Álgebra Lineal I - Estructuras Algebraicas · Contenidodeltema 1.Operacionesinternas 2.Semigrupos...

Álgebra Lineal IEstructuras Algebraicas

Guillermo Garro y Araceli GuzmánEnero, 2018

Facultad de ciencias UNAM

Contenido del tema

1. Operaciones internas

2. Semigrupos

3. Monoides

4. Grupos

5. Anillos

6. Campos

Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 1 / 64

Operaciones internas

Una operación (interna) en un conjunto X es una función

∗ : X× X → X

NotaciónGeneralmente escribimos

x ∗ y

en lugar de∗(x, y).

NotaciónA veces usamos la notación de suma:

o bien como producto:x • y

Conocemos muchos ejemplos: Los conjuntos de números usuales

Ejemplos

1. La suma usual en los conjuntos de números usuales

(X,+), con X = N, Z, Q, R, C.

2. El producto usual en los conjuntos de números usuales

(X, • ), con X = N, Z, Q, R, C.

3. En general cualquier función f : X× X → X define una operación interna

x ∗ y := f(x, y), ∀ (x, y) ∈ X× X.

Conocemos muchos ejemplos

Ejemplos

4. La suma de vectores en R2 :Si x = (x1, x2), y = (y1, y2) son vectores en R2 , entonces

x+ y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

es un vector en R2 .

Conocemos muchos ejemplos

Ejemplos

5. El producto cruz en R3 .Si x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) son vectores en R3 , entonces

x× y =

∣∣∣∣∣∣∣i j kx1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣ = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1).

es un vector en R3 .

∥x× y∥

Tablas de multiplicar

Dado un conjunto finito A = {a1, ..., an}, una tabla de multiplicar sobre A es un arreglorectangular de la forma

∗ a1 a2 · · · ai · · · aj · · · ana1 a1 ∗ a1 a1 ∗ a2 · · · a1 ∗ ai · · · a1 ∗ aj · · · a1 ∗ ana2 a2 ∗ a1 a2 ∗ a2 · · · a2 ∗ ai · · · a2 ∗ aj · · · a2 ∗ an...

......

. . ....

ai ai ∗ a1 ai ∗ a2 · · · ai ∗ ai · · · ai ∗ aj · · · ai ∗ an...

......

. . ....

aj aj ∗ a1 aj ∗ a2 · · · aj ∗ ai · · · aj ∗ aj · · · aj ∗ an...

......

. . ....

an an ∗ a1 an ∗ a2 · · · an ∗ ai · · · an ∗ aj · · · an ∗ an

Tal que ai ∗ aj ∈ A, para todos 1 ≤ i, j ≤ n.

Todas las tablas de multiplicar sobre {0, 1}

0 10 0 01 0 0

0 10 0 01 0 1

0 10 0 11 1 0

0 10 1 11 0 1

0 10 1 01 0 0

0 10 0 01 1 1

0 10 1 01 1 0

0 10 1 01 1 1

0 10 0 11 0 0

0 10 0 11 0 1

0 10 1 11 0 0

0 10 0 11 1 1

0 10 0 01 1 0

0 10 1 01 0 1

0 10 1 11 1 0

0 10 1 11 1 1

Semigrupos

Semigrupo

DefiniciónUna operación ∗ : X× X → X es asociativa si

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ∀ x, y, z ∈ X.

En este caso decimos que (X, ∗) es un semigrupo.

NotaciónSi usamos la notación de producto, escribimos

x(yz) = (zy)z, ∀ x, y, z ∈ X.

Si usamos la notación de suma, escribimos

x+ (y+ z) = (x+ y) + z, ∀ x, y, z ∈ X

Operaciones conmutativas

DefiniciónUna operación ∗ : X× X → X es conmutativa si

x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈ X.

NotaciónCon la notación de producto escribimos

xy = yx, ∀ x, y ∈ X.

Y con la notación de suma

x+ y = y+ x, ∀ x, y ∈ X.

DefiniciónSi una operación ∗ es asociativa y conmutativa, entonces decimos que (X, ∗) es unsemigrupo conmutativo.

Los ejemplos típicos

Ejemplos

1. La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales sonoperaciones asociativas y conmutativas, así que los sistemas

(X,+) y (X, • ) con X = N, Z, Q, R, C.

son semigrupos conmutativos.

2. Dado un conjunto X, las operaciones unión e intersección son asociativas yconmutativas, por lo que los sistemas

(℘(X),∩) y (℘(X),∪).

son semigrupos conmutativos.

3. Dado un conjunto X, la diferencia simétrica es una operación asociativa yconmutativa, así que el sistema

(℘(X),△).

es un semigrupo conmutativo.

Los espacios lineales Rn

El plano R2 con la suma de vectores usual. Si x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) sonvectores en R2 , entonces

x+(y+ z

)= (x1, x2) +

((y1, y2) + (z1, z2)

)= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2)

= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2))

= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2)

= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2)

=((x1, x2) + (y1, y2)

)+ (z1 + z2)

= (x+ y) + z.

El caso general de la suma de vectores en Rn puede tratarse igualmente fácil. Y puedeverse que de hecho la suma de vectores es conmutativa.

Por lo tanto, los espacios (Rn,+) son semigrupos conmutativos.

Composición de funciones

Composición de funciones. Sea X un conjunto y sea X X el conjunto de todas las fun-ciones de X en X, esto es

X X := {f : X → X : f es función}.

TeoremaLa composición de funciones sobre X X es una operación asocitiva. Esto es, si f, g y hson funciones de X en X, entonces

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

DemostraciónPara todo x ∈ X,

((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))),

y por otra parte(f ◦ (g ◦ h))(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x))).

Por lo tanto, el sistema (X X, ◦) es un semigrupo. Pero en general, la composición defunciones no es una operación conmutativa.

No son semigrupos

NO son semigrupos

1. La diferencia no es una operación asociativa en Z:

1− (1− 1) = 1− 0 = 1 pero (1− 1)− 1 = 0− 1 = −1.

2. La diferencia de conjuntos no es una operación asociativa en ℘(X), si X ̸= ∅:

X\(X\X) = X\∅ = X pero (X\X)\X = ∅\X = ∅.

3. El producto cruz de vectores en R3 no es asociativo. Por ejemplo, seanx = (1, 0, 1), y = (1, 1, 0) y z = (0, 0, 1). Entonces

x× y =

∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 1, 1), (x× y)× z =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−1 1 10 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 1, 0)

y× z =

∣∣∣∣∣∣∣i j k1 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (1,−1, 0), x× (y× z) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 11 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 1,−1)

Todas las tablas de multiplicar sobre {0, 1}

0 10 0 01 0 0

0 10 0 01 0 1

0 10 0 11 1 0

0 10 1 11 0 1

0 10 1 01 0 0

0 10 0 01 1 1

0 10 1 01 1 0

0 10 1 01 1 1

0 10 0 11 0 0

0 10 0 11 0 1

0 10 1 11 0 0

0 10 0 11 1 1

0 10 0 01 1 0

0 10 1 01 0 1

0 10 1 11 1 0

0 10 1 11 1 1

Neutros

DefiniciónSea ∗ una operación sobre un conjunto X.

1. Un elemento e ∈ X es un neutro izquierdo relativo a ∗, si

e ∗ x = x, ∀x ∈ X.

2. Un elemento e ∈ X es un neutro derecho relativo a ∗, si

x ∗ e = x, ∀x ∈ X.

3. Un elemento e ∈ X es un neutro relativo a ∗, si es un neutro izquierdo y un neutroderecho.

Los neutros izquierdo y derecho, si existen, son iguales

ProposiciónSea ∗ una operación sobre un conjunto X. Si ed es un neutro derecho y ei es un neutroizquierdo, entonces

ed = ei.

DemostraciónPara todo x ∈ X,

ed ∗ x = x.

En particular,ed ∗ ei = ei.

Análogamente, para todo x ∈ X,x ∗ ei = x.

En particulared ∗ ei = ed.

En consecuencia, el neutro es único

CorolarioSi ∗ es una operación sobre un conjunto X con neutro, entonces éste es único

DemostraciónSi e y e′ son neutros, entonces en particular, e es un neutro izquierdo y e′ es unneutro derecho. De donde

e = e ∗ e′ = e′.

ObservaciónComo hemos visto, en cuanto a la existencia y unicidad de neutros, no es relevante sila operación es asociativa o no.

Un semigrupo con dos neutros izquierdos (y por tanto, sin neutro derecho)

Sobre X = {0, 1} considere la tabla de multiplicar

0 10 0 11 0 1

Observe quex y = y, ∀ x, y ∈ {0, 1}.

Por lo tanto, para todas x, y, z ∈ {0, 1},

x (y z) = x z = z y (x y) z = y z = z.

Así que es asociativa.

Y además0 x = x = 1 x, ∀ x ∈ {0, 1}.

Luego ({0, 1}, ) es un semigrupo (no conmutativo) con dos neutros izquierdos, a saber,0 y 1.

Operaciones recíprocas

DefiniciónDada una operación ∗ en un conjunto X, definimos la operación ∗ dada por

x ∗ y := y ∗ x, ∀ x, y ∈ X.

ProposiciónSi ∗ es asociativa, entonces ∗ es asociativa.

DemostraciónPara todas x, y, z ∈ X,

x ∗ (y ∗ z) = (y ∗ z) ∗ x (definición de ∗)

= (z ∗ y) ∗ x (definición de ∗)

= z ∗ (y ∗ x) (∗ es asociativa)

= (y ∗ x) ∗ z (definición de ∗)

= (x ∗ y) ∗ z (definición de ∗)

■Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 19 / 64

Operaciones recíprocas

Dada una operación ∗ en un conjunto X, definimos la operación ∗ dada por

x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ X.

ProposiciónUn elemento e de X es un neutro derecho (izquierdo) rel. a ∗ si y sólo si, e es un neutroizquierdo (derecho) rel. a ∗.

DemostraciónSupongamos que e ∈ X es un neutro derecho rel. a ∗. Para toda x ∈ X,

e ∗ x = x ∗ e

Por lo tanto e es un neutro izquierdo rel. ∗. ■

El operador producto y la propiedad asociativa

DefiniciónSea (X, ∗) un semigrupo y supongamos que x1, x2, ... son elementos de X. Para todan ≥ 3 definimos recursivamente

x1 ∗ · · · ∗ xn := (x1 ∗ · · · ∗ xn−1) ∗ xn.

ProposiciónSea (X, ∗) es un semigrupo y x1, ..., xn elementos de X, n ≥ 3. Para cualquier 1 ≤ k ≤ n,

(x1 ∗ · · · ∗ xk) ∗ (xk+1 ∗ · · · ∗ xn) = x1 ∗ · · · ∗ xn.

EjemploEn la proposición supongamos n = 4 y k = 2.

(x1 ∗ x2) ∗ (x3 ∗ x4) = ((x1 ∗ x2) ∗ x3) ∗ x4

= (x1 ∗ x2 ∗ x3) ∗ x4

= x1 ∗ x2 ∗ x3 ∗ x4.

Monoides

DefiniciónUna terna (X, ∗, e) es un monoide si (X, ∗) es un semigrupo y e ∈ X es neutro rel. a ∗.

Observación

1. En otras palabras, un monoide es un semigrupo con neutro.

2. El neutro de un monoide es único

3. Un monoide es conmutativo si además la operación ∗ es conmutativa.

NotaciónSi usamos la notación de producto, usamos 1 para denotar al neutro de un monoide.

Si usamos la notación de suma, entonces usamos 0.

Ejemplos

1. Los conjuntos de números usuales X = N,Z,Q,R,C, con la operación productoson monoides conmutativos, y el elemento neutro es 1. Si consideramos laoperación suma en estos mismo conjuntos, entonces también son monoidesconmutativos con neutro 0.

2. Dado un conjunto X, los sistemas (℘(X),∪, ∅) y (℘(X),∩, X) son monoidesconmutativos.

3. Dado un conjunto X, el sistema (℘(X),△, ∅) es un monoide conmutativo.

4. El espacio lineal R2 (en general en Rn), es un monoide conmutativo con laoperación de suma de vectores. El neutro es el vector nulo (el origen) 0 = (0, 0).

5. En el espacio X X de funciones de X en X, donde X ̸= ∅, con la composición ◦, lafunción identidad IdX es el neutro. Pero en general, (X X, ◦, IdX) no es un monoideconmutativo.

Inversos en monoides

DefiniciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y ∈ X tales que

x ∗ y = e.

Decimos que x es un inverso izquierdo de y, y que y es un inverso derecho de x.

Decimos que y es un inverso de x si es un inverso izquierdo y derecho de x. Esto es,

y ∗ x = e y x ∗ y = e.

ObservaciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y ∈ X. Entonces y es el inverso de x si y sólo si, x esel inverso de y.

ObservaciónEn un monoide (X, ∗, e), el neutro e siempre tiene inverso y es e mismo.

Unicidad del inverso

ProposiciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y, z ∈ X. Si y es un inverso izquierdo de x y z es uninverso derecho de x, entonces y = z.

Demostración

y = y ∗ e

= y ∗ (x ∗ z)

= (y ∗ x) ∗ z

= e ∗ z

Unicidad del inverso

CorolarioSi (X, ∗, e) es un monoide y x ∈ X tiene inverso, éste es único.

DemostraciónSean y y z inversos de x.

En particular, y es un inverso izquierdo de x y z es un inverso derecho de x.

Por la proposición anterior,y = z.

Los espacios de funciones, en general, no tienen neutro

La terna (NN, ◦, IdN) es un monoide.

Recordemos que la función sucesor

σ(k) = k+ 1, ∀k ∈ N,

es inyectiva por lo que tiene inversa izquierda.

Pero no es suprayectiva y por tanto no tiene inversa derecha.

De hecho hay una infinidad de inversas por la izquierda de σ:

Para cada n ∈ N, sea fn : N → N dada por

fn(k) =

k− 1 si k > 0,

n si k = 0.

Entonces fn es una inversa izquierda de σ, para toda n ∈ N.

Grupos

DefiniciónUn grupo es un monoide (X, ∗, e) tal que cada elemento x ∈ X tiene inverso. Un grupoes conmutativo o abeliano si además es conmutativo.

Observaciones1. Los inversos en un grupo son únicos.

2. En un grupo (X, ∗, e), para todos x, y ∈ X, x es el inverso de y si y sólo si, y es elinverso de x.

NotaciónSi usamos la notación de producto para la operación ∗, entonces escribimos x−1 paradenotar al inverso de x ∈ X.

Si usamos la notación de suma para la operación ∗, entonces escribimos −x paradenotar al inverso de x. En este caso, definimos la diferencia de dos elementosx, y ∈ X como

x− y := x+ (−y).

Ejemplos

1. (X,+, 0), con X = Z,Q,R,C, son grupos conmutativos.

2. (N,+, 0) no es grupo porque ningún natural n > 0 tiene inverso.

3. (N, • , 1) no es grupo porque ningún natural n ̸= 1 tiene inverso.

4. (Z, • , 1) no es grupo porque ningún entero m ̸= ±1 tiene inverso.

5. (Q, • , 1) no es grupo porque el número 0 no tiene inverso. De hecho es el úniconúmero racional que no tiene inverso multiplicativo. El mismo razonamientoaplica para el producto en R y C. En ningún caso son grupos

6. No obstante, los conjuntos Q\{0}, R\{0} y C\{0}, con el producto usual, songrupos conmutativos.

Ejemplos

7. Los espacios lineales con la suma de vectores (Rn,+, 0) son gruposconmutativos.

8. Dado un conjunto X, (℘(X),∪, ∅) y (℘(X),∩, X) son grupos si y sólo si X = ∅.

9. Dado un conjunto X, (℘(X),△, ∅) es grupo conmutativo, y para todo A ⊂ X, elinverso de A es A.

10. En general, dado un conjunto X, los espacios de funciones con la composición(X X, ◦, IdX) no son grupos. No obstante, si X ̸= ∅ y definimos

T(X) := {f : X → X : f es función biyectiva},

entonces (T(X), ◦, IdX) es un grupo.

El grupo de transformaciones

DefiniciónSea X ̸= ∅ y sea T(X) el conjunto de todas las funciones biyectivas, esto es,

T(X) := {f : X → X : f es función biyectiva},

Entonces (T(X), ◦, IdX) es un grupo llamado grupo de transformaciones de X.

EjemploSi |X| = 3, entonces (T(X), ◦) no es conmutativo. Sea X = {0, 1, 2}. Y consideremos lasbiyecciones Φ y Ψ dadas por

{0, 1, 2} Φ−→ {0, 1, 2} {0, 1, 2} Ψ−→ {0, 1, 2}

0 7−→ 0 0 7−→ 1

1 7−→ 2 1 7−→ 2

2 7−→ 1 2 7−→ 0

EntoncesΦ(Ψ(0)) = Φ(1) = 2 y Ψ(Φ(0)) = Ψ(0) = 1.

Por lo tanto Φ ◦Ψ ̸= Ψ ◦ Φ.

Otro ejemplo

Sea k ∈ Z fijo, y sobre Z definimos la operación

z⊕ y := x+ y+ k, ∀ x, y ∈ Z.

Entonces (Z,⊕) es un grupo conmutativo.

1. ⊕ es conmutativa: Para todos x, y ∈ Z,

x⊕ y = x+ y+ k = y+ x+ k = y⊕ x.

2. ⊕ es asociativa: Para todos x, y, z ∈ Z,

x⊕ (y⊕ z) = x⊕ (y+ z+ k) = x+ (y+ z+ k) + k = x+ y+ z+ 2k

(x⊕ y)⊕ z = (x+ y+ k)⊕ z = (x+ y+ k) + z+ k = x+ y+ z+ 2k.

3. −k es le neutro relativo a ⊕: Para todo x ∈ Z,

x⊕ (−k) = x− k+ k = x.

4. Si x ∈ Z, entonces el inverso rel. a ⊕ de x es −x− 2k:

x⊕ (−x− 2k) = x− x− 2k+ k = −k.

Propiedades de los inversos sobre grupos

TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo y sean x, y ∈ X. Son equivalentes

(i) y es el inverso de x.

(ii) x es el inverso de y.

(iii) x ∗ y = e.

(iv) y ∗ x = e.

Demostración[(i) ⇔ (ii)] Consecuencia directa de la definición, como ya lo hemos visto.

[(ii) ⇒ (iii)] Es obvio. ■

Propiedades de los inversos sobre grupos

TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo y sean x, y ∈ X. Son equivalentes

(i) y es el inverso de x.

(ii) x es el inverso de y.

(iii) x ∗ y = e.

(iv) y ∗ x = e.

Demostración[(iii) ⇒ (iv)] Supongamos x ∗ y = e.

Sea x−1 el inverso de x.

En particular, x−1 es inverso izquierdo de x.

Pero y es inverso derecho de x.

Por lo tanto y = x−1 .

[(iv) ⇒ (i)] Ejercicio. ■

Propiedades de los inversos

TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todas x, y ∈ X,

(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,

(ii) x = (x−1)−1 (la función inversa es autoinversa),

(iii) x = y ⇔ x−1 = y−1 (la función inversa es inyectiva).

Demostración(i) Vamos a multiplicar el producto y−1 ∗ x−1 por el producto x ∗ y:

(x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = x ∗ (y ∗ y−1) ∗ x−1

= x ∗ e ∗ x−1

= x ∗ x−1

Así que por el teorema anterior, (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 .

(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,

Demostración(ii) Es inmediato de la igualdad

x ∗ x−1 = e.

Lo que quiere decir es que el inverso de x−1 es x, o sea, x = (x−1)−1 .

(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,

Demostración(iii) Se sigue de inmediato dada la unicidad de los inversos en un grupo. ■

Leyes de cancelación

TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todo x, y, z ∈ X,

(i) Cancelación por la izquierda:

x ∗ y = x ∗ z ⇔ y = z.

(ii) Cancelación por la derecha:

y ∗ x = z ∗ x ⇔ y = z.

DemostraciónCancelación por la izquierda:

x ∗ y = x ∗ z ⇒ x−1 ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ (x ∗ y)⇒ (x−1 ∗ x) ∗ y = (x−1 ∗ x) ∗ z⇒ e ∗ y = e ∗ z⇒ y = z.

Y es claro quey = z ⇒ x ∗ y = x ∗ z. ■

Ecuaciones en un grupo

TeoremaEn un grupo (X, ∗, e), cada una de las ecuaciones x ∗ a = b y a ∗ x = b admite soluciónúnica.

Demostración

x ∗ a = b ⇔ (x ∗ a) ∗ a−1 = b ∗ a−1 (ley cancelativa)

⇔ x ∗ (a ∗ a−1) = b ∗ a−1 (asociatividad de ∗)

⇔ x ∗ e = b ∗ a−1 (definición de inverso)

⇔ x = b ∗ a−1 (definición de neutro)

Subgrupos

DefiniciónSea (G, ∗, e) un grupo y sea H un subconjunto no vacío de G tal que

x ∗ y ∈ G, ∀ x, y ∈ H. `

Decimos que H es un subgrupo de G si (H, ∗) es un grupo.

ObservaciónCuando se cumple la igualdad `, decimos que H es cerrado bajo ∗.

ObservaciónEn otras palabras, H es un subgrupo si y sólo si

1. G es cerrado bajo ∗,

2. la operación ∗ es asociativa en H,

3. H tiene neutro rel. a ∗,

4. y todo elemento en H tiene inverso en H rel. a ∗.

ObservaciónA veces decimos que H es subgrupo de G si es cerrado bajo ∗ y si hereda laspropiedades de G.

Neutro e inverso en subgrupos

ProposiciónSi H es un subgrupo de un grupo (G, ∗, e), entonces el neutro en H rel. a ∗, coincidecon el neutro e; y para todo x ∈ H, el inverso de x en H relativo a ∗ coincide con x−1 .

DemostraciónSea eH ∈ H el neutro en H relativo a ∗, y sea x ∈ H cualquiera. Entonces

x ∗ eH = x.

Pero tambiénx ∗ e = x.

En consecuenciax ∗ eH = x ∗ e.

Así que por la ley cancelativaeH = e.

Neutro e inverso en subgrupos

ProposiciónSi H es un subgrupo de un grupo (G, ∗, e), entonces el neutro en H rel. a ∗, coincidecon el neutro e; y para todo x ∈ H, el inverso de x en H relativo a ∗ coincide con x−1 .

DemostraciónAhora, sea x ∈ H y sea y el inverso de x en H rel. a ∗. Entonces

x ∗ y = e.

Perox ∗ x−1 = e.

De dondex ∗ y = x ∗ x−1.

Nuevamente por la ley cancelativa,

y = x−1.

Ejemplos

1. (Z,+, 0) es un subgrupo de (Q,+, 0), el cual es a su vez un subgrupo de(R,+, 0), el cual a su vez, es un subgrupo de (C,+, 0).

2. (Z\{0}, • , 1) es un subgrupo de (Q\{0}, • , 1), el cual es a su vez un subgrupo de(R\{0}, • , 1), el cual a su vez, es un subgrupo de (C\{0}, • , 1).

3. Un grupo (G, ∗, e) es un subgrupo de sí mismo. La tripleta ({e}, ∗, e) es tambiénun subgrupo, llamado subgrupo trivial de G.

4. El grupo de los cuatro elementos de Klein es el conjunto A = {a, b, c, d} con latabla de multiplicar

∗ a b c d

a a b c db b a d cc c d a bd d c b a

Es un grupo tal que e = a y para todo x ∈ A, x−1 = x. Observe que ({a, b}, ∗, a) esun subgrupo de este grupo.

Subgrupos: condiciones suficientes y necesarias

TeoremaSea (G, ∗, e) un grupo sea H un subconjunto no vacío de G cerrado bajo ∗. Entonces Hes un subgrupo de G si y sólo si,

(i) e ∈ H, y

(ii) x−1 ∈ H para toda x ∈ H.

Demostración[⇒ ] Se sigue de la proposición anterior.

[⇐ ] Si H cumple (i) y (ii), entonces obviamente e es neutro en H rel. a ∗, y H tieneinversos (los inversos en X, de hecho). Y desde luego, dado que H ⊂ G, se sigue que ∗es asociativa en H. Es decir, H es grupo. ■

Subgrupos de los espacios lineales Rn

Subgrupos de los espacios lineales Rn. La suma de vectores en R2 (en general en Rn)es una operación asociativa y conmutativa, y el inverso de todo vector (x, y) ∈ R2 es elvector −(x, y) = (−x,−y). Por lo tanto (R2,+, (0, 0)) es un grupo conmutativo.

Sea H = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x}.

Entonces:

El vector nulo (0, 0) está en H: En efecto

0 = 2 · 0.

Si (x, y) ∈ H, entonces y = 2x. Y por lo tanto

−y = −2x = 2(−x).

De donde−(x, y) = (−x,−y) = (−x, 2(−x)) ∈ H.

Así que H es un subgrupo de R2 .

El subgrupo de las matrices simétricas

El grupo de las matrices simétricas. Sea Rm×n el conjunto de todas las matrices dem renglones y n columnas, con coeficientes relaes. De los cursos básicos de álgebra,sabemos que la suma de matrices es conmutativa y asociativa, el neutro es la matriznula 0m×n , y la matriz inversa de una matriz A = (aij)m×n es la matriz−A = (−aij)m×n .Por lo tanto (Rm×n,+, 0m×n) es un grupo conmutativo.

En particular el espacio (Rn×n,+, 0n×n) de las matrices cuadradas de tamaño n es ungrupo conmutativo.

Sea H el conjunto de todas la matrices cuadradas simétricas, esto es, de todas lasmatrices A = (aij)n×n tales que aij = aji .

Claramente la matriz nula 0n×n está en H.

Y si A = (aij)n×n es una matriz cuadrada simétrica, entonces −A = (−aij)n×n es unmatriz simétrica, dado que

−aij = −aji.

Así que H es un subgrupo de (Rn×n,+, 0n×n).

El subgrupo de los elementos que conmutan

Dado un grupo (G, ∗, e) y a ∈ G fijo, definimos el conjunto

Ha = {x ∈ G : x ∗ a = a ∗ x}.

Esto es, Ha es el conjunto de todos los elementos de G que conmutan con a.

TeoremaHa es un subgrupo de G.

DemostraciónObserve que

e ∗ a = a = a ∗ e.

Por lo que e ∈ Ha . Y si x ∈ Ha , entonces x ∗ a = a ∗ x, y por lo tanto,

a = a ∗ e

= a ∗ x ∗ x−1

= x ∗ a ∗ x−1.

Multiplicando por x−1 ,x−1 ∗ a = a ∗ x−1.

Luego x−1 ∈ Ha . ■Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 47 / 64

Anillos

DefiniciónUn anillo es un sistema (R,+, • , 0, 1) tal que R es un conjunto no vacío; 0 y 1 sonelementos de R; + y • son operaciones internas (llamadas suma y producto) talesque

(i) (R,+, 0) es un grupo conmutativo.

(ii) (R, • , 1) es un monoide.

(iii) • se distribuye sobre +: Para todos x, y, z ∈ R,

x • (y+ z) = x • y+ x • z (Ley Distributiva por la Izquierda)

(y+ z) • x = y • x+ z • x (Ley Distributiva por la Derecha).

Decimos que el anillo es conmutativo si además se cumple

(iv) • es conmutativa: Para todos x, y ∈ R,

x • y = y • x.

Anillos: Observaciones a la definición

Observación1. 0 es llamado neutro o cero y 1 es llamado identidad o uno.

2. 0 y 1 son únicos.

3. Si el anillo es conmutativo, entonces cualquiera de las leyes distributivas implica laotra.

4. Las leyes cancelativas son válidas la suma +.

5. Muchos autores solo exigen que el producto • sea asociativo. En tal caso, cuandose tiene identidad 1 se dice que es un anillo con indentidad.

Propiedad distributiva

LemaSea R un anillo y sean a1, a2, b1, b2 elementos de R. Entonces

(a1 + a2)(b1 + b2) = a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2.

LemaSea R un anillo y sean a1, ..., an, b ∈ R. Entonces

(a1 + · · ·+ an)b = a1b+ · · ·+ anb.

ProposiciónSea R un anillo. Si a1, ..., an y b1, ..., bm son elementos de R, entonces

(a1 + · · ·+ an)(b1 + · · ·+ bm) = a1b1 + · · ·+ anbm.

Ejemplos

Ejemplos1. La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales (salvo N):(X,+, • , 0, 1), donde X = Z,Q,R,C, son ejemplos de anillo conmutativos.

2. Dado un conjunto X, el sistema (℘(X),△,∩, ∅, X) es un anillo conmutativo.

En efecto, ya sabemos que△ y ∩ son operaciones conmutativas y asociativas. Y no esdifícil probar que ∩ se distribuye sobre△.

Ahora, para todo A ⊂ X,

A△∅ = (A\∅) ∪ (∅\A) = A ∪ ∅ = A.

Y por otra parte,A ∩ X = A.

Así que ∅ es el neutro para△ y X es la identidad para ∩.

Observe que la diferencia simétrica△ no puede ser reemplazada por la unión ∪, sinque resulte una estructura trivial X = ∅. En efecto, si exigimos que (℘(X),∪, ∅) sea ungrupo, entonces X tiene inverso rel. a ∪, digamos Y, y por tanto se tiene X = X ∪ Y = ∅.

Aritmética modular

Aritmética Modular. Dado un entero n ≥ 1, sea Zn el conjunto de las clases de equiva-lencia de la relación de congruencia ≡ módulo n en Z, dada por

a ≡ b (mód n) ⇔ n|a− b.

Generalmente se usa la notación

Zn = {0, 1, ..., n− 1} o bien Zn = {0, 1, ..., n− 1}.

La suma y el producto se definen como

a+ b = a+ b y a · b = a · b.

Entonces (Zn,+, ·, 0, 1) es un anillo conmutativo.

El anillo Z6

El anillo Z6. Por ejemplo, las tablas de sumar y multiplicar de Z6 son

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

ObservaciónDecimos que los números 2, 3 y 4 son divisores de cero, debido a que cada uno deellos es distinto de 0 y, no obstante, se tiene que

2 · 3 = 0 = 3 · 2 y 3 · 4 = 0 = 4 · 3.

El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo

El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo. Sea (K,+, • , 0, 1) un anillo con-mutativo. Un polinomio sobre K de grado n ≥ 0 es una función de K en K de la forma

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,

• n ≥ 0,

• a0, ..., an son constantes en X,

• x es una variable con valores en X.

El conjunto K[x] de todos los polinomios con la suma y el producto usual de polinomioses un anillo conmutativo.

El neutro para la suma es el polinomio constante

n(x) = 0,

y el uno es el polinomio constante

u(x) = 1.

El anillo de matrices cuadradas

El anillo de matrices cuadradas. El conjunto de las matrices cuadradas de tamañon ≥ 1, con coeficientes en R, con la suma y el producto usual de matrices es un anillo.

El neutro para la suma es la matriz nula 0n×n (cuyas entradas son todas cero), y laidentidad es la matriz identidad In×n cuyas diagonal tiene solo 1’s y el resto de lasentradas son iguales a 0.

En general este anillo no es conmutativo.

Por ejemplo, sea n = 2 y consideramos las matrices

(1 10 1

)y B =

(1 01 1

entonces

(1 10 1

)(1 01 1

(2 11 1

)y BA =

(1 01 1

)(1 10 1

(1 11 2

Propiedades de un anillo

TeoremaSea (X,+, • , 0, 1) un anillo. Entonces

1. Para todo x ∈ X,0x = x0 = 0

2. Para todo x ∈ X,(−1)x = x(−1) = −x.

Demostración1. Para toda x ∈ X,

0x+ 0 = 0x = (0+ 0)x = 0x+ 0x.

Por la propiedad cancelativa,0x = 0.

Análogamente se prueba x0 = 0. ■

1. Para todo x ∈ X,0x = x0 = 0

2. Para todo x ∈ X,(−1)x = x(−1) = −x.

Demostración2. Para toda x ∈ X,

(−1)x+ x = (−1)x+ 1x = (−1+ 1)x = 0x = 0.

Se sigue que (−1)x es el inverso de x, es decir, (−1)x = −x.

Análogamente se prueba x(−1) = −x. ■

1. Para todas x, y ∈ X,(−x)y = x(−y) = −xy.

2. Para todas x, y ∈ X,(−x)(−y) = xy

Demostración1. Para todas x, y ∈ X,

(−x)y+ xy = (−x+ x)y = 0y = 0.

Se sigue que (−x)y es el inverso de xy, esto es, (−x)y = −xy.

Análogamente se prueba x(−y) = −xy. ■

1. Para todas x, y ∈ X,(−x)y = x(−y) = −xy.

2. Para todas x, y ∈ X,(−x)(−y) = xy

Demostración2. Para todas x, y ∈ X,

(−x)(−y) = −(x(−y))

= −(−xy)

Campos

DefiniciónUn campo (o cuerpo) es un anillo (F,+, • , 0, 1) tal que (F\{0}, • , 1) es un grupoconmutativo.

Observación1. En un campo (F,+, • , 0, 1), 0 ̸= 1. Por lo tanto, todo campo tiene al menos doselementos.

2. En un campo valen las leyes de cancelación

(i) Para todo x, y, z ∈ F,x+ y = x+ z ⇔ y = z.

(ii) Para todo x, y, x ∈ F, si x ̸= 0,

xy = xz ⇒ y = z.

EjemplosLos conjuntos de números usuales (salvo N y Z) con las operaciones usuales son losejemplos típicos de campo:

(X,+, • , 0, 1), con X = Q,R,C.Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 60 / 64

Un campo no tiene divisores de cero

TeoremaUn campo (F,+, • , 0, 1) no tiene divisores de cero. Esto es, para todas x, y ∈ F,

x y = 0 ⇔ x = 0 ó y = 0.

DemostraciónSean x, y ∈ F tales que x ̸= 0 y xy = 0. Dado que F\{0} es un grupo, existe x−1

inverso de x. Luego,

y = 1y = (x−1x)y = x−1(xy) = x−10 = 0.

EjemploEl anillo (Z,+, • , 0, 1) no tiene divisores de cero, pero no es campo.

El grupo de unidades de un anillo

DefiniciónUna unidad en un anillo (R,+, • , 0, 1) es un elemento de R con inverso multiplicativo.El conjunto de todas las unidades se denota como R× .

ObservaciónUn anillo (F,+, • , 0, 1) es un campo si y sólo si F× = F \{0}

Ejemplos

1. El conjunto de unidades de Z es {−1, 1}.

2. El conjunto de unidades de Z6 es {1, 5}.

3. El conjunto de unidades del anillo de las matrices cuadradas de tamaño n concoeficientes en R, es el subgrupo de las matrices invertibles.

ProposiciónSi (R,+, • , 0, 1) es un anillo entoces (R×, • , 1) es un grupo.

Unidades del anillo Zn

TeoremaConsideremos el anillo Zn de los enteros módulo n ≥ 1. Entonces

Z×n = {a ∈ Zn : (a; n) = 1}.

DemostraciónSi (a; n) = 1, existe una combinación lineal entera de a y n tal que az+ nw = 1. Dedonde az = 1, por lo que z es el inverso multiplicativo de a.

Recíprocamente, si a tiene inverso multiplicativo z, entonces az = 1. Esto esaz ≡ 1 (mod n). Equivalentemente, n | az− 1, lo que significa que para algún enterow, az− 1 = nw ó bien 1 = az− nw. Se sigue que (a; n) = 1. ■

Los campos Zp

TeoremaZn es campo si y sólo si, n es primo.

Demostración

Zn es un campo ⇔ Zn\{0} = Z×n

⇔ {1, 2, ..., n− 1} = {a ∈ Zn : (a; n) = 1}

⇔ (k; n) = 1 ∀ 1 ≤ k ≤ n

⇔ n es primo.

CorolarioSea n ≥ 1. Entonces Zn es campo si y sólo no tiene divisores de cero.

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