Sistemas Automáticos

Universidad de Oviedo

12006

Lugar de las Raíces

Tema 5

Sistemas Automáticos

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22006

Índice

• Respuesta dinámica de un sistema• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado• Definición de Lugar de las Raíces (LR)• Ecuación Característica• Criterio del Argumento• Criterio del Módulo• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces• Ejemplo• Lugares de las raíces básicos• Lugar inverso de las raíces• Contorno de las raíces

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El comportamiento dinámico de unsistema viene dado por los polos de laf.d.t. (raíces de la ecuacióncaracterística)

y(t)

Los ceros también influyen através de los coeficientes(pesos) de los modostransitorios

Respuesta Dinámica de un Sistema

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Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

H(s)

G(s)

La dinámica del sistemaviene dada principalmente porlas raíces de la ec. característica

Problemas:• Difícil si el orden de la

ec. caract. >=3• Habitualmente,

necesario recalcularlosen función de unparámetro (ej.: K)

)()(1)()(

sHsKGsKGsM

+=

0)()(1 =+ sHsKG

Respuesta Dinámica de un Sistemaen Bucle Cerrado

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Polos y ceros del sistema realimentado

(s)D(s)NH(s)

(s)D(s)N

G(s)h

h

g

g == ,

Ceros de M(s):• Ceros de G(s)

• Polos de H(s)

Polos de M(s):dependen de K

)()(1)()(

sHsKGsKGsM

+=

(s)(s)NNK(s)(s)DD(s)(s)DNK

M(s)hghg

hg

⋅+⋅

=

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K=16

Definición:El L.R. es el lugar geométrico en elplano complejo que ocupan las raícesde la ecuación característica cuandovaría el parámetro K

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

K=5 K=10 K=20

Definición de Lugar de las Raíces (LR)

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El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de lasiguiente forma:

Ecuación Característica

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Criterio del Argumento

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Criterio del Módulo

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s-p 1

s-p4 s-p3 s-z1s-p2

p3p4 p2 p1z1

s

θpi

Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicióngeneral.

Ejemplo:Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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1 2

3

4

Ramas Independientes

Lugar en el eje real

Simetría respecto aleje real

Puntos decomienzo del LR

Puntosfinales del LR

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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θ

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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pi

θp2

θz1θp1

θ

p1

p2

z1

Re

Im

Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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222006

Reglas de trazado del Lugar de las Raíces

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Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Función de transferencia en bucle abierto:

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-2-5-7-10-20

2

3

14

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-2-5-7-10-20

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-2-5-7-10-20

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-2-5-7-10-20

Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión

centroideσc=10

Asíntotas

Pto. dispersión

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37)1700(42037 K+−×

3701-)72000(37 ×+× K

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Lugar de las Raíces final

-2-5-7-20 -10

+j14.439

-j14.439

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Lugares de las Raícesbásicos

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LR básicos: 1 polo real

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LR básicos: 2 polos reales

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LR básicos: 2 polos complejos

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LR básicos: 3 polos reales

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LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)

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LR básicos: 4 polos

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LR básicos: 1 polo + 1 cero

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LR básicos: 2 polos + 1 cero

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422006

LR básicos: 3 polos + 2 ceros

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LR básicos: 3 polos + 1 cero

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Examen Junio 2004

5. Se ha diseñado mediante el lugar de lasraíces otro regulador, y se ha obtenido lasiguiente representación. Sólo falta calcularsu ganancia estática k:

a.¿Para qué valores de k se cumplirá laespecificación del apartado 1?

b. Indique la función de transferencia delregulador ¿qué tipo de regulador es?

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Captador

Σ+

-

U(s)C(s)

ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funciónde la constante de tiempo, τ, del captador para K=1

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502006

Solución:

La ecuación característica será:

Reordenando términos…

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512006

El problema queda planteado en términos de un LR:

El LR tiene 3 ceros…

… y dos polos

τ pequeñas:comportamientooscilatorio

τ=0.688:polo dobleamort. crítico τ=1:

3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg

τ=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.

ConclusiónVemos cómo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizándolo