MATEMÁTICAS

FINANCIERASSubtítulo de la presentación

OSCAR ELVIRA

2

INDICE

OBJETIVOS

1. Comprender los conceptos básicos de matemática financiera.

2. Conocer las herramientas básicas de valoración de inversiones.

3. Saber calcular e interpretar la TAE de una operación financiera.

4. Conocer los principales tipos de rentas y la valoración de lasmismas.

5. Conocer los métodos mas usuales de amortización de capitales.

3

INDICE

METODOLOGIA

1. Clase presencial con casos prácticos.

2. Resolución de ejercicios con calculadora CASIO FC-100V.

3. Elaboración individual de casos prácticos con presentación enclase.

4. Trabajo final.

4

INDICE

TEMARIO

1. Conceptos básicos

2. Capital financiero

Equivalencia financiera

Operación financiera

Factor financiero

Capitalización y actualización

3. Regimenes financieros

Régimen financiero simple

Interés simple vencido Interés simple anticipado

Régimen financiero compuesto

Interés compuesto vencido

5

INDICE

3. Análisis rentabilidad de inversiones

CASH-FLOW NETO

PAY-BACK

TIR

VAN

4. La TAE

5. Rentas

Renta modelo

Extensiones a partir de la renta modelo

Rentas variables

6

INDICE

TEMARIO

6. Préstamos

Método francés

Método alemán

Método americano

Cuotas amortización constantes

Términos amortización crecientes

ANEXO 1. Casos prácticos

ANEXO 2. Ejercicios

ANEXO 3. Soluciones ejercicios

7

INDICE

CALENDARIO

DIA 1 – 4 horas

MODULO 1-4.

DIA 2 – 4 horas

MODULO 5.

DIA 3 – 4 horas

MODULO 6.

8

INDICE

BIBLIOGRAFIA

BRUN, X., ELVIRA, O. y PUIG, X. Matemática financiera y estadística básica.Barcelona: Profit editorial, 2008.

GIL PELAEZ, L. Matemática de las Operaciones Financieras. Madrid: AC,1987.

MENEU, V. y otros. Operaciones financieras en el mercado español.Barcelona: Ariel, 1994.

RUIZ, J.M. Matemática financiera. Madrid: Centro de formación del Banco deEspaña, 1991.

TERCEÑO, A. y otros. Matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,1997.

VAZQUEZ, M.J. Curso de matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,1993.

VILLAZON, C; SANOU, L. Matemática financiera. Barcelona: Foro Científico,1993.

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1. CONCEPTOS BÁSICOS

CAPITAL FINANCIERO

C : capital

t : periodo tC,

Un capital financiero es una cantidad monetaria asociada a un determinadomomento del tiempo.

Hablar de 6.000,00€ no tiene sentido si no conocemos el referente temporal:no es lo mismo 6.000,00€ el 01.11.2014 que 6.000,00€ el 01.11.2015.

Se representa de la siguiente forma:

(C,t) (6.000 , 01.11.2014)

(C’,t’) (6.000 , 01.11.2015)

10

1. CONCEPTOS BÁSICOS

EQUIVALENCIA FINANCIERA

',', tCtC

Dos capitales financieros son equivalentes si existe indiferenciaentre ambos.

0 1

6.000,00€ 6.600,00€

• Se representa de la siguiente forma:

i : 10,00%

11

1. CONCEPTOS BÁSICOS

OPERACIÓN FINANCIERA

Una operación financiera es un intercambio no simultaneo de capitales financieros. Es decir, el intercambio de capitales de diferente liquidez, entendiendo por liquidez el valor temporal de un capital en un momento del tiempo.

EJEMPLO 1: Préstamo bancario

Acreedor (prestación): (C1, t1)

Deudor (contraprestación): (C2, t2), (C3, t3), …, (Cn, tn)

EJEMPLO 2: Cuenta a plazo

Acreedor (prestación): (C1, t1)

Deudor (contraprestación): (C2, t2)

12

1. CONCEPTOS BÁSICOS

OPERACIÓN FINANCIERA

Según duración Corto plazo Medio plazo Largo plazo

Según número capitales intercambiados Simple Compuesta

Según forma de definición Predeterminada Postdeterminada

Según la ley financiera utilizada Actualización Capitalización

Según naturaleza de los capitales Cierta Aleatoria

…

13

1. CONCEPTOS BÁSICOS

FACTOR FINANCIERO

Las equivalencias entre capitales financieros se pueden calcular dediferentes formas. Cada una de ellas se conoce como REGIMENFINANCIERO y cada una de ellas utiliza un FACTOR FINANCIERO oformula matemática para realizar dicho cálculo.

0 1

6.000,00€6.600,00€

6.600,00 = 6.000,00 + 6.000,00 · i · t = 6.000,00 · (1 + i · t)

factor financiero: (1 + i · t)

régimen financiero: INTERES SIMPLE

i : 10,00%

14

1. CONCEPTOS BÁSICOS

CAPITALIZACION y ACTUALIZACION

CAPITALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en unmomento futuro.

0 t’

C C’

C’ = 6.000,00 · (1 + i · t’) = 6.600,00

i : 10,00%

15

1. CONCEPTOS BÁSICOS

CAPITALIZACION y ACTUALIZACION

ACTUALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en unmomento pasado.

0 t’

C C’

C = 6.600,00 / (1 + i · t’) = 6.000,00

i : 10,00%

16

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES SIMPLE VENCIDO

La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.

La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.

Solo el principal (C) produce intereses a lo largo del plazo.

0 t

C C’

it

itCCitCC

1 financierofactor

1' • Liquidación de cuentas corrientes y pólizas de crédito

• Letras del Tesoro y Pagarés

17

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES SIMPLE ANTICIPADO

La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.

La devolución del principal se efectúa al final del plazo. Losintereses se abonan al principio del mismo.

Solo el nominal (C’) produce intereses a lo largo del plazo.

0 t

C C’

)1(

1financierofactor

)1('''

it

itCitCCC

• Descuento comercial

18

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES COMPUESTO VENCIDO

La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo elplazo de la operación.

La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.

Los intereses se devengan al final de cada periodo decapitalización y se acumulan al principal para generar nuevosintereses durante el siguiente periodo.

0 t

C C’

t

t

i

iCC

1financierofactor

1'• Rentas• Préstamos

19

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES COMPUESTO VENCIDO

Interés nominal: im

siempre es anual

m indica el numero de periodos de cobro en un año

Interés efectivo: Im

es el tipo de interés realmente aplicado para el periodo m.

la relación con el nominal es:

Ejemplo 3. Inversión de 20.000,00€ con una remuneración del 6,00% a cobrarmensualmente.

m

iI m

m

%50,012

%00,6

12

%00,6

1212

12

iII

ii

m

m

20

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES COMPUESTO VENCIDO

Relación entre efectivos. Efectivo anual.

0 1

C C’

1)1(

)1()1(

)1()1(

)1()1('

1

1

1

41

1

41

m

m

m

m

m

m

II

II

ICIC

ICICC

ndo,generaliza

21

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES COMPUESTO VENCIDO

Ejemplo 4. Equivalentes anuales del 10,00% a cobrar conperiodicidad m:

m im Im I1

12

6

4

3

2

1

22

2. REGIMENES FINANCIEROS

INTERES COMPUESTO VENCIDO

Ejemplo 4. Solución.

m im Im I1

12 10,00% 0,83333% 10,47131%

6 10,00% 1,66667% 10,42604%

4 10,00% 2,50000% 10,38129%

3 10,00% 3,33333% 10,33704%

2 10,00% 5,00000% 10,25000%

1 10,00% 10,00000% 10,00000%

23

2. REGIMENES FINANCIEROS

RESUMEN

REGÍMEN CARÁCTERISTICAS

FACTOR FINANCIERO

ACTUALIZAR CAPITALIZAR

SIMPLE VENCIDO

SIMPLE ANTICIPADO

COMPUESTO VENCIDO

24

3. VALORACION DE INVERSIONES

CASH-FLOW NETO

Consiste en calcular el importe neto resultante de la inversión y los flujosque genera.

Escogeremos la inversión que genere un flujo positivo mayor.

AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO

Inversión A -100 +60 +50 +25 +35

Inversión B -250 +100 0 +300 +150

Inversión C -50 +60 +40 +30 +80

INCONVENIENTES:

1. No considera el valor temporal del dinero

2. Ni el momento en que se produce el cash flow

3. No considera el volumen de inversión

4. …

25

3. VALORACION DE INVERSIONES

PAY-BACK

Consiste en determinar en que año se recupera la inversiónrealizada.

Escogeremos la inversión que se recupera antes.

AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO

Inversión A -100 +60 +50 +25 +35

Inversión B -250 +100 0 +300 +150

Inversión C -50 +60 +40 +30 +80

INCONVENIENTES:

1. No considera el tiempo de forma adecuada

2. No considera el volumen de inversión

3. …

26

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

El VAN de una inversión es el valor actualizado de todos los flujosesperados (ingresos – gastos).

Ejemplo 5. Inversión inicial de 100 millones de €, para recibir, enlos próximos 5 años, de forma sucesiva 30, 30, 30, 30 y 50millones de €. Tasa de actualización 10,00%.

0

30 30 30 30 50

1 2 3 54

-100

14,26

10,01

50

10,01

30

10,01

30

10,01

30

10,01

30100

54321

VAN

27

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

A : inversión inicial

i : periodos de inversión (i=1,2,3,…n)

Ci : cobros periodo i

Pi : pagos periodo i

k : tasa de interés para la actualización de flujos

n

ii

ii

k

PCAVAN

1 1

Generalizando,

28

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

Como se interpreta el VAN?

medida del beneficio absoluto del proyecto

“listón” a la inversión analizada: k (en el ejemplo 5 podemos interpretar que la inversiónofrece una rentabilidad superior al 10,00% o lo que es lo mismo, supera el “listón” del10,00%, por eso decimos que es aconsejable).

Criterios de decisión. Un VAN positivo indica que el valor actual delos flujos futuros es superior a la inversión inicial que realizamos.Por lo tanto,

Si VAN > 0 inversión ACONSEJABLE Si VAN = 0 inversión INDIFERENTE Si VAN < 0 inversión DESACONSEJABLE

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3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

¿Qué favorece un VAN positivo?

1. La inversión inicial

2. Los flujos de fondos futuros

3. La tasa de actualización k

Supuestos implícitos en la definición:

1. Siempre se puede invertir a una tasa k

2. ETTI plana

3. …

30

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

VAN y ETTI (Estructura Temporal de Tipos de Interés)

AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3

Inversión A -100 62 50 28

Inversión B -100 48 52 44

Tipo Interés 21,00% 18,00% 16,00%

21,8

16,1

44

16,1

52

16,1

48100

55,816,1

50

16,1

50

16,1

62100

32

32

21,5

16,1

44

18,1

52

21,1

48100

08,516,1

50

18,1

50

21,1

62100

32

32

31

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

Que tasa es k?

Tipo de interés del mercado financiero (letras o bonos del Tesoro) Tasa de rentabilidad de la empresa o sector Coste financiero del pasivo Tasa subjetiva k = tipo interés libre de riesgo + prima riesgo

Interpretación de k?

Coste de oportunidad del dinero Exigimos al proyecto, para llevarlo a cabo, que produzca como

mínimo lo que el capital vinculado produciría en el uso alternativo alque renunciamos.

32

3. VALORACION DE INVERSIONES

VAN (Valor Actual Neto)

Inconvenientes del VAN

1. Estimación de las variables del proyecto: horizonte temporal, flujos

futuros de la inversión, …

2. Volúmenes de inversión diferentes entre proyectos a comparar

3. Diferentes horizontes temporales de los proyectos a comparar

4. …

33

3. VALORACION DE INVERSIONES

TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)

Con el cálculo del VAN no conocemos la tasa de rentabilidad delproyecto. Solo sabemos si el proyecto tiene una rentabilidadsuperior o inferior a la tasa de actualización utilizada.

La TIR (o Tasa Interna de Rentabilidad) de un proyecto es aquellatasa de actualización que hace que el VAN se iguale a cero.

En el ejemplo anterior,

?k

0

1

50

1

30

1

30

1

30

1

30100

54321

kkkkkVAN

SOLUCION:

• Iteraciones sucesivas

• CASIO FC – 100V

• Excel

PROBLEMA CALCULO:

• Polinomio de grado n

(en este caso 5)%05,19k

34

3. VALORACION DE INVERSIONES

TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)

Relación TIR y VAN

Si VAN > 0 TIR > k

Si VAN = 0 TIR = k

Si VAN < 0 TIR < k

VAN

k

€

VAN = 0 k = TIR

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4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

La TIR nos da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto, peroesta TIR no tiene porque ser necesariamente de un periodo anual.

La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera notiene períodos anuales de liquidación de intereses, entoncesdebemos realizar una transformación de la TIR resultante(mensual, trimestral, semestral, …) en una TIR anual o TAE.

La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmulasiguiente:

TIRla de dias

d

TIRTAE dd 11

365

36

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Porque la TAE?

Método de comparación

Multitud de operaciones Diferentes tipos de interés Diferentes formas de pago Diferentes periodos …

Transparencia: obligación legal

Orden 12.12.1989 Circular Banco de España 8/1990

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4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

•Porque la TAE? Método de comparación:

•OPCION 1.

•PRODUCTO: Imposición a plazo

•Interés nominal: 10,00%

•Pago intereses semestral

•Durante 2 años

•OPCION 2.

•PRODUCTO: Seguro de ahorro

•Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la aportación.

•Pago intereses final periodo

38

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Porque la TAE? Método de comparación:

OPCION 1.

PRODUCTO: Imposición a plazo Interés nominal: 10,00% Pago intereses semestral Durante 2 años

OPCION 2.

PRODUCTO: Seguro de ahorro Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la

aportación. Pago intereses final periodo

TAE: 10,25%

TAE: 9,16%

39

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Orden 12.12.1989, sobre tipo de interés y comisiones, normas deactuación, información a clientes y publicidad de las Entidades deCrédito.

CAPITULO I. Tercero. 3.

Los tipos de interés ……… se expresaran, cualquiera que seasu tipo nominal y forma de liquidación, en términos de costeefectivo equivalente de una operación con intereses anualespostpagables.

40

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 2.

Para la confección y publicación del tipo de interés, coste orendimiento efectivo, …., las entidades deberán atenerse alas siguientes reglas, que se desarrollaranmatemáticamente mediante la formula contenida en elanexo V.

a) Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán entasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido.

b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala encualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos yentregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos,incluido el saldo remanente a su término, con las excepcionese indicaciones que se recogen en los siguientes apartados.

41

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 4.

En la información sobre el coste efectivo de las operacionesactivas, se aplicarán las reglas siguientes:

a) En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones ydemás gastos que el cliente este obligado a pagar a la entidadcomo contraprestación por el crédito recibido o los serviciosinherentes al mismo. No se considerarán a estos efectos lascomisiones o gastos que se indican a continuación, aun cuandodebe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anualequivalente no los incluye:

1. Los gastos que el cliente pueda evitar …

2. Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastosnotariales e impuestos.

3. Los gastos por seguros o garantías. No obstante, se incluirán lasprimas de los seguros que tengan por objeto garantizar a la Entidad elreembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, odesempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempreque la Entidad imponga dicho seguro como condición para concederel crédito.

42

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia delas operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.

CALCULO DE LAS TASAS DE COSTE O RENTABILIDAD DEOPERACIONES.

1. La equivalencia financiera a que se refiere el apartado 2de la norma octava de esta circular, tiene la siguienteexpresión matemática.

m

m

t

km

n

n

t

knmn iRiD

11

11

43

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparenciade las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.(continuación)

m ndisposició la de la hasta

elegida iaequivalenc de fecha la desde dotranscurri tiempo :

n ndisposició la de la hasta

elegida iaequivalenc de fecha la desde dotranscurri tiempo :

Rpor ossimbolizad pagos los de número :

entregas de número :

operación la de efectivo orendimient o coste el en

incluidos gastos otros u intereses ón,amortizacipor pagos :

nesdisposicio :

siendo,

m

n

t

t

m

n

R

D

44

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparenciade las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.(continuación)

Por su parte, el tipo anual equivalente i (TAE) a que serefiere la indicada norma octava es el siguiente:

elegido período al contiene año el que veces de número el :

siendo,

m

1)1( m

mii

45

4. VALORACION DE INVERSIONES

TAE (Tasa Anual Equivalente)

TIRla de dias

año un en cióncapitaliza de periodos de número

siendo,

:

:365

11111365

111

1

365

365365

d

dm

ITAE

Im

i

d

iTIRTAE

m

m

m

md

dd

d

Relación TAE – TIR – Interés nominal – Interés efectivo

46

5. RENTAS FINANCIERAS

DEFINICIÓN

Conjunto de capitales financieros que presenta periodicidad en el tiempo.

t1 tn

C1 C2 C3 C4 C5 Cn…

t2 t3 t4 t5

47

5. RENTAS FINANCIERAS

CLASIFICACIÓN

Según periodicidad Anual Semestral Trimestral Mensual …

Según situación termino Vencida Anticipada

Según inicio Inmediata Diferida

Según horizonte temporal Temporal Perpetua

Según termino Constante Variable

48

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

Definimos la renta modelo como la renta tiene las siguientescaracterísticas:

inmediata

vencida

temporal

• para generalizar el modelo de valoración,empezaremos trabajando con una rentaconstante

49

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

Valor ACTUAL: valor de la renta en el momento origen de la misma.

0 6

C C C C CC

1 2 3 54

m

m

t

t

mmmmI

ICICICICICVa

66

1

621 1111...11

50

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

Valor FINAL: valor de la renta en el momento del último término.

0 6

C C C C CC

1 2 3 54

m

m

t

t

mmmmI

ICICICICICVf

1111...11

66

1

1045

51

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

En general,

m

n

m

I

ICVa

11

0 n1 2 3 …4

m

n

m

I

ICVf

11

nmIVaVf 1

C C C C C…

52

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

Demostración formula valor actual.

m

nm

m

nm

m

m

m

nmm

m

nmm

n

-m

I

I

I

I

I

I

I

II

I

II

nn

PG

Iq

n

n

mmm

n

mmmmm

CCCC

q

qa

q

qaaSIIIC

ICICICICICVa

11

1)1(

11

1

1

)1(1

111

)1(1

111

111

1 -

-

21

4321

1

1

1

1

1

1

1

11...11

1...1111

razon de

terminos de

:geométrica progresión una de Suma

primera y última demostración !

53

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTA MODELO

Ejemplo 6. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

54

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Diferida

d

m

d

m

m

n

mD IVaII

ICVa

1111

C C C C CC

0 61 2 3 54 87

Vf

I

ICVf

m

n

mD

11

en momentos diferentes!

d

55

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Ejemplo 7. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

56

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Anticipada

mm

m

n

mA IVaII

ICVa

1111

0 6

C C C C C

1 2 3 54

C

Vf

I

ICVf

m

n

mA

11

en momentos diferentes!

57

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Ejemplo 8. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

58

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO

Perpetua

mm

n

m

n IC

I

ICVa

111lim

0 6

C C C C CC

1 2 3 54

…C

7 …

?Vf

59

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Ejemplo 9. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

60

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO

Diferida

Anticipada

1

,

1

1111

d

m

m

d

m

m

n

mAD

IVa

III

ICVa

C C C CC C

0 61 2 3 54 87

Vf

I

ICVf

m

n

mAD

11,

en momentos diferentes!

d

61

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO

Ejemplo 10. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

62

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO

Diferida

Anticipada

Perpetua

,,ADVa

,,ADVf

EJERCICIO VOLUNTARIO

63

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO

Diferida

Anticipada

Perpetua

m

d

mm

d

m

m

n

m

n

AD

I

ICII

I

ICVa

1

,, 111

11lim

existe no,, ADVf

64

5. RENTAS FINANCIERAS

EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO

limn d

mI

1 mI1

VENCIDA IMMEDIATA

PERPETUADIFERIDAANTICIPADA

TEMPORAL

RENTA MODELO

d

mI

1lim

n

Valor actual

65

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTAS VARIABLES

Geométrica

1

1

r

r qCC

1 n

C1 C2 C3 C4 C5 Cn…

2 3 4 50

qI

IqCVa

m

n

m

n

1

111

1

1 1

mInCVa

qI

qCVf

m

n

1

11

1

1 1

n

mInCVfqI

qI

m

m

1 si

1 si

66

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTAS VARIABLES

Ejemplo 11. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

67

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTAS VARIABLES

Lineal

1 n

C1 C2 C3 C4 C5 Cn…

2 3 4 50

mm

n

m

m I

nh

I

Inh

I

hCVa

11

1

)1(1 rhCCr

mm

n

m

m I

nh

I

I

I

hCVf

111

68

5. RENTAS FINANCIERAS

RENTAS VARIABLES

Ejemplo 12. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

69

6. PRÉSTAMOS

DEFINICIÓN

Operación financiera que consiste en la devolución de un capitalinicial (C0: nominal o principal del préstamo) a través de uno ovarios capitales financieros, generalmente periódicos.

1 n

1 2 3 4 5 n…

2 3 4 50

C0

nrtC rr ,0 ... 1,2,con

70

6. PRÉSTAMOS

DEFINICIÓN

Cuadro de amortización

PERIODO

TERMINO

AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 0 I0 A0 R0 M0

1 1 I1 A1 R1 M1

2 2 I2 A2 R2 M2

3 3 I3 A3 R3 M3

… … … … … …

n-1 n-1 In-1 An-1 Rn-1 Mn-1

n n In An= Rn-1 Rn=0 Mn=R0

71

6. PRÉSTAMOS

CLASIFICACIÓN

Según tipo de operación Simple Compleja

Según inicio devolución del nominal Sin carencia Con carencia parcial Con carencia total

…

72

6. PRÉSTAMOS

METODO FRANCES

El término de amortización es constante y equivale al terminoresultante de una renta modelo con valor actual igual al nominaldel préstamo, y periodo de constitución igual al periodo deamortización.

Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendientede amortizar (INTERES COMPUESTO).

0 n

1 2 3 …4

C0

m

n

mm

n

m

I

I

C

I

IC

11

11 00

73

6. PRÉSTAMOS

METODO FRANCES

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1

2

3

4 0,00 10.000,00

74

6. PRÉSTAMOS

METODO FRANCES

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 2.952,28 700,00 2.252,28 7.747,72 2.252,28

2 2.952,28 542,34 2.409,94 5.337,78 4.662,22

3 2.952,28 373,64 2.578,64 2.759,14 7.240,86

4 2.952,28 193,14 2.759,14 0,00 10.000,00

75

6. PRÉSTAMOS

METODO FRANCES

Generalizando,

r

s

rr

rrr

rr

rmr

m

n

m

r

AM

ARR

A

RI

I

I

C

1

1

1

0

11

76

6. PRÉSTAMOS

METODO ALEMAN

La única diferencia con el METODO FRANCES es que los intereses se pagananticipadamente, de manera que la primera cuota de interés se deduce delnominal del préstamo y el último termino amortizativo no tiene intereses.

Para calcular el cuadro de amortización utilizaremos la relación existenteentre interés vencido (Im) e interés anticipado (I’m):

'

'

1 m

mm

I

II

con

0 n

= An

1 2 3 …4

C0

Yn = 0- Y1

m

m

n

m

m

m

n

m

II

I

CI

I

IC

111

111 0

0

77

6. PRÉSTAMOS

METODO ALEMAN

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 0,00 0,00

1

2

3

4 0,00 0,00 10.000,00

78

6. PRÉSTAMOS

METODO ALEMAN

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00

1 2.778,35 543,56 2.234,79 7.765,21 2.234,79

2 2.778,35 375,36 2.403,00 5.362,22 4.637,78

3 2.778,35 194,48 2.583,87 2.778,35 7.221,65

4 2.778,35 0,00 2.778,35 0,00 10.000,00

79

6. PRÉSTAMOS

METODO ALEMAN

Generalizando,

r

s

rr

n

m

rn

mr

s

sr

rr

rr

m

m

n

m

r

AM

I

ICACR

A

RI

II

I

C

m

1

)(

0

1

'

0

11

11

111

80

6. PRÉSTAMOS

METODO AMERICANO

El principal del préstamo se devuelve a vencimiento.

Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar(INTERES COMPUESTO).

0 n

1 2 2 4 n…

1 2 3 …4

C0

An

Yn

solo intereses:

r = = Yr =CIm

81

6. PRÉSTAMOS

METODO AMERICANO

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 700,00

2 700,00

3 700,00

4 700,00 0,00 10.000,00

82

6. PRÉSTAMOS

METODO AMERICANO

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00

2 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00

3 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00

4 10.700,00 700,00 10.000,00 0,00 10.000,00

83

6. PRÉSTAMOS

METODO AMERICANO

Generalizando,

r

s

rr

rrr

n

r

rmr

rrr

AM

ARR

CA

nrA

RI

YA

1

1

0

1

1,...2,1 para 0

84

6. PRÉSTAMOS

CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES

La cuota de amortización es constante y equivale a dividir el nominaldel préstamo por el número de periodos de amortización.

Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente deamortizar (INTERES COMPUESTO).

0 n

1 2 2 4 n…

1 2 3 …4

C0

A A A AA A

n

CA 0

85

6. PRÉSTAMOS

CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 2.500,00

2 2.500,00

3 2.500,00

4 2.500,00 0,00 10.000,00

86

6. PRÉSTAMOS

CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 0,00 0,00 0,00 10.000,00 0,00

1 3.200,00 700,00 2.500,00 7.500,00 2.500,00

2 3.025,00 525,00 2.500,00 5.000,00 5.000,00

3 2.850,00 350,00 2.500,00 2.500,00 7.500,00

4 2.675,00 175,00 2.500,00 0,00 10.000,00

87

6. PRÉSTAMOS

CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES

Generalizando,

r

s

rr

rrr

r

rmr

rrr

AM

ARR

n

CA

RI

YA

1

1

0

1

88

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE

Los términos de amortización son crecientes y equivalen al termino de unarenta modelo creciente de forma geométrica.

Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar(INTERES COMPUESTO).

0 n

1 1q 1q2 1q

3 1qn-1…

1 2 3 …4

C0

m

m

m

m

n

m

n

IqIn

C

Iq

qI

Iq

C

1 si 1

1 si

1

11

1

01

01

89

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

Crecimiento: 3,00% anual q=1,03

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1

2

3

4 0,00 10.000,00

90

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

Crecimiento: 3,00% anual q=1,03

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 2.829,76 700,00 2.129,76 7.870,24 2.129,76

2 2.914,65 550,92 2.363,74 5.506,50 4.493,50

3 3.002,09 385,46 2.616,64 2.889,87 7.110,13

4 3.092,16 202,29 2.889,87 0,00 10.000,00

91

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE

Generalizando,

r

s

rr

rrr

rrr

rmr

r

r

m

m

m

m

n

m

n

AM

ARR

YA

RI

q

IqIn

C

Iq

qI

Iq

C

1

1

1

1

1

1

01

01

1 si 1

1 si

1

11

92

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

Crecimiento: 3,00% anual h=300,00€

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1

2

3

4 0,00 10.000,00

EJERCICIO VOLUNTARIO

93

6. PRÉSTAMOS

TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE

Nominal: 10.000,00€

Duración: 4 años

Tipo de interés (i1): 7,00%

Pagos anuales

Crecimiento: 3,00% anual h=300,00€

PERIODO

TERMINO AMORT.

CUOTA

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZACIÓN

CAPITAL PENDIENTE

CAPITAL AMORTIZADO

r r Yr Ar Rr Mr

0 - - - 10.000,00 0,00

1 2.244,51 700,00 1.544,51 8.455,49 1.544,51

2 2.744,51 591,88 2.152,63 6.302,86 3.697,14

3 3.244,51 441,20 2.803,31 3.499,54 6.500,46

4 3.744,51 244,97 3.499,54 0,00 10.000,00

94

6. PRÉSTAMOS

COSTE DE UN PRESTAMO

Ejemplo 13. El Sr. MOROSO pide un préstamo a la CAJA VACIA conla siguientes condiciones: 5.000,00€ de nominal, a amortizaranualmente en 10 años a un tipo de interés del 8,00% (métodofrances). Además el préstamo lleva incluidos los siguientes gastos:comisión apertura 1,00%, comisión de estudio 0,25% y gastosnotario 100,00€.

La TAE de este préstamo es 8,28% y se calcula a partir de la formula:

El COSTE REAL para el cliente es del 8,74% y se calcula a partir de la formula:

TAE

TAE10

1115,74550,1200,5000,000.5

CR

CR10

1115,74500,10050,1200,5000,000.5

95

6. PRÉSTAMOS

EXTENSIONES

CARENCIA

TIPO VARIABLE

ASPECTOS COMERCIALES

ASPECTOS FISCALES

96

Oscar Elvira Benitooscar.elvira@upf.edu