Post on 17-Jan-2016
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Capitulo 1.Introducción
Fundamentos de Mecánica de Fluidos
Introducción
1. Orígenes de la Mecánica de Fluidos. 2. Introducción a la Mecánica de Fluidos 3. Revisión de álgebra vectorial
3.1. Escalares, vectores y tensores1.3.2. Operadores gradiente y
divergencia
Introducción
La Mecánica de Fluidos es la ciencia que estudia la cinemática y dinámica de los fluidos ante la acción de fuerzas aplicadas.
Es una rama de la mecánica y tiene a su vez varias subdivisiones (Dinámica de gases, hidráulica, hidrostática, aerodinámica, etc)
El formulismo matemático se basa en ecuaciones no lineales (turbulencia).
Dimensiones, unidades y cantidades físicas.
Hay 9 cantidades fundamentales: longitud, masa, tiempo, temperatura, cantidad de sustancia, corriente eléctrica, intensidad luminosa, ángulo plano y ángulo sólido.
Líquidos y gases
Esfuerzo: Fuerza dividida entre el área.
Esfuerzo normal: Componente normal de la fuerza dividida entre el área.
Esfuerzo cortante: Componente tangencial de la fuerza dividida entre el área.
A
Ft
A
0
lim
Líquidos y gases
Un fluido es una sustancia que reacciona deformándose de forma instantánea, ante un esfuerzo de corte por mínimo que sea. En general los líquidos y los gases cumplen esta propiedad
Los fluidos que consideraremos aquí están continuamente distribuidos sobre la región de interés
Las moléculas están suficientemente cerca unas de las otras.
El camino libre medio es pequeño en comparación con las dimensiones del sistema.
V
mV
0
lim
Con la asunción de continuidad las variables de un sistema se puede considerar como una función.
tzyx ,,,
Si un fluido es un continuo, la densidad puede ser definida como:
2225.0
d
m
Presión y temperatura
Presión: Es el resultado de una fuerza de compresión normal que actúa sobre un área.
PaA
FP n
A
0
lim
manatmabs PPP
Temperatura
La temperatura es una propiedad de un objeto que está relacionada con el hecho de que el objeto esté o no en equilibrio térmico con otro objeto con el cuál está en contacto.Las escalas mas usadas son la Celsius y la Kelvin. 15.273 KC TT
Propiedades de Fluido
Densidad: masa por unidad de volumen.
Peso específico: peso por unidad de volumen.
Gravedad específica: densidad (o peso especifico) con respecto a la del agua.
g
aguaagua
S
Viscosidad
dy
du
Tensión superficial
rP
rrP
2
22
rP
rrP
4
42
Dh
hD
gD
cos44
cos2
Revisión de algebra vectorial
Una particularidad de Mecánica de Fluidos es la necesidad de trabajar con álgebra vectorial. Los conceptos de flujo, gradiente de un escalar, divergencia de un vector y los productos escalares y vectoriales son de uso frecuente.
Cabe también aclarar y enfatizar que todo lo presentado aquí corresponde a álgebra vectorial Cartesiana que tiene una notación muy conveniente denominada indicial, la cual facilita enormemente la manipulación de expresiones matemáticas. Por ese motivo en esta revisión se introduce también dicha notación de forma muy breve y sucinta.
Campos Escalares y Vectoriales
Campo: Función matemática de espacio y tiempo
Campo escalar
Campo Vectorial
tzyxfzyxr ,,,,, tzyxFzyxr ,,,,,
Vectores y escalares
Para representar una cantidad escalar se usará cualquier letra mayúscula o minúscula
A, T, f, c
vrFA
, , ,
También se suele usar una letra en negrilla
A, F, r, v
Gráficamente por medio de flechas o saetas Ar
Para representar una cantidad vectorial se puede usar una letra con una flecha en la parte superior
Suma de Vectores
A
B CBA
A
B
C
CBA
BA
CB
Se define
donde tiene la misma magnitud que ,
y la misma dirección, pero sentido inverso.
a b a b
b b
a
b
a b
Diferencia de vectores
A
AA
A
3
Al multiplicar un vector por un escalar se obtiene un vector paralelo al vector inicial, y con una magnitud igual al producto del escalar con la magnitud del vector inicial
Si el escalar es menor que cero la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector inicial.
A
2
Si el escalar esta entre -1 y 1, el vector tendrá una magnitud menor que el inicial.
A
2
1
Magnitud de un vector
La magnitud o norma de un vector es su longitud, su tamaño.
Se representa escribiendo el vector entre dos barras o simplemente sin la flecha en la parte superior de la letra.
A
A
Vector unitario y vector nulo
El vector unitario es aquel cuya magnitud o norma es igual a 1. Se representa mediante un acento circunflejo o “gorro” sobre la letra.
1ˆ a
El vector nulo es aquel cuya magnitud o norma es igual a cero. Se representa como un cero con flecha, o simplemente con el escalar 0.
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto escalar (interno ó punto)
como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
Producto escalar, producto punto o producto externo
cosbaba
Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
abbaba
coscos
. dedirección laen de
proyección la es cos entonces 1,a Si 1)
ab
θbba
2 tienesey 1cos0 entonces ,a Si 2) aaaθb
abba oconmutativ esescalar producto El 3)
cabacba
suma la a respectocon vodistributi esescalar producto El 4)
ba
baba
alar perpendicu es
0 o 0 0 Si 5)
1) sina b a b
2) Su dirección es perpendicular al plano formado
por los vectores y a b
3) El sentido del vector está definido por el avance
de un tornillo que va de a (por la regla de la
mano derecha)
a b
Producto vectorial, producto cruz o producto interno
:así cruz o vectorialproducto el define se
,y vecoresloshacen que ángulo al llamalos Si ba
sinbaba
a b
a b
sinbaba
a b
a b
sin es el área
de este paralelogramo
a b a b sinbaba
1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:
2) El producto vectorial es distributivo respecto
a la suma
3) Para todo vector 0
a b c a b a c
a a
a b b a
Si el producto vectorial de dos vectores
sin
es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son paralelos
es de
Si dos vectores son paralelos, entonce
cir, 0 0 ó 18
s su
0
a b a b
producto vectorial es cero
sinbaba
Producto triple escalar
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA
A
C
B
CB
Producto triple vectorial
BACCABCBA
Por una parte, B × C es perpendicular al plano formado por los vectores B y C, y, ya que W = A×(B×C) es perpendicular a B×C , entonces W pertenece al plano formado por B y C.
Sistema de Coordenadas
Vectores Base Unitarios
222
222
222
Esféricasˆˆˆ
sCilíndricaˆˆˆ
resRectangulaˆˆˆ
AAAA
AAAA
AAAA
AArAA
zAArAA
zAyAxAA
r
zr
zyx
r
zr
zyx
Coordenadas cartesianas
Denotaremos como
ˆˆ ˆ, ,
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
, ,
Así un punto estará representado por el
vector
ˆˆ ˆ
i j k
X Y Z
P
r xi yj zk
Coordenadas cartesianas
X
Y
Z
i
j
k
x
y
z
, ,P x y z
ˆˆ ˆr xi yj zk
r
Coordenadas cartesianas
ˆ ˆLos vectores 0
ˆˆbase cartesianos 0
ˆ ˆson ortogonales entre si 0
ˆ ˆLos vectores 1
base
i j
j k
k i
i i
ˆ ˆ cartesianos 1
ˆ ˆson unitarios 1
j j
k k
Coordenadas cartesianas
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "der
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h ":
ˆ
ec a
i k
k
k i
j i
j
j
X
Y
Z
i
j
k
Coordenadas cartesianas
1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k
1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k
1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b
2 2 21 2 33) a a a a
Representación de vectores por componentes
23
22
21 aaaa
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y
4)
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
a a i a j a k b b i b j b k
i j k
a b a a a
b b b
a b a b i a b a b j a b a b k
Representación de vectores por componentes
1 2
Sea :
un campo escalar diferenciable,
el
:
definido como
,
c
gradiente de
ampo vectorial
,...,
se llama
n
n n
n
D R R
R R
x x x xx x x
Gradiente de una función escalar
Sea : un campo escalar diferenciable.
En todos los puntos en los cuales 0,
el vector apunta en la dirección de mayor
crecimiento de .
El número es la razón máxima de
crecimiento.
nD R R
x
x
x
Gradiente de una función escalar
• El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.
• El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
Gradiente de una función escalar
1
campo escalar
S
divergencia de
ea :
un campo vectorial diferenciable,
el
:
definido como
se llama
n n
n
ni
i i
F D R R
F R R
F
FF
x
Divergencia de un campo vectorial
z
F
y
F
x
FF zyx
3 3
2 2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,
definido como
, , , ,2
2 2
, , 2
F D R R
F x y z xz y x y
F xz y x y z yx y z
F x y z z y
Divergencia de un campo vectorial
Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial indica cuales son las fuentes o sumideros de las líneas del campo vectorial.
En aquellos puntos donde la divergencia sea diferente de cero, se tiene una fuente o sumidero de campo.
3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,
el
:
definido como
ro
c
ˆˆ ˆ
se
ampo vecto
llama tacional de
ial
r
x y z
F D R R
F R R
i j k
Fx y z
F F F
F
OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”
Rotacional de un campo vectorial
3 3
2 2
2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,
definido como
, , , ,2
ˆˆ ˆ
2 , 4 ,0
2
F D R R
F x y z xz y x y
i j k
F x x xyx y z
xz y x y
Rotacional de un campo vectorial
3 3
ˆˆ ˆ
:
El rotacional de un campo vectorial nos dice
"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.
Si el rotacional es cero, entonces la líneas de
campo no pueden "cerrarse"
x y z
i j k
F D R R Fx y z
F F F
Rotacional de un campo vectorial
Teorema de la Divergencia
3 3Sea : un campo vectorial.
Para todo volumen tenemos
siendo la superficie que rodea
el volumen
V S V
F D R R
V
F dV F dS
S V
V
VSV
SdFdVF
Teorema de Stokes
3 3:
C S C
F D R R
F dl F dS
CSC
SdFldF