente en la Figura 7, podemos observar que existe una raíz en el intervalo [1,2].

3Mejor conocido como Fibonacci.4Desafortunadamente no se conoce el método que empleó, para hallar este valor.

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Función de Leonardo y=x^3+2x^2+10x-20

-10

-5

0

5

10

15

20

1

1 .

1

1 .

2

1 .

3

1 .

4

1 .

5

1 .

6

1 .

7

1 .

8

1 .

9 2

x

y y

Figura 7

Evaluando en los límites tenemos f(1)=-7 y f(2)=16.Para la iteración 0 tenemos el intervalo [1,2] con f(1)=-7 y f(2)=16. El punto medio es 1.5 con

f(1.5)=2.875. El criterio de convergencia no puede evaluarse, puesto que solo tenemos unaiteración. El CS ocurre en [1,15]. Para la iteración 1 el punto medio es 1.25 con f(1.25)=-2.421875. Como no se cumple el criterio de convergencia hacemos otra iteración. El CS ocurreen [1.25,1.5]. Para la iteración 2 el punto medio es 1.375 con f(1.375)=.13086. Como no secumple el criterio de convergencia hacemos otra iteración El CS ocurre en [1.25,1.375]. Para laiteración 3 el punto medio es 1.3125 con f(1.3125)=-1.1687. Como no se cumple el criterio deconvergencia repetimos el procedimiento hasta que se cumpla. Los cálculos se resumen en latabla 1

Tabla 1 Cálculos del método de Bisecciónn

x izq.

xn

x der.

f(xn)

ccn 0 1 1.5 2 2.875 -1 1 1.25 1.5 -2.421875 .22 1.25 1.375 1.5 .130859375 .09093 1.25 1.3125 1.375 -1.16870117 .04724 1.3125 1.34375 1.375 -.524810791 .02335 1.34375 1.359375 1.375 -.198459625 .0115•

•

•38 1.3688081078144 1.36880810782168 1.36880810782895 6.44818E-12 5.316E-12

Podemos observar de este ejemplo que

• El método es sencillo.• El método es lento.

Puede demostrarse que si bien el método es lento, también es seguro, es decir, si se cumple

todos los supuestos que el método exige, la convergencia esta asegurada.La lenta convergencia observada, puede explicarse considerando el concepto de orden deconvergencia. Como vimos en él capitulo anterior, el orden de convergencia, nos indica que tanrápido puede converger el método, mientras más alto sea este, mejor. Para el caso del métodode Bisección, puede demostrase que el orden de convergencia es 1, por lo cual

| | |e en n+ |≈1 λ

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Es decir, los errores en una iteración son proporcionales a los de la iteración anterior. Se diceentonces que este método tiene convergencia lineal.

2.4. Método de Regula Falsi

Otro método que comúnmente se emplea es el de Regula Falsi. Este método también tiene otrasdenominaciones, como son: Regla falsa, Posición falsa o Interpolación Lineal. Su nombreoriginal que esta en Latín, denota su antigüedad. La idea del método es bastante similar al delmétodo de Bisección. Requiere un intervalo que cumpla los mismos supuestos que el método deBisección. En lugar de obtener el punto medio en cada iteración, el método busca reemplazar lafunción original por otra a la cual sea más simple localizar su raíz. Dado que comenzamos consolo un intervalo, es decir, sólo tenemos 2 puntos, buscamos la curva más simple que pase por estos 2 puntos. Lógicamente usamos una línea recta. Entonces en vez de obtener puntos mediosen este método se halla las raíces de las rectas que pasen por los puntos que determinen nuestrosintervalos. Esto se muestra en las siguientes Figuras.

En la figura 8 se tiene que y0=f(x0) y y1=f(x1). Primero trazamos la recta que une los puntos(x0,y0), (x1,y1). Figura 9.

El cero de esta recta esta dado por

x x y x x

y y2 11 1 0

1 0= − −

−

( )

Si evaluamos la función en x2 obtendremos y2=f(x2). Consideremos los intervalos [x0,x2] y[x2,x1]. Aplicando el TCS determinamos que la raíz se encuentra en el intervalo [x0,x2]. Esto semuestra en la figura 10.

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Dado que la raíz es única podemos descartar el intervalo [x2,x1], dado que la raíz no esta ahí. Acontinuación, repetimos el procedimiento considerando el intervalo [x0,x2]. El cero de esta rectaesta dado por

x x y x x

y y3 22 2 0

2 0= − −

−

( )

Al evaluar en f(x3) obtenemos y3. Repitiendo el procedimiento tenemos en la figura 11.

Aplicando el TCS, la raíz esta en [x0,x3]. El proceso puede repetirse cuantas veces seanecesario. Podemos notar intuitivamente que se converge a la raíz. El procedimiento esesencialmente el mismo que para el método de Bisección. La diferencia estriba en que seobtiene el cero de la recta de que une los puntos del intervalo, en vez del punto medio delmismo. El nombre del método de Posición o Regla Falsa se debe que se supone que el cero dela función coincide con de una recta, lo cual obviamente no es cierto. El nombre InterpolaciónLineal viene del hecho de que se esta obteniendo un valor de una función entre 2 puntos(polos).5

La formula general que define este método es

x xn n

y x x

y yn n n

n n+

−

−= − −

−11

1

( )

2.4.1. Ejemplo del método de Regula Falsi

Repitamos el ejemplo anterior pero usando el método de regula Falsi. Para la iteración 0tenemos el intervalo [1,2] con f(1)=-7 y f(2)=16. La primera x es 1.30434782609 conf(1.30434782609)= -1.3347579518. El criterio de convergencia no puede evaluarse, puesto quesolo tenemos una iteración. El cambio de signo ocurre en [1.30434782609,2]. Para la primeraiteración tenemos que la x tiene el valor de 1.35791230466 con

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5Esto lo veremos más detalladamente en el tema de Interpolación, tema 5.




f(1.35791230466)= . Como no se cumple el criterio de convergenciahacemos otra iteración. El cambio de signo ocurre en [1.35791230466,2]. Para la iteración 2 lax es 1.36697780482 con f(1.36697780482)= -3.85918768E-2. Como no se cumple el criterio deconvergencia hacemos otra iteración El cambio de signo ocurre en [1.36697780482,2]. Para laiteración 3 la x es 1.36850097560 con f(1.36850097560)= -6.47872815E-3. Como no se cumpleel criterio de convergencia repetimos el procedimiento hasta lograrlo. En la Tabla 2 se resumenlos cálculos

-.22913572959

Tabla 2 Cálculos del método de Regula Falsi

n

x izq.

xn

x der.

f(xn)

ccn 0 1 1.30434782608696 2 -1.33475795183693 -1 1.30434782608696 1.35791230465787 2 -.22913572958733 3.945E-22 1.35791230465787 1.36697780481651 2 -3.85918767784E-2 6.632E-33 1.36697780481651 1.36850097559997 2 -6.47872814706E-3 1.113E-3

4 1.36850097559997 1.36875657900742 2 -1.08704282534E-3 1.867E-45 1.36875657900742 1.36879946288337 2 -1.82374360246E-4 3.133E-5•

•

•15 1.36880810781595 1.36880810782046 2 -1.9202417434E-11 3.30E-12

Podemos observar de este ejemplo que:

• El método es sencillo, pero un poco más complicado que el de bisección.• El método es lento, pero más rápido que el de bisección.

Puede demostrarse que si bien el método es lento, también es seguro, es decir, si se cumpletodos los supuestos que el método exige, la convergencia está asegurada. Salvo raros casos, estemétodo converge más rápido que el de bisección. Análogamente, al método de bisección, estemétodo también presenta convergencia lineal, es decir, su orden de convergencia es 1.

2.5. Método de la Secante

Dado que los métodos anteriores son sencillos pero lentos se ha buscado métodos más rápidos.Uno de los más usados es el método de la secante. La idea de este método es similar a la delmétodo de Regula Falsi. Este método emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz.En vez de usar un intervalo que cumpla el TCS, usa un intervalo que no necesariamente locumpla, es decir, no se requiere que exista un CS, es mas, no se requiere que la raíz este en ese

intervalo. Las siguientes figuras explican el método.

En esta figura se tiene que y0=f(x0) y y1=f(x1). Primero trazamos la recta secante que une los puntos (x0,y0), (x1,y1). Figura 13.

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x x y x x

y y2 11 1 0

1 0= − −

−

( )

Si evaluamos la función en x2 obtendremos y2=f(x2). En vez de considerar intervalos,simplemente despreciamos el punto (x0,y0) y utilizamos el intervalo [x1,x2]. Trazamos

nuevamente una recta secante. Esto se muestra en la figura 14.


x x y x x

y y3 22 2 1

2 1= − −

−

( )

El procedimiento puede repetirse cuantas veces sea necesario. (Aunque en el ejemplo de lagráfica prácticamente ya se llego a la raíz).La formula general que define este método es

x xn n

y x x

y yn n n

n n+

−

−= − −

−11

1

( )

2.5.1. Ejemplo del Método de la Secante

Nuevamente usaremos la ecuación de Leonardo. Consideremos como puntos iniciales, elintervalo [1,2]. Iniciando con los puntos (1,-7), (2,16) obtenemos 1.30434782608696 con y=-1.33475795183693. Como no se cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración.Se emplean los puntos (2,16) y (1.30434782608696,-1.33475795183693) y se obtiene1.35791230466 con y= -.22913572958733. Como no se cumple el criterio de convergenciarealizamos otra iteración. Se emplean los puntos (1.30434782608696,-1.33475795183693) y

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(1.35791230466, )-0.22913572958733 6 y se obtiene 1.36901332599257 con y =4.32956831210518E-3. El procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia. Los cálculosse resumen en la Tabla 3.

Tabla 3 Cálculos del método de la Secanten x

y criterio de convergencia

0 1.00000000000000000E+00 -7.00000000000000000E+00 -1.00000000000000000E+001 2.00000000000000000E+00 1.60000000000000000E+01 5.00000000000000000E-012 1.30434782608695654E+00 -1.33475795183693569E+00 5.33333333333333326E-013 1.35791230465786672E+00 -2.29135729587331638E-01 -3.94461986883653110E-024 1.36901332599256609E+00 4.32956831210985077E-03 -8.10877522076039470E-035 1.36880745972192464E+00 -1.36723936958946246E-05 1.50398267615624504E-046 1.36880810778287532E+00 -8.12144806267012243E-10 -4.73449088307843452E-077 1.36880810782137274E+00 0 -2.81247064681703663E-11

De acuerdo al valor obtenido de y en el ultimo renglón ¿ Podemos pensar que ya encontramosla raíz ? Esto lo contestaremos más tarde. De este ejemplo puede observarse que

• El método es sencillo, pero un poco más complicado que el de bisección.

• El método es rápido.• No requiere cambio de signo.

Con estas observaciones podríamos pensar que este método claramente es superior a losanteriores. Sin embargo, existen casos donde este método puede fallar, es decir, no converger.Por lo tanto este método es rápido pero inseguro. Este método es mejor aplicarlo solo si estamos

cerca de la raíz. Discutiremos esto más adelante. Su orden de convergencia es 1 52+ . Por lo cual

se tiene

| | | |e en n+ ≈+

1

1 52λ

2.6. Método de Newton-Rapshon

Otro método muy popular que converge más rápido que los anteriores es el de Newton-Rapshono simplemente método de Newton. Su orden de convergencia es 2. Por esto se dice que tieneconvergencia cuadrática. Esto implica que en cada iteración él numero de cifras correctas seduplica. Al igual que los métodos anteriores, este también emplea una recta para acercarse a laraíz. Utiliza la recta tangente a la curva en un punto. Este método no requiere intervalos.Consideremos las siguientes figuras.

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6 Nota que no existe cambio de signo.




En esta figura se tiene que y0=f(x0). Primero trazamos la recta tangente a la curva en este punto(x0,y0). Para ello se requiere conocer la pendiente de la curva en ese punto, es decir, su derivada.


x x y

y1 00

0= − ,

Si evaluamos la función en x1 obtendremos y1=f(x1). Ahora empleamos el punto (x1,y1).

Trazamos nuevamente una recta tangente. Esto se muestra en la figura 17.


x x y

y2 11

1= − ,

El procedimiento puede repetirse cuantas veces sea necesario. (Aunque en el ejemplo de lagráfica prácticamente ya se llego a la raíz).La formula general que define este método es

x xn n

y

y

n

n+ = −1 ,

2.6.1. Ejemplo del Método de Newton-Rapshon

Apliquemos el método al ejemplo de la ecuación de Leonardo. Como punto inicial tomemos elvalor medio del intervalo, es decir, 1.5. Este método requiere calcular la derivada en cada

punto. La derivada es

f x x x, ( ) = + +3 42 10

Comenzamos con el punto (1.5,2.875), la derivada es 22.75. No podemos calcular el criterio deconvergencia. La primera iteración da 1.37362637362637. La función vale

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1.101788683481718E-1 y la derivada 21.15505373747, el criterio de convergencia es 9.2E-2.Como no se cumple el criterio de convergencia proseguimos. En la siguiente iteraciónobtenemos 1.36881481962396. La función, la derivada y el criterio de convergencia valenrespectivamente: 1.41593397778195E-4, 21.09622130976, 3.515E-3. Como no se cumple elcriterio de convergencia continuamos. La tabla 4 resume los cálculos.

Tabla 4 Cálculos del método de Newton-Rapshonn x


0 1.50000000000000000E+00 2.87500000000000000E+00 -1.00000000000000000E+001 1.37362637362637363E+00 1.01788683481715825E-01 9.19999999999999984E-022 1.36881481962396423E+00 1.41593397775108612E-04 3.51512413032699410E-033 1.36880810783441209E+00 2.75082179257424286E-10 4.90338237599491775E-064 1.36880810782137274E+00 2.28983498828938536E-15 9.52613873170318705E-12

Podemos observar que este método tuvo la convergencia más rápida, de hecho, esto puededemostrase. Sin embargo, este método no es el mejor. Tiene varios inconvenientes que hay quetomar en cuenta:

• Requiere la derivada en cada iteración.

• Si una función es complicada, generalmente su derivada lo es más aun. Podría ocurrir que eltiempo empleado en evaluar la derivada sea tan alto, que el tiempo total de ejecución delmétodo sea excesivo, comparado con el de otro, que no use derivadas.

• El método puede fallar. Esto ocurre en los máximos, mínimos o puntos de inflexión de lacurva.7

• Puede requerirse una muy buena aproximación para lograr la convergencia.

Por estas razones este método debe de emplearse con precaución.Este método esta muy relacionado con el secante. Observa que la derivada, es el principal

problema de este método. Una forma de evitar tener que evaluar la derivada es aproximándola,si consideramos que

y xn

y x y x

x xn n

n n

, ( ) ( )( ) ≈ −

−−

−

1

1

Al sustituir en el método de Newton se obtiene precisamente el método de la secante. Por esto,los problemas de convergencia del método de Newton, los hereda el método de la Secante. Elhecho de aproximar la derivada como se menciona arriba, causa que el orden de convergenciadisminuya, pero no tanto como para compararse con los métodos de convergencia lineal. Por esto, el método de la secante converge más rápido.Por otro lado, observemos algo curioso. El valor de la raíz obtenida coincide en todas sus cifrascon el valor calculado del método de la secante. Entonces ¿ por qué la función no vale lo mismoen ambos casos ? Aquí esta presente un error ocasionado por el uso de una computadora en loscálculos. Recordemos de la unidad anterior que cuando una computadora manda a imprimir algún valor tiene que redondear los números de punto flotante. Esto es por que realiza unaconversión del sistema binario que maneja, al sistema decimal en el cual imprime. Los valoresdeterminados con el método de la secante y el de Newton no son iguales, pero al imprimirlos, la

computadora los redondea al mismo valor. Como moraleja aunque veamos un cero, no podemos estar seguros de haberlo logrado realmente.

2.7. Iteración de punto fijo

Otro método que podemos utilizar y que puede englobar a los demás métodos se denominaiteración de punto fijo.

7¿ Por qué ?

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Este método se obtiene directamente del problema original es decir:

0)( = x f

De esta ecuación lo que puede intentarse para resolverla es despejar x, pero como ya sabemos,esto puede ser imposible. El método de iteración de punto fijo, sigue esta idea, pero como no es

posible despejar x, al menos lo que se hace es poner x en función de si misma , es decir:

)( x g x =

Esto se logra "despejando" x reacomodando la ecuación original.Para resolver la ecuación se comienza con un valor inicial evaluando la función g(x) para hallar otro valor de x. La x obtenida de esta manera, se usa para generar otra x, evaluándola en lafunción g(x). Se repite el procedimiento nuevamente hasta que se cumpla algún criterio deconvergencia.Por lo anterior la ecuación que define el método es:

)(1 nn x g x =+

se puede demostrar que este método por lo regular tiene convergencia lineal, por lo cual podriaser lento.

2.7.1. Ejemplo del método de iteración de punto fijo

La ecuación de Leonardo se puede expresar de varias maneras como un punto fijo:

102

2021

++=+

nn

n x x

x

10

220 23

1nn

n

x x x

+−=+

Para la primera opción tenemos.

Tabla 5 Primera opción para la iteración de punto fijo102

201 2 +++ =

nn x xn x

n x


0 1.50000000000000000E+00 2.87500000000000000E+00 -1.00000000000000000E+001 1.31147540983606548E+00 -1.18961498980091052E+00 -1.43750000000000072E-012 1.39441633876709759E+00 5.44256081725062568E-01 5.94807494900454689E-023 1.35747562065047145E+00 -2.38288964632079825E-01 -2.72128040862531194E-024 1.37384421644560106E+00 1.06397450508473948E-01 1.19144482316039559E-025 1.36657421582090310E+00 -4.70960353315074132E-02 -5.31987252542362541E-03

•

•

•

31 1.36880810781987039E+00 -3.16915764464464900E-11 -3.57024456669723413E-12

Y para la segunda opción:

Página2-14




Tabla 6 Segunda opción para la iteración de punto fijo 10220

1

23nn x x

n x−−

+ =

n x


0 1.50000000000000000E+00 2.87500000000000000E+00 -1.00000000000000000E+001 1.21249999999999991E+00 -3.15212304687500167E+00 -2.37113402061855771E-012 1.52771230468750008E+00 3.51046803081210479E+00 2.06329623529462991E-013 1.17666550160628969E+00 -3.83511912152886980E+00 -2.98340354673430452E-014 1.56017741375917662E+00 4.26779267208489710E+00 2.45813013809008052E-015 1.13339814655068682E+00 -4.64088235236666158E+00 -3.76548407554153142E-01

•

•

•

100 1.92318947692009146E+00 1.37424299881887499E+01 7.14564537336364491E-01

Como se puede apreciar la segunda opción no converge.La desventaja de este método es hallar una g(x) que sea convergente.Se puede demostrar que el método será convergente sí

1)( ≤dx

xdg

Como en general es difícil probar esto se prefiere ensayar con varias g(x) hasta hallar una quesea convergente.En la practica en algunos casos el problema se plantea directamente como una iteración de

punto fijo.Los demás métodos se pueden expresar como puntos fijos. Por ejemplo sí

dx

xdy

nn

n

x y x x g

)(1

)()( −=+

se tiene el método de newton-rapshon.Si

)()(

))(()(

1

11

−

−+

−

−−=

nn

nnnnn

x y x y

x x x y x x g

se tiene el método de la secante.

2.8. Raíces Dobles

Como veremos en capítulos posteriores en los métodos numéricos se presentan casos

problemáticos, es decir, difíciles de resolver. En la resolución de ecuaciones no lineales, el caso problemático se denomina raíz doble.Una raíz doble es aquella raíz que además de hacer cero a una función también hace cero a laderivada de la misma. Él por que de esto lo podemos ver apreciando la figura 18.

Página2-15




Los métodos seguros de bisección y regula Falsi, no son aplicables puesto que no existe un CS.Los métodos de Newton y de la secante no funcionan bien, puesto que la raíz es un punto criticode la función y tendemos a dividir entre cero en ambos casos. Afortunadamente en la practicaeste fenómeno no se presenta frecuentemente. Sin embargo, requiere resolverse. Para lograr esto se puede usar el siguiente teorema:

2.8.1. Teorema de la eliminación de la raíz doble

Si f(x) tiene una raíz doble entonces la función

ψ ( ) ( )

( ), x f x

f x=

Tiene una raíz simple.8. Lo común en este caso es aplicar el teorema anterior a los métodos másrápidos, es decir el de Newton y el de la secante. Los métodos obtenidos se denominan entoncesmétodos modificados.

2.8.2. Método de Newton-Rapshon Modificado

Para el caso del método de Newton se obtiene

y y y

y y x x

nnn

nn

nn "2,

,

1

−

−=+

2.8.3. Método de la Secante Modificado

Para el caso del Método de la Secante se tiene

( ) y y y y x x y y x x

nnnn

nnnn

nn

1

,,

1

1

,

11

−−

−−

+−

−−=

Página2-16

8La demostración la puedes hallar en: Richard L. Burden, J. Douglas Faires, “Análisis Numérico”, GrupoEditorial Iberoamérica.




2.8.3.1. Ejemplos de los métodos modificados

Como ejemplo usaremos la función9

x4 24 4 0− + =

Esta tiene 2 raíces dobles en ± 2 . Las siguientes tablas resumen los cálculos empleando losmétodos normales y modificados de Newton y de la secante

Tabla 7 Cálculos del método de la Secanten x


0 1.00000000000000000E+00 1.00000000000000000E+00 -1.00000000000000000E+001 2.00000000000000000E+00 4.00000000000000000E+00 5.00000000000000000E-01

2 6.66666666666666741E-01 2.41975308641975273E+00 1.99999999999999956E+003 -1.37499999999999889E+00 1.19628906250006679E-02 -1.48484848484848531E+004 -1.38514383855732026E+00 6.62214232135585525E-03 -7.32331060136432940E-035 -1.39772146603427805E+00 2.15061311423116446E-03 -8.99866517228506413E-03

•

•

•

44 -1.41421356225827166E+00 0.00000000000000000E+00 -3.48691890258485752E-11

Tabla 8 Cálculos del método de Newton-Rapshonn x


0 1.50000000000000000E+00 6.25000000000000000E-02 -1.00000000000000000E+001 1.45833333333333326E+00 1.60620418595678466E-02 2.85714285714285705E-022 1.43660714285714275E+00 4.07555618572112005E-03 1.51232649678889348E-02

3 1.42549761941756192E+00 1.02678351879805603E-03 7.79343528060051638E-034 1.41987792168382798E+00 2.57708841747052858E-04 3.95787387627634813E-035 1.41705139127582136E+00 6.45555285796856580E-05 1.99465624564390022E-03

•

•

•

31 1.41421356243758334E+00 0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00

Tabla 9 Cálculos del método de la Secante Modificadon x

Y criterio de convergencia

-1 1.00000000000000000E+00 1.00000000000000000E+00 -1.00000000000000000E+000 2.00000000000000000E+00 4.00000000000000000E+00 5.00000000000000000E-01

1 1.50000000000000000E+00 6.25000000000000000E-02 3.33333333333333315E-012 1.39999999999999991E+00 1.60000000000001981E-03 7.14285714285714385E-023 1.41463414634146334E+00 1.41554788249918795E-06 -1.03448275862069623E-024 1.41421568627450989E+00 3.60877118119051765E-11 2.95895506615341324E-045 1.41421356205732907E+00 8.67361737988403547E-19 1.50204837362140413E-06

6 1.41421356240068108E+00 0.00000000000000000E+00 -2.42786547762643826E-107 1.41421356240068108E+00 0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00

9 Ibis.

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Tabla 10 Cálculos del método de Newton-Rapshon Modificadon x

Y criterio de convergencia

0 1.50000000000000000E+00 6.25000000000000000E-02 -1.00000000000000000E+001 1.41176470588235303E+00 4.78921468852109254E-05 6.25000000000000000E-02

2 1.41421143847487008E+00 3.60874951883111139E-11 -1.73010380622830935E-03

3 1.41421356237150309E+00 0.00000000000000000E+00 -1.50182171177581087E-064 1.41421356237150309E+00 0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00

Podemos observar que los métodos normales funcionan, pero no tienen su convergencia rápidacaracterística de ellos, a pesar de comenzar cerca de la solución. Puede demostrarse que amboscasos el orden de convergencia se reduce a 1, en una raíz doble. En cambio los métodosmodificados si presentan convergencia rápida. También existe otro problema. Aparentemente seha llegado a la raíz en todos los casos. Sin embargo, se puede observar que los valores sondistintos. Esto se debe al error de redondeo involucrado, ya que se tiende a dividir entre cero

por la presencia de la raíz doble. El error de redondeo producido por este hecho, hace parecer loque no es. Además, el valor de la raíz con 10 cifras significativas es 1.414213562. Solo losmétodos modificados se acercan a este valor.Podríamos pensar que los métodos modificados son mejores en general que los métodosnormales, pero debemos de tomar en cuenta que:

• Los métodos modificados son más laboriosos que sus contrapartes, ya que requieren derivadasadicionales.

• El método de Newton Modificado requiere hasta la segunda derivada.• El método de la secante modificado emplea la primera derivada.• En una raíz simple es mejor emplear el método de Newton normal. El modificado requiere de

más tiempo de maquina.• En una raíz simple es mejor el método de la secante normal que el modificado, ya que ambos

convergen igual de rápido, pero el primero no requiere la derivada. Además en este caso siestamos dispuestos a calcular la primera derivada, es mejor emplear el método de Newtonnormal. Este converge más rápido que el de la secante.

Por estas razones se recomienda usar estos métodos solo cuando sea requerido, es decir, enraíces dobles. También es recomendable realizar los cálculos en precisión doble.

2.9. Raíces de Polinomios

Hasta el momento hemos visto algunos métodos de solución y el caso problemático de la búsqueda de ceros. Todos estos métodos requieren al menos una primera aproximación a laraíz. En vez de considerar el caso general de la búsqueda de primeras aproximaciones, y laconsecuente resolución completa de la ecuación, primero trataremos el caso particular de unafamilia de funciones a la cual es relativamente fácil hallar sus raíces. Posteriormentevolveremos al caso general de como hallar la primera aproximación.La familia de funciones a la cual es relativamente fácil hallar sus ceros son los polinomios. Los

polinomios como veremos a lo largo del curso se usan frecuentemente en los métodosnuméricos, a causa de sus propiedades.10 Recordemos que un polinomio se expresa como

y a a x a x a x a xn

n

i

i

i

n= + + + • • • + =

=∑0 1 22

0

10Las cuales veremos a lo largo del curso.

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Donde las constantes ai son denominas coeficientes. El exponente más alto es llamado el gradodel polinomio. A los polinomios es fácil hallárseles sus raíces porque existen varios teoremasque facilitan esto.

2.9.1. Teoremas usados en la resolución de polinomios

1. Él numero de raíces de un polinomio es n, es decir, el grado del polinomio. Esto se sabe por elTeorema Fundamental del Álgebra (TFA).11

2. A un polinomio se le puede predecir el tipo de las raíces que tiene antes de hallarlas. Como tipodebemos de entender al signo de las mismas, es decir, positivas, negativas y además complejas.Para esto, se emplea la Regla de los Signos de Descartes (RSD), la cual dice: él numero de

posibles raíces positivas es igual al numero de cambios de signo que existe entre los

coeficientes del polinomio, ó este menos un numero par . Por ejemplo consideremos el polinomio

5 4 3 2 85 4 3 2 0 x x− − + − + =

Al contar los CS entre los coeficientes obtenemos 4, por lo tanto de acuerdo a la RSD esta ecuacióntiene 4, 2, ó 0 raíces positivas.12 Para poder determinar cuantas raíces van a ser negativas, podemos

emplear otra vez la RSD, pero usando un truco. Dado que esta regla solo cuenta raíces positivas,debemos de cambiar el signo de las raíces, de tal forma que las raíces negativas se vuelvan

positivas y así se pueda determinar su numero. Esto se logra evaluando el polinomio en -x. Estosolo afecta a los coeficientes de potencias nones.13 Entonces para saber cuantas raíces pueden ser negativas, se cambia el signo de los coeficientes de las potencias nones y se aplica la RSD. Por ejemplo para el polinomio anterior tenemos

− − + + + + =5 4 3 2 85 4 3 2 0 x x x

después de cambiar el signo de las potencias nones contamos un solo CS, por lo cual esta ecuaciónsolo tiene una raíz negativa. Finalmente para hallar cuantas raíces pueden ser complejas, contamosdespués de determinar la cantidad de raíces positivas y negativas cuantas faltan par completar elgrado del polinomio, es decir, lo hacemos por complementación. Se debe considerar el hecho de

que las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales se presentan por pares. En elejemplo anterior, podemos decir que la ecuación tiene 4, 2, ó 0 raíces complejas. La utilidad

practica de esta regla radica en el hecho de poder determinar, que raíces debemos de buscar primero. En el ejemplo mostrado es más lógico buscar la raíz negativa, ya que sabemos que debede existir, y además podría no haber raíces positivas.3. Es posible en el mejor de los casos hallar fácilmente todas las raíces de un polinomio, o al

menos, determinar intervalos que posean CS. Para ello, es posible aplicar, la Regla de lasPosibles Raíces Racionales (RPRR). Por racional debemos de entender los números que puedenexpresarse como el cociente de 2 enteros.14 La regla dice: Las posibles raíces racionales de un

polinomio son los divisores del termino independiente (es decir, a0 ), entre los divisores del coeficiente de la potencia más alta (es decir, an ). El signo se determina de la RSD. Por ejemploconsideremos

5 4 3 2 85 4 3 2 0 x x− − + − + =

para este caso a0=8 y an=a5 =5. Los divisores para 8 son: 1, 2, 4, 8. Para 5: 1, 5. De acuerdo a esta

regla, las posibles raíces racionales serian: ± ± ± ± ± ± ± ±11

21

41

81

15

25

45

85, , , , , , , . Simplificando y

11La demostración es complicada. La puedes hallar en libros de Variable Compleja.12¿ Por qué ?13¿ Por qué ?14Es decir los quebrados que viste en la primaria.

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ordenando: ± ± ± ± ± ± ±15

25

45

85 1 2 8, , , , , , . Los signos se determinaron de la RSD. En el mejor de

los casos aquí se obtendrán las raíces. En casos prácticos, al menos se pueden obtener intervalosque contengan a las raíces. Esta regla tiene un inconveniente. Solo es aplicable si a0 y an sonenteros.15

x +

4. Los polinomios poseen una forma muy eficiente de evaluarlos. Se conoce como: Método deHorner, Multiplicación anidada ó División Sintética (DS).16 Consiste en formar una tabla con

los coeficientes del polinomio ordenados de la potencia mayor a la menor. Si algún terminofalta, se considera 0. Lo explicaremos mejor con un ejemplo. Consideremos el polinomio deLeonardo

3 22 10 20+ − = 0ya sabemos por los problemas de ejemplo anteriores que f(1)=-7, calculemos este valor usando DS.La tabla de DS inicial es

Tabla 11

Primero se colocan los coeficientes en la fila superior. En la ultima columna se pone el valor en el cual se va a evaluar el polinomio. A continuación se baja el primer coeficiente

Tabla 12

Este se multiplica por el valor a evaluar. El resultado se coloca de acuerdo a la dirección de laflecha.

Tabla 13

Se realiza una suma algebraica en esta columna y se obtiene.

Tabla 14

El procedimiento se repite, usando el valor inferior de la segunda columna

Tabla 15

Finalmente repetimos el procedimiento en la ultima columna

15¿ Por qué ?16Posiblemente la viste en la prepa o en la secundaria.

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Tabla 16

El valor inferior de la ultima columna es precisamente f(1). Como otro ejemplo se muestra latabla para f(2)

Tabla 17

La DS tiene la ventaja de requerir menos productos y sumas que la evaluación normal. Por estarazón tiene menor error de redondeo y es más rápida.

5. La DS tiene ventajas adicionales. También se puede evaluar derivadas sin usar Cálculo. Paraello, se tiene que continuar la tabla de DS añadiendo un renglón más. El procedimiento, serepite hasta llegar a la penúltima columna. El valor inferior es precisamente la derivada. Como

ejemplo calculemos para la ecuación de Leonardo. La tabla final es f , ( . )15

Tabla 18

Por lo cual f ,

=22.75, valor que podemos encontrar con Cálculo. Este procedimiento puede extenderse a derivadas superiores, pero hay que tomar en cuenta que lo que se obtiene no

es directamente la derivada sino

( . )15 f x

m

m( ) ( )! , donde m es el orden de la derivada. Esta propiedad de

la DS, la hace ideal para aplicar el método de Newton a la resolución de polinomios.17 6. Otra ventaja de la DS es poder hallar cotas a las raíces, es decir, fijar límites al valor máximo y

mínimo que pueden tomar las raíces. La cota máxima se determina con el siguiente teorema: Si

los coeficientes de la tabla de DS son todos no negativos, entonces el valor en el cual se evalúo

el polinomio es una cota máxima para todas las raíces, es decir, ninguna raíz es superior a ese

valor. Para la cota mínima el teorema es parecido: Si los coeficientes de la tabla de DS sontodos con signos alternados, entonces el valor en el cual se evalúo el polinomio es una cota

mínima para todas las raíces, es decir, ninguna raíz es inferior a ese valor . Como ejemploconsideremos

4 36 16 140 84 96 05 4 3 2 x x x x− + + − − =

Para este polinomio las tablas de DS en x=-2 y x=9 son

17El método que emplea la DS para resolver polinomios se conoce como Método de Birge-Vieta.

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Tabla 19

Tabla 20

De acuerdo a los teoremas anteriores -2 es una cota mínima y 9 es una cota máxima. En cualquier otro caso no contemplado en los teoremas anteriores, no podemos concluir nada. La ventaja deesto radica en el hecho de poder ir acotando el intervalo donde están las raíces. De entrada en elejemplo anterior, las raíces se encuentran en todos los reales. Después de aplicar los teoremaslas raíces concluimos que las raíces están en [-2,9], intervalo en el cual es más fácil buscar.

7. Una ventaja adicional de la DS es el hecho de que nos puede ir simplificando el procedimientode hallar las raíces de los polinomios. Sabemos que un polinomio tiene n raíces por el TFA. Amedida que vamos calculando cada raíz, se puede ir simplificando el polinomio, al eliminar lasraíces que ya se han determinado. Este procedimiento de quitar raíces se conoce comodeflación. Esta basada en el siguiente teorema: Si evaluamos un polinomio en un valor tal que

sea la raíz, entonces los coeficientes de la tabla de DS, corresponden a los de un polinomio de

grado n-1, el cual tiene todas las raíces del polinomio original, exceptuando la raíz en la cual

se evalúo. Esto nos ayuda ya que si tenemos por ejemplo un polinomio cúbico, al encontrar unaraíz, podemos eliminarla y así obtener un polinomio cuadrático, el cual es más fácil de resolver.Por ejemplo en la ecuación de Leonardo tenemos que x=1.3688010781 es una raíz. La tabla deDS respectiva es

Tabla 21

Como podemos observar, no tenemos realmente 0 como valor del polinomio evaluado en laraíz. Esto se debe al error de redondeo. Aceptando como cero el valor obtenido18 el polinomiodeflacionado es

2 3 368808107 14 611251848 0+ + ≈. .

Cuyas raíces son − ±168404054 3431331350. .i . Debe mencionarse el hecho de que ladeflación, si bien simplifica el problema al reducir el grado del polinomio, también mete un

problema adicional. Este es el error de redondeo, obtenido en los coeficientes del polinomiodeflacionado. Es posible que al resolver un polinomio de grado elevado, la deflación realizadaal ir eliminado cada raíz encontrada, introduzca tanto error de redondeo en los coeficientes del

polinomio deflacionado, que las ultimas raíces no tengan una precisión aceptable. Esto podríahaber sido el caso de nuestro ejemplo con la ecuación de Leonardo, pero dado que el grado es

bajo, no ocurrió así. En estos casos lo recomendable es refinar las raíces. Este procedimientoconsiste en usar las “raíces” obtenidas con la deflación como primeras aproximaciones de unmétodo numérico con el polinomio original , es decir, el polinomio de grado n. Con esto

podemos eliminar el error de redondeo introducido.8. En vista de lo mencionado en el punto anterior, se requiere verificar que las raíces encontradas

sean razonablemente precisas. Una forma de hacerlo seria, evaluando el polinomio en cada raízy checar que tan bien se acerca a 0. Desafortunadamente esto, no es una buena indicación de la

precisión, ya que, ¿ qué tan cerca de 0 debe de estar la evaluación del polinomio para decir que

18Pues ya que, no tenemos más remedio.

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la raíz tiene tantas cifras significativas ?. Por esta razón existen otras pruebas. Una de las mássimples es considerar la suma y ó el producto de las raíces. Se puede demostrar que

xii

n a

an

n=∑ = − −

11

xii

n n a

an=∏ = −1

1 0( )

Aquí el símbolo denota productoría, es decir, los términos involucrados se van a multiplicar. Esanáloga a la sumatoria, en la cual los términos se suman. No lo confundas con el numero

Ππ

Para usar estos criterios debemos de sumar o multiplicar las raíces, si los valores obtenidos noconcuerdan razonablemente bien con estos teoremas, entonces las raíces no son aceptables. Paradeterminar si concuerdan o no razonablemente bien los valores de la suma y productocalculados podemos emplear el error relativo de la siguiente forma

NCS

n

n

n

n

x

a

a

xa

a

−

−

−

≤

−∑105

1

1

( )

( )

NCS

n

n

n

n

x

a

a

xa

a

−≤

−

−− ∏105

1

1

0

0

Si los valores calculados de la suma y producto coinciden con estos valores podemos esperar que las raíces sean razonablemente precisas.19

9. Finalmente existe una forma general de hallar un intervalo que contenga todas las raíces de un polinomio. Las siguientes fórmulas definen límites al máximo y mínimo valor que puedentomar las raíces

n

m

a

a x +≤ 1||

maa

a x

+≥

0

0||

a0 es él termino independiente, an es el coeficiente de la potencia más alta y am es el coeficientemás grande en valor absoluto. Dado que las desigualdades están expresadas en términos de valor absoluto, debemos de desglosarlas. Si definimos a la cota máxima o límites superior como Ls, y a lacota mínima o límite inferior como Li al desglosar obtenemos el conjunto

x L L L L s i i s∈ − − ∪[ , ] [ , ]

en el cual es más fácil buscar las raíces que en todos los reales. Una vez hallado este intervalo, podemos ir tabulando el polinomio en él. Cuando hallemos un CS, habremos hallado un intervaloque contiene al menos una raíz. También es posible ir acotando cada vez más el intervalo al hallar

19¿ Por qué no es necesario sumarle 1 a la tolerancia usada en ambos casos ?

Página2-23




nuevas cotas máximas y mínimas, mediante las DS. Por ejemplo para la ecuación de Leonardotenemos

L s = + =1 2201 1

Li = =+20

20 20 05.

en este caso a0=-20, an=a3=1, am=20. Por lo tanto todas las raíces están en x ∈ − − ∪[ , . ] [ . ,21 05 05 21]

Con todo lo anterior podemos proponer una metodología para hallar todas las raíces de un polinomio.20

2.9.2. Metodología para hallar las raíces de un polinomio

1. Determinar cuantas raíces existen. Esto se logra usando el TFA.2. Clasificar las raíces según su tipo. Se emplea la RSD.3. Hallar una primera aproximación a cada raíz. Esto se puede hacer de 2 formas. Si a0 y an son

enteros empleamos la RPRR. Si no calculamos los límites superior e inferior del intervalo que

contiene todas las raíces. En este intervalo vamos tabulando el polinomio hasta hallar CS.4. En ambos casos, se prueban valores usando la DS.5. Si se detectan cotas máximas y mínimas se reduce el intervalo de búsqueda, es decir, se

simplifica el problema.6. Habiendo hallado por lo menos n-2 intervalos21 que tengan CS, se determinan las raíces

utilizando métodos numéricos.7. Cada vez que se calcule una raíz, se elimina usando deflación.8. Al Final se verifican, las raíces halladas, comprobando su suma y ó producto.9. Si son aceptables terminamos. En caso contrario se refinan, con el polinomio original.

2.9.2.1. Ejemplo de la resolución de un polinomio

Consideremos el polinomio

4 36 16 140 84 96 05 4 3 2 x x x− + + − − =

1. Por el TFA el polinomio tiene 5 raíces.2. Apliquemos la RSD. Dado que hay 3 CS hay 3 ó 1 raíces positivas. Cambiando los signos de

los coeficientes de las potencias nones, y aplicando la regla otra vez, hallamos que hay 2 ó 0raíces negativas. Por complementación puede haber 0, 2 ó 4 raíces complejas. Resumiendo: R +=3,1. R -=2,0. R c=0,2,4.

3. En este caso es posible aplicar la RPRR. Los divisores de 96 son: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 32,48, 96. Los divisores de 4 son: 1, 2, 4. Aplicando la RPRR tenemos los siguientes posiblesvalores para las raíces

196

148

132

124

116

112

18

14

13

12

11 ,,,,,,,,, ,

296

248

232

224

216

212

28

24

23

22

21 ,,,,,,,,,,

496

448

432

424

416

412

48

44

43

42

41 ,,,,,,,,,,

20Siempre y cuando a lo más tenga 2 raíces complejas. ¿ Por qué ?21 ¿ Por qué es suficiente con solo n-2 intervalos con CS ?

Página2-24




Los signos son de acuerdo a la RSD. Después de eliminar las raíces repetidas y ordenándolas

de menor a mayor tenemos

±]96,48,32,24,16,12,8,6,4,3,2,,1,,,[ 2

343

21

41± .

4. Probando estos valores con DS, tenemos que el 8 es una raíz. Ensayando los valores restantesdeterminamos 2 intervalos donde están otras 2 raíces respectivamente: [-2,-1.5], [-1,-0.5]. Dadoque 8 es raíz con esta información es más que suficiente para encontrar todas las raíces.22

5. Deflacionando el polinomio en la raíz x1=8, obtenemos

4 4 16 12 12 04 3 2 x x− − + + = .6. Mediante un método numérico determinamos la raíz que esta en [ , con 7 cifras

significativas. x

.− −2 15]2=-1.732051.

7. Deflacionando esta raíz obtenemos el polinomio

4 10 928209 2 928209 6 928209 03 2− + + ≈. . . 8. En este polinomio mediante un método numérico calculamos la raíz que esta en [ , , x.− −1 5] 3=-

0.6180344.9. Deflacionando nuevamente

4 13 40034 1121007 02 x − + ≈. . 10. Esta ultima ecuación la resolvemos por medio de la formula del chicharronero.23 Hallamos que

x4=1.73205 y x5=1.618035.11. Si verificamos las raíces tenemos que la suma y el producto son Σ

x=

8999999.,

Π x = 24 00002. contra − = − =−a

a4

5

364 9 y ( )− = − =−1 5 96

40

5

a

a24 . Comparando estos

valores con el error relativo tenemos

| | ..9 8 9999999 1059638 7 5 7− = − ≤ − E E

| | ..24 24 0000224 7 947286 7 5 7− = − > − E E

12. Dado que el segundo criterio no se cumple rectificamos las raíces. Obtenemos finalmente:x1=-1.732049, x2=-0.618034, x3=1.618034, x4=1.732049, x5=8.

2.10. Resolución de una ecuación no polinomial

Toda la discusión anterior solo es aplicable al caso de polinomios. Para el caso de una curvacualquiera, es más difícil hallar las raíces por

1. No se sabe en general cuantas raíces hay, es mas, no se sabe siquiera si existen raíces.2. No hay una regla análoga a la RPRR.3. No es posible en general hallar cotas para las raíces.4. Solo pueden hallarse numéricamente las raíces.5. No se tiene un criterio para verificar la precisión de todas las raíces encontradas, análogo al de

la suma y el producto de las raíces de polinomios.Por estas razones, si la ecuación no es un polinomio es problema general no esta resuelto.

2.10.1. Primera aproximación para una ecuación no polinomial.

En general las raíces se determinaran por métodos numéricos. Estos requieren al menos una

aproximación inicial. Esta puede determinarse de las siguientes maneras1. Analizando la teoría. Viendo de donde se dedujo la ecuación, es posible en algunas ocasioneshallar primeras aproximaciones ó al menos determinar en que intervalo puede estar la raíz. Por ejemplo, si la raíz representa una taza de interés esta debe de estar en el intervalo [0, 100].

2. Graficando. Trazando la gráfica de la función se puede determinar cuantas raíces hay yaproximaciones iniciales a las mismas.

22¿ Por qué ?23¿ Por qué ?

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3. Analizando la función. Aplicando nuestros bastos conocimientos de cálculo, podemos deducir cuantas raíces hay y por donde se encuentran.

4. Aproximando la función por polinomios. A veces es posible aproximar la función por un polinomio. Al hacerlo podemos aplicar la discusión previa de los polinomios y así hallar una primera aproximación. La mejor opción siempre será la primera, ya que tiene una base más fuerte que las otras.La gráfica es recomendable si no se tiene una teoría a la mano, ó como un auxiliar.El analizar la función se deja comúnmente para casos sencillos.El aproximar la función no siempre es aplicable, pero cuando lo es puede ser muy útil.

2.10.1.1. Ejemplo de hallar las raíces de una ecuación no polinomial

Consideremos la ecuación

e x x + =3 0

Dado que no tenemos una teoría, procedamos a usar las demás técnicas mencionas.La gráfica de la ecuación es

y=x^3+exp(x)

-10

-5

0

5

- 2

- 1 .

7

- 1 .

4

- 1 .

1

- 0 .

8

- 0 .

5

- 0 .

2

0 .

1

0 .

4

0 .

7 1

x

y y

Fig. 19

De esta gráfica Figura 19 podemos observar que:1. Solo tienen una raíz2. Es negativa.3. Aproximadamente vale -0.7.

Con esta información podemos aplicar algún método numérico, para hallar la raíz.Por otro lado, es posible que te sea difícil construir la gráfica de la función, aun en un casosencillo como este. En algunas ocasiones no es necesario una gráfica exacta de la función.Puede ser más simple emplear 2 gráficas. Por ejemplo nuestra ecuación de ejemplo podemosreacomodarla para obtener

e x3

= −

Si graficamos las curvas x3 y -ex en la misma gráfica obtenemos

Página2-26




Graficas de x*x*x & -exp(x)

-8

-6

-4

-2

0

2

- 2

- 1 .

7

- 1 .

4

- 1 .

1

- 0 .

8

- 0 .

5

- 0 .

2

0 .

1

0 .

4

0 .

7 1

x

y

y1=exp(x)

y2=x*x*x

Fig. 20

De esta gráfica podemos apreciar que1. Solo existe un punto de corte. Por lo tanto solo hay una raíz2. La raíz es negativa.3. Aproximadamente vale -0.7.

Llegamos a las mismas conclusiones. Usualmente es más fácil hacer e interpretar una gráficacomo la de la figura 20 que la de la figura 19. Pero esto solo es valido en casos sencillos.

Intentemos hallar los puntos críticos de la función. La derivada es

′ = + y e x x 3 2

Al igualarla a 0 obtenemos

e x + =3 02

Esta ecuación, es similar a la original, puesto que tendríamos que resolverla numéricamente.Pero no hay problema.24 Consideremos la función ex, la cual, siempre es positiva, la función x2

también, entonces no es posible que la suma de ambas de 0. Por lo tanto concluimos que laderivada no tiene raíces, lo que implica que la función no tiene puntos críticos, es decir, no

posee ni máximos ni mínimos.Por otro lado, la derivada siempre es positiva por lo cual la curva es creciente. La curva escontinua ya que tanto la función ex como la función x3 son continuas. Por todo esto podemosconcluir que la curva solo una vez corta al eje x, es decir, solo tiene una raíz. No puede tener otra, ya eso implicaría que tenga máximos o mínimos, para poder dejar de subir y volver acortar, pero eso no ocurre por que siempre es creciente.25 Finalmente, la raíz es negativa ya que la función ex es positiva y la única forma de que lafunción de 0, es que x3 sea negativa, lo cual solo ocurre si x es negativa.

Nuevamente hemos llegado a las mismas conclusiones que empleando la gráfica.

Para completar el análisis de la función, falta hallar una primera aproximación a la raíz. Esto

puede hacerse de la siguiente manera.Si desarrollamos en serie de Taylor la función exponencial tendremos

x x x x32 31 0

2 3

+ + + + + • • • =! !

24Frase registrada por cierto alienígena del planeta Melmac.25Además de ver la gráfica ¿ cómo puedes asegurar esto ?

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Como no es posible usar toda la serie tomemos hasta un cierto numero de términos. Si usamosun solo termino tenemos

3 1 0+ ≈

Solo es aproximadamente 0, ya que estamos usando solo una parte de la serie. De aquí podemos

concluir

x ≈ −1

Lo cual ya es una aproximación. Si usamos 2 términos

3 1 0+ + ≈

De esta ecuación no es sencillo hallar x, pero no es necesario hacerlo. Ya que solo queremosuna aproximación, entonces aproximemos las raíces de esta ecuación. Usemos la RPRR. a0=1 yan=a3=1, el único divisor posible es 1. Por lo tanto la posible raíz es -1.Si consideramos otro termino, esencialmente llegamos al mismo caso. Si consideramos 2términos más tendremos

x x x x32 31 0

2 3

+ + + + ≈! !

Simplificando tenemos

76

32

2

1 0 x x x+ + + ≈

A esta ecuación aparentemente no le podemos aplicar la RPRR,26 pero si multiplicamos por 6ambos lados tenemos

7 3 6 63 2 0 x x+ + + ≈

Ahora si apliquemos la RPRR.Divisores de a0: 1,2,3,6Divisores de an=a3: 1,7

Las posibles raíces son: ' , , , , , , ,− − − − − − − −6 3 2 1 67

37

27

17

Si sustituimos estos valores en la ecuación original tenemos

y(-6)= -215.9975212478y(-3)= -26.95021293163y(-2)= -7.864664716763

y(-1)= -0.6321205588286y(-6/7)= -0.2053647636525y(-3/7)= 0.5727218563649

Hallamos que en [ , hay un cambio de signo, por lo cual la raíz esta ahí.]

− −67

37

Este método de usar la serie de Taylor no es siempre aplicable por

1. Es posible que la serie de Taylor no exista. Por ejemplo ¿ has visto la serie de Taylor de laFunción ln(x) en torno a 0?.

26¿ Por qué ?

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2. Puede ser que la serie exista, pero que sea difícil hallarla. Por ejemplo, ¿ has visto la serie de lafunción tan(x) ? Existe pero es complicada.

3. La serie puede no ser convergente donde esta la raíz.4. La serie puede ser que converja lentamente. Por ejemplo existe una serie que converge tan

lento, que requiere aproximadamente un millón de términos para calcular un valor a 4 cifrassignificativasEste método se deja por lo general solo a casos sencillos.Finalmente usando como aproximaciones las halladas en los puntos anteriores en un métodonumérico, la raíz de la ecuación con 10 cifras significativas es -0.7728829591

2.11. Ejemplos de ecuaciones no lineales

A continuación mostramos algunos ejemplos prácticos de la resolución de ecuaciones nolineales.

2.11.1. Cálculo de la presión de vapor

Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos de

Termodinámica es la presión de vapor o presión de saturación. Esta se define como la presión ala cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor. Si la presión de vapor iguala a la presión atmosférica, el líquido entrará en ebullición. Solo depende de la temperatura. Existendiversas ecuaciones para calcular. Una de las más precisas es la ecuación de Frost-Kalkwarf-Thodos

ln ln P A C T vap BT

DP

T

vap

= − + + 2

donde:A,B,C,D: Constantes empíricas que dependen de cada sustancia.Pvap: Presión de vapor.T: Temperatura.Como puedes observar en esta ecuación es imposible despejar la Pvap o la T.Calculemos la Pvap del etilbenceno a una temperatura de 347.25 oK. Los valores de lasconstantes son: A=58.1, B=6792.54, C=-5.802, D=5.75. Las unidades de T son oK y las de Pvap mmHg.Al sustituir los valores de las constantes y de la temperatura obtenemos la siguiente ecuación nolineal en Pvap

0ln1067685170067.4835970886925.4 5 =−+= − vapvap P P xY

Dada su simplicidad la resolveremos mediante el método de Newton. La derivada es:

dP

vapvap x

dy 11067685170067.4 5 −= −

Experimentalmente la presión a lo más puede medirse con 4 cifras significativas, por ello la

tolerancia que usaremos será Tol x= −5 10 5 . A lo más usaremos 10 iteraciones.Para hallar una primera aproximación usaremos la teoría. Otra ecuación muy usada, pero menos

precisa es la ecuación de Antoine

ln P Avap A

T A= − +1

2

3

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De esta ecuación si podemos despejar tanto Pvap como T. Las constantes de Antoine para eletilbenceno son: A1=15.98480422493, A2=3257.16944444444, A3=-61.00961.De esta ecuación la Pvap inicial es de 100.05 mmHg.Los cálculos se resumen en la tabla 22

Tabla 22 Cálculos de la Pvap con el método de Newton-Rapshon

n P

vap

n

yn ccn

0 100.5

-3.8103458882697E-03 -

1 9.96669473876495E+01

7.34789504530653E-06 3.84332642255642E-032 9.9667683227095E+01

2.7254642986918E-11 -7.38292916705743E-06

Como podemos observar la convergencia se logra satisfactoriamente. Redondeando a la precisión exigida tenemos que Pvap = 99.67 mmHg.En este caso fue útil el método de Newton, ya que la ecuación es relativamente sencilla yteníamos una buena aproximación inicial. Vale la pena mencionar que potencialmente podríahaber existido problemas de convergencia, ya que la derivada en la raíz es -.009985657308932.

2.11.2. Cálculo de la temperatura de saturación.

La temperatura de saturación de una sustancia pura es análoga a la presión de saturación. Estase define como la temperatura a la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor.Es bien sabido que la presión atmosférica es variable y depende de la altura. Por esta razón unlíquido no hierve a la misma temperatura en cualquier parte del planeta. Estimando latemperatura de saturación, podemos inferir de cierta forma cuanta energía requeriremos parahervir una sustancia. La temperatura de saturación puede estimarse con cualquier ecuación parala Pvap.Calculemos la temperatura de saturación del etilbenceno a una presión de 2494 mmHg.Usaremos los datos del problema anterior. Sustituyendo en la ecuación de Frost-Kalkwarf-Thodos, la presión obtenemos

Y T T T

= − − + =50 27835687376 5802 06792 542. . ln. 14340.5

Dado que la ecuación es ligeramente más complicada en T que en Pvap usaremos el método de laSecante. Empleando la ecuación de Antoine tenemos una aproximación T=460 oK. Comorequerimos 2 aproximaciones evaluamos la función en torno a esta aproximación. Tenemos

Y(460)= 6.36243669033045E-03Y(459)= -1.28859539656325E-02

Como tenemos un CS y los valores son relativamente cercanos a 0, usamos el método de laSecante con cierta confianza.Una temperatura puede medirse experimentalmente con 5 cifras significativas, por lo cual

Tol = −5 10 6 . Usaremos a lo más 10 iteraciones. Los cálculos se resumen en la tabla 23.

Tabla 23 Cálculos de la Tsat

con el método de la Secante

n T sat n

yn ccn

0 459

-1.28859539656325E-02 -

1 460

6.36243669033045E-03 2.17391304347826E-03

2 4.59669456174075E+02

1.22339202290045E-05 7.19090253846048E-043 4.59668819368142E+02

-1.16413985812303E-08 1.38535812302372E-06

La convergencia es satisfactoria. Redondeando a la precisión exigida T=459.67 oK.

2.11.3. Cálculo de la transferencia de calor en un tejado

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Determinar que tanto calor escapa o entra por un tejado es útil para saber si se requerirácalentar, enfriar o aislar una casa.Para cierto tejado en un día soleado se ha determinado que la transferencia de calor esta dada

por

Qcond

T

E =

−

−

294 15

4 47 3

.

.

dondeQcond: Transferencia de calor neta del tejadoT: Temperatura en la superficie del tejado.

La T esta dada por

y f T x T T = = + − =−( ) . . .6 96 10 42 8 12919 82 08 4

No es necesario hallar las 4 raíces. Por consideraciones teóricas la raíz debe de ser positiva yademás que este entre 272.15 y 294.15. Evaluando en estos valores tenemos que

P(272.15)= -889.99413603265P(294.15)= 190.856299114374

Con el fin de hallar la raíz que nos interesa usaremos el intervalo dado como una aproximación para el método de Regula Falsi, dado que existe un CS. Pediremos solo 2 cifras significativas.Los cálculos se dan en la tabla 24

Tabla 24 Cálculo inicial de la Temperatura con Regula Falsin

T izq.

Tn

T der.

f(Tn)

ccn 0 272.15 290.265245510407 294.15 -2.39645390787155 -1 290.265245510407 290.313418873695 294.15 -6.56175909170997E-03 1.66E-042 290.313418873695 290.313550773222 294.15 -1.79675771505572E-05 4.54E-07

La T es aproximadamente 290 0K. Ahora terminaremos el cálculo con el método de Newton

con Tol = −5 10 6 y a lo más 10 iteraciones. La derivada la calculáremos con DS. Loscálculos se dan en la tabla 25

Tabla 25 Cálculos de la T con el método de Newton-Rapshon

n

Tn

yn

ccn 0 290 -1.55524239999995E+01 -1 290.313620812962 3.45684034618898E-03 -1.08028280617173E-032 290.313551135388E+02 1.72803993336856E-10 2.40007998060441E-07

Tenemos que T=290.31 oK. Sustituyendo en la ecuación de la transferencia de calor se tieneQcond=-859.06 W. Concluimos que el calor escapa por el tejado, por lo cual podría ser necesario

calentar la casa.Si aplicamos la RSD hallamos que R +=1, por lo cual no vale la pena hallar las demás raíces.27

2.11.4. Cálculo de la velocidad de descenso de un tanque en el océano

Cuando se deja caer en el océano un tanque de desperdicios, su velocidad esta en función de la profundidad. Esta velocidad es importante para saber si el tanque se romperá al llegar al fondo.

27¿ Por qué ?

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Si la velocidad llega a cierto valor crítico, el tanque podría romperse, liberando su carga ycontaminando el océano. Aplicando las leyes de Newton se llega a la siguiente ecuación

gd

pvc

p b

c

p b cv

p b= − − − −

−

( ) ln2

−

=

dondeg: constante de la aceleración de la gravedad.d: distancia que cae el tanque.

p: peso del tanque. b: fuerza hidrostática.c: coeficiente de proporcionalidad de la fuerza hidrodinámica.v: velocidad de caída.

Cierto tanque pesa 527.436 lb. Caerá 300 ft de profundidad. Los valores de los demás parámetros son: b=470.327 lb, c=.08, g= 32.174 ft/s2.Si la velocidad critica es de 40 ft/s. ¿ Se romperá el tanque al llegar al fondo ?Si sustituimos los valores en la ecuación obtenemos

Y v x v= + − +−12 5 8923 2812 1 14008 10 18 300229 02. . ln( . ) .

Como la ecuación es simple usaremos el método de Newton. Para la primera aproximación, podemos usar la siguiente ecuación aproximada

v d p b d g

p( ) ( )= −2

Sustituyendo valores v ft s≈ 45 7. / . Usaremos Tol x= −5 10 4 y maxiter=10. Los cálculos se

resumen en la tabla 26

Tabla 26 Cálculos de la v con el método de Newton-Rapshonn

Tn

yn

ccn 0 45.7 -7.91702093724155E-01 -1 44.7739645502487 -8.82664266947586E-03 2.06824537217836E-022 44.7634120956989 -4.12357911727668E-06 2.3573838668222E-04

La velocidad con la que el tanque llega al fondo es de 44.8 ft/s, por lo cual el tanque puederomperse al llegar al fondo.

2.11.5. Determinación del tiempo de recuperación de un amortiguador

Uno de los aditamentos que hacen más cómodo y seguro el viajar en un auto es elamortiguador. Mientras más pronto amortigüe las perturbaciones provocadas las irregularidadesdel camino, mejor será el amortiguador.

Para un cierto auto la ecuación que da el desplazamiento del amortiguador en función deltiempo es

d t e sen t t t ( ) ( . ( ) . cos( )= −−50 0 45633 9 19179 9 )

Esta función es cuasiperiódica, lo que implica que oscila de forma tal que la su amplitud tiendea 0.

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El criterio para decidir si el amortiguador trabaja bien es verificar que la velocidad delmovimiento es 0. Como no es posible lograr esto, un ingeniero28 (de la UAM), ha determinadoque si la velocidad es 0.01 m/s, se puede considerar que el amortiguador esta quieto. Tambiéndeterminó que si el tiempo de recuperación es 0.2 seg. o menos el amortiguador es bueno.Para calcular la velocidad debemos derivar la expresión anterior

v t e t sen t t

( ) ( . cos( ) . ( ))= −

−50

100 00197 9 55554 9

igualando a 0.01 tenemos la ecuación no lineal

Y f t e t sen t t = = − − =−( ) ( . cos( ) . ( )) .50 100 00197 9 55554 9 0 01 0

Para buscar la raíz evaluamos la función en 0, 0.1 y 0.2

Y(0)=100.00197Y(0.1)=0.389524267487651Y(0.2)=-0.00127713499061

Podemos observar que existe un CS en [0.1,0.2]. Como la derivada de la función será tan o máscomplicada que la original no usaremos el método de Newton. Emplearemos el método de lasecante. Obtendremos el tiempo con 4 cifras significativas. Tol x= −5 10 5 , Maxiter=50. Loscálculos se resumen en la tabla 27

Tabla 27 Cálculos del método de la Secanten

tn

yn

ccn 0 0.1 3.89524267487651E-01 -1 0.2 -1.27713499060973E-03 -2 0.199673201021667 -1.28512219853309E-03 1.63666920077808E-033 0.25225435648214 -2.28513714833634E-04 -2.08444984632784E-01•

•

•29 0.517432470113204 -5.15425872875231E-16 -2.00790088224563E-05

Podemos observar que no obtenemos una raíz en [0.1,0.2]. El método de la secante tuvo problemas de convergencia. Esto se debe a que esta función tiene puntos críticos cerca delintervalo en cuestión. Para resolver este problema usaremos el método de bisección para hallar

una aproximación más cercana en el intervalo [0.1,0.2]. Usaremos Tol = −5 10 3 yMaxiter=10. Los cálculos se muestran en la tabla 28

Tabla 28 Cálculos del método de Bisección

n t izq.

t n t der.

f(t n ) ccn

6 0.1

0.15 0.2

9.11514380339662E-03 -

1 0.15

0.175 0.2

-9.46921346298525E-04 1.42857142857143E-01

2 0.15

0.1625 0.175

1.56484354395356E-03 7.6923076923077E-02•

•

•

6 0.1671875

0.16796875 0.16875

8.07927704354278E-05 4.65116279069774E-03

Ahora empleamos el método de la secante iniciando con 0.1 y 0.168. Los cálculos se resumenen la tabla 29

28 de la UAM por supuesto.

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Tabla 29 Cálculos del método de la SecanteN

tn

yn

ccn 0 0.1 3.89524267487651E-01 -1 0.168 7.43323981345322E-05 -2 0.168012978826334 7.16551325333064E-05 7.7248950790812E-053 0.168360347993081 1.26815329331546E-06 2.06324809189501E-034 0.168366606499378 2.22200065806133E-08 3.71718978437688E-05

Ahora si logramos la convergencia. El tiempo es de 0.1684 segundos. Como el tiempo es menor a 0.2 seg. Concluimos que el amortiguador es eficiente.En este ejemplo podemos darnos cuenta que en general no es recomendable empezar con unmétodo rápido (como es el de la secante), ni tampoco es siempre el método de Newton el mejor.

2.12. Resumen

La resolución de ecuaciones no lineales, es una de los problemas que aparecen másfrecuentemente en ingeniería.Consiste en hallar los valores de x tales que f(x)=0. Estos valores se denominan raíces ó ceros.Existen 3 técnicas para resolver este problema: métodos analíticos, métodos gráficos y métodos

numéricos. Los últimos son generalmente la mejor opción.Los métodos numéricos obtienen una sucesión de valores que se aproxima a la raíz. Requierenuna ó más aproximaciones.El TCS nos ayuda a localizar raíces.Se trataron los métodos de : Bisección, Regula Falsi, Secante y Newton. Él ultimo convergemás rápido, pero no es necesariamente el mejor. Los primeros 2 son lentos pero seguros, losotros son rápidos pero inseguros. Lo mejor es usar una combinación. Empezar los cálculos conun método lento y de ahí pasarse a uno rápido.El caso problemático de la búsqueda de raíces lo constituyen las raíces dobles. En este caso seemplean los métodos modificados. Sólo se recomienda los métodos modificados, cuando sonrealmente necesarios, es decir, en raíces dobles.Al resolver una ecuación no lineal se tienen 2 casos: Ecuaciones polinomiales y ecuaciones no

polinomiales. Para las primeras existen varios teoremas y técnicas que permiten su resolución.

Para las segunda solo se puede hacer considerando: la teoría, la gráfica o analizando la función.

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2.13. Índice

2. RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES 2-1

2.1. INTRODUCCIÓN. 2-1 2.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS BÁSICOS 2-1

2.2.1. MÉTODOS A NALÍTICOS 2-1 2.2.2. MÉTODOS GRÁFICOS 2-1 2.2.3. MÉTODOS NUMÉRICOS 2-2

2.2.3.1. Teorema del cambio de signo (TCS) 2-2 2.3. MÉTODO DE BISECCIÓN 2-3

2.3.1. EJEMPLO DEL MÉTODO DE BISECCIÓN 2-5 2.4. MÉTODO DE R EGULA FALSI 2-7

2.4.1. EJEMPLO DEL MÉTODO DE R EGULA FALSI 2-8 2.5. MÉTODO DE LA SECANTE 2-9

2.5.1. EJEMPLO DEL MÉTODO DE LA SECANTE 2-10 2.6. MÉTODO DE NEWTON-R APSHON 2-11 2.6.1. EJEMPLO DEL MÉTODO DE NEWTON-R APSHON 2-12

2.7. ITERACIÓN DE PUNTO FIJO 2-13 2.7.1. EJEMPLO DEL MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO 2-14

2.8. R AÍCES DOBLES 2-15 2.8.1. TEOREMA DE LA ELIMINACIÓN DE LA RAÍZ DOBLE 2-16 2.8.2. MÉTODO DE NEWTON-R APSHON MODIFICADO 2-16 2.8.3. MÉTODO DE LA SECANTE MODIFICADO 2-16

2.8.3.1. Ejemplos de los métodos modificados 2-17 2.9. R AÍCES DE POLINOMIOS 2-18

2.9.1. TEOREMAS USADOS EN LA RESOLUCIÓN DE POLINOMIOS 2-19

2.9.2. METODOLOGÍA PARA HALLAR LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO 2-24 2.9.2.1. Ejemplo de la resolución de un polinomio 2-24 2.10. R ESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN NO POLINOMIAL 2-25

2.10.1. PRIMERA APROXIMACIÓN PARA UNA ECUACIÓN NO POLINOMIAL. 2-25 2.10.1.1. Ejemplo de hallar las raíces de una ecuación no polinomial 2-26

2.11. EJEMPLOS DE ECUACIONES NO LINEALES 2-29 2.11.1. CÁLCULO DE LA PRESIÓN DE VAPOR 2-29 2.11.2. CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE SATURACIÓN. 2-30 2.11.3. CÁLCULO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN TEJADO 2-30 2.11.4. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE DESCENSO DE UN TANQUE EN EL OCÉANO 2-31 2.11.5. DETERMINACIÓN DEL TIEMPO DE RECUPERACIÓN DE UN AMORTIGUADOR 2-32

2.12. R ESUMEN 2-34

2.13. ÍNDICE

2-35

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Metodos Numericos tema2

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