Matemáticas 1

¿Qué son las matemáticas? ¿Para qué sirven?

Matemáticas Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la

creatividad, y están regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco.

Para algunas personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual para otros, incluidos muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo.

Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la formación científica. Para lograr esto, los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina.                      

CIENCIA: CONOCIMIENTO PARA TODOS

Instrumentos musicales

Cuerdas

Viento

Percusión

Conjuntos

Conjunto: Cualquier agregado o colección de objetos o entes de cualquier índole.

Elementos: Objetos que forman el conjunto.

Para hablar de un conjunto es necesario que:

La colección de objetos debe estar bien definida. Ningún objeto del conjunto se debe contar más de un vez. El orden en que se enumeren los objetos (elementos) carece de

importancia.

Simbología

Usar letras mayúsculas para determinar un conjunto.

Usar llaves para limitar el conjunto { ….}, lo cual significa conjunto formado por…

Lo que queda dentro de las llaves constituye la descripción del conjunto o de sus elementos.

Ejemplo

A = { }

A={ Conjunto de instrumentos musicales}

A= { piano, tambor, guitarra, trompeta, silbato, flauta, pandero arpa}

Especificación de un conjunto

Por enumeración: Consiste en elaborar una lista de todos sus elementos, separándolos mediante comas y encerrándolos con llaves.

Ejemplo:

El conjunto de las vocales { a, e, i, o, u}

El conjunto de los dígitos {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Especificación de un conjunto

Por descripción verbal: Consiste en una descripción verbal que expresa necesaria y únicamente los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer al conjunto.

Ejemplo:

A= El conjunto de los países de América Latina.

B= El conjunto de los paralelogramos

Especificación de un conjunto

Por comprensión: Consiste en usar una variable genérica, es decir un indicador de elementos y una frase o relación matemática que especifique con toda precisión los elementos que se estén generando, todo ello encerrado en llaves.

C = {x|x es una letra del abecedario} D= {x|x es un río de la República Mexicana}

Relación de pertenencia

Pertenencia: Relación que existe entre el conjunto y sus elementos (Є)

Si a es un elemento que pertenece al conjunte A se escribe:

a A Para indicar que no pertenece:

a A

Ejemplos

M = {Países de América}

Uruguay M España M

Tipos de conjuntos

Operaciones con conjuntos

Conjuntos finitos

Se pueden enumerar todos los elementos del conjunto.

A={vocales}

A={a, e, i, o, u}

Conjuntos infinitos

Cuando no se pueden enumerar todos los elementos del conjunto.

B={Números naturales}

B={1,2,3,4,5,6,7,8,9……}

Conjunto universo

Universo , espacio o conjunto referencial (U) Conjunto formado por todos los elementos de un

tema dado.

Ejemplo: U = a , e , i , o , u Tema: vocales minúsculas del abecedario

castellano

Conjunto vacío

Conjunto vacío ( ) Es el conjunto que no tiene elementos. También

puede decirse que ningún elemento del universo cumple la condición dada en él.

Ejemplo: Especies de insectos de 10 patas = =

Unión o reunión ( )

Unión o reunión ( ) El conjunto A B está formado

solamente por todos los elementos que pertenecen a A, y/ó a B, (o a ambos).

A B = { x : x A x B }

Ejemplo:

Sean:

U = { p , r , s , t }

A = { p , s }

B = { r , s }

A B = { p, r, s}

Intersección ( )

El conjunto A B está formado solamente por todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente.

A B = { x : x A x B }

Ejemplo:

Sean:

U = { p , r , s , t }

A = { p , s }

B = { r , s }

A B = { s }

Diferencia ( )

El conjunto A B está formado solamente por todos los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B.

A B = { x : x A x B }

Ejemplo:

Sean:

U = { p , r , s , t }

A = { p , s }

B = { r , s }

A B = { p }

Igualdad

Relación de igualdad ( = ) Dos conjuntos son iguales si y sólo si

están formados por los mismos elementos.

A = B x ( x A x B )

Ejemplo 

Sean:

A = 1 , 2 , 3 B = 2 , 1 , 3 .

A=B

Relación de inclusión ( )

Sean A y B conjuntos, entonces A está incluido en B, o bien A es un subconjunto de B, si y sólo si cada elemento de A lo es también de B.

A B x ( x A x B )

Ejemplo:

Sean: A = p , q y B = m , n , p , q , r

,

Entonces

A B ={p, q} Todos los

elementos de A están en el conjunto B

Ejemplo:

Sean:

A = { 1,2,3,4,5}

B = {1,3,5,7}

Entonces:

A B No todos los

elementos de A están en el conjunto B

Ejercicio 1:

Dados los conjuntos:

U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A = { 1 , 3 , 5 } , B = { 4 , 5 } , C = { 2 , 4 , 5 } yD = { 2 , 3 } ,

Efectúa las siguientes operaciones:1 ) AB 2 ) CD 3 ) BC 4 ) AD 5 ) A C 6 ) C A 7) Indica si D es un subconjunto de A 8) Indica si B es un subconjunto de C

Complemento de un conjunto

Si consideramos a U como un conjunto Universo y A U definimos el complemento de A que se denota por Ac como:

AC = { x | x U y x A }

Ejemplo:

Sean:

U = { p , r , s , t }

A = { p , s }

B = { r , s }

A' = { r , t }

Diagramas de Venn Euler

Es un Organizador Gráfico (OG) que permite entender las relaciones entre conjuntos.

Un típico Diagrama de Venn utiliza círculos para representar grupos de ítems o ideas que comparten o no propiedades comunes.

Su creador fue el matemático y filósofo británico John Venn Euler quién quería representar gráficamente la relación matemática o lógica existente entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo, círculo o rectángulo.

Diagramas de Venn Euler

Ejercicio:

Sean U: A: B: Encuentra: