Caso de

Estudio

B

D

C

E

AProbabilidad

A priori

Árbol de Decisión

Probabilidad

A posteriori

Sin información

perfecta

Con información

perfecta

Investigación de Operaciones II

Maestro

Ing. Julio Rito Vargas Avilés.

Teoría de

Decisión

INTRODUCCION

• Toma de decisiones sin experimentación

• Toma de decisiones con experimentación

TOMA DE DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN

ESQUEMA

ALTERNATIVAS FACTIBLES(Estrategias del tomador de decisiones. Selecciona sólo una)

VS

ESTADO DE LA NATURALEZA(Estrategias de la naturaleza. Sucesos inciertos, se conocen o se tiene idea de sus

probabilidades)

MARCO CONCEPTUAL

• El tomador de decisiones necesita elegir una de las alternativas posibles.

• La naturaleza elegirá uno de los estados de la naturaleza.

• Cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que se da por medio de una tabla de pagos.

• La tabla de pagos se usa para encontrar una acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado.

MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL ANÁLISIS DE DECISIONES

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn

A1 Q11 Q12 … Q1n

A2 Q21 Q22 … Q2n

… … … …

Am Qm1 Qm2 … Qmn

NOTA:

El tomador de decisiones elige su estrategia parapromover su propio beneficio. Por el contrario lanaturaleza es un jugador pasivo que elige susestrategias de manera aleatoria.

El tomador de decisiones tiene información para teneren cuenta sobre la posibilidad de los estados de lanaturaleza. Esta información se traduce en unadistribución de probabilidad. El estado de la naturalezaes una variable aleatoria (distribución a priori).

MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL ANÁLISIS DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn

A1 Q11 Q12 … Q1n

A2 Q21 Q22 … Q2n

… … … …

Am Qm1 Qm2 … Qmn

PROB. A PRIORI P1 P2 … Pn

1Pn

1i

i

DOS CONCEPTOS IMPORTANTES

A priori:

independiente de la experiencia, es decir, que éstasupone pero no puede explicar, aunque sea necesarioa la posibilidad de la experiencia; a priori no designa,pues, una anterioridad psicológica, sino unaanterioridad lógica o de validez.

En la filosofía escolástica, [razonamiento] quedesciende de la causa al efecto, o de la esencia de unacosa a sus propiedades.

A posteriori

Que proviene o depende de la experiencia.

En la filosofía escolástica, [razonamiento] queasciende del efecto a la causa o de laspropiedades de una cosa a su esencia.

FORMULEMOS UN EJEMPLO

Un ingenio es dueño de unos terrenos en los quepuede haber petróleo. Un geólogo consultor hainformado que piensa que existe una posibilidad entrecuatro de encontrar petróleo. Otra posibilidad essembrar caña en estos terrenos. El costo de laperforación es de 100.000 dólares. Si encuentrapetróleo el ingreso esperado será de 800.000 dólares.Si no se encuentra petróleo se incurre en una pérdidade 100.000 dólares. Por otro lado la caña producirá uningreso de 90.000 dólares.

TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DE DECISION DEL PROBLEMA DEL INGENIO

(Ganancia o pérdida)

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVA Petróleo Seco

Perforar 700 -100

Sembrar caña 90 90

Probabilidad a priori 0.25 0.75

Árbol de decisióncon probabilidad a priori

CRITERIO DEL PAGO MÁXIMO

Para cada acción posible, encuentre el pagomínimo sobre todos los estados de la naturaleza.Después encuentre el máximo de estos pagosmínimos. Elija la acción cuyo pago mínimocorresponde a este máximo.

EXPLICACIÓN

Este criterio elige la acción que proporciona el mejor pago para el peor estado de la naturaleza.

Proporciona la mejor garantía del pago que se obtendrá. Sin importar cual sea el estado de la naturaleza el pago por vender el terreno no puede ser menor que 90.

Este razonamiento es válido cuando se está compitiendo con un oponente racional.

Este criterio casi no se usa contra la naturaleza.

CRITERIO DE LA MÁXIMA POSIBILIDAD

Identifique el estado más probable de la naturaleza (aquel que tenga la probabilidad a

priori más grande). Para este estado de la naturaleza, encuentre la acción con máximo pago.

En nuestro ejemplo, el estado seco tiene lamayor probabilidad a priori. En la columna secoel pago máximo corresponde a la siembra decaña.

EXPLICACIÓN

La acción elegida es la mejor para el estado másimportante de la naturaleza.

Desventaja: Ignora otra información. Noconsidera otro u otros estados de la naturalezadistintos al más probable.

REGLA DE DECISIÓN DE BAYES

Usando las mejores estimaciones disponibles delas probabilidades de los respectivos estados dela naturaleza (en este caso las probabilidades apriori), se calcula el valor esperado del pago decada acción posible. Se elige la acción conmáximo pago esperado.

Para nuestro ejemplo

VME[pago (perforar)] = 0.25*700 + 0.75*(-100)= 100

VME[pago (sembrar)] = 0.25*90 + 0.75*(90)= 90

Como 100 > 90, la decisión es perforar. Por ser el mayor VME.

RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO

VME

(ESPERANZA)

PERFORAR 700 -100 100 MAX

SEMBRAR C. 90 90 90 MIN

PROB. A PRIORI 0.25 0.75

EXPLICACIÓN

La mayor ventaja de este criterio es que incorporatoda la información disponible (pagos,estimaciones de las probabilidades de los estadosde la naturaleza).

La mayor crítica es que las probabilidades a priorino dejan de ser subjetivas.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Nos centraremos en el análisis de sensibilidadsobre las probabilidades a priori. Queremossaber cómo cambia nuestra decisión al cambiarlas probabilidades a priori.

Supongamos que sabemos con buena certezaque 0.15 < P(petróleo) < 0.35. Esto implica que0.65 < P(seco) < 0.85.

Comenzamos el A. de S. aplicando el criterio deBayes para los dos casos extremos.

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 20 MIN

SEMBRAR C. 90 90 90 MAX

PROB. A PRIORI 0.15 0.85

208510585.0*)100(15.0*700 VME

905.765.1385.0*9015.0*90 VME

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 180 MAX

SEMBRAR C. 90 90 90 MIN

PROB. A PRIORI 0.35 0.65

1806524565.0*)100(35.0*700 VME

905.585.3165.0*9035.0*90 VME

Conclusión:

La decisión es muy sensible a la probabilidad apriori de encontrar petróleo.

Lo cual nos dice que “debemos de hacer algomás” para tomar nuestra decisión.

CAMBIO DEL PAGO ESPERADO EN FUNCIÓN DE LA PROBABILIDAD A PRIORI

Si p es la probabilidad a priori de encontrarpetróleo entonces el pago esperado porperforar será:

VME(pago perforar) = 700p – 100(1-p)

= 800p - 100

GRÁFICA DEL CAMBIO DEL PAGO ESPERADO

PUNTO DE CRUCE

VME(pago perforar) = VME(pago caña)

800p – 100 = 90

p = 190/800 = 0.2375

Se debe cultivar caña si p < 0.2375

Se debe perforar en busca de petróleo si p > 0.2375

GENERALIZACIONES

MAS DE DOS ALTERNATIVAS

Si se tiene más de dos alternativas entonceshabrá más de dos rectas. Las partes superiores(para cualquier valor de la probabilidad a priori)seguirán indicando que alternativa debe elegirse.Los puntos de corte indica en donde la decisióncambia de una alternativa a otra.

MAS DE DOS ESTADOS DE NATURALEZA

Se centra el análisis de sensibilidad en dosestados de la naturaleza. Esto significa investigarque pasa cuando la probabilidad a priori de unestado aumenta mientras la del otro disminuyeen la misma cantidad y se mantienen fijas lasprobabilidades a priori de los estados restantes.Este procedimiento se repite para los pares deestados que se deseen.

TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN

INFORMACION COMPLEMENTARIA PARA TOMAR UNA DECISIÓN

Una exploración sismológica obtienesondeos sísmicos que indican si laestructura geológica es favorable o no a lapresencia de petróleo. Con esto mejoramosla estimación de la probabilidad de quehaya petróleo. Supongamos que el costo deeste estudio es de 30.000 dólares.

RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN

DOS RESULTADOS POSIBLES:

Es poco probable encontrar petróleo

SSD (Sondeo sísmico desfavorable)

Es bastante probable encontrar petróleo

SSF (Sondeo sísmico favorable)

Por experiencia (datos históricos) tenemos las siguientes probabilidades condicionales:

P(SSD estado = petróleo) = 0.4P(SSF estado = petróleo) = 1 - 0.4 = 0.6

P(SSD estado = seco) = 0.8P(SSF estado = seco) = 1 - 0.8 = 0.2

PROBABILIDADES A POSTERIORI

Quisiéramos saber más bien las siguientes probabilidades, llamadas probabilidades a

posteriori (Seguramente son más útiles que las anteriores)

P(estado = petróleo resultado = SSD)

P(estado = seco resultado = SSD)

P(estado = petróleo resultado = SSF)

P(estado = seco resultado = SSF)

EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITE CALCULAR ESTAS PROBABILIDADES

Definición: Si A y B son eventos en un espacio deprobabilidad la probabilidad condicional de A dado Bdenotada por P[AB] se define mediante la relación:

P[AB] = , con P[B] 0

Definición: Dos eventos A y B en un espacio deprobabilidad son independientes si la ocurrencia de unode ellos no influye en el valor de la probabilidad delotro. Esto se expresa escribiendo:

P[AB] = P[A]De lo anterior se deduce que P[AB] = P[A].P[B] si A y Bson independientes.

P[B]

B]P[A

Una fórmula que se deriva de la definición de probabilidadcondicional es la siguiente:

P[AB] = P[A]P[BA] = P[B]P[AB] y relaciona lasprobabilidades condicionales en términos de lasprobabilidades no condicionales P[A] y P[B].

Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1, B2,...,Bn, eventos tales que definen una partición (*) en S yA cualquier evento en Fs entonces:

P[A] = P[ABi ]P[Bi]

n

i 1

Teorema de Bayes:

Sea S un espacio muestral y B1, B2, ...,Bn, eventos talesque definen una partición en S y A cualquier evento enFs entonces se cumple la relación:

P[BkA] =

n

1i

ii

kk

]]P[BBP[A

]]P[BBP[A

TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA EN LA TOMA DE DECISIONES

n

1k

k)P(estado*k)estado|joP(resultad

i)P(estado*i)estado|joP(resultadj)resultado|iP(estado

CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

P(estado = petróleo resultado = SSD)

P(estado = seco resultado = SSD)

14.01429.07

1

75.0*8.025.0*4.0

25.0*4.0

0.860.85717

6

7

11tambiéno

86.08571.07

6

75.0*8.025.0*4.0

75.0*8.0

P(estado = petróleo resultado = SSF)

P(estado = seco resultado = SSF)

5.02

1

75.0*2.025.0*6.0

25.0*6.0

0.52

1

2

11tambiéno

5.02

1

75.0*2.025.0*6.0

75.0*2.0

DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

0.70.60.1P(SSD)o)P(resultad

0.30.150.15P(SSF)ntesindependie adesprobabilid

CÁLCULO DEL PAGO ESPERADO TENIENDO EN CUENTA LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

Pago esperado si el resultado es un sondeo desfavorable

E(pago[perforar|SSD])

E(pago[s. caña|SSD])

7.1530)100(*7

6700*

7

1

603090*7

690*

7

1

RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSD)

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 -15.7

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD A

POSTERIORI

(SSD) 1/7 6/7

Pago esperado si el resultado es un sondeo favorable

E(pago[perforar|SSF])

E(pago[s. caña|SSF])

27030)100(*2

1700*

2

1

603090*2

190*

2

1

RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL CRITERIO DE BAYES (SSF)

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA

PERFORAR 700 -100 270

SEMBRAR C. 90 90 60

PROBABILIDAD A

POSTERIORI

(SSF) 1/2 1/2

DECISIÓN, BAJO EXPERIMENTACIÓN, CON LA REGLA DE BAYES

DESFAVORABLE

(SD) SEMBRAR CAÑA 90 60

FAVORABLE

(SF)

PERFORAR POR

PETROLEO 300 270

VALOR DE LA EXPERIMENTACION

Antes de realizar cualquier experimento, debedeterminarse su valor potencial. Veremos dosmétodos para evaluar este potencial, a saber:

•Valor esperado de la información perfecta.

•Valor esperado de la experimentación.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP)

Aquí se supone que la experimentación elimina todaincertidumbre sobre cual es el estado verdadero de lanaturaleza y se hace un cálculo sobre cual sería la mejoraen el pago esperado. Esta cantidad se llama valoresperado de la información perfecta. (cota superior parael valor del experimento)

Pago esperado con información perfecta = 0.25*700+0.75*90 = 242.5

VEIP = PECIP – pago esperado sin experim.

VEIP = 242.5 – 100 = 142.5

VEIP continuación

Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no sellevaría a cabo la experimentación.

En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indica quepuede valer la pena llevar a cabo laexperimentación.

Entramos a confirmar esto estudiando unsegundo método: Valor Esperado de laExperimentación = VEE

VALOR ESPERADO DE LA EXPERIMENTACIÓN (VEE)

En este caso no se calcula una cota superior parael incremento del pago esperado. Se calcula demanera directa este incremento esperado:

Pago esperado de la experimentación =

P(resultado j)*E(pago|resultado j), j

En esta expresión el cálculo de las esperanzasdebe hacerse con las probabilidades a posteriori

VEE continuación…

De los cálculos anteriores sabemos que los valores de P(resultado j) son:

P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3

Así mismo los valores de E(pago|resultado j), quese calcularon teniendo en cuenta lasprobabilidades a posteriori, son:

E(pago|resultado = SSD) = 90

E(pago|resultado = SSF) = 300

VEE continuación…

El pago esperado con experimentación =

0.7*90 + 0.3*300 = 153

El VEE será entonces:

VEE = El pago esperado con experimentación -

El pago esperado sin experimentación =

153 – 100 = 53 > 30

Como este valor excede a 30.000 entonces debe llevarse a cabo el sondeo de sismología

ÁRBOL DE DECISIÓN

Es una manera de visualizar un problema de decisión mediante un esquema de árbol (red sin

ciclos). Su objetivo es facilitar la comprensión del problema y los cálculos.

CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

-30

0

0.3

0.7 -100

90

0

800670

-130

60

-100

90

0.5

0.5

800

0

670

-130

90

-100

90

0.25

0.75

700

-100

90

0.14

0.86

ELEMENTOS DEL ÁRBOL

• Los arcos = Ramas

• Puntos de ramificación = Nodos

Nodo de decisión = Indica que debe tomarse una decisión (cuadrado)

Nodo de probabilidad = Indica que ocurre un evento aleatorio (círculo)

CÁLCULOS, PRIMERA ETAPA

LOS NÚMEROS EN EL ÁRBOL

Números debajo de ramas = Flujos de efectivo

Números arriba de las ramas = Probabilidad(después de un nodo de probabilidad) (a priori o a posteriori)

Números en cada nodo = Pagos esperados(Surgen del procedimiento de análisis)

CÁLCULOS, SEGUNDA ETAPA

ANÁLISISUna vez calculado el árbol se hace el siguiente procedimiento

de análisis

• 1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierda una columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3 según los nodos sean de probabilidad (NP) o de decisión (ND).

• 2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE- [(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)]

• 3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas y seleccione la alternativa cuya rama tenga mayor pago esperado.

BIBLIOGRAFÍA

H. TAHA, “Investigación de Operaciones”, Ed. Alfaomega, México 2003.

F. HELLIER, G. LIEBERMAN, “Introducción a la investigación de operaciones”, Ed.McGraw-Hill 2007.

F. HILLIER, G. LIEBERMAN, MARK HILLIER. “Métodos cuantitativos paraadministración”, McGraw-Hill. 2001.

SCHEAFFER y MCCLAVE. (1993) "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". México:Grupo Editorial Iberoamérica.

Árboles de decisión: Tarea en clase

• Un fabricante está considerando la producción de un nuevo producto. La utilidad incremental es de $10 por unidad y la inversión necesaria en equipo es de $50.000

• El estimado de la demanda es como sigue:

Unidades Probabilidad

6000 0.30

8000 0.50

10000 0.20

Árboles de decisión: ejemplo (continuación):

• Tiene la opción de seguir con el producto actual que le representa ventas de 2.500 unidades con una utilidad de $5.5/unidad sin publicidad, con la opción de que si destina $14.000 en publicidad podría, con una probabilidad de 80% conseguir ventas de 5.500 unidades y de un 20% de que éstas sean de 4.000 unidades

• Construya el árbol de decisión y determine la decisión óptima

Problemas para hacer en casa

• Del libro Métodos cuantitativos para administración. Frederck y Mark Hiller y Lieberman. McGraw-Hiil 2001

• Página 509-513, los ejercicios 2,3, 5,6,7,8,10