Post on 14-Apr-2016
description
MATEMÁTICAS 2 -TRIGONOMETRÍA-
Francisco Summell
A Paco y Ángel: Estelas de luz.
Introducción Una de las llaves maestras para acceder a todo el conocimiento humano es la matemática. Con ella, desde tiempos inmemorables, se describe el mundo y el universo, pues stá en todas partes, en la construcción de un puente o un palacio; en las notas musicales, en la pintura y en los pétalos de una flor; en los espacios y sus distancias, en las armas, en la velocidad de la luz y el átomo; en todo aquello que se puede medir, contar o trazar. El presente libro intenta mostrar al alumno que la trigonometría no es difícil o complicada, pues para conocerla es necesario acercarse a sus conceptos y principios básicos; para ello el curso está dividido en cinco unidades fundamentales: La ecuación de segundo grado; los conceptos básicos de la trigonometría; las funciones trigonométricas; la resolución de triángulos rectángulos y las identidades trigonométricas. En la primera unidad se continúa con el estudio del álgebra; en ella se exponen los métodos para resolver una ecuación de segundo grado. La segunda unidad se dedica al estudio de los conceptos y definiciones básicas de la trigonometría; mientras que en la tercera, se definen y determinan las funciones trigonométricas, además de graficar las funciones seno y coseno. En la unidad cuatro se aplican la ley de los senos y la ley de los cosenos en la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. La unidad cinco se dedica al estudio de las identidades trigonométricas. La obra conserva en todo momento el rigor matemático, aunque no se realizan en ella demostraciones matemáticas o se plantean problemas de aplicación específica, pues la intención en todo momento es permitir al alumno familiarizarse con la materia y ser autodidacta, ya que explica detalladamente los procesos matemáticos que debe realizar para resolver un problema o aplicar un método matemático. Al asesor de la materia le marca el ritmo que éste debe seguir en la asesoría al dosificarle ésta. Se recomienda a los asesores proponer a los alumnos resolver todos los ejercicios, pues ello les permitirá dominar los contenidos. También se les hace hincapié en no exagerar en la ejemplificación de problemas o ejercicios, pues quien tiene que “trabajar” es el alumno.
Finalmente, diremos que el libro se apega al programa de Bachillerato General No Escolarizado (Abierto y a Distancia) en su totalidad.
El autor
DIAGRAMA DE OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL CONOCER LOS CONCEPTOS Y PRINCIPIOS
BÁSICOS QUE FUNDAMENTAN A LA TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
OBJETIVO: SOLUCIONAR ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO APLICANDO CUALQUIERA DE LOS MÉTODOS: FACTORIZACIÓN, COMPLETAR CUADRADOS O FÓRMULA GENERAL
CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRÍA OBJETIVO: APLICAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA PARA TRAZAR ÁNGULOS Y CONVERTIR GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA
CAPÍTULO 3 FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS OBJETIVO: DETERMINAR LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y GRAFICAR LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
CAPÍTULO 4 RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS OBJETIVO: APLICAR LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
UNIDAD 5
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO: APLICAR Y MANEJAR LAS DIFERENTES IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EN LA VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES O EN LA REDUCCIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
DIAGRAMA DE CONTENIDO
UNIDAD 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
MÉTODO DE
FACTORIZACIÓN
MÉTODO DE
COMPLETAR CUADRADOS
FORMULA GENERAL
UNIDAD 2 CONCEPTOS
BASICOS DE LA TRIGONOMETRÍA
FUNCIÓN
ANGULOS Y
GRADOS
RADIANES
UNIDAD 3 FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DETERMINACION DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO
Y COSENO
UNIDAD 4 RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
LEY DE LOS SENOS
LEY DE LOS COSENOS
UNIDAD 5 IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
CONTENIDO Introducción UNIDAD 1. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 1. Ecuación de segundo grado: Método de factorización 2. Ecuación de segundo grado: Método de completar cuadrados 3. Ecuación de segundo grado: Fórmula general 4. Aplicaciones de la ecuación de segundo grado UNIDAD 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA 5. Ángulos y grados 6. Radianes 7. Función UNIDAD 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. Las funciones trigonométricas 9. Determinación de las funciones trigonométricas 10. Gráfica de la función seno 11. Gráfica de la función coseno 12. Funciones trigonométricas inversas UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 13. Resolución de un triángulo rectángulo 14. Ley de los senos 15. Ley de los cosenos UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 16. Las identidades trigonométricas 17. Reducción de expresiones trigonométricas
18. Funciones trigonométricas de dos ángulos: Fórmulas para la suma 19. funciones trigonométricas de dos ángulos: Fórmulas para la diferencia
UNIDAD 1 LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
UNIDAD 1. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Objetivos del capítulo Al terminar la presente unidad, el alumno:
Resolverá ecuaciones de segundo por factorización, por el método de completar cuadrados y por fórmula general.
Aplicará las ecuaciones de segundo grado en la solución de problemas
1. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes, se denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x
Existen tres métodos para resolver una ecuación de este tipo: factorizando, completando el cuadrado y usando la fórmula general. Pasos para resolver una ecuación de segundo grado por factorización
1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio. 2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz
cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.
3. a) Si los factores binomios tienen en el medio los signos iguales se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya suma sea el coeficiente del segundo término. b) Si los factores binomios tienen en el medio signo diferente se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya diferencia sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos en cualquiera de los dos casos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero.
4. Se igualan a cero los factores binomios obtenidos y se despeja x. Ejemplos
1. Resolver la ecuación x2 + 5x + 6 = 0 por factorización
Solución 1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio
xx 2
2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. (x + )*(x + )
3. Si los factores binomios tienen en el medio los signos iguales se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya suma sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero. 3*2 = 6 3 + 2 = 5 (x + 3 )*(x + 2 ) = 0 4. Se igualan a cero los factores binomios y se despeja x. x + 3 = 0 ó x + 2 = 0 x = -3 ó x = -2
2. Resolver la ecuación x2 + 7x - 18 = 0 por factorización
Solución 1. Extraer la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio
xx 2
2. El primer elemento del primero y segundo factores será dicha raíz cuadrada, después de la cual se escribe el signo del segundo término en el primer factor y en el segundo factor el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. (x + )*(x - ) 3. Si los factores binomios tienen en el medio signo diferente se buscan dos números cuyo producto sea el coeficiente del tercer término y cuya diferencia sea el coeficiente del segundo término. Los números obtenidos son los segundos elementos de los factores binomios. El número mayor corresponde al primer factor binomio y el número menor al segundo factor binomio. El producto obtenido se iguala a cero 9*2 = 18 9 – 2 = 7 (x + 9 )*(x - 2 ) = 0 4. Se igualan a cero los factores binomios y se despeja x.
x + 9 = 0 ó x – 2 = 0 x = -9 ó x = 2 Caso especial (Cuando el término cuadrático tiene coeficiente distinto de 1) 1. Multiplicar el coeficiente del término cuadrático por toda la ecuación, cuidando que la multiplicación de dicho coeficiente por el coeficiente del término lineal quede indicada, pues la suma o la diferencia de los dos números que se buscan es precisamente el coeficiente del término lineal de la ecuación original. 2. Se aplican todos los pasos estudiados anteriormente Ejemplos
3. Resolver la ecuación 2x2 + 7x - 4 = 0 por factorización
Solución 2x2 + 7x - 4 = 0 2(2x2 + 7x - 4 = 0) 4x2 + 2(7x) – 8 = 0 (2x + 8)(2x - 1) = 0 2x + 8 = 0 ó 2x – 1 = 0 2x = -8 ó 2x = 1
x = 42
8
ó x =
2
1
4. Resolver la ecuación 3x2 - 7x - 6 = 0 por factorización
Solución 3x2 - 7x - 6 = 0 3(3x2 - 7x - 6 = 0) 9x2 -3(7x) – 18 = 0 (3x – 9)(3x + 2) = 0
3x – 9 = 0 ó 3x + 2 = 0 3x = 9 ó 3x = -2 x = 3 ó x = -2/3 Ejercicios 1. 12x2 – 25x + 12 = 0 2. x2 + x – 12 = 0 3. 5x2 + 13x – 6 = 0 4. x2 – 7x +10 = 0 5. 2x2 + 12x + 16 = 0 6. x2 + 7x + 6 = 0 7. 9x2 – 3x – 2 = 0 8. x2 – x -12 = 0 9. 6x2 – 2x – 4 = 0 10. x2 + 10x + 16 = 0 11. 3x2 + 27x + 8 = 0 12. x2 + 7x +12 = 0 13. 16x2 – 34x – 15 = 0 14. x2 + 13x + 40 = 0 15. 8x2 + 26x – 24 = 0 16. x2 – 11x + 24 = 0 17. 4x2 – 4x – 15 = 0 18. x2 + 15x + 44 = 0 19. 6x2 – 4x – 10 = 0
2. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS Para resolver una ecuación de segundo grado por el método de completar cuadrados se deben seguir los siguientes pasos: 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado 3. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 1 4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación 5. Despeje x Ejemplos
1. Resuelva la ecuación 0322 xx por el método de completar
cuadrados
Solución
0322 xx 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación
322 xx 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado
1112
22*
2
1 2
3. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 1
222 1312 xx
412 22 xx 4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación
4)1( 2 x
5. Despeje x
4)1( 2 x
241 x
21x x = 1 ó -3
2. Resuelva la ecuación 02832 xx por el método de completar
cuadrados
Solución
02832 xx 1. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación
2832 xx 2. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado
4
9
2
3
2
33*
2
12
3. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 1
4
928
2
33
2
2
xx
4
121
2
33
2
2
xx
4. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación
4
121
2
32
x
5. Despeje x
4
121
2
32
x
2
11
4
121
2
3x
2
11
2
3x
x = 7 ó -4
3. Resuelva la ecuación 3x2 – 8x + 4 = 0 por el método de completar cuadrados
Solución
0483 2 xx
1. Divida toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático
3
0483 2 xx
03
4
3
82 xx
2. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación
3
4
3
82 xx
3. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado
9
16
3
4
3
4
6
8
2
3
82
4. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 2
9
16
3
4
3
4
3
82
2
xx
9
4
3
4
3
82
2
xx
5. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación
9
4
3
42
x
6. Despeje x
3
2
9
4
3
4x
3
2
3
4x
x = 2 ó x = 3
2
4. Resuelva la ecuación 4x2 +x - 3 = 0 por el método de completar cuadrados
Solución
034 2 xx 1. Divida toda la ecuación por el coeficiente del término cuadrático
4
034 2 xx
04
3
4
12 xx
2. Pase el término numérico del lado derecho de la ecuación
4
3
4
12 xx
3. Obtenga la mitad del coeficiente del término lineal y el resultado elévelo al cuadrado
64
1
8
1
8
1
2
4
12
4. Sume dicho cuadrado a ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 2
64
1
4
3
8
1
4
12
2
xx
64
49
8
1
4
12
2
xx
5. Factorice el trinomio perfecto que se obtuvo del lado izquierdo de la ecuación
64
49
8
12
x
6. Despeje x
8
7
64
49
8
1x
8
7
8
1x
x = -1 ó x = 4
3
8
6
Ejercicios 1. x2 -4x – 5 = 0 2. x2 + 4x – 32 = 0 3. x2 +6x + 9 = 0 4. x2 -2x -15 = 0 5. 3x2 – 9x + 4 = 0
6. 4x2 +28x – 32 = 0 7. 5x2 – 10x - 15 = 0 8. 2x2 –14x + 12 = 0 9. 3x2 + 6x – 6 = 0 10. 7x2 – 30x + 2 = 0 11. 3x2 + 27x + 8 = 0 12. 2x2 + 17x +12 = 0 13. 16x2 – 34x – 15 = 0 14.3 x2 + 33x + 40 = 0 15. 8x2 + 26x – 24 = 0 16. 4x2 – 21x + 24 = 0 17. 4x2 – 4x – 15 = 0 18.2x2 + 25x + 44 = 0 19. 6x2 – 4x – 10 = 0
3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: FÓRMULA GENERAL Considere la ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son diferentes de cero; entonces aplicando a dicha ecuación el método de completar cuadrados, se tiene:
02 cbxax
a
cbxax 02
02 a
cx
a
bx
a
cx
a
bx 2
2
22
4222 a
b
a
b
a
ba
b
2
22
2
42 a
b
a
c
a
bx
a
bx
2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
2
4
2
2
a
acb
a
bx
2
4
2
2
a
acbbx
2
42
El resultado obtenido se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación x2 -2x - 15 = 0 por la fórmula general
Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 1 (coeficiente del término cuadrático); b = -2 (coeficiente del término lineal) y c = -15 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene:
2
82
2
642
2
6042
)1(2
)15)(1(4)2()2(
2
422
a
acbbx
x = 5 ó x = -3
2. Resuelva la ecuación 3x2 -5x + 2 = 0 por la fórmula general
Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 3 (coeficiente del término cuadrático); b = -5 (coeficiente del término lineal) y c = 2 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene
6
15
6
24255
)3(2
)2)(3(4)5()5(
2
422
a
acbbx
x = 1 ó x = 4/6 = 2/3
2. Resuelva la ecuación 5x2 + 7x - 90 = 0 por la fórmula general
Solución Para solucionar la ecuación se deben determinar los coeficientes a, b y c, los cuales son a = 5 (coeficiente del término cuadrático); b = 7 (coeficiente del término lineal) y c = -90 (término numérico). Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general, se tiene
10
437
10
18497
10
1800497
)5(2
)90)(5(4)7(7
2
422
a
acbbx
x = 36/10 =18/5 ó x = -5 Ejercicios 1. 7x2 – 30x + 4 = 0 2. 3x2 + 27x + 7 = 0 3. 2x2 + 17x +15 = 0 4. 16x2 – 44x – 15 = 0 5.3 x2 + 33x + 30 = 0 6. 8x2 + 26x – 12 = 0 7. 4x2 – 21x + 24 = 0 8. 4x2 – 4x – 10 = 0 9.2x2 + 25x + 24 = 0 10. 6x2 – 4x – 8 = 0
4. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1. Represente las cantidades desconocidas en términos de “x”. 2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. 4. Se acepta como solución del problema el valor que satisfaga las condiciones del problema y se rechaza el que no las cumpla Ejemplo
1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números
Solución
1. Las variables se encuentran a partir de la oración “halle los números”. En este caso, las variables son los números; los cuales se deben sustituir por expresiones algebraicas en términos de “x”, es decir Primer número = x Se obtuvo de la condición: Segundo número = 9 –x La suma de dos números es 9
2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. “La suma de sus cuadrados es 53”
x2 + (9 - x)2 = 53 Simplificando X2 + 81 – 18x + x2 = 53 2x2 -18x + 81 – 53 = 0 2x2 -18x + 28 = 0 x2 – 9x + 14 = 0
3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso se aplicará la fórmula general. Así a = 1, b = -9 y c = 14
2
59
2
259
2
56819
)1(2
)14)(1(4)9()9(
2
422
a
acbbx
x = 7 ó x = 2
2. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números
Solución 1. Las variables se encuentran a partir de la oración “hallar los números”. En este caso, las variables son los números; los cuales se deben sustituir por expresiones algebraicas en términos de “x”, es decir Número mayor = x Se obtuvo de la condición Número menor = x – 7 La diferencia de dos números es 7 2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. “Su suma multiplicada por el número menor equivale a 184”
Aquí la expresión “su suma” se refiere a la suma del número mayor y número menor, es decir x + x – 7; así, la ecuación es (x + x – 7)(x – 7) = 184 (2x – 7)(x – 7) = 184 2x2 – 14x – 7x + 49 = 184 2x2 – 21x + 49 = 184 2x2 – 21x – 135 = 0 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso por factorización. Multiplicando por el coeficiente del término cuadrático toda la ecuación, se tiene que: 2(2x2 – 21x – 135 = 0) 4x2 – 2(21x) – 270 = 0 (2x – 30)(2x + 9) = 0
2x – 30 = 0 ó 2x + 9 = 0 2x = 30 ó 2x = -9 x = 30/2 ó x = -9/2 x = 15 ó x = -9/2 y seleccionando como solución al número 15 por satisfacer las condiciones del problema; por lo tanto: El número mayor es 15 y el número menor es 8.
3. Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata cortando cuadrados de 4 cm de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 cm menos que el largo y la caja contiene 280 cm3, encuentre las dimensiones de la hoja de lata.
Solución 1. Las variables del problema son: Ancho de la caja = x
Largo de la caja = x + 3 Altura = 4
2. Traduzca el lenguaje verbal aritmético en algebraico. El resultado debe ser una ecuación de segundo grado. Como se trata de la “construcción” de una caja, ésta tiene volumen, por lo tanto 4(x + 3)(x) = 280 4x(x + 3) = 280 4x2 + 12x – 280 = 0 x2 + 3x – 70 = 0 3. Resuelva la ecuación de segundo grado por cualquiera de los métodos estudiados. En este caso por factorización. (x + 10)(x – 7) = 0 x + 10 = 0 ó x – 7 = 0
x = -10 ó x = 7 Como la longitud del cuerpo no puede ser negativa, se acepta como solución a x = 7. Por lo tanto, las dimensiones de la lata antes de que se les corten las esquinas son: x + 8 y (x + 3) + 8. Por lo tanto, las dimensiones son: 15 y 18 cm. Ejercicios
1. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángulo si su suma es de 17 centímetros.
2. El perímetro de un rectángulo es de 24 cm y su área de 32 cm2. Encuentre las longitudes de sus lados.
3. La suma de las edades de dos personas es de 23 años y su producto es 102. Hallar ambas edades.
4. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es de 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?
5. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor?
6. Encuentra el número que sumado a 5 veces su raíz cuadrada es igual a 14. 7. La suma de dos números es 21 y la suma de sus cuadrados es 221.
Encuentre dichos números. 8. Si al cuádruplo del cuadrado de un número se le suman dos unidades el
resultado es igual a nueve veces el número. Calcular ese número. 9. Calcular la base y la altura de un triángulo de 864m2 sabiendo que la base
es el triple de la altura. 10. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número, se
obtiene 36. Halle el número. 11. El área de un campo rectangular es 216 m2, y su perímetro es de 60m.
Calcúlense sus dimensiones. 12. Hallar dos números que den 320 por producto, tales que el producto del
mayor por la diferencia entre los dos sea 704.
UNIDAD 2 CONCEPTOS BÁSICOS
DE LA TRIGONOMETRÍA
UNIDAD 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TRIGONOMETRÍA
Objetivos del capítulo Al terminar la presente unidad, el alumno:
Trazará ángulos positivos, negativos, coterminales y en posición normal
Convertirá la medida de un ángulo de grados a radianes y viceversa
Hallará las funciones trigonométricas dado un punto cualquiera en el plano
5 ÁNGULOS Y GRADOS
Un ángulo1 es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta2 alrededor de su
extremo, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado terminal).
La amplitud de la rotación es la medida del ángulo y vértice es el extremo de la
semirrecta. Generalmente, se simboliza con una letra griega (α, β, γ, etc.)
Un ángulo es positivo si la rotación del lado terminal es en sentido contrario a las manecillas del reloj3; si la rotación del lado terminal es en sentido de las manecillas del reloj4 el ángulo es negativo. Un ángulo es dirigido si se le ha asignado un sentido5.
1 En general, siempre que se habla de ángulo se habla de la medida del ángulo; por ejemplo ángulo de 90°. 2 3 Levógiro 4 Dextrógiro 5 Se refiere a ser positivo o negativo
Lado terminal
Vértice α
Lado inicial
Ángulo positivo Ángulo negativo
Se llaman ángulos coterminales los que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. E lado terminal del ángulo se llama radio vector y de representa con la letra r. Este siempre es mayor que cero (r>0).
α
β
α y β son ángulos coterminales
y
α
β
x
El ángulo α y β son ángulos en posición normal,
positivo y negativo respectivamente
La medida de un ángulo puede hacerse en grados o radianes. Un grado es la
360
1 parte de una circunferencia. Un grado puede ser dividido en 60 partes
iguales llamadas minutos y un minuto puede ser dividido en 60 partes iguales llamadas segundos. La simbología para los grados, minutos y segundos es °, ' y '' respectivamente.
Dibuje un ángulo de -60°, 90° y 330° en posición normal.
Solución
y y
β = - 60 ° x α = 90°
y
δ = 330°
x
Ejercicios 1. Dibuje tres parejas de ángulos coterminales en posición normal. 2. Dibuje en posición normal y sentido negativo los siguientes ángulos 45°, 210°, 450°, 720°, 130° y 340° 3. Dibuje en posición normal y en sentido positivo los ángulos propuestos en el ejercicio 2. 4. Trace en posición normal, los ángulos cuyos lados terminales pasan por los puntos:
a) (4, -3) b) (5,8) c) (-3, -4) d) (-1, 7)
6. RADIANES
Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de la circunferencia de longitud igual al radio
B
C A
α = 1 radián
Por geometría se sabe que AB
ABC
AOB
AOC
; donde
rryABABCradiánAOBAOC ,1,180 . Así:
r
r
radián
1
180
π radianes = 180°. Si se considera que π = 3.14 entonces
1 radián =
180 = 57.3° y 1° =
180
= 0.0175rad
Ejemplos
1. Exprese en radianes los siguientes ángulos a) 40° y b) 75°
Solución
a) 40° = 40 (1°) = 40 (0.0175rad) = 0.7rad b) 75° = 75 (1° ) = 75 (0.0i75rad) = 1.3125rad
r r
α
o
2. Exprese en grados los siguientes ángulos
a) 5
4 y b) 3.6 rad6
Solución
a) 5
4 = 180
5
4 =
5
720 = 144°
b) 3.6 rad = 3.6 (1 rad) = 3.6 (57.3°) = 206.28° Ejercicios
1. Convierta las medidas dadas en grados a radianes a) 270° b) 625° c) 340° d) 234° e) 23° f) 1540° g) 451°
2. Convierta las medidas dadas en radianes a grados
a) 8
7
b) 5
3
c) 3
2
d) 7.45rad e) 847 rad
6 Generalmente se omite la expresión rad; es decir, 40 rad = 40
7. FUNCIÓN Una función consta de tres partes:
a) Dominio, que es el conjunto7 donde se define la función (los valores u objetos se representan con la letra x)
b) Recorrido8, donde cada elemento de este conjunto es la imagen de
cuando menos un elemento del dominio (no pueden existir dos imágenes para un elemento del dominio. Los valores u objetos se representan con la letra y o f(x)).
c) Una regla de correspondencia, la cual asigna a cada elemento del
dominio uno y sólo un elemento del recorrido (La regla en realidad es una “fórmula”).
Si en una función el dominio se llama conjunto A y el recorrido conjunto B, entonces la función se simboliza f: A B y se lee “función de A en B”
Representación gráfica de una función
7 Colección de objetos bien definida 8 Rango
●
●
●
●
●
●
●
Ejemplos 1. f: R R f(x) = x Dominio: Los números reales Recorrido: Los números reales Regla de correspondencia: f(x) = x (función identidad) 2. f: R R+ U {0} f(x) = x2
Dominio: Los números reales Recorrido: Los números reales positivos Regla de correspondencia: f(x) = x2 En general, una función se expresa comúnmente por su regla de correspondencia de la forma y = f(x); donde x se denomina variable independiente (o argumento de f) y y se conoce como la variable dependiente Las funciones se expresan estableciendo el valor de la función por medio de una fórmula algebraica en términos de la variable independiente. Por ejemplo, f(x) = x2; f(x) = 5x – 1 ó f(x) = x3 – x. Ejemplos
1. Dada f(x) = 2x2 + 4, calcule el valor de x cuando x = -3, 0 y 3
Solución f(-3) = 2(-3)2 + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22 f(0) = 2(0)2 + 4 = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4 f(3) = 2(3)2 + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22
2. Dada f(x) = 3x – 2, evalúe f(a) y f(h + 1)
Solución f(a) = 3(a) – 2 = 3a – 2 f(h + 1) = 3(h + 1) – 2 = 3h + 3 – 2 = 3h + 1
3. Determine el dominio de f(x) = 5
2
x
x
Solución Para determinar el dominio de f(x), iguale el denominador a cero, es decir, X + 5 = 0 x = - 5; luego el dominio de f(x) es R – {-5}
4. Determine el dominio de f(x) = 10x
Solución Para determinar el dominio de f(x), iguale la expresión algebraica que está dentro del radical a cero, es decir, x – 10 = 0 x = 10: luego el dominio de f(x) es
R+ ≥ 10 Ejercicios
1. Dada la función f(x) = x2, evaluar f(x) cuando x = 0, 3 y 1000. 2. Dada la función f(x) = 4x – 3, evaluar f(x) cuando x = a, h + 2 y c – 3
3. Dada f(x) = x3 +x + 2, calcular el valor de x cuando x = -10, x + 3 y 7
4. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función
f(x) = 2x?
5. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función f(x) = -2x + 8?
6. ¿Cuál es el dominio, el recorrido y la regla de correspondencia de la función
f(x) = 2x2?
7. Determine el dominio de f(x) = 2
3
x
x
8. Determine el dominio de f(x) = 2x
9. Determine el dominio de f(x) = 4x
x
10. Determine el dominio de f(x) = 5x
UNIDAD 3 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDAD 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos del capítulo
Al terminar la presente unidad, el alumno:
Enunciará las definiciones de las funciones trigonométricas
Identificará los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo θ
Hallará las funciones trigonométricas de un ángulo θ en posición normal cuyo lado terminal pase por un punto p (x, y)
Hallará las funciones trigonométricas a partir de una función trigonométrica dada previamente
Hallará las funciones trigonométricas inversas a partir de ciertas condiciones
Graficará las funciones trigonométricas seno y coseno 8. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Suponga que θ es un ángulo en posición normal y sea p(x, y) distinto del origen, de tal manera que se encuentra en el lado terminal del ángulo. Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
FUNCIÓN REGLA DE CORRESPONDENCIA
DOMINIO RECORRIDO
Sen θ
rradiovecto
ordenada =
r
y
Todos los ángulos
-1≤ Todos los números reales
≤ 1
Cos θ
rradiovecto
abscisa =
r
x
Todos los ángulos
-1≤ Todos los números reales
≤ 1
Tan θ
abscisa
ordenada =
x
y
Todos los ángulos para los
cuales x 0
Todos los números reales
Cot θ
ordenada
abscisa =
y
x
Todos loa ángulos para los
cuales y ≠ 0
Todos los números reales
Sec θ
abscisa
rradiovecto =
x
r
Todos los ángulos para los
cuales x ≠ 0
Todos los números reales
≤ -1 y ≥ 1
Csc θ
ordenada
rradiovecto =
y
r
Todos los ángulos para los
cuales y ≠ 0
Todos los números reales
≤ -1 ó ≥ 1
Es importante aclarar que el valor de las funciones trigonométricas no depende del punto p(x, y) sino de la magnitud de θ. Los signos de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, dependen de los signos de la ordenada y la abscisa de un punto arbitrario del lado terminal.
CUADRANTE DEL ÁNGULO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
POSITIVAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
NEGATIVAS
I Todas Ninguna
II Sen θ Csc θ
Cos θ, sec θ, Tan θ, cot θ
III Tan θ Cot θ
Sen θ, Csc θ, Cos θ, Sec θ
IV Cos θ Sec θ
Sen θ, Cos θ, Tan θ, Cot θ
Ejemplos
1. Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto (-4, 6)
Solución
a) Localice el punto (-4, 6) en el plano cartesiano y dibuje el ángulo θ en posición normal
b) Determine los valores de x, y y r.
De la coordenada (-4, 6) se tiene que x = -4 y y = 6. Aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2:
r = 22 yx = 5236166)4( 22
c) Aplique las funciones trigonométricas
Sen θ = 52
6 Csc θ =
6
52
Cos θ = 52
4 Sec θ =
4
52
Tan θ = 2
3
4
6
Cot θ =
3
2
6
4
2. Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado
y
r
y = 6
θ
x = -4 x
terminal pasa por el punto (-5, -6)
Solución
a) Localice el punto (-5, -6) en el plano cartesiano y dibuje el ángulo θ en posición normal
b) Determine los valores de x, y y r.
De la coordenada (-5, -6) se tiene que x = -5 y y = -6. Aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2:
r = 22 yx = 613625)6()5( 22
c) Aplique las funciones trigonométricas
Sen θ = 61
6 Csc θ =
6
61
Cos θ = 61
5 Sec θ =
5
61
θ
x = -5
y = -6 r = 61
Tan θ = 5
6
5
6
Cot θ =
6
5
6
5
Ejercicios Halle las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuyo lado
terminal pasa por el punto (x, y) dado.
1. (-3, 5) 2. (4, 3) 3. (-2, 7) 4. (-6, -3) 5. (8, 2) 6. (9, -3) 7. (-1, -3) 8. (3, 2) 9. (-5, -4) 10. (8, -8)
9. DETERMINACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Si se conoce el cuadrante y el valor de una de las funciones trigonométricas de un ángulo, se pueden obtener los valores de las demás funciones trigonométricas de la siguiente manera:
1. Determinar la coordenada (x, y) 2. Dibujar el ángulo θ en Posición normal cuyo lado terminal está determinado
por (x, y)
3. Sustituir los valores de x, y y r>0 en las definiciones de las funciones trigonométricas
Ejemplos
1. Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones
,5
3cos θ en el cuadrante CIV
Solución
1. Por definición 5
3cos =
r
x, de donde, x = 3 y r = 5. Aplicando el Teorema de
Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que 22 xry = 22 35 =
416925 . Se escoge -4 porque el ángulo θ está en el CIV. La
coordenada (x, y) = (3, -4). 2. El ángulo en posición normal es
3. Las funciones trigonométricas del ángulo θ son:
Sen θ = 5
4
r
y Csc θ =
4
5
y
r
Cos θ = 5
3
r
x Sec θ =
3
5
x
r
y
θ
x = 3 x
y = -4
r = 5
Tan θ = 3
4
x
y Cot θ =
4
3
y
x
2. Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones
Tanθ = 4
5
Solución
1. Por definición Tan θ = 4
5
4
5
x
y, de donde, x = 4 ó -4 y y = 5 ó -5. Aplicando
el Teorema de Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que r = 22 yx =
412516)5()4( 22 (no tiene dos valores porque r siempre es mayor que
cero). Al no marcarse un cuadrante específico para dibujar el ángulo θ se deben considerar dos coordenadas (4, 5) y (-4, -5). 2. El ángulo en posición normal es
3. Las funciones trigonométricas del ángulo θ son:
Sen θ = 41
5
r
y Csc θ =
5
41
y
r
y
r = 41
y = 5
θ θ
x = -4 x = 4 x
y = -5 r = 41
Cos θ = 41
4
r
x Sec θ =
4
41
x
r
Tan θ = 4
5
x
y Cot θ =
5
4
y
x
Ejercicios Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas:
1. senθ = 4
3, θ en CI
2. tanθ = 5
3, θ en CIV
3. secθ = 5
4, θ en CIV
4. cscθ = 12
13 , θ en CIII
5. cotθ = 15
8 , θ en CIII
6. cosθ = 12
13, θ en CI
7. secθ = 8
17
8. tanθ = -1
9. senθ = 5
3
10. cscθ = -π
10. GRÀFICA DE LA FUNCIÒN SENO La gráfica de y = asenbx proporciona una representación de la función senx; donde a es la amplitud; bx es el argumento y x es un número real.
Para trazar rápidamente gráficas de la función trigonométrica seno basta dibujar sólo puntos “críticos” y unirlos con una curva suave. Tabla de puntos críticos Radianes
x 0
4
1
2
1
4
3
4
5
2
3
4
7
2
4
9
2
5
4
11
3
4
13
2
7
4
15
4
Grados x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720
Ejemplos
1. Grafique la función y = sen x, 0≤x≤2π
Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π.
x y
0 0
½π 1
π 0
3/2π -1
2π 0
2. Grafique la función y = 2senx, 0≤ x ≤ 4π
Si x = 0, y = sen0 = sen0° = 0
Si x =½π, y = sen (½π) = sen90° = 1
Si x = π, y = sen π = sen180° = 0
Si x = 3/2π, y = sen (3/2π) = sen 270° = -1
Si x = 2π, y = sen 2π = sen 360° = 0
0 ½π π 3/2π 2π
Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π, hasta 4π.
x y
0 0
1/2π 2
π 0
3/2π -2
2π 0
5/2π 2
3π 0
7/2 -2
4π 0
3. Grafique la función y = 3sen(½ x), -π ≤ x ≤ π
Solución
Si x = 0, y = 2sen0 = 0
Si x = 1/2π, y = 2sen(1/2π) = 2sen90˚ = 2
Si x = π, y = 2senπ = 2sen180˚ = 0
Si x = 3/2π, y = 2sen(3/2π) = 2sen270˚ = -2
Si x = 2π, y = 2sen2π = 2sen360˚ = 0
Si x = 5/2π, y = 2sen5/2π = 2sen450˚ = 2
Si x = 3π, y = 2sen3π = 2sen540˚ = 0
Si x = 7/2π, y = 2sen7/2π = 2sen630˚ = -2
Si x = 4π, y = 2sen4π = 2sen720 = 0
0 1/2π π 3/2π 2π 5/2π 3π 7/2π 4π
Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es ½x, basta considerar los puntos para x = -π, 0 y π.
Ejercicios Trace las gráficas de las siguientes funciones, para los dominios indicados.
x y
-π -3
0 0
π 3
-π 0 π
Si x = -π, y = 3sen(-½π ) = 3sen(-90°) = -3
Si x = 0, y = 3sen(-½(0) ) = 3sen(0°) = 0
Si x = π, y = 3sen(½π ) = 3sen(90°) = 3
1. y = 2senө, 0 ≤ ө ≤ 3π 2. y = sen2x, 0 ≤ x ≤ 4π
3. y = -2senx, -π ≤ x ≤ 3π
4. y = ½ senx, 0 ≤ x ≤ 4π
5. y = 4sen½ө, 0 ≤ ө ≤ 4π
6. y = -5senө, -2π ≤ ө ≤ 2π
7. y = sen¼ө, 0 ≤ ө ≤ 3π
8. y = 10senx, -π ≤ x ≤ π
9. y = -10senx, -π ≤ x ≤ π
10. y = ¼ senө, π ≤ ө≤ 5π
11. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO La gráfica de y = acosbx proporciona una representación de la función cosx; donde a es la amplitud; bx es el argumento y x es un número real.
Para trazar rápidamente gráficas de la función trigonométrica coseno basta dibujar sólo puntos “críticos” y unirlos con una curva suave. Tabla de puntos críticos Radianes
x 0
4
1
2
1
4
3
4
5
2
3
4
7
2
4
9
2
5
4
11
3
4
13
2
7
4
15
4
Grados x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720
Ejemplos
1. Grafique la función y = cos x, 0≤x≤2π
x y
0 1
½π 0
π -1
3/2π 0
2π 1
0 π/2 π 3/2π 2π
Si x = 0, y = cos0 = cos0° = 1
Si x =½π, y = cos (½π) = cos90° = 0
Si x = π, y = cos π = cos180° = -1
Si x = 3/2π, y = cos (3/2π) = cos 270° = 0
Si x = 2π, y = cos 2π = cos 360° = 1
2. Grafique la función y = 2cosx, 0≤ x ≤ 4π
Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es x, basta considerar los puntos para x =0, ½π, π, 3/2π, 2π, hasta 4π.
x y
0 2
1/2π 0
π -2
3/2π 0
2π 2
5/2π 0
3π -2
7/2 0
4π 2
Si x = 0, y = 2cos0 = 2cos 0° = 2
Si x = ½π, y = 2cos (½π) = 2cos 90° = 0
Si x = π , y = 2cosπ = 2cos 180° = -2
Si x = 3/2π, y = 2cos (3/2π) = 2cos 270° = 0
Si x = 2π, y = 2cos 2π = 2cos 360° = 2
Si x = 5/2π, y = 2cos (5/2π) = 2cos 450° = 0
Si x = 3π, y = 2cos 3π = 2cos 540° = -2
Si x = 7/2π, y = 2cos (7/2π) = 2cos 630° = 0
Si x = 4π, y = 2cos 4π = 2cos 720° = 2
0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
3. Grafique la función y = 3cos(x/2), -π ≤ x ≤ π
Solución Construya una tabla x, y utilizando los puntos críticos. Cuando el argumento es ½x, basta considerar los puntos para x = -π, 0 y π.
Ejercicios Trace las gráficas de las siguientes funciones, para los dominios indicados.
x y
-π 0
0 3
π 0
Si x = -π, y = 3cos (-½π ) = 3cos(-90°) = 0
Si x = 0, y = 3cos (-½(0) ) = 3cos (0°) = 3
Si x = π, y = 3cos (½π ) = 3cos (90°) = 0
-π 0 π
1. y = 2cosө, 0 ≤ ө ≤ 3π 2. y = cos2x, 0 ≤ x ≤ 4π
3. y = -2cosx, -π ≤ x ≤ 3π
4. y = ½ cosx, 0 ≤ x ≤ 4π
5. y = 4cos½ө, 0 ≤ ө ≤ 4π
6. y = -5cosө, -2π ≤ ө ≤ 2π
7. y = cos¼ө, 0 ≤ ө ≤ 3π
8. y = 10cosx, -π ≤ x ≤ π
9. y = -10cosx, -π ≤ x ≤ π
10. y = ¼ cosө, π ≤ ө≤ 5π
12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Si f es una función, tal que )()( dfcf , en donde c y d son dos elementos
diferentes del dominio, y si baf )( , entonces la función inversa de f, algunas
veces representada por 1f 9, es la función que asigna a a como imagen de b. El
dominio de 1f es el recorrido de f.
Como las gráficas del seno y el coseno estudiadas en los capítulos anteriores nos muestran que a cada elemento x del dominio le corresponde una sola imagen, pero que estos elementos tienen, en muchos casos, la misma imagen, las funciones seno y coseno no establecen una correspondencia biunívoca entre las imágenes del recorrido y el dominio, es necesario pues, para que haya una correspondencia, restringir el dominio; así, se tiene que
Función Dominio restringido
Recorrido
Recorrido Dominio Función inversa
seny 22
x 11 y ysen 1
cosy x0 11 y y1cos
tany 22
x Todos los números reales
y1tan
coty x0 Todos los números reales
y1cot
secy 2
0 x
2 x
1y
1y y1sec
cscy 2
0 x
2 x
1y
1y
y1csc
La función ysen 1 en realidad se debe representar como arcseny (arco seno
de y) pero para fines prácticos de manejo de la calculadora se considerará
ysen 1 .
Ejemplos
9 Representa la función inversa y no debe confundirse con un exponente.
1. Halle el valor del arc sen (1/2) y represente gráficamente el ángulo θ
Solución
Sea θ = arc sen (1/2) = sen-1(1/2) = 30° = 6
; de donde el 2
130 sen =
r
y; luego
y = 1 y r = 2, aplicando el teorema de Pitágoras (r2 = x2 + y2) se tiene que
31412 2222 yrx , así x = 3 , y = 1 y r = 2 y la representación
gráfica del problema es θ
Y
r = 2
θ y = 1
x = 3 X
2. Halle el valor de cos (tan-1 (-3/4)) y represente gráficamente el ángulo θ
Solución
Sea )4/3(tan 1 x
y
4
3tan , θ se encuentra en el cuarto cuadrante;
luego r
x
5
4cos))4/3(cos(tan 1 . De lo anterior se tiene que x = 4, y = -3 y r =
5. La representación gráfica del problema es
Y
x = 4
θ X
r = 5 y = -3
3. Halle el valor de tan(arcsen(-3/4)) y represente gráficamente el ángulo θ
Solución
Sea θ = arcsen(-3/4) = sen-1(-3/4) = -48.59° r
ysen
4
3 . Luego θ es un
ángulo del cuarto cuadrante y x = 7916)3(4 2222 yr
tan(arcsen(-3/4)) = tanθ = tan (-48.59° ) = 7
3
Ejercicios Evalúe y represente gráficamente el ángulo θ.
1.
2
3arcsen
2.
3
1cotarc
3. ))1(tan(tan 1
4. ))2
3(arccos(sen
5. )2(tan 1sen
6. )2
1cos(
arcsen
Y
x = 7
θ y = -3 X
r = 4
7.
2
1costan 1
8. 1cotcos 1
9. 2arctan sen
10.
13
12tan arcsen
UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
UNIDAD 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Objetivos del capítulo Al terminar la presente unidad, el alumno:
Resolverá triángulos rectángulos
Resolverá triángulos oblicuángulos
Aplicará la ley de los senos
Aplicará la ley de los cosenos 13. RESOLUCIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el triángulo rectángulo ABC, con el ángulo agudo A en posición normal (ver figura) las funciones trigonométricas del ángulo A son:
Sen A = hipotenusa
stocatetoopue
c
a
r
y Csc A =
stocatetoopue
hipotenusa
a
c
y
r
Cos A = hipotenusa
centecatetoadya
c
b
r
x Sec A =
centecatetoadya
hipotenusa
b
c
x
r
Tan A = centecatetoadya
estocatetopopu
b
a
x
y Cot A =
stocatetoopue
centecatetoadya
a
b
y
x
B(a, b)
c = r
a = y
A b = x C
Para el ángulo B también se pueden definir las funciones trigonométricas, si este se dibuja en posición normal; sin embargo, bastará considerar las definiciones en términos de los catetos y la hipotenusa así:
Sen B = hipotenusa
stocatetoopue
c
b
r
x Csc B =
stocatetoopue
hipotenusa
b
c
x
r
Cos B = hipotenusa
centecatetoadya
c
a
r
y Sec B =
centecatetoadya
hipotenusa
a
c
y
r
Tan B = centecatetoadya
estocatetopopu
a
b
y
x Cot B =
stocatetoopue
centecatetoadya
b
a
x
y
Las anteriores fórmulas se pueden aplicar para resolver triángulos rectángulos de la siguiente manera: Ejemplos
1. En el triángulo rectángulo ACB halle c y b en términos del ángulo A y a.
Solución
C
a
b
B
c
A
Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene que:
El sen A = c
a c senA = a c =
senA
a
Por otro lado, tanA = b
a b tanA = a b =
A
a
tan
2. Resuelva el triángulo rectángulo ACB donde a = 6 y b = 4.
Solución Resolver un triángulo rectángulo significa hallar todos los valores desconocidos, tanto de ángulos como de los lados. Trace el triángulo rectángulo y marque las condiciones dadas. El lado c se determina fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras que dice que
c2 = a2 + b2; luego despejando c se tiene que c = 22 ba y sustituyendo los
valores de a y b en la ecuación se tiene que:
c= 22 46 = 52
A
c
b = 4
C a = 6 B
Para determinar el ángulo A, es necesario calcular el valor de la tangente; así:
TanA = 5.14
6 A = tan-1(1.5) = 56.30° 10
El ángulo B se obtiene a partir de la siguiente aseveración A + B + C = 180°. Así, sustituyendo el valor de A y C tenemos: 56.30° + B + 90° = 180° B + 146.30° = 180° B = 180° - 146.30° = 33.70°
3. Resuelva el triángulo rectángulo ACB donde B = 29° 34', b = 2.7
Solución Trace el triángulo rectángulo y marque las condiciones dadas. El ángulo B tiene como medida 29° 34' = 29.56°. (Los 34' se convierten a grados considerando 1° = 60' 34' = 0. 56°).
Como A + B+ C = 180°. Sustituyendo los valores de A y B respectivamente; tenemos:
10 Se obtiene en la calculadora apretando las teclas shift (ó 2nd, según la marca de calculadora) tan 1.5 =
C
a b = 2.7
B
c A
29° 34'
90° + 29.56° + C = 180° C = 180° -119.56° C = 60.44°
Para conocer el valor de c, considere la TanB = c
b
CA
CO
c
bTanB . Despejando
c se tiene que:
cTanB = b c = TanB
b. Sustituyendo los valores de b y B en la anterior
ecuación:
c = 56.29
7.2
Tan = 4.76
Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar a. a2 = b2 + c2 (note que la fórmula usual está alterada porque la hipotenusa es a y
no c como usualmente se indica). Luego: 22 cba . Sustituyendo los valores
de b y c.
47.59476.296576.2229.7)76.4()7.2( 22 a
Ejercicios Resuelva los siguientes triángulos rectángulos
Figura 1 Figura 2
A C b
A
b c a c Figura 3
A b
C B B C
a
c a
B
1. Para la figura 1 los valores conocidos son b = 5 , A = 34° 20' 2. Para la figura 2 los valores conocidos son a = 5 y b = 6 3. Para la figura 3 los valores conocidos son B = 35° y a =2
4. Hallar una fórmula para b en términos de c y B (Figura 4) 5. Hallar una fórmula para a en términos de B y b (Figura 5) 6. Hallar una fórmula para c en términos de A y b (Figura 6) 7. Hallar una fórmula para a en términos de b y C (Figura 6) 8. Considere que el triángulo de la figura 4 tiene los siguientes valores A = 68°
15' y b = 8cm. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes. 9. Considere el triángulo rectángulo de la figura 5. Los valores conocidos son
B = 51° 55' y a = 2.37cm. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes.
10. Considere el triángulo rectángulo de la figura 6 cuyos valores conocidos son a = 5 y b = 6. Determine los ángulos y los valores de los lados restantes.
Figura 4 Figura 5
A
C b A
b c a c
B
C B Figura 6
a
C a
b
B
A c
14 LEY DE LOS SENOS11
En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto
es constante; esto es, c
senC
b
senB
a
senA
Considere el triángulo rectángulo ACB siguiente:
Aplicando la definición del seno al ángulo A y al ángulo B se tiene que:
Sen A = c
a (1) y Sen B =
c
b (2). Si se dividen entre a los dos miembros de la
ecuación (1) y entre b los dos miembros de la ecuación (2) se obtiene:
ca
senA 1 (3) y
cb
senB 1 (4); de donde
b
senB
a
senA
Por otro lado, como sen 90° = 1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos
ecuaciones (3) ó (4) se concluye que c
sen
b
senB
a
senA
9012
Ejemplos de aplicación de la ley de los senos a) Para triángulos rectángulos
11 No se presenta la demostración formal de dicha ley porque no está dentro de los objetivos de este libro. 12 La ley de los senos es también válida para triángulos oblicuángulos y cuya demostración no se considera en
los alcances de este libro.
A
b c
C B
a
1. Resuelva el triángulo rectángulo ACB cuyos valores conocidos son a = 2, A = 30°
Solución Dibuje el triángulo rectángulo ACB Para determinar el ángulo B se parte del hecho de que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de 90°. De donde, se tiene que A + B = 90°, como A =30° A + B = 30° + B = 90° B = 90° - 30° B = 60°
Para determinar el cateto b (o la hipotenusa) se utiliza la ley de los senos
c
sen
b
senB
a
senA
90. Para este caso, se escoge al cateto b. Luego, aplicando la
ley de los senos b
senB
a
senA , y sustituyendo los valores de a, A y B
respectivamente en la fórmula se tiene que b
sensen
60
2
30 y despejando b.
60230 senbsen
30
602
sen
senb = 3.46
b = 3.46
A
b c
C B
a = 2
30°
Aplicando el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2), se tiene que
99.397.1546.32 2222 bac
La solución del problema es B = 60°; b = 3.46 y c = 3.99
2. Resuelva el triángulo rectángulo ACB cuyos valores conocidos son a = 3 y b = 4.
Solución Dibuje el triángulo rectángulo ACB. Para determinar la hipotenusa c, se aplica el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2). Así:
52543 2222 bac .
El ángulo A (ó B) se determina aplicando la ley de los senos
c
sen
b
senB
a
senA
90. Como C = 90°, basta relacionar por la ley de los senos al
ángulo A ( ó B). Para este caso, se trabajará con el ángulo A, por lo tanto
A
b = 4 c
C a = 3 B
c
sen
a
senA
90, entonces sustituyendo los valores de a y c en la fórmula se tiene
que 5
90
3
sensenA y despejando senA:
9035 sensenA
6.05
903
sensenA
Entonces senA = 0.6, de donde A = sen-1(0.6) = 36.86°13 Para determinar el ángulo B se parte del hecho de que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es de 90°. De donde, se tiene que A + B = 90°, como A =36.86° A + B = A + 36.86 ° = 90° A = 90° - 36.86° B = 53.14°
b) Para triángulos oblicuángulos14
3. Resuelva el triángulo oblicuángulo ABC cuyos valores conocidos son A = 80° y b = 39 y a = 55
Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo ABC
13 Se obtiene en la calculadora apretando las teclas shift (ó 2nd según la marca de la calculadora) sin2(0.6) = 14 Son triángulos que no tienen un ángulo recto.
B
a = 55
c
C
80°
b = 39 A
Para encontrar los valores desconocidos C, c y B, se debe aplicar la ley de los
senos c
senC
b
senB
a
senA ; para ello se deben localizar las cantidades conocidas,
que en este caso son el ángulo A, el lado a y el lado b, los cuales se sustituyen en
la fórmula, a saber: c
senCsenBsen
3955
80. Se observa que la expresión
c
senC
está formada por dos incógnitas C y c, razón por la cual se elimina y se trabaja
solamente con 3955
80 senBsen
. Despejando senB:
senBsen 558039
698.055
8039
sensenB
senB = 0.698 B = sen-1(0.689) = 43.55°
El valor del ángulo C se determina a partir del hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (A + B + C = 180°). Así: 80° + 43.55° + C = 180° 123.55° + C = 180° C = 180° - 123.55° C = 56.45° Como la única cantidad desconocida que falta por saber su valor es c, se puede
aplicar otra vez la ley de los senos relacionando el cociente c
senC con cualquiera
de los otros dos cocientes de la fórmula (pues ya se conoce el valor de C) ; es
decir, c
sensen
45.56
55
80. Despejando c:
45.565580 sencsen
54.4680
45.5655
sen
senc
Ejercicios 1. Resuelva el triángulo rectángulo ACB. a) a = 12 y b = 9 b) c = 6 y A = 11° c) b = 3 y A = 30°
d) A = 44° 15' y a = 8.4 e) b = 7.9 y B = 32° 2. Resuelva el triángulo oblicuángulo ABC. a) A = 20°, B = 40°, b = 11 b) A = 30°, C = 70°, a = 16 c) A = 32°, a = 12, c = 22 d) A = 22°, b = 6 y a = 12 e) c = 12.2, b = 26.7 y C = 21°
15 LEY DE LOS COSENOS15
En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos; esto es:
Abccba cos2222
Baccab cos2222
Cabbac cos2222
Ejemplos de la aplicación de ley de los cosenos
1. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 4, b = 5, C = 60°, encuentre c
Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo Las cantidades conocidas son a, b y C, y la cantidad desconocida es c; por lo
tanto la fórmula que se debe emplear es Cabbac cos2222 ; despejando c, se tiene:
15 No se da la demostración formal de dicha ley porque no está dentro de los objetivos de este libro
B
c a = 4
60° C
b = 5
A
Cabbac cos222 y sustituyendo los valores dados:
58.42120251660cos)5)(4(254 22 c
2. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 3, b = 4 y c = 5, encuentre el ángulo A
Solución Dibuje el triángulo oblicuángulo Las cantidades conocidas son a, b y c, y la cantidad desconocida es A; por lo
tanto la fórmula que se debe emplear es Abccba cos2222 ; despejando el
cosA se tiene:
Abccba cos2222 222cos2 cbaAbc 222cos2 acbAbc
B
c = 5 a = 3
C
b = 4
A
bc
acbA
2cos
222 y sustituyendo los valores dados:
8.040
32
40
92516
)5)(4(2
354cos
222
A ; de donde
86.36)8.0(cos 1A 16
3. Utilizando la ley de los cosenos, calcule el elemento del triángulo ABC que se pide; a = 9, b = 12 y C = 51°. Halle c, A y B.
Solución
16 Recuerde que en su calculadora debe teclear shift (ó 2nd) cos (0.8) =
C
51°
b = 12
a = 9 A
B
Las cantidades conocidas son a, b y C, y la primera cantidad desconocida es c; por lo tanto la fórmula que se debe emplear es
Cabbac cos2222 ; despejando c:
Cabbac cos222 y sustituyendo los valores conocidos:
43.907.8993.1351448151cos)12)(9(2129 22 c
Para hallar la segunda cantidad desconocida (A), utilice la fórmula
Abccba cos2222 . Despejando Acos se tiene. 222 cos2 cbAbca 222cos2 acbAbc
bc
acbA
2cos
222 y sustituyendo los valores conocidos:
671.032.226
92.151
)43.9)(12(2
9)43.9(12cos
222
A ; de donde
85.47)671.0(cos 1A
Ejercicios Aplique la ley de los cosenos para cada uno de los ejercicios siguientes: Para el triángulo ABC:
1. a = 7, b = 9 y c = 10. Halle A 2. a = 15, c = 10 y B = 126°. Calcule b 3. c = 7, a = 9 y B = 59°. Halle b 4. a = 4, b = 5 y C = 60°. Encuentre c 5. a = 5, b = 6 y c = 8. Encuentre C 6. a = 6, c = 14 y B = 120°. Calcule b 7. a = 42.40, c = 76.30 y B = 32° 20'
Resuelva el triángulo ABC 8. b = 5.32, c = 3.10 y C = 125°. 9. b = 43.80, c = 41. 60 y A = 62° 10. B = 38°, c = 21.70 y a = 11.48
UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDAD 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos del capítulo
Al terminar la presente unidad, el alumno:
Verificará identidades
Reducirá expresiones trigonométricas
Aplicará las funciones trigonométricas de ángulos dobles
16. LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación que utiliza funciones trigonométricas, que sea válida para todos los valores angulares en los cuales las funciones trigonométricas están definidas, se llama identidad trigonométrica.
Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales
a saber: Identidades de recíprocos17 senx cscx 1 cosx secx 1 tanx cotx 1 Identidades de cociente
tanx x
senx
cos
cotx senx
xcos
Identidades de cuadrados Sen2x + cos2x 1 1 + tan2x sec2x 1 + cot2x csc2x La combinación adecuada de las ocho identidades fundamentales permite realizar ejercicios de verificación de identidades. Para ayudar a dicha verificación es necesario tener presente lo siguiente: “cuando se realiza un ejercicio de verificación de identidades es necesario transformar (si es posible) las funciones trigonométricas que intervienen en términos de senos y cosenos, saber factorizar y usar procedimientos de sustitución y simplificación” Ejemplos
Verifique la siguiente identidad xsenx
xsec
tan
Solución
17 Dos números son recíprocos si su producto es igual a 1
Identidad Razones
senx
x
senx
senx
x costan tanx
x
senx
cos
1
cossenx
x
senx
1
senxsenx
xsenx
senx
cos En la fracción compleja resultante se aplicó la
propiedad de multiplicar extremos por extremos y medios por medios.
xcos
1 Se eliminaron los senos
xsec De cosx secx 1 se tiene que x
xcos
1sec
xsenx
xsec
tan
2. Verifique la siguiente identidad xxsenx coscot
Solución Identidad Razones
senx
xsenxxsenx
coscot
senx
xx
coscot
xcos Eliminación de los senos
3. Verifique la siguiente identidad xxxxsen
xxcscsec
cos
cot)1(sec 3
22
2
Solución Identidad Razones
xxsen
xx
xxsen
xx22
2
22
2
cos
cottan
cos
cot)1(sec De 1 + tan2x sec2x se tiene que
tan2x sec2x – 1
xxsen
xsenx
xxsen
22
2
2
cos
cos
cos
tanx x
senx
cos y cotx
senx
xcos
1
cos
cos
cos
22
2
2
xxsen
xsenx
xxsen
1
coscos
2222 xxsenxxsen
xxsen
xxsen34
2
cos
cos En la fracción compleja resultante se aplicó la
propiedad de multiplicar extremos por extremos y medios por medios
xsenx3cos
1 Eliminación de senos y cosenos
senxx
1*
cos
13
1*1 = 1 y asociatividad
xxcscsec3 De senx cscx 1 y cosx secx 1 se sabe que;
senx
x1
csc y x
xcos
1sec
xxxxsen
xxcscsec
cos
cot)1(sec 3
22
2
Verifique la siguiente identidad xsenx
xxcos
1cottan
Solución Identidades Razones
senx
x
x
senxxx
cos
coscottan tanx
x
senx
cos y cotx
senx
xcos
xsenx
xxsen
cos
cos22
bd
bcad
d
c
b
a
xsenxcos
1 Sen2x + cos2x 1
Ejercicios
1. xxxx 2222 cscseccscsec
2. x
x
x
x
cot
tan
cos
cos12
2
3. xx
x 2tancot
tan
4. xxxsenx
xxcotcsc
tan
cotcsc
5. senx
x
x
xx
1
cot
cos
coscot3
6. x
senx
senx
x
cos
1
1
cos
7. xxsenx
csccotcos1
8. xx
senxx cot
cos1csc
9. xxx
2csc2cos1
1
cos1
1
10. 2tan
sectan
x
xsenxx
11. xxxx 2222 seccscseccsc
12. xxxx
senx
xx
xseccos
cotcsccotcsc
tan
13. xsenxxx
xsenxxxcos1
seccsc
tancotcos
14. xsenxxx
xxxsenxcos1
cscsec
cotcostan
15.1cot
1cot
seccsc
seccsc
x
x
xx
xx
16. x
x
xsen
senxx
cos1
sectan3
17. senx
x
x
xx
1
csc
cos
coscot3
18. xxx
xcotcos2
sec
csc2
19. xsenxx
xtan2
csc
sec2
20. xsenxx
xcos
sec
tan1
17. REDUCCIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
Reducir una expresión trigonométrica significa escribirla a una sola función del argumento dado.
Para todos los problemas se recomienda usar las identidades trigonométricas y convertir las expresiones dadas en términos de senos y cosenos. Ejemplos
1. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento dado xsenxsec
Solución
xx
senx
xsenxxsenx tan
coscos
1sec
2. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento dado
x
xx2
2
cot1
seccot
Solución
xxxsenx
xsenx
senx
xsenx
x
x
xsenx
x
x
xxsec
cos
1
cos
cos
1cos
cos
csc
cos
1cos
cot1
seccot2
2
2
2
2
2
3. Reduzca la expresión siguiente a una sola función del argumento
dado
senx
x
1
cos1
2
Solución
senxsenxsenxsenx
senxsenx
senx
xsen
senx
x
11)1(1
1
)1)(1(1
1
11
1
cos1
22
Ejercicios
1.
x
x2
2
csc
tan1
2. )1(tancos 2 xx
3. )coscot(tan xxsenxx
4.
x
x
sec1
tan1
2
5. xcoxsenx cot
11
6. xx
x
cottan
sec
7. 1csc
tan2 x
xsenx
8.
xxsen
x2
2
sec
1sec
9. senx
x
xsenx
cos
cos
1
10. senx
x
x
senx cos1
cos1
11.
x
x3
2
csc
cot1
12.
senx
xx
1
costan
13. )cot(tancos xxxsenx
14. )cot1)(cos1( 22 xx
15. x
x2cot1
cot
18. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ÁNGULOS: FÓRMULAS PARA LA SUMA18
sen ( A + B) = sen A cos B + cos A sen B cos ( A + B) = cos A cos B – sen A sen B
tan ( A + B ) = BA
BA
tantan1
tantan
Ejemplos
1. Compruebe que sen (30˚ + B) + cos (60˚ + B) = cos B
Solución sen (30˚ + B) + cos (60˚ + B) = sen 30˚ cos B + cos 30˚ sen B + cos60˚ cos B –
sen60˚ sen B = senBBsenBB2
3cos
2
1
2
3cos
2
1 = BB cos
2
1cos
2
1 = cosB
2. Simplifique ABA
ABA
tan)tan(1
tan)tan(
Solución
ABA
ABA
tan)tan(1
tan)tan(
=
AC
AC
tantan1
tantan
= tan(C + A) = tan( A + B + A) = tan(2A + B);
donde C = A + B
3. SI Tan (A + B) = 33 y tanA = 3, demuestra que tan B = 0.3
Solución
tan ( A + B ) = BA
BA
tantan1
tantan
33 = B
B
tan31
tan3
33 – 99 tanB = 3 + tanB 33 – 3 = 99 tanB + tanB 30 = 100 tanB
18 No se escribe la demostración de las fórmulas porque no están dentro de los objetivos de este libro
Btan10
3
de donde tanB = 0.3
4. Si cos A = 5/8 y senB = 7/9 en el cuadrante I; halle cos(A + B)
Solución Del cos A = 5/8 = x/r y aplicando el teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2 se tiene
que y2 = r2 – x2 y = 39256422 xr
Por otro lado, del senB = 7/9 = y/r y aplicando el teorema de Pitágoras:
r2 = x2 + y2 se tiene que x2 = r2 – y2 x = 32498122 yr
y
8
39
A
5 x
y
9 7
B
32 x
cos(A + B) = cos A cosB – senA senB =
72
397325
72
397
72
325
9
7
8
39
9
32
8
5
Ejercicios 1. Demuestre que
BA
BA
BA
BAsen
tantan1
tantan
)cos(
)(
2. Demuestre que cos (A + B) + cos(A – B) = 2cosAcosB 3. Halle los valores de:
a) sen(A + B) b) COS(A + B) Si senA = 4/5 y cosB = 6/13, A y B en el cuadrante I
4.
30tan90tan1
30tan90tan
5. cot(A + B) = 6. cot(A – B) = 7. cot(A + B) – cot(A – B)
19. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ÁNGULOS: FÓRMULAS PARA LA DIFERENCIA19
sen (A – B) = sen A cosB – cosA senB cos(A – B) = cos A cosB + senA senB
tan (A – B) = BA
BA
tantan1
tantan
Ejemplos
1. Compruebe que sen(180˚ - B) = sen B
Solución sen(180˚ - B) = sen180˚ cosB – cos180˚ senB = 0.cosB – (-1)senB = 0 + senB = senB
2. Verifique que 2
cos
4
AsenAAsen
Solución
2
cos
2
1cos
2
1
4cos
4cos
4
AsenAAsenAAsensenAAsen
3. Si senA = 8/17, A en el CI y tanB = -24/7, b en el CIV; halle sen(A-B)
Solución Del senA = 8/17= y/r y aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2 se tiene que
x2 = r2 – y2 x = 152256428922 yr ; pero como A está en el
cuadrante I, x = 15; de dónde se sabe que cosA = a5/17 Para la tanB = -24/7 = y/x y aplicando el teorema de Pitágoras r2 = x2 + y2 se tiene
que 25625576490)24(7 2722 yxr ; luego el senb= -21/25 y
cosB = 7/25
sen(A-B) = senA cosB – cosAsenB = 425
371
425
315
425
56
25
21
17
15
25
7
17
8
19 No se escribe la demostración de las fórmulas porque no están dentro de los objetivos de este libro
Ejercicios 1. Si cos A = -5/13, A en el CIII y sen B = 4/5, B en el CI; halle:
a) sen(A – B) b) cos(A – B) c) tan(A – B)
2. Verifique que tan(A - 45˚) = A
A
tan1
tan1
3. Compruebe que tan(180˚ - B) = -tanB 4. Simplifique cos(A + B) – cos(A-B) 5. Determine una fórmula para
a) cot(A – B) b) sec(A – B)
c) csc(A – B)
6. compruebe que sen2A = 2senacosA 7. compruebe que cos 6a = 1 – 2sen2 3a
SOLUCIONES Capítulo 1 1. 4/3, 3/4 3. -3, 2/5 5. -4, -2 7. -1/3, 2/3 9. -2/3, 1 11. -8, -1/3 13. 5/2, 3/8 15. -4, ¾ 17. -3/2, 5/2 19. -1, 5/3 Capítulo 2 1. -1, 5 3. -3
5. 12
11
2
3
7. -1, 3
9. -1 ± 3
11. 32
211
2
9
13. -3/8, 5/2 15. -4, -3/4 17. -3/2, 5/2
19. -1, 5/3 Capítulo 3
1. 14
78830
3. 4
14917
5. -11, -1
7. 8
5721
9. 4
43325
Capítulo 4 1. 5 y 12 3. 6 y 17 5. 11 7. 10 y 11 9. 24 y 72 11. 12 y 18 Capítulo 5 1.
Y Y Y
α β α β α
X X X
β
Capítulo 6 1. a) 4.698 rad c) 59.16 rad e) 4.002 rad g) 78.474 rad Capítulo 7 1. f(0) = 0 f(3) = 9 f(1000) = 1,000,000 3. f(-10) = -1,008 f(x + 3) = x3 + 9x2 + 28x + 32 f(7) = 352 5. Dominio: R Contra dominio: R La regla de correspondencia es f(x) = -2x + 8 7. Dominio = R – {2} 9. Dominio = R – {-4} Capítulo 8
1.
3
5tan
34
3cos
34
5
x
x
senx
5
3cot
3
34sec
5
34csc
x
x
x
3.
2
7tan
53
2cos
53
7
x
x
senx
7
2cot
2
53sec
7
53csc
x
x
x
5.
4
1tan
68
8cos
68
2
x
x
senx
4cot
8
68sec
2
68csc
x
x
x
7.
3tan
10
1cos
10
3
x
x
senx
3
1cot
10sec
3
10csc
x
x
x
9.
5
4tan
41
5cos
41
4
x
x
senx
4
5cot
5
41sec
4
41csc
x
x
x
Capítulo 9
1.
7
3tan
4
7cos
4
3
x
x
senx
3
7cot
7
4sec
3
4csc
x
x
x
3.
4
3tan
5
4cos
5
3
x
x
senx
3
4cot
4
5sec
3
5csc
x
x
x
5.
8
15tan
17
8cos
17
15
x
x
senx
15
8cot
8
17sec
15
17csc
x
x
x
7.
8
15tan
17
8cos
17
15
x
x
senx
15
8cot
8
17sec
15
17csc
x
x
x
9.
4
3tan
5
4cos
5
3
x
x
senx
3
4cot
4
5sec
3
5csc
x
x
x
Capítulo 10
1.
3.
5.
7.
9.
Capítulo 11 1.
3.
5.
7.
9.
Capítulo 12
1.
134
2
3
120;60
2
3
x
r
ysenx
x
arcsenx
3.
1tan
)tan(tantan
45
1tan
1
1
x
x
x
x
5.
894.0)43.63()2(tan
2tan
)2tan(tantan
43.63
2tan
1
1
1
sensen
x
x
x
x
7.
73.12
1costan
314
2
1cos
1202
1cos
1
1
y
r
xx
x
9.
Y
2 2
3 3
x x
-1 1 X
Y
2
x 1
1 X
Y
2
3
x
-1 X
816.0)2arctan(
3
1
2
2tan
)2arctan(
sen
r
x
y
x
x
Capítulo 13 1. B = 55.67° a = 3.40 c = 6.05 3. A = 55° b = 1.39 c = 2.44 5. a = b/ tanB 7. a = bcosC 9. A = 38° 05' C = 90° c = 3.83 Capítulo 14 1. a) A = 53.13° B = 36.87° c = 15 c) B = 60° a = 1.72 c = 3.46
e) A = 58° a = 12.6 c = 14.87 Capítulo 15 1. A = 42.83° 3. b = 8.06 5. C = 92.86° 7. b = 46.39 9. a = 44.02 Capítulo 16
1. xxxxsenxxsen
xxsen
xsenxxx 22
222
22
22
22 cscseccos
1
cos
cos1
cos
1cscsec
3. xx
xsen
senx
xx
senx
x
x 2
2
2
tancoscos
cos
cot
tan
5.
xsenx
senx
xsenx
senxx
x
senx
xsenxx
x
xsenx
x
x
xx
cos
1
cos
)1(cos
1
cos
coscos
cos
coscos
cos
coscot2222
senx
x
senxsenx
x
senxxsenx
x
senxxsenx
xsen
1
cot
)1(
cos
)1(cos
cos
)1(cos
1 22
7.
xsenxsenxx
x
senxx
xxxsen
senx
x
x
senxx
x
senxcsc
1
)cos1(
cos1
)cos1(
coscoscos
cos1cot
cos1
22
9.
xxsenx
xx
x
x
x
x
xx
2
2222csc2
2
cos1
cos1cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
1
cos1
1
Capítulo 17 1. tan2 x 3. sec x 5. cot x 7. senx tan3 x 9. tan x 11. sen x 13. 1
15. x
xsenx2cos21
cos
Capítulo 18
1. BA
BA
BA
senAsenBBABA
AsenBBsenA
senAsenBBA
AsenBBsenA
BA
BAsen
tantan1
tantan
coscos
coscoscoscos
coscos
coscos
coscos
)cos(
)(
3.
65
133418)cos(
65
133324)(
13
133
13
6cos
5
3cos
5
4
ABA
BAsen
senbB
AsenA
5. BA
BABA
tancot1
tancot)cot(
7. BAsenBAsen
BsenBBABA
2222 coscos
cos2)cot()cot(
Capítulo 19 1.
3. BB
B
B
BB tan
tan.01
tan0
tan180tan1
tan180tan)180tan(
5. a) BA
BABA
tancot1
tancot)cot(
c) BA
BABA
tancot1
seccsc)csc(
7.
asenasenasenaaasensenasacaaa 33133cos33303cos)33cos(6cos 2222
= 1 -2sen23a