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7/28/2019 Mecanica Dos Fluidos - Cap4
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FCTM Captulo 4Bombas, Turbinas e Perda de cargaProf. Dr. Cludio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br
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Equao da Energia e presena de uma
mquina:2 2
1 21 1 2 2
2 2
v vp g h p g h
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p v p v
h hg g 2 2
1 1 2 21 1 2 2
2 2
p v p vH h h H
g g
Se colocarmos uma mquina entre os pontos(1) e (2), escreveremos a relao como:
1 2MH H H
Se2 1 0MH H H Motor;
Se2 1 0MH H H Turbina.
Vazes:Definimos como:
Vazo em Peso:eso
g
PQ
t
Vazo em Massa:m
mQ
t
Vazo em Volume:V
Qt
Potncia de uma mquinaA potncia de uma mquina definida como:
mt
EP
t
m m esot
eso
E E PP
t P t
m
eso
EH
P
Como: esot
PP H
t
t
m gP H
t
t
V gP H
t
VQ
t
g
tP H Q
Rendimento de uma mquina:O Rendimento de uma mquina definido quanto
a sua natureza. Se a mquina for um motor:
BB
eixoB
P
P
B BeixoB eixoB
B B
P Q HP P
Se a mquina for uma turbina:T
T
fT
P
P
T T fT T T T P P P Q H
A equao de Bernoulli, quando h umamquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento dofluido se d de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,considerando que h uma perda de carga Hp12 (Energia
perdida por unidade de peso):h
h2 (2)
H2(p2, 2v
,h2)
M
H1(p1, 1v
,h1)
h1 (1)
121 2M pH H H H
SeHM> 0 Bombaot
P
BotP
Potncia da Bomba e rendimento:
B
otot B B
ot
PP QH
P
SeHM< 0 turbinaotP
TotP
Potncia da Turbina e rendimento:Tot
ot B T
ot
PP QH
P
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Equao da con tinu idade:
1 2 1 1 2 2m m V V
1 1 1 2 2 2v A v A
Para fluidos incompressveis:
1 1 2 2v A v A {2}
Equao de Bernoull i :2 2
1 21 1 2 2
2 2
v vp gy p gy
{3}
1 2H H
2 2
1 1 2 21 2
2 2
v p v pz z
g g
Substituindo {2} em {3}, a velocidade dadapor:
2
2
2q
H O
pv c
Com:2 4
1 1
2 2 4 4
1 2 1 2
q
A dc
A A d d
A vazo ser:
1 1 2 2Q A v A v
Equao da energia para fluido realNesse item ser retirada a hiptese de fluido
ideal; logo, sero considerados os atritos internos noescoamento do fluido. So mantidas as hipteses de
regime permanente, fluido incompressvel, propriedadesuniformes na seo e sem trocas de calor induzidas. Estaltima significa que no existe uma troca de calor
provocada propositalmente; no entanto, ao se consideraros atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginarque haver uma perda de calor do fluido para oambiente causada plos prprios atritos. Como servisto a seguir, a construo da equao da energia podeser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perdade calor.
Da equao de Bernoulli sabe-se que, se o fluidofosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8).
Se, no entanto, houver atritos no transporte dofluido, entre as sees (l) e (2) haver uma dissipao daenergia, de forma que H1> H2.
Querendo restabelecer a igualdade, sernecessrio somar no segundo membro a energia dissi-
pada no transporte.
121 2 pH H H
12pH : energia perdida entre (l) e (2) por unidadede peso do fluido.
Como12 1 2p
H H H e como H1 E H2 so
chamados cargas totais,12p
H denominado 'perda de
carga'.Se for considerada tambm a presena de uma mquina
entre (l) e (2), a equao da energia ficar:
121 2M pH H H H 12
2 2
1 1 2 21 2
2 2M p
v p v pz H z H
g g
Da Equao deve-se notar que, no escoamento de umfluido real entre duas sees onde no existe mquina, aenergia sempre decrescente no sentido do escoamento, isto ,a carga total a montante sempre maior que a de jusante,desde que no haja mquina entre as duas.
A potncia dissipada plos atritos facilmentecalculvel raciocinando da mesma maneira que para o clculoda potncia do fluido. A potncia dissipada ou perdida poratrito poder ser calculada por:
12diss pN QH Exemplos:
1. Um tubo admite gua ( = 1000 kg/m3) numreservatrio cuja vazo de 20 L/s. No mesmoreservatrio trazido leo ( = 800 kg/m3) por outrotubo com vazo de 10L/s. A mistura homogneaformada descarregada por um tubo cuja seo tem umarea de 30 cm2. Determinar a massa especfica damistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma.
33
120 20 10 mL
s sQ ;
33
2 10 10 10mL
s sQ
mQ Q 33
1 2 3 3 20 10 30 30 10mL
s sQ Q Q Q
1 2 3 1 2 3m m m a o mQ Q Q Q Q Q
31000 0, 02 800 0, 01 0, 03 933, 33kg
m m m
3933,33kg
m m
3
4
30 1010
30 10
m mm m m m s
QQ Av v v
A
10 mm sv 2. No tubo da figura, transporta-se ar. Na rea
da maior seo do tubo a rea vale 25 cm2, a densidade1,2 kg/m3 e a velocidade 10 m/s; no ponto de menorseo a rea vale 5 cm2, a densidade 0,8 kg/m3.Determine na menor seo a velocidade e as vazes emmassa, volume e em peso.
v
(1) (2)
1 2
1 1 11 1 1 2 2 2 2
2 2
m m
A vQ Q A v A v v
A
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33
2 2
1,2 25 1075
0,8 5ms
v v
34
2 2 2 2 25 10 75 0.0375ms
Q A v Q Q
2 2 2 2 20.8 0.0375 0.03kg
m m m sQ Q Q Q
2 2 2 29.81 0.03 0.29N
g m g g sQ gQ Q Q
Equao da energia para fluido realNesse item ser retirada a hiptese de fluido
ideal; logo, sero considerados os atritos internos noescoamento do fluido. So mantidas as hipteses deregime permanente, fluido incompressvel, propriedadesuniformes na seo e sem trocas de calor induzidas. Estaltima significa que no existe uma troca de calor
provocada propositalmente; no entanto, ao se consideraros atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginarque haver uma perda de calor do fluido para oambiente causada plos prprios atritos. Como servisto a seguir, a construo da equao da energia podeser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perdade calor.
Da equao de Bernoulli sabe-se que, se o fluidofosse perfeito.H1 =H2 .
Se, no entanto, houver atritos no transporte dofluido, entre as sees (l) e (2) haver uma dissipao da
energia, de forma que H1> H2.Querendo restabelecer a igualdade, ser
necessrio somar no segundo membro a energia dissi-pada no transporte.
121 2 pH H H
12p
H : energia perdida entre (l) e (2) por unidade
de peso do fluido.
Como12 1 2p
H H H e como H1 E H2 so
chamados cargas totais,12p
H denominado 'perda de
carga'.Se for considerada tambm a presena de uma
mquina entre (l) e (2), a equao da energia ficar:
121 2M pH H H H
12
2 2
1 1 2 21 2
2 2M p
v p v pz H z H
g g
Da equao deve-se notar que, no escoamento deum fluido real entre duas sees onde no existemquina, a energia sempre decrescente no sentido doescoamento, isto , a carga total a montante sempremaior que a de jusante, desde que no haja mquinaentre as duas.
A potncia dissipada plos atritos facilmente
calculvel raciocinando da mesma maneira que para oclculo da potncia do fluido. A potncia dissipada ouperdida por atrito poder ser calculada por:
12diss pN Q H
Equao de Bernoulli:2 2
1 21 1 2 2
2 2
v vp gh p gh
2 2
1 1 2 21 2 1 2
2 2
p v p vh h H H
g g
h
h2 (2)
H2(p2, 2v
,h2)
M
H1(p1, 1v
,h1)
h1 (1)
121 2M pH H H H
Nmeros Adimensionais
Nmero de ReynoldsExpressa a relao entre a fora de inrcia e a
fora de atrito.
R
vN
gg
g
R R
v vN N
gg
Quanto maior o nmero de Reynolds, tanto maiora influncia das foras de inrcia e a sua diminuiocorresponde um aumento das foras de viscosidade.
Nmero de FroudeExpressa a relao entre a fora de inrcia e a
fora de gravidade:2V
L
2V
L g
Nmero de WeberRelaciona a fora devida a presso e a fora de
inrcia:
2eu
pE
V
Nmero de Mach
Expressa a relao entre a raiz quadrada dafora de inrcia e a raiz quadrada da fora relativa dacompressibilidade do fluido:
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2
2ma
V
LMV
C
ma
VM C
C: velocidade do som.Regimes de escoamento
De acordo com o valor do nmero deReynolds, o escoamento de um lquido pode serclassificado em 3 tipos, conforme mostra a experinciade Reynolds-Hagens.
Na experincia, Reynolds-Hagens utilizaramum reservatrio com gua mantido nvel constante,alimentando um tubo transparente com uma vlvula.Um lquido corante foi introduzido no tubo, vindo deum reservatrio.
Abrindo-se gradualmente a vlvula,primeiramente a velocidade baixa e o lquido corantese mantm em faixas, com a perda de carga sendo
proporcional velocidade (h V).Nessas condies tem-se o regime laminar
que se d teoricamente para Re 2.000.Com o aumento da velocidade a perda de carga
proporcional ao quadrado da velocidade (h V2) e olquido corante comea a se ramificar, estabelecendo-seo regime dito de transio ou estado crtico que ocorre
para:2.000 < Re 4.000 .
Para velocidade altas o lquido corante mistura-
se completamente com a gua, devido ao aumento daturbulncia e a perda de carga proporcional aoquadrado da velocidade (h V2), estabelecendo oregime turbulentopara Re > 4.000.
Frmula fundamental para perda de carga
A figura mostra um regime de escoamentopermanente:
Aplicando-se a equao de Bernoulli:2 2
1 1 2 21 2
2 2
v p v py y h
g g
1 2v v
1 22 1
p ph y y
Para efeitos prticos, supe-se que a energiaconsumida para vencer as resistncias, que se opem aomovimento uma conseqncia do atrito do lquido
contra as paredes do conduto. Admitindo-se que olquido se deslize como um mbolo dentro da tubulao,verifica-se que a perda de carga ser proporcional rugosidade das paredes do conduto.
Considerando-se o prisma lquido entre assees 1 e 2 , com seo transversal constante e igual a
A e comprimentoL, sobre ele esto agindo a gravidade eas presses p1 e p2, nas referidas sees, sendoequilibradas pela resistncia oferecida pela parede.
Para se obter a equao geral da perda de carga,que uma energia perdida por unidade de peso, bastaescrever a equao de equilbrio das foras que agem no
prisma lquido.
1 21 2
p p R X Lh y yA
R: Tenso de atrito (N/m2).X: permetro.A: rea.L: comprimento.Verificou-se que a relao R/ funo da
velocidade. Assim:
2R b v
B: coeficiente experimental que depende da
rugosidade e tem origem no atrito. Tambm se constatouque:
8
fb
g
f: coeficiente de atrito.
Assim:2
8
R X L f v X Lh
A g A
A relao entre a rea molhada de um conduto
e o seu permetro conhecida como raio hidrulico
(Rh). Assim para um conduto forado e circular, tem-se:
h
AR
P
4h
R
A: rea molhada;P: permetro molhado.
: dimetro hidrulico.
Assim:2 4
8
f v Lh
g
Assim:
2
2
L vh f
g
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,Rf f NK
O valor do coeficiente de atritof, nas frmulasde perda de carga, dado por expresses que orelacionam com a rugosidade da parede, com as
propriedades do lquido e as dimenses do conduto,atravs do nmero de Reynolds.
Para a determinao do coeficiente de atrito,podem ser utilizadas as frmulas de: Prandtl; Blasius;Moody; Coolebrook e Nikuradse.
Rugosidade ou aspereza, da parede interna deconduto, pode ser determinada atravs de um aparelhodenominado rugosmetro, que mede a altura mdia dasasperezas da parede interna do tubo, representada pelaletra e.
Experincia de Nikuradse:
Nmero de Reynolds:
R
vN
gg
R
vN
g
Nikuradse realizou uma experincia que visoudeterminar como a funo f variava para condutos comrugosidade uniforme. Fixou valores de ,LDH, e nodispositivo indicado e, para diversas aberturas da vlvula(diferentes velocidades) encontrou os valores de p1 e p2indicados.
Efetuada a experincia, construiu um grfico def em funo do nmero de Reynolds e da razo:
HD
K
,Rf f NK
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A frmula geral da perda de carga foi deduzida,supondo que o prisma lquido se deslocasse no interiordo conduto, com velocidade v, atritando com as paredesdo mesmo. Essa hiptese no verdadeira, porque junto parede do conduto forma-se uma pelcula aderente eimvel de lquido. Assim o lquido que est em
movimento, no est em contato direto com a parede doconduto, mas com uma camada de lquido estacionria,que denominada camada limite ou laminar oulamelar ou de Prandtl.
Dessa maneira, os esforos tangenciais seoriginam pelo atrito entre duas camadas de lquido, umaestacionria e aderente a parede do conduto e outra emmovimento. Segundo Prandtl, a espessura da camadalimite, dada por:
32.8
RN f
Classificao dos condutos segundo a
camada limite:Comparando a rugosidade e com a
espessura da camada limite , um conduto pode serclassificado em: liso, de transio ou rugoso. Portantoum mesmo conduto, dependendo das condies deescoamento, pode ser classificado como liso, detransio ou rugoso.
Clculo do coeficiente de atrito fpara:A espessura da camada limite tal, que a
rugosidade do tubo no tem influncia na determinaodo coeficiente de atrito, que passa a ser funo donmero de Reynolds.
3e
Condutos lisos: Frmula de Blasius 100000
RN
0.250.316 Rf N Frmula de Prandtl
1 2 log 0.8RN ff
Frmula de Nikuradse0.237
0.0032 0.0021 Rf N
Condutos de transioA espessura da camada limite tal, que o
coeficiente de atrito funo da rugosidade e donmero
de Reynolds.8
3e
Frmula de Moody1
6 320000 100.0055 1
R
ef
N
Frmula de Coolebrook1 2 18.7
1.74 2 log
R
e
f N f
Condutos rugososA espessura da camada limite tal, que o
coeficiente de atrito funo somente da rugosidaderelativa.
8e
Frmula de Nikuradse2
1
2
1.74 2 ln
fe
Frmulas para clculo da perda de carga
Perda de carga distribuda: hdA perda de carga distribuda a que ocorre ao longo
do escoamento, na extenso do tubo.
Regime laminar: 2000R
N O regime laminar ou de Poiseuille,
caracterstico de escoamento com baixa velocidade,pequenos dimetros e lquidos muito densos.
Segundo Poiseuille:
2
32d
v Lh
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77
2
2
64
2d
v Lh
g
264d
R
L vh
N g
64
R
fN
2
d
L vh f
g
Regime turbulento:
4000R
N O regime turbulento ou hidrulico caracterstico
de escoamento com velocidades mdias e altas, grandesdimetros e lquidos com baixa viscosidade. o tipo deescoamento que mais ocorre.
Frmula geral para perda de cargahv C R J
J: perda de carga unitria (m/m).C: coeficiente de perda de carga.v: velocidade (m/s).
Rh: raio hidrulico (m). Frmula universal:
2
d
L vh f
g
Frmula de DarcyVlida para tubulao de FoFo (Ferro Fundido) e
0,05m 0,50m.
24 b vJ
b
Tubos Novos Usados
0,0002535 0,000507
0,00000647 0,00001294
Frmula de FlamantA frmula de Flamant foi muito utilizada,
devido a sua praticidade. Atualmente utilizada para oclculo de condutos de pequeno dimetro ( 100 mm),
principalmente para tubos de PVC em instalaesdomiciliares.
1.75 1.95
1 21.25 4.75
v QJ b J b
J: Perda de carga unitria (m/m).Q: vazo (m/s).v: velocidade (m/s).: dimetro da tubulao (m).
Tipos decondutos
b1 b2
Ferro Fundidoou ao
galvanizado emuso
0,00092 0,0014
Chumbo 0,00056 a 0,00062 0,00086 a 0,00095Ferro Fundidoou ao
galvanizadonovos
0,00074 0,00113
Frmula de Fair-Whipple-HsiaoUtilizada para clculo de condutos de pequeno
dimetro, nas instalaes domiciliares ( 50 mm).Para tubos de ao ou ferro galvanizado,
conduzindo gua fria:1.88
4.880.002021
QJ
Para tubos de cobre ou lato:2.71 0.5755.934Q J
(gua fria)2.71 0.5763.281Q J
(gua quente)
Frmula de Hazen-WilliamsVlida para tubulaes com 50 mm.
0.63 0.540.355v C J 1.852 1.852 4.8710.643J Q C
2.63 0.54
0.2785Q J : dimetro da tubulao (m)v: velocidade de escoamento (m/s)Q: vazo (m3/s)
J: perda de carga unitria (m/m)C: coeficiente de Hazen-Williams; tabelado em
funo do tipo e do estado da tubulao
Perda de carga localizada ou acidental: hL
Ocorre perda de carga localizada ou acidental,devido peas especiais, que so introduzidas nasinstalaes hidrulicas, com os seguintes objetivos:
- mudana de direo de escoamento (curva oucotovelo)
- derivaes (t)- cruzamentos de tubulaes (cruzetas)- mudanas de dimetro (ampliao ou reduo)- entrada e sada de reservatrio- bloqueio e ou controle de vazo (vlvula)- outrasA perda de carga localizada pode ser calculada por
dois mtodos: Frmula geral da perda de carga localizada
As perdas de carga singulares ocorrem quandoh perturbaes bruscas (vlvulas, cotovelos, etc.) noescoamento do fluido e so calculadas por expressesque envolvem anlise dimensional, dadas por:
2
2L s
vh K
g
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hL: perda de carga localizada (m).Ks: coeficiente de perda de carga localizada
(tabelado em funo da geometria da pea).v: velocidade de escoamento (m/s).
g: acelerao da gravidade (9,81 m/s2).
Singularidade Esquema Ks
Alargamento 1
2
1A
A
Caso limite1
Estreitamento1
2
A
A
Caso Limite 0.5
Cotovelo a 90 0.9
Vlvula de
gaveta
0.2 Totalmente aberta
Vlvula tipoglobo
10
Totalmente aberta
Vlvula de
reteno0.5
Rugosidade dos tubosMaterial Tubos novos e(m) Tubos usados
e(m)Ao galvanizado 0,00015 0,00020 0,0046
Ao rebitado 0,0010 0,0030 0,0060Ao revestido 0,0004 0,0005 0,0012Ao soldado 0,00004 0,00006 0,0024
Concreto bemacabado 0,0003 0,0010 -
Concreto ordinrio 0,0010 0,0020 -Ferro fundido 0,00025 0,00050 0,003 0,0050
Ferro fundido comrevestimento
asfltico
0,00012 0,0021
Fonte: Manual de Hidrulica, Azevedo NettoTabela - Valores aproximados do coeficienteK de perda localizada
Pea K Pea K
Ampliaogradual
0,30 (*) Juno 0,40
Bocais 2,75 MedidorVenturi
2,50 (**)
Comportaaberta
1,00 Reduogradual
0,15 (*)
Controlador devazo
2,50 Vlvula dengulo aberta
5,00
Cotovelo 90 0,90 Vlvula globoaberta
10,00
Cotovelo 45 0,40 Sada decanalizao
1,00
Crivo 0,75 T passagemdireta
0,60
Curva 90 0,40 T sada lateral 1,30Curva 45 0,20 T sada
bilateral1,80
Curva 22 1/2 0,10 Vlvula de p 1,75Entrada normalem canalizao
0,50 Vlvula dereteno
2,50
Entrada deborda
1,00 Vlvula gavetaaberta
0,20
Existncia depequenaderivao
0,03
* Com base na velocidade maior (menor dimetro)** Relativa velocidade na canalizaoFonte: Manual de Hidrulica, Azevedo Netto
Detalhes das vlvulas Vlvula Gaveta
Vlvula Globo
Vlvula de reteno
Mtodo do comprimento equivalente ou virtual:Leq
Consiste em transformar uma pea inserida em umainstalao hidrulica, para efeito de clculo, em um
comprimento de tubulao retilnea de mesmo dimetroe material da pea, de tal maneira que provoque amesma perda de carga que a pea provoca. Essecomprimento denominado comprimento equivalente(Leq) e tabelado em funo do dimetro, do material e
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da pea. Obtm-se o comprimento equivalente daseguinte maneira:
2
2L s
vh K
g
2
2
eq
L
L vh f g
seq
KL
f
Pea
Comprimentosequivalentesexpressos em
nmero dedimetro
Ampliao gradual 12Cotovelo 90 45
Cotovelo 45 20Curva 90 30Curva 45 15
Entrada normal 17Entrada de borda 35
Juno 30Reduo gradual 6
Vlvula gaveta aberta 8Vlvula globo aberta 350Vlvula ngulo aberta 170Sada de canalizao 35T passagem direta 20
T sada lateral 50T sada bilateral 65
Vlvula de p e crivo 250Vlvula de reteno 100
Fonte: Manual de Hidrulica, Azevedo Netto
Perda de carga totalA perda de carga total ser a soma das perdas
de cargas distribudas e localizadas:
T d Lh h h
Instalaes de racalque o conjunto de equipamentos que permite o
transporte e o controle do fluido. Compreende, emgeral, um reservatrio, tubos, singularidades, mquina eum reservatrio de descarga.
A tubulao vai desde o reservatrio de tomadaat a maquina denominada tubulao de suco.Geralmente contm uma vlvula de p com crivo naentrada (vlvula de reteno com filtro), objetivandoobstruir detritos na mquina e no permitindo o retornodo fluido ao desligar a bomba.
A tubulao que liga o reservatrio de descargachama-se tubulao de recalque e contm uma vlvulade reteno e um registro para o controle da vazo.
O objetivo dessas instalaes a seleo e a
determinao da potncia da mquina hidrulicainstalada.
Dimetro(mm)
Cotovelo90 RL
Cotovelo90 RM
Cotovelo90 RC
Cotovelo45
Curva90
RD = 1 1/2
Curva90
RD = 1
Curva45
EntradaNormal
Entradade borda
VlvulaGavetaaberta
13 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4 0,119 0,4 0,6 0,7 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,5 0,125 0,5 0,7 0,8 0,4 0,3 0,5 0,2 0,3 0,7 0,232 0,7 0,9 1,1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,238 0,9 1,1 1,3 0,6 0,5 0,7 0,3 0,5 1,0 0,3
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50 1,1 1,4 1,7 0,8 0,6 0,9 0,4 0,7 1,5 0,463 1,3 1,7 2,0 0,9 0,8 1,0 0,5 0,9 1,9 0,475 1,6 2,1 2,5 1,2 1,0 1,3 0,6 1,1 2,2 0,5100 2,1 2,8 3,4 1,5 1,3 1,6 0,7 1,6 3,2 0,7125 2,7 3,7 4,2 1,9 1,6 2,1 0,9 2,0 4,0 0,9150 3,4 4,3 4,9 2,3 1,9 2,5 1,1 2,5 5,0 1,1200 4,3 5,5 6,4 3,0 2,4 3,3 1,5 3,5 6,0 1,4
250 5,5 6,7 7,9 3,8 3,0 4,1 1,8 4,5 7,5 1,7300 6,1 7,9 9,5 4,6 3,6 4,8 2,2 5,5 9,0 2,1350 7,3 9,5 10,5 5,3 4,4 5,4 2,5 6,2 11,0 2,4
Dimetro(mm)
VlvulaGloboaberta
Vlvulanguloaberta
Tpassagem
direta
T sadalateral
T sadabilateral
Vlvulade p ecrivo
Sada dacanalizao
Vlvulade
retenotipo leve
Vlvulade
retenotipo
pesado13 4,9 2,6 0,3 1,0 1,0 3,6 0,4 1,1 1,619 6,7 3,6 0,4 1,4 1,4 5,6 0,5 1,6 2,425 8,2 4,6 0,5 1,7 1,7 7,3 0,7 2,1 3,232 11,3 5,6 0,7 2,3 2,3 10,0 0,9 2,7 4,038 13,4 6,7 0,9 2,8 2,8 11,6 1,0 3,2 4,850 17,4 8,5 1,1 3,5 3,5 14,0 1,5 4,2 6,463 21,0 10,0 1,3 4,3 4,3 17,0 1,9 5,2 8,1
75 26,0 13,0 1,6 5,2 5,2 20,0 2,2 6,3 9,7100 34,0 17,0 2,1 6,7 6,7 23,0 3,2 8,4 12,9125 43,0 21,0 2,7 8,4 8,4 30,0 4,0 10,4 16,1150 51,0 26,0 3,4 10,0 10,0 39,0 5,0 12,5 19,3200 67,0 34,0 4,3 13,0 13,0 52,0 6,0 16,0 25,0250 85,0 43,0 5,5 16,0 16,0 65,0 7,5 20,0 32,0300 102,0 51,0 6,1 19,0 19,0 78,0 9,0 24,0 38,0350 120,0 60,0 7,3 22,0 22,0 90,0 11,0 28,0 45,0
Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal Silvestre;Obs.: RL = Raio Longo RM = Raio Mdio RC = Raio CurtoDimetro mm
Joelho90
Joelho45
Curva90
Curva45
T 90passagem
direta
T 90sadalateral
T 90sada
bilateral
Entradanormal
Entradade
borda
Sada dacanaliza
o20 1,1 0,4 0,4 0,2 0,7 2,3 2,3 0,3 0,9 0,825 1,2 0,5 0,5 0,3 0,8 2,4 2,4 0,4 1,0 0,932 1,5 0,7 0,6 0,4 0,9 3,1 3,1 0,5 1,2 1,3
40 2,0 1,0 0,7 0,5 1,5 4,6 4,6 0,6 1,8 1,450 3,2 1,3 1,2 0,6 2,2 7,3 7,3 1,0 2,3 3,260 3,4 1,5 1,3 0,7 2,3 7,6 7,6 1,5 2,8 3,375 3,7 1,7 1,4 0,8 2,4 7,8 7,8 1,6 3,3 3,585 3,9 1,8 1,5 0,9 2,5 8,0 8,0 2,0 3,7 3,7110 4,3 1,9 1,6 1,0 2,6 8,3 8,3 2,2 4,0 3,9140 4,9 2,4 1,9 1,1 3,3 10,0 10,0 2,5 5,0 4,9160 5,4 2,6 2,1 1,2 3,8 11,1 11,1 2,8 5,6 5,6
Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal SilvestreDimetro
externo mmVlvula de p e
crivoVlvula de
reteno tipoleve
Vlvula dereteno tipo
pesado
Vlvula globoaberta
Vlvula gavetaaberta
Vlvula nguloaberta
20 8,1 2,6 3,6 11,1 0,1 5,925 9,5 2,7 4,1 11,4 0,2 6,132 13,3 3,8 5,8 15,0 0,3 8,440 15,5 4,9 7,4 22,0 0,4 10,5
50 18,3 6,8 9,1 35,8 0,7 17,060 23,7 7,1 10,8 37,9 0,8 18,575 26,0 8,2 12,5 39,0 0,9 19,085 26,8 9,3 14,2 40,0 0,9 20,0110 28,6 10,4 16,0 42,3 1,0 22,1140 37,4 12,5 19,2 50,9 1,1 26,2160 43,4 13,9 21,4 56,7 1,2 28,9
Fonte: Hidrulica Geral, Paschoal Silvestre
Exemplos:l. Na instalao da figura, verificar se a mquina
uma bomba ou uma turbina e determinar a suapotncia, sabendo que seu rendimento 75%. Sabe-seque a presso indicada por um manmetro instalado na
seo (2) 0,16 MPa, a vazo l0 L/s, a rea da seodos tubos l0 cm2 e a perda de carga entre as sees (l)e (4) 2 m.
No dado o sentido do escoamento,
2
4 310H O N m ; g = 10 m/s2.
SoluoDeve ser notado, inicialmente, que a seo (4) o
nvel do reservatrio inferior sem incluir a parte internado tubo, j que nesta no se conhece a presso.
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Sabe-se que o escoamento acontecer no sentidodas cargas decrescentes, num trecho onde no existemquina. Para verificar o sentido, sero calculadas ascargas nas sees (l) e (2).
2
1 11 1 0 0 24 24
2
v pH z m
g
22 2
2 22
v pH z
g
3
2 4
10 1010
10 10
Qv m s
A
2
2 22 2
2
v pH z
g
2 6
2 4
10 0,16 104 25
2 10 10H m
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento
ter o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma,sendo a mquina, portanto, uma bomba.Aplicando-se a equao da energia entre as sees
(4) e (1), que compreendem a bomba.Lembrar que a equao deve ser escritano sentido do escoamento.
144 1B pH H H H
2
4 44 4
2
v pH z
g
1 24H m
4 0H 14 2pH
141 424 0 2 26B pH H H H
4 310 10 10 263470 3, 47
0,75BB
ot
B
QHP W kW
2. No escoamento lamelar de um fluido emcondutos circulares, o diagrama de velocidades representado pela equao:
2
max 1r
v r vR
onde vmax
a velocidade no eixo do conduto, R o raio do conduto e r um raio genrico para o qual avelocidade v genrica. Sendo vm a velocidade mdia:
0
12
R
mv v r dA dA r dr
A
A figura mostra a variao de v(r) com r.
(a) Encontre a velocidade mdia:
A
A
v r dA
vdA
(b) Mostre que:
max
1
2mv
v
3. No escoamento turbulento de um fluido emcondutos circulares, o diagrama de velocidades dado
pela equao:
1 7
max1
rv r v
R
Mostre que:
max
49
60mv
v
4. Na instalao da figura, a mquina umabomba e o fluido gua. A bomba tem uma potncia de5 kW e seu rendimento 80 %. A gua descarregada atmosfera com uma velocidade de 5 m/s pelo tubo cujarea de seo 10 cm2 Determinar a perda de carga dofluido entre (1) e (1) e a potncia dissipada ao longo datubulao. Dados: H2O=10
4N/m3; g = 10m/s2.
(1)
5m(2)
B
Soluo:121 2B p
H H H H 2
1 11 1 10 0 5 5
2
v pH z H m
g
2 22 2
2 2
50 0
2 2 10
v pH z
g
21.25H m
BB
B
Q HP
B B B B
B B
P PH Q v A H
Q v A
3
4 4
0.8 5 10
10 5 10 10BH
80BH m
121 2B p
H H H H
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1212
12 1 2p BH H H H
125 1.25 80pH
1283.75pH m
1,2diss p
P Q H 410 5 10 83.75dissP
4190diss
P W
4.19diss
P kW
5. A equao de Bernoulli, quando h umamquina entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento dofluido se d de (1) para (2) pode ser reescrita da forma,considerando que h uma perda de carga Hp12 (Energia
perdida por unidade de peso) de 3m :
h
h2 (2)
H2(p2, 2v
,h2)
M
H1(p1, 1v
,h1)
h1 (1)
121 2M pH H H H
SeHM> 0 Bomba
otP
BotP
Potncia da Bomba e rendimento:
B
otot B B
ot
PP QH
P
SeHM< 0 turbinaotP
TotP
Potncia da Turbina e rendimento:Tot
ot B T ot
P
P QH P Considere que no h perda de carga (Hp12=0)
na figura abaixo:(1) (2)
24 m5 m
Considere o reservatrio grande fornecendogua para o tanque a 10L/s. Verifique se a mquina
instalada bomba ou turbina e determine sua potncia,se o seu rendimento de 75%. Supor fluido ideal.Dados:Atubos = 10 cm
2; g = 10m/s2; a=104N/m3.
6. Na instalao da figura, verificar se a mquina uma bomba ou uma turbina e determinar a sua
potncia, sabendo que seu rendimento 70%. Sabe-seque a presso indicada por um manmetro instalado naseo (2) 0,17 MPa, a vazo l2 L/s, a rea da seodos tubos l0 cm2 e a perda de carga entre as sees (l)e (4) 2 m.
No dado o sentido do escoamento:
2
4 310H O N m ; g = 10 m/s2.
Soluo:2
1 1
1 1 0 0 24 242
v p
H z mg 3
2 4
12 1012
10 10
Qv m s
A
2
2 22 2
2
v pH z
g
2 6
2 4
12 0,17 104 27.2
2 10 10H m
ComoH2>H1, conclui-se que o escoamento ter osentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo amquina, portanto, uma bomba.
Aplicando-se a equao da energia entre as sees(4) e (1), que compreendem a bomba.
Lembrar que a equao deve ser escritano sentido do escoamento.
M
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144 1B pH H H H
2
4 44 4
2
v pH z
g
124H m
4 0H 14 2pH
141 424 0 2 26
B pH H H H
4 310 12 10 264457.14 4.457
0,70BB
ot
B
QHP W kW
7. Quais so as vazes de leo em massa e em pesodo tubo convergente da figura, para elevar uma colunade 20 cm de leo no ponto (0)?
80 mm 40 mm
20 cm
(0) (1) Soluo:
2 2
0 0 1 10 1
2 2
v p v pz z
g g
0 0.2p
22
0 01
2 2
v pv
g g
2 2
1 00.2 20v v
2 2
1 04v v
0 0 1 1A v A v
2 2
0 10 1
4 4
D Dv v
2 2
0 1 1 080 40 44 4
v v v v
2 2
0 0 016 4 0.52
mv v v
s
2
0 04
Q D v
20.08 0.524
Q
3
0.0026 2.6m l
Q Qs s
mQ Q
mQ Qg
80000.0026
10mQ
2.1mkg
Qs
g mQ g Q
21gQ N s
8. Na extremidade de uma tubulao de dimetro D,acha-se instalado um bocal que lana um jato de gua naatmosfera com dimetro de 2 cm. O manmetrometlico registra uma presso de 20 kPa e a gua sobeno tubo de Pitot at a altura de 2.5 m. Nessas condies,determinar:
(a) A vazo em peso do escoamento.(b) O dimetro D do tubo admitindo escoamento
permanente e sem atrito. a = 10 N/L
D
(1) (2)
Soluo:(a)
2
22 22 7.07
2
ms
vh v g h v
g
2
2 24
gQ D v
4 210 0.02 7.074
gQ
22.2gN
Qs
(b)
2 2
1 1 2 21 2
2 2v p v pz zg g
2 2
1 2 1
2 2
v v p
g g
2 2 3
114
7.07 20 103.16
2 2 10 10ms
vv
g
2 2
1 21 2
4 4
D Dv v
2
1 21
vD D
v
13D cm
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1414
9. Um dos mtodos para se produzir vcuo numacmara descarregar gua por um tubo convergente-divergente, como mostrado na figura. Qual deve ser avazo em massa de gua pelo convergente-divergente
para produzir uma depresso de 22 cm de mercrio nacmara da figura? Dados: desprezar as perdas de carga.
2
4
310
H ONm
; 53
1.36 10Hg
Nm
210
mg
s
172D mm
236D mm
Cmarapatm
(1) (2)
Soluo:5
2 2 1.36 10 0.22Hgp h p
229920p Pa
2 21 1 2 2
1 2
2 2
v p v pz z
g g
2 2 22 1
2p
v v g
2 2
2 1 4
2992020
10v v
2 2
2 1 59.84v v
1 1 2 2A v A v
2 2
1 21 2
4 4
D Dv v
2 14v v
1 2ms
v
mQ Qg
1 1mQ A v
g
2
11
4m
DQ v
g
4 210 0.0722
10 4m
Q
8.14kg
m sQ
10. Desprezando os atritos do pisto da figura,determinar:
(a) a potncia da bomba em kW se seu rendimentofor 80%.
(b) a fora que o pisto pode equilibrar a haste.
H2O
Dados: A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 10 cm2
AG = 8 cm2; Ap = 20 cm
2; AH = 10 cm2
Hp1,2 = Hp1,4 = 0.5 m; Hp4,5 = 0.
Soluo:(a)
1,6
22
6 61 11 6
2 2B p
v pv pz H z H
g g
1,6
2
61
2B p
vz H H
g
1,6
26
12
B p
vH H z
g
2102 4
20B
H
3B
H m
6 6Q A v
410 10 10Q 3
0.01m
Q
s
BB
B
Q HP
410 0.01 3
0.80B
P
375B
P W (b)
4 p G p H p A p A A F
4 p G p H F p A p A A
4,6
226 64 4
4 62 2
p
v pv pz z H
g g
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4,6 4,6
44p p
pH p H
4 4
4 410 1 10p p Pa 22
4 4
42 2
G G
G
v pv p
z zg g
2 2
44
2
G Gp v vp
g
G G G
G
QQ A v v
A
4
0.01
8 10Gv
12.5Gm
v
s
2 2
44
2
G Gp v vp
g
4 2 2
4 4
10 10 12.5
10 10 20
Gp
41.81 10Gp Pa
4 p G p H F p A p A A
4 4 4 4 410 20 10 1.81 10 20 10 10 10F
38.1F N 11. Sabendo que a potncia da bomba 3 kW, seu
rendimento 75 % e que o escoamento de (1) para (2),determinar:
(a) a vazo.(b) a carga manomtrica da bomba.(c) a presso do gs.Dados:
3A5 = A4 = 100 cm2
Hp1,2 = Hp5,6 = 1.5 m; Hp1,4 = 0.7m.
2
4
310H O
N
m
Gs(6)
4m(2) (3) (4) (5)
B
2mh = 0.8m
(1)F =1.2.105N/m3
(H2O)
Soluo:(a)
22
5 54 44 5
2 2
v pv pz z
g g
2 2 4 55 4
2p p
v v g
Equao manomtrica:
4 5 Fp p h
5 4
4 5 1.2 10 10 0.8p p 4
4 5 8.8 10p p Pa 4
2 2
5 4 4
8.8 102 10
10v v
2 2
5 4176v v
4 4 5 5A v A v
5 4 5 53 A v A v
5 43v v
2 2 2 2
4 4 4 43 176 9 176v v v v
4 4
1764.7
8
mv v
s
4
4 4 4 4 100 10 4.7Q A v Q
3
40.047
mQ
s
(b)
BB
B
Q HP
B BB
PHQ
3
4
3 10 0.75
10 0.047BH
4.8BH m (c)
1,6
22
6 61 11 6
2 2B p
v pv pz H z H
g g
1,6 1,6
6 66 6B p B p
p pH z H H z H
1,6 1,6
6 66 6B p B p
p pH z H H z H
1,66 6B p
p H z H
1,6 1,2 3,4 5,6p p p pH H H H
1,6
1.5 1.5 0.7pH
1,63.7pH m
46 10 4.8 6 3.7p 4
6 4.9 10p Pa 4
6 4.9 10p Pa
649p kPa
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12. Dado o dispositivo, calcule a vazo de
escoamento de gua no conduto.2 2
1 1 2 21 2
2 2
v p v pz z
g g
2 21 2 2 1
2p p v v
g
1 2 mp p h
4 41 2 6 10 1 10 0.2p p 2
1 2 1 10p p Pa 2 2
1 2 2 1
2
p p v v
g
1p h
4
13.8 10p Pa
2
1 2 1 10p p Pa 2
20p kPa 3 2
120 10 1 10p
1 20100p Pa
1
2 pv
1 1 2 2A v A v
13. Determinar a perda de carga por km de
comprimento de uma tubulao de ao de seo circularde dimetro 45 cm. O fluido leo com viscosidade
cinemtica = 1.06.10-5 m/s e a vazo 190 L/s. Soluo:
Tubulao de ao: k= 4.6.10-5m.D =DH = 0.45m
QQ A v v
A
3
2
4 4 190 10
0.45
Qv
D
1.19m
vs
Nmero de Reynolds:
R
vN
R
vN
g
H
R
v DN
5
1.19 0.45
1.06 10R
N
45 10RN
2
2f
H
L vh f
D g
Tubulao de ao:K= 4.6.10-5m
4
5
0.45
104.6 10K K
A funofdeve ser calculada no ponto:
4 45 10 , 10R
f f NK
0.021f 21000 1.19
0.0210.45 2 10
fh
3.3fh m 14. Calcular a vazo num conduto de ferro
fundido, sendo dados D = 10 cm, = 0.7.10-6 m/s esabendo que os dois manmetros instalados a umadistncia de 10m indicam, respectivamente, 0.15MPa e0.145 MPa. Dado: a = 10
4N/m.
p1 p2
(1) L = 10 m (2)
Soluo:1 2
1,2
p ph
61,2 1,24
0.15 0.145 100.5
10h h m
2
2L
H
L vh f
D g
2 L Hg h Dvf L
2
2 L Hg h Df
v L
Nota-se que o valor def funo de:
, HRD
f f N fK
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1717
Calculando:
RN fH
R
v DN
2
2H L H
R
v D g h DN f
v L
2H L HR
D g h DN f
L
6
0.1 2 10 0.5 0.1
0.7 10 10RN f
44.5 10R
N f
4
0.1
3852.59 10
H H HD D D
K 44.5 10 , 385HR
Df f N f
K
44.5 10 , 385 0.027HRD
f f N fK
2 L Hg h Dvf L
2 10 0.5 0.11.92
0.027 10
mv v
s
Note que podemos azer:
H RR
H
v D NN v
D
5 6
2.8 10 0.7 101.96
0.1
mv v
s
O primeiro resultado de maior confiabilidade,
pois a leitura def mais precisa, pela escala utilizada.Assim:
2
4
DQ A v Q v
20.11.92
4Q
321.51 10
mQ
s
15.1L
Qs
15. Calcular o dimetro de um tubo de ao quedever transportar uma vazo de 19L/s de querosene
(viscosidade cinemtica: = 3.10-6 m/s) a umadistncia de 600 m, com uma perda de carga de 3m.
Soluo:
2
2L
H
L vh f
D g
2
2 5 2
4 8L
Q L Qv h f
D D g
2
52
8
L
f L QD
h g
1a tentativa: Adotando-sef1 = 0.02
2
15
1 2
8
L
f L QD
h g
2
3
5
1 2
8 0.02 600 19 10
3 10D
1 0.164D m 3
1 1 12 2
1
4 4 19 100.9
0.164
Q mv v v
D s
1 1 1
41
6
0.9 0.1644.92 10
3 10R R R
v DN N N
1
5
0.1643.56
4.6 10
HD D
2a tentativa: Adotando-sef2 = 0.0232
252 2
8
L
f L QD h g
2
3
5
2 2
8 0.023 600 19 10
3 10D
2 0.165D m Veja que no h variao significativa no
nmero de Reynolds e na razo D/ dimetro commudanas no dimetro. Assim:
0.165D m
16. Na instalao da figura, a bomba B recalcaa gua do reservatrio R1 para o reservatrio R2, ambosem nvel constante. Desprezando as perdas de cargasingulares, calcule:
(a) A vazo da tubulao.(b) A potncia na bomba em kW quando o
rendimento 75%.(2) R2
10 mR1
(1)
B
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Soluo:(a) Como as perdas singulares so
desprezveis:2
2
L
H
L vh f
D g
2 L Hg h Dvf L
2H L HR
D g h DN f
L
2 2
6
10 10 2 10 10 10 4
1 10 50R
N f
44 10R
N f
2
4
10 10 4002.5 10
H HD D
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
44 10 , 400 0.025HRD
f f N fK
2 L Hg h Dvf L
22 10 10 10 4
2.550.025 50
mv v
s
2
4
DQ A v Q v
210 102.55
4Q
3320 10
mQ
s
20L
Qs
(b) Montando a equao da energia entre (1) e(2) teremos:
1,21 2B pH H H H
1,22 1B pH H H H
2 12 1 2 1
p pH H z z
2 1 2 1H H z z
2 1 10H H m
1,2
2
2p L
H
L vH h fD g
1,2
250 2.55
0.0250.1 2 10
p LH h
1,2
250 2.55
0.025 4.0640.1 2 10
p LH h m
1,22 1B pH z z H
10 4 14BH m 4 310 20 10 14
0.73e eB
B B
B
Q HP P
3.8eB
P kW 17. Dada a tubulao na figura, cuja seo (2)
est aberta atmosfera, calcular:(a) a perda de carga entre as sees (1) e (2).(b) a vazo em volume.Sabe-se que o escoamento laminar.Dados: = 9.103N/m; = 0.5.10-m/s;
L12 = 30m;D = 15 cm;p1 = 32.8 kPa.
p1
D
(1) L12 (2)
Soluo:1,21 2 p
H H H
1 21 2 1 2
p pH H z z
12
11 2p
pH H H
12 12
3
1 2
32.8 103.64
9000
p pH H H H m
1,2
2
2p L
H
L vH h f
D g
Como o escoamento laminar:
64
R
fN
1,2
264
2p L
R H
L vH h
N D g
1,2
264
2p L
H H
L v
H h v D D g
1,2 2
64
2p L
H
v LH h
g D
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22
64
L Hh g DvL
42
256L Hh g DQ A v Q
L
30.1LQs
18. No trecho (1) (5) de uma instalaoexistem: uma vlvula de gaveta (2), uma vlvula tipoglobo (3) e um cotovelo (4). Sendo a tubulao de aode dimetro 2 (5cm), determinar a perda de carga entre(1) e (5) sabendo que a vazo 2L/s e que ocomprimento da tubulao entre (1) e (5) 30 m.
Dado: = 10-6m/s.
Soluo:O comprimento das singularidades
desprezado e supe-se que a perda de cargadistribuda seja devida a 30 m de tubulao.
Assim:
1,5 1,5 2 3 4p f s s sH h h h h
Da tabela de um fabricante, obtm-se:Vlvula gaveta (2):Leq2 = 0.335mVlvula tipo globo (2):Leq3 = 17.61 mCotovelo (2):L
eq4= 3.01 m.
Tudo se passa como se a tubulao tivesse umcomprimento de:
(2) (3) (4)real eq eq eqL L L L L
30 0.335 17.61 3.01L 51L m
2
2f
H
L vh f
D g
A velocidade ser:2
2
4
4
H
H
D QQ A v Q v v
D
3
22
4 2 101
5 10
mv v
s
2
6
1 5 10
10
HR R
v DN N
45 10RN Para ao:
54.6 10k m 2
5
5 101090
4.6 10
H H HD D D
k
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
45 10 , 1090 0.025HR
Df f N
k
2
2
51 10.025
5 10 2 10fh
1.28fh m
19. Sendo a pressop8 mantida igual a 532 kPaconstante, determinar a potncia da bomba derendimento 0.7 e a presso de entrada dela se a vazo for40 L/s. Dados:Tubos de ferro galvanizado:
K= 0.15.10-3m;ks1 = 15; ks2 = ks6 = 10; ks7 = 1; ks4 = 0.5;
pvH2O = 1.96 kPa (abs.); = 104 N/m; = 10-6 m/s;
patm = 101 kPa
Soluo:Nota-se que os dimetros da suco e do
recalque so diferentes. Portanto, o clculo das perdas
dever ser feito separadamente. Se os dimetros fossemos mesmos, poderamos efetuar o clculo diretamenteentre as sees (0) e (8).
0,80 8B pH H H H
Assumindo o PHR no nvel (0), tem-seH0 = 0.
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0,8 0,8
2 3
8 88 8 4
532 100 7.5
2 10p p
v pH k z H
g
0,860.7
pH m
0,8 S R S Rp f f s sH h h h h
Suco: 2
2
4
4
HS S S
H
D QQ A v Q v v
D
3
22
4 40 102.26
15 10
mv v
s
2
6
2.26 15 10
10
HR R
v DN N
53.4 10R
N
Perda distribuda:2
3
15 101000
0.15 10
H H HD D D
k
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
43.4 10 , 1000 0.021HS R
Df f N
k
2
2SS
S Sf S
H
L vh f
D g
2
2
12 2.26
0.02115 10 2 10Sfh 0.43
Sfh m
Perda singular:
1 2 3
2 2 2
2 2 2SS S S
s s s s
v v vh k k k
g g g
1 2 3
2
2SS
s s s s
vh k k k
g
22.26
15 0.9 10
2 10Ss
h
6.61Ss
h m
0.43 6.61 7.04e f Sp s s
h h h m Recalque:
2 215
2.2610
SR S R
R
Dv v v
D
5.1Rm
vs
Perda distribuda:
2
6
5.1 10 10
10
HR R
v DN N
55.1 10RN
2
3
10 10666
0.15 10
H H HD D D
k
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
55.1 10 , 666 0.023HR R
Df f N
k
2
2RR
R Rf R
H
L vh f
D g
2
2
36 5.10.023
10 10 2 10Rfh
10.8Rf
h m Perda singular:
4 5 6 7
2 2 2 2
2 2 2 2RR R R R
s s s s s
v v v vh k k k k
g g g g
4 5 6 7
2
2RR
s s s s s
vh k k k k
g
25.1
0.5 10 0.9 12 10R
sh
16.1Rs
h m
5,810.8 16.1 26.9
R Rp s sH h h m
A perda total na instalao ser:
0,8 0, 5,87 26.9 33.9
ep p pH H H m
0,80 8B pH H H H
0,88 0B pH H H H
60.7 33.9 0BH
94.6BH m A potncia da bomba ser:
BB
Q HP
4 310 40 10 94.6
0.7B
P
54BP kW Presso na entrada:Aplicando a equao da energia entre (0) e (e):
0,0 eM e pH H H H
0,0 0
ee pH H
0,
2
02 e
e ee p
v pz H
g
0,
2
2 ee
e e p
vp z H
g
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2121
24 2.2610 0.5 7
2 10e
p
77.5ep kPa
77.5 101abs abse e atm e
p p p p kPa kPa
23.5abse
p kPa
23.5 1.96abse v
p kPa p kPa Logo, a tubulao est bem dimensionada.
20. gua escoa num conduto que possui doisramais de derivao. O dimetro do conduto principal 15 cm e os das derivaes so 2.5 cm e 5 cm,respectivamente. O perfil de velocidades no conduto
principal :
1
2
max
1
1r
v r vR
e nas derivaes:
2,3
1
7
max
2,3
1r
v r vR
Se vmax1 = 0.02 m/s e vmax2 = 0.13 m/s,determinar a velocidade mdia no tubo de 5 cm dedimetro.
(3)
5cm
15cm
(1)2.5cm
(2)
Soluo:1 2 31 2 3 1 2 3m m m
Q Q Q A v A v A v
1 2 3
22 2
31 2max max max
1 49 49
4 2 4 60 4 60
dd dv v v
1 2 3
2 2 2
max max max
15 1 2.5 49 5 49
4 2 4 60 4 60v v v
3max
225 306.25 12250.02 0.13
8 240 240v
3max0.5625 0.17 5.1 v
3max0.07696 mv
s
3
3
3max
49 490.07696
60 60
m
m
vv
v
30.0628
m
mv
s
21. O esquema a seguir representa um canalcom 25 cm de largura. Admitindo escoamentobidimensional e sendo o diagrama de velocidades dadopor:
230v y y ondey est em cm e v em cm/s. Determinar a velocidademdia na seo.
vm = 66.7 cm/s
Exemplos resolvidos1. Determinar a vazo de gua no tubo Venturi,
mostrado na figura abaixo, sabendo-se que a diferenade presso entre os pontos A e B igual a 5.286kgf/m.
Resp.: Q = 172 L/s
Soluo:A BH H
2 2
2 2
A A B BA B
v p v py y
g g
A A B BA v A v 2 2
4 4
A BA Bv v
2
2
BA B
A
v v
2
2
150
300A Bv v 1
44A B B Av v v v
2 2
2 2
A A B BA B
v p v py y
g g
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2222
2 2
2
A B B AB A
p p v vy y
g
2 2
4
45286 100.75
10 2 9.81
A Av v
2 2165.286 0.75
19.62
A Av v
219.62 5.286 19.62 0.75 15 Av 2103.711 14.715 15
Av
2 103.711 14.715 88.996
15 15A Av v
2.436A
mv
s
A AQ A v
2
4
AAQ v
20.32.436
4Q
3
0.1722m
Qs
10000.1722
LQ
s
172.2L
Qs
2. Calcular a presso relativa no incio do dutode 250mm de dimetro e a altura h de gua, sabendo-se que a vazo de 105 L/s e descarrega na atmosfera.
Resp.: p1 = 0,350 kgf/cm2 h = 3,73 m
(A)
(C) (B)
Soluo:2 2
2 2
A A B BA B
v p v py y
g g
220 0 00 2
2 2
BB
vh v g h
g g
2 2
2 2
C C B BC B
v p v py y
g g
3
105 0.105C C B BL m
A v A v s s 2 2
4 4
C BC Bv v
2
2
BC B
C
v v
2
2
125
250C Bv v
1 44
C B B C v v v v
2 2
4
4
C C
C C
Q Qv v
2
4 0.1052.139
0.250C C
mv v
s
4 4 2.139 8.556B C B B
mv v v v
s
2 2
00 02 2
C C Bv p vg g
2 2
4
2.139 8.556 00 0
2 9.81 10 2 9.81
Cp
40.233196 3.731148
10
Cp
43.731148 0.233196
10
Cp
34979.53C
p Pa
2 4 2
11 1
9.81 10
N kgfPa
m cm
20.35C
kgfp
cm
2
22
BB
vv g h h
g
28.556
2 9.81h
3.7311h m
3. Sabe-se que, no sistema abaixo, as presses
relativas nos pontos A eB so respectivamente 1,5 e-0,35 kgf/cm2 e a vazo de gua igual a Q = 0,21 m3/s.Determinar a potncia real da turbina, para rendimentode 60%.
Resp.: PrT = 33,5 cv
Soluo:
2
3 4 3
2 3 39.81 10 10 10H O
N N kgf
m m m
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2323
A B TH H H 2 2
2 2
A A B BA B T
v p v py y H
g g
A A B B
A v A v
2 2
0.214 4
A BA BQ v v
2 2300 6004
4 4A B A Bv v v v
4
2 21 9.81 10
kgf N
cm m
2 20.3 0.6
0.214 4
A Bv v
2
4 0.212.97
0.3A A
mv v
s
2.97
0.7434 4
AB B B
v mv v v
s
2 2
2 2
A A B BA B T
v p v py y H
g g
42 4 2
3 3
0.35 9.81 102.97 1.5 9.81 10 0.7431
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10TH
0.44959 15 1 0.028137 3.5 TH
16.44959 3.471863 TH
19.921453TH m
T T TP Q H 30.6 9.81 10 0.21 19.921453TP
24624.11TP W1 735 1 1.014cv W HP CV
24624.1133.5
735T TP W P cv
4. Calcular a potncia real da turbina (T =70%) e as presses relativas nos pontos 1 e 2, dosistema mostrado na figura abaixo.
Resp.: PrT = 38 cv p1 = 2,99 kgf/cm2 p2 = 0,481kgf/cm2
Soluo:
2
3 43
9.81 10 10H O Nm
2 2 3 3Q A v A v
22
322 3
4 4v v
2 2
32 3 22 2
2
1509.15
250v v v
2 3.294mvs
2 3H H 22
3 32 22 3
2 2
v pv py y
g g
2 2 4
2
3 3
3.294 9.15 0.5 9.81 100 6.1
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
p
2
30.553029 4.2672 5 6.1
9.81 10
p
2
35.3672 0.553029
9.81 10
p
2 24814.17
kgfp
m
1 2
2 2 1 1 2 1 3.294m
Q A v A v v vs
0 1H H 2 2
0 0 1 1
0 12 2
v p v p
y yg g 2 2
1
3
0 0 3.39430.5 0
2 2 9.81 9.81 10
p
g
1
330.5 0.58711
9.81 10
p
31 30.5 0.58711 9.81 10p
1 293445.4509p Pa
1 4 2
1293445.4509
9.81 10
kgfp
cm
1 22.99
kgfp
cm
1 2TH H H 2 2
1 1 2 21 2
2 2T
v p v py H y
g g
2 2
2 2 1 12 1
2 2T
v p v pH y y
g g
2 2
1 1 2 2
1 22 2T
v p v pH y y
g g
1 2T
p pH
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2424
3
293445.4509 47227.007
9.81 10T
H
25.1328T
H m
T T TP Q H
3 3Q A v 23
34
Q v
20.159.15
4Q
3
0.16169m
Qs
30.7 9.81 10 0.16169 25.13TP 27902.47
TP W
1 735 1 1.014cv W HP CV 27902.47
37.96735
T TP W P cv
5. Calcular a potncia terica da bomba, nosistema mostrado na figura abaixo, sabendo-se que as
presses relativas nos pontos 1, 2 e 3 sorespectivamente: -2.290 kgf/m; 15.000 kgf/m e 11.220kgf/m.
Resp.: PtB = 7,9 cv
Soluo:2 2 1 1 3 3
Q A v A v A v 22 2
31 21 2 3
4 4 4v v v
2 2
12 1 2 1 2 12 2
2
3004
150
v v v v v v
2 21
3 1 3 1 3 12 2
3
30018.367
70v v v v v v
2 3H H 22
3 32 22 3
2 2
v pv py y
g g
2 2
1 1
3 3
4 18.36715000 9.81 11220 9.81
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10
v v
2 2
1 10.81549 15 17.194 11.22v v 2 2
1 115 11.22 17.194 0.81549v v 2
1 1
3.7816.37853 3.78
16.37853v v
1 0.4804m
vs
2 1 2 24 4 0.4804 1.9216
mv v v v
s
3 1 318.367 18.367 0.4804v v v
3 8.8235m
vs
1 2BH H H 2 2
2 2 1 12 1
2 2B
v p v pH y y
g g
2 2
2 1 2 1
2B
v v p pH
g
2 23
15000 2290 9.811.9216 0.481675
2 9.81 9.81 10B
H
0.17637 17.29B
H
17.46637BH m
B BP Q H
2
11
4B B
P v H
23 0.39.81 10 0.4804 17.46637
4B
P
5818.446BP W
11735
W cv
5818.446
735BP cv
7.91B
P cv
6. Calcular a vazo de gua no sistema abaixo,sabendo-se que a potncia terica da bomba de 11,8 cve a tubulao tem dimetro constante.
Resp.: Q = 0,203 m3/s
Soluo:1 735cv W
11.8 735BP W
8673BP W
B BP Q H 1 2BH H H
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2525
2 2
1 1 2 21 2
2 2B
v p v py H y
g g
2 2
2 12 1
2 2B
p pv vH y y
g g
2 12 1B
p pH y y
4
3
1.035 2.1 9.81 1015
9.81 10B
H
4.35B
H m
B BP Q H
B
B
PQ
H
3
8673
9.81 10 4.35Q 3
0.203m
Qs
7. Calcular a potncia terica da turbina, nosistema abaixo, sabendo-se que a gua sai na atmosferano final do tubo de dimetro 75 mm.
Resp.: PrT = 13.7 cv
Soluo:2
4Q A v v
2 3
0.075 9 0.039764
mQ Qs
0 3TH H H 2 2
0 0 3 30 3
2 2T
v p v py H y
g g
2 20 0 9 030 0
2 2 9.81T
Hg
30 4.128 25.872T T
H H m
T TP Q H
39.81 10 0.03976 25.872TP
10091.088T
P W
11
735W cv
10091.088
735TP cv
13.729TP cv 8. No sistema abaixo, a velocidade no ponto C
igual a 3.66 m/s, onde a gua sai na atmosfera. Apresso relativa no ponto A igual a 0.35 kgf/cm2.A perda de carga entre os pontos A e C igual a h= 3.05m. A potncia real da bomba igual a 20 cv, comrendimento de 70%. At que altura H , a bomba
poder elevar gua, sabendo-se que o sistema temdimetro constante e igual a 150 mm?
Resp.: H = 7,8 m
Soluo:e
BB
B
Q HP
eB B
B
PH
Q
C CQ A v
2
4C
CQ v
20.153.66
4Q
3
0.064677m
Qs
3
20 735 0.7
9.81 10 0.064677BH
16.2179
BH m
ACA B C p
H H H H
22
2 2 ACC CA A
A B C p
v pv py H y H
g g
2 24
3
0.35 9.81 10 00 16.2179 1.8 3.05
2 9.81 10 2
A Av v Hg g
3.5 16.2179 1.8 3.05H
12.7179 4.85 12.7179 4.85H H 7.8679H m
9. Determinar a potncia real da bomba (B =80%) e as presses relativas nos pontos 1 e 2 , nosistema abaixo, sabendo-se que: a vazo de gua de 40L/s, a perda de carga entre os pontos A e 1 3 vezes a
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carga cintica do ponto 1 e a perda de carga entre ospontos 2 e B 20 vezes a carga cintica do ponto 2.
Resp.: PrB = 66 cv p1 = 0,496 kgf/cm2 p2 = 10,408
kgf/cm2
Soluo:e
BombaB
B
Q HP
,1 13
AP cH E
,1
2
132A
P
vH
g
2, 220
BP cH E
2,
2
2202B
P
vH
g
3
1 1 2 2 40 0.04L m
Q A v A vs s
2 2 22 2 2
2 2
0.04 0.16 0.160.1
4
v v v
2 5.0929m
vs
1 1 12 2 2
1 1
0.04 0.16 0.16
0.15
4
v v v
1 2.2635m
vs
,11 AA pH H H
2 2 2
1 1 11 3
2 2 2
A AA
v p v p vy y
g g g
2 2
1
3
0 0 2.2635 2.26350 6 3
2 2 10 2
p
g g g g
1
30 0.261133 6 0.7833994
9.81 10
p
31 4.9554675 9.81 10p
1 48613,1369p Pa
1 4 2
148613,1369
9.81 10
kgfp
cm
1 20.495546
kgfp
cm
2,2 BB pH H H
2 2 2
2 2 22 20
2 2 2
B BB
v p v p vy y
g g g
2 2 2
25.0929 0 0 5.09296 73 202 2 2
p
g g g
2
31.289033 6 73 26.43999
9.81 10
p
3
2 98.15095 9.81 10p
2 962860.89p Pa
2 4 2
1962860.89
9.81 10
kgfp
cm
2 29.815 kgfp cm
1 2BombaH H H
2 2
1 1 2 21 2
2 2Bomba
v p v py H y
g g
2 2
3 3
2.2635 48613,1369 5.0929 962860.896 6
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10Bomba
H
0.261133 4.955467 1.289 98.150957BombaH
5.2165 99.43Bomba
H
94.2135Bomba
H m
e
BombaB
B
Q HP
39.81 10 0.04 94.2135
0.8eBP
46211.72eB
P W 45896.28
735eBP cv
63eB
P cv
10. Supondo que no sistema do exerccio n 9,os dois reservatrios estejam fechados (pA e pB 0) esabendo-se que as presses relativas nos pontos 1e 2 so respectivamente 0,2 kgf/cm2 e 9,5 kgf/cm2 .Calcular as presses nos pontos A e B e potncia
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real da bomba (B = 80%), para essa nova situao.Obs.: utilizar as mesmas perdas de carga do exerccio n9.Resp.: PrB = 63 cv pA = - 0,296 kgf/cm2 pB = - 0,912kgf/cm2
11. leo de viscosidade dinmica = 0,01kgf.s/m e peso especfico = 850 kgf/m , escoa emregime permanente e com vazo Q = 50,0 L/s, atravsde 3.000,0 m de comprimento de tubo de Ferro Fundido(FF), com dimetro = 300,0 mm. Pede-se calcular a
perda de carga distribuda atravs da frmula Universalde perda de carga.
Resp.: hd 8,9 m
R X Lh
A
X: Permetro.L: comprimento
R: Tenso de atrito em kgf/cm2.
Soluo:R X L
hA
R dvR
dv dy
dy
vR
y
QQ A v v
A
Q A QR R
y A y
X Lh R
A
Q X Lh
A y A
2Q X Lh y
A
22
4
Q X Lh y
2 4
16 Q X Lh y
3
2 4
16 0.01 50 10 3000
850 0.3
h y
X
0.35
h ym
X
2
2f
L vh f
g
Experincia de Nikuradse:
,Rf f N
K
2 2
4
4
Q Q
Q A v v v
3
2
4 50 100.7074
0.3
mv v
s
Nmero de Reynolds:
R
vN
gg
R
vN
g
850 0.7074 0.3
9.81 0.01RN
1838.8RN
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2828
Ferro Fundido:K= 3.75.10-4m
4
0.3800
3.75 10K K
A funofdeve ser calculada no ponto:
1838.8, 1158.3R
f f NK
0.0195f2
2f
L vh f
g
2
3000 0.70740.0195
0.3 2 9.81fh
4.97fh m Ou
ComoNRe
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2929
gg
g
R R
v vN N
gg
6
1.7356 0.383845.4
6.21 10R RN N
A funofdeve ser calculada no ponto:
83845.4, 6521.7Rf f NK
Pelo diagrama de Moody-Rouse:
0.019f 2
2f
L vh f
g
2
3200 1.73560.019
0.3 2 9.81f
h
29.47f
h m
14. Um leo combustvel 10C ( = 861.0kgf/m , = 5.16x10-6 m/s) escoando em regime
permanente com vazo Q = 0,2 m/s, bombeado para o
tanque "C", como mostra a figura abaixo, atravs deuma tubulao de ao rebitado nova, com dimetroconstante = 400,0 mm e comprimento de recalqueL =2.000,0 m. O reservatrio em "C" est em contato com a
presso atmosfrica. Sabe-se que a presso relativa doponto "A" igual a 0,14 kgf/cm. Pede-se calcular apotncia real da bomba, para rendimento de 80%.
Resp.: PtB 282,0 cv
R
Soluo:3
0.2m
Qs
2
0.21.5915
0.4
4
mQ A v v v
s
Ao: L = 3200m
R = 4.6.10
-5
m
5
0.48695.6
4.6 10K K
Nmero de Reynolds:
R
vN
5
6
1.5915 0.41.2337 10
5.16 10R RN N
A funofdeve ser calculada no ponto:
51.2337 10 , 8695.6R
f f NK
Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.03f
2
2f
L vh f
g
2
2000 1.59150.03
0.4 2 9.81f
h
19.36fh m
A Bomba f RH H h H 2 2
2 2A A R R
A Bomba f R
v p v py H h y
g g
21.5915 13734 0 0
100 19.36 1802 9.81 861 9.81 2
BombaHg
0.12909 1.626 100 199.36BombaH
199.36 101.755Bomba
H
97.605BombaH m
e
BombaB
B
Q HP
861 9.81 0.2 97.605
0.8eBP
206102.962eB
P W 206102.962
735eBP cv
280.4eBP cv 15. No sistema mostrado na figura abaixo, a
vazo de gua 20C em regime permanente Q = 22.1L/s. No trecho 0-1 o comprimento 60.0 m e o dimetro 200.0 mm. No trecho 2-3 o comprimento 260.0 m e odimetro 150.0 mm. A tubulao em toda sua extenso de ferro fundido nova. Pede-se calcular: a) as pressesrelativas nos pontos 1 e 2; b) a potncia real da bomba
para rendimento de 60%.Obs.: -Utilizar a frmula Universal da perda de carga e omtodo do comprimento equivalente.-No desenho:a, b = curva 90 R/D = 1 1/2; c, d = cotovelo 90 RMResp.: a) p1 1.760,0 kgf/m ; p2 1,652 kgf/cm;
b) PrB 7,26 cv
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3030 Soluo:3
322.1 22.1 10L m
Q Qs s
1 1 1 12 2
01
0.02210.703
0.2
44
Q mQ A v v v
s
2
260.7 10
H O
m
s
(viscosidade cinemtica da gua)
Perda de carga no trecho 0-1:Ferro fundido:L01 = 60m
R = 2.59.10-4m
01
4
0.2772
2.59 10K K
Nmero de Reynolds no trecho 01:
1
1 01
R
vN
1 1
5
6
0.703 0.22 10
0.7 10R RN N
A funofdeve ser calculada no ponto:
1
5 012 10 , 772Rf f NK
Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.021f
01
2
01 1
01
2f
L vh f
g
01
260 0.703
0.0210.2 2 9.81
fh
010.1586fh m
As perdas de carga singulares ocorrem quandoh perturbaes bruscas (vlvulas, cotovelos, etc.) noescoamento do fluido e so calculadas por expressesque envolvem anlise dimensional, dadas por:
2
2s s
vh K
g
2 20.7030.9 0.02267
2 2 9.81aa b s a
vh h K h m
g
2 20.703
0.2 0.0050372 2 9.81R
R s R
vh K h m
g
010 1a b R pH h h h h H
01
2 2
0 0 1 1
0 12 2
a b R f
v p v p
y h h h h yg g 2 2
10 0 0.7032 0.02267 0.02267 0.005037 0.1586 02 2 9.81
p
g
12 0.208977 0.02518p
1 1.7658p
3
1 21.7658 1.7658 9.81 10
Np
m
1 21765.8
kgfp
m
Singularidade Esquema Ks
Alargamento 1
2
1A
A
Caso limite1
Estreitamento1
2
A
A
Caso Limite 0.5
Cotovelo a 90 0.9
Vlvula de
gaveta
0.2 Totalmente
aberta
Vlvula tipo
globo
10 Totalmente
aberta
Vlvula de
reteno0.5
23
4
0.15579.15
2.59 10K K
Clculo da velocidade no trecho 2-3:
2 2 2 22 2
23
0.02211.2506
0.1544
Q mQ A v v v
s
Nmero de Reynolds no trecho 23:
2
2 23R
vN
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3131
2 2
5
6
1.2506 0.152.6798 10
0.7 10R R
N N
A funofdeve ser calculada no ponto:
1
5 232.67 10 , 579.15R
f f NK
Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.0225f
23
2
23 2
23 2f
L vh f
g
01
2260 1.2506
0.02250.15 2 9.81
fh
013.108fh m
232 3f vr vga c d
H h h h h h H
2 21.25060.9 0.07174
2 2 9.81dc d s c
vh h K h m
g
2 2
1.25060.5 0.03985
2 2 9.81vrvr s vr
vh K h m
g
2 2
1.250610 0.797
2 2 9.81vgvg s vg
vh K h m
g
23
22
3 32 2
2 32 2
f vr vga c d
v pv py h h h h h y
g g
2 2
21.2506 0 0
0 3.108 0.03985 0.797 0.07174 0.07174 122 9.81 2
p
g
20.07971 16.08833p
2 16.00862p
3
2 216.00862 16.00862 9.81 10
Np
m
3
2 4 2
116.00862 16.00862 9.81 10
9.81 10
kgfp
cm
2 21.600862
kgfp
cm
1 2BombaH H H 2 2
1 1 2 2
1 22 2
Bomba
v p v py H y
g g
2 2
3 3
0.703 18839.16 1.2506 157044.560 0
2 9.81 9.81 10 2 9.81 9.81 10Bomba
H
0.02518 1.9204 0.0797 16.0086Bomba
H
16.0883 1.94588Bomba
H
14.14272Bomba
H m
eBomba
B
B
Q HP
3 39.81 10 22.1 10 14.14272
0.6eBP
5110.259eB
P W 5110.259
735eBP cv
6.95eB
P cv
16. No sistema mostrado abaixo, a tubulao de ao galvanizado nova com dimetro de 75,0 mm emtoda sua extenso de 280,0 m. A tubulao descarregagua 20C, na atmosfera. O regime de escoamento
permanente com vazo Q = 6,5 L/s. Pede-se determinara altura H, utilizando a frmula Universal da perda decarga e a expresso para calcular as perdas de cargalocalizadas.Obs.: -No desenho: a = curva 90; b, c = curva 45
Resp.:H 11,93 mpatm
0
a
H
b
Qc
Soluo:0 f L RH h h H
0 g Gf a b c v v RH h h h h h h H
336.5 6.5 10
L mQ Q
s s
2 2
0.00651.4713
0.075
4 4
Q mQ A v v v
s
2
261 10
H O
m
s
(viscosidade cinemtica da gua) Perda de carga no trechoL = 280m:
Ao galvanizado novo.Rugosidade =K= 1.5.10-4 a 2.0.10-4m
4
0.075500
1.5 10K K
Nmero de Reynolds no trecho L :
R
vN
1
5
6
1.4713 0.0751.103 10
1 10R RN N
1
51.1 10 , 500Rf f N
K
Pelo diagrama de Moody-Rouse:0.025f
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3232
2
2f
L vh f
g
2
280 1.47130.025
0.075 2 9.81f
h
10.297fh m Perdas de carga localizadas:
Local DenominaoKs 2
2s s
vh K
g
(m)
a Curva 90 0.4 0.044b Curva 45 0.2 0.022c Curva 45 0.2 0.022
Vlvula de retenotipo leve
2.5 0.022
Vlvula globoaberta
10 1.1033
2 21.4713
0.4 0.0441332 2 9.81a a a a
v
h K h h mg 2 21.4713
0.2 0.0222 2 9.81
b c b b a
vh h K h h m
g
2 2
1.47130.2 0.022
2 2 9.81g g g gv v v v
vh K h h m
g
2 2
1.471310 1.1033
2 2 9.81g G G gv v v v
vh K h h m
g
0 g Gf a b c v v RH h h h h h h H
0 10.297 0.044 3 0.022 1.1033 0H
0 11.51H m
17. No sistema mostrado na figura abaixo, avazo de gua 20C em regime permanente Q = 3.6L/s. No trecho 0-1 o dimetro 50.0 mm. No trecho 2-3o dimetro 63.0 mm. A tubulao em toda suaextenso de ao galvanizado nova. Pede-se calcular: a)as presses relativas nos pontos 1 e 2; b) a potnciaterica da bomba.Obs.: Utilizar a frmula de Fair-Whipple-Hsiao da
perda de carga para calcular as perdas de cargalocalizadas.
No desenho: a, b = cotovelo 90Resp.: a)p1 2.060,0 kgf/m ;p2 3,047 kgf/cm; b)
PtB 1,36 cv
3 patm
6.0 m
b
patm 26.5 m 28.0 m0
3.0m a
B1 2
5.0 m 8.0 m
Soluo:Para tubos de ao galvanizado, conduzindo
gua fria:
1.88
4.880.002021
QJ
2
2
n
L i
i
vh K
g
Trecho 01:L01 = 5m; 01 = 0.05m3
33.6 3.6 10L m
Q Qs s
3
01 012 2
01
3.6 101.833
0.050
44
Q mQ A v v v
s
1.88
31.88
4.88 4.88
01
3.6 100.002021 0.002021 0.1149
0.05
QJ J J
01 1 01 015 0.1149 0.5745h L J h h m
0 1 01 gv eb
H H h h h
2 21.8330.2 0.0342
2 2 9.81g g gv s v v
vh K h h m
g
2 21.833
1 0.17132 2 9.81g g
eb eb v v
vh K h h m
g
2
1 10 1 01
2 gv
p vH z h h
g
2
1
3
1.8333 0 0.5745 0.0342 0.1713
9.81 10 2 9.81
p
1
32.048
9.81 10
p
3
1 22.2200 9.81 10
Np
m
1 22048.0
kgfp
m
1 2B
H H H Trecho 2-3:
Comprimento:L23 = 8+26.5+6 = 40.5 m
333.6 3.6 10
L mQ Q
s s
3
23 232 2
23
3.6 101.155
0.063
44
Q mQ A v v v
s
1.88
31.88
4.88 4.88
01
3.6 100.002021 0.002021 0.0372
0.063
QJ J J
23 23 23 2340.5 0.0372 1.5069h L J h h m
Perdas de carga localizadas:
2 21.1550.9 0.0612
2 2 9.81b a a a a
vh h K h h m
g
2 21.155
2.5 0.172 2 9.81r r rv v b v
v
h K h h mg 2 21.155
10 0.67992 2 9.81g G G g
v v v v
vh K h h m
g
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3333
Local DenominaoKs 2
2s s
vh K
g
(m)
a Cotovelo 90 0.9 0.0612b Cotovelo 90 0.9 0.0612
Vlvula gavetaaberta
0.2 0.022
Vlvula globoaberta 10 1.1033
Vlvula dereteno
2.5 0.17
2 23 3r ga b v vH h h h h h H
2
2 22 23 3
2 r ga b v v
v py h h h h h H
g
2
21.155 0 1.5069 0.0612 0.0612 0.17 0.6799 282 9.81
p
20.06799 30.4792p
322
30.4792 0.06799 30.41121 9.81 10p
p
322
30.4792 0.06799 30.41121 9.81 10p
p
5
2 22.9833 10
Np
m
5
2 4 2
12.9833 10
9.81 10
kgfp
cm
2 23.041
kgfp
cm
1 2BH H H
2 2
1 1 2 21 2
2 2B
v p v py H y
g g
2 2
2 1 2 1
2B
v v p pH
g
2 2 5 4
3
1.155 1.833 2.9833 10 2.17782 10
2 9.81 9.81 10B
H
0.103255 28.19BH
28.0876BH m
B BombaP Q H
3 39.81 10 3.6 10 28.0867BP
991.9BP W 991.9
735eBP cv
1.3495eB
P cv
18. No sistema abaixo, as presses relativasnos pontos 1 e 2 so respectivamente: -0,5 kgf/cm e10.500,0 kgf/m. A potncia terica da bomba 5,0 cv ea tubulao de ferro fundido. No trecho 0-1 o dimetro 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams C =120. No trecho 2-3 o comprimento 180,0 m, odimetro 200,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams
C = 100. No trecho 3-4 o comprimento 100,0 m, odimetro 150,0 mm e o coeficiente de Hazen-Williams C = 90. Utilizando a frmula de Hazen-Williams da
perda de carga e o mtodo do comprimento equivalente,pede-se determinar:
(a) a presso relativa no ponto 3;
(b) a vazo de gua, para escoamentopermanente;(c) a cota do ponto 4;(d) o comprimento da tubulao no trecho 0-1.
Obs.: -No desenho: a = cotovelo 90 RL; b = curva 45Resp.: (a) p3 = 0.903 kgf/cm ; (b) Q = 24.0 L/s ;
(c)z4 = 810.33 m ; (d)L0-1 = 194.5 mpatm
4?
ab 804.0 m
800.0m Bp
atm1 2 3
0
Soluo:(a)
2 23 3r gv vH h h h H
(b)
1 2BH H H
2 2
1 1 2 2
1 22 2Bv p v p
y H yg g Como os dimetros das sees 1 e 2 so iguais:v1 = v2. Tambmy1 =y2. Assim:
2 1B
p pH
2 1B
p pH
4
1 1 12 4 2 2
9.810.5 0.5 0.5 9.81 10
10
kgf N N p p p
cm m m
1 2 22 2 20.5 10500 10500 9.81
kgf kgf N p p p
cm m m
43
10500 9.81 0.5 9.81 10
9.81 10B
H
15.5B
H m 5 5 735 3675
B B BP cv P P W
B BP Q H
3
3675
9.81 10 15.5
B
B
PQ Q
H
3
0.024168
m
Q s
24.16L
Qs
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3434
2
11 1 1 1 2
1
4
4
QQ A v Q v v
1 1 2 32
4 0.0241680.76929
0.2
mv v v v
s
Perdas localizadas no trajeto de 2-3:2 2
0.7692910 0.302
2 2 9.81g G gv v v
vh K h m
g
2 20.76929
2.5 0.07542 2 9.81r r r r
v v v v
vh K h h m
g
2 2
0.769290.2 0.006
2 2 9.81r r r r v v v v
vh K h h m
g
Local DenominaoKs 2
2s s
vh K
g
(m)
Vlvula globoaberta
10 0.302
Vlvula dereteno
2.5 0.0754
Vlvula gavetaaberta
0.2 0.006
Frmula de Hazen-Williams1.852 1.852 4.8710.643J Q C
Trecho 0-1: 01 0.2m 01 120C 1.852 1.852 4.87
01 01 0110.643J Q C
1.852 1.852 4.8701
10.643 0.024168 120 0.2J
010.003856J
01 01 01h J L Trecho 2-3: 23 0.2m 23 100C
1.852 1.852 4.87
23 23 2310.643J Q C
1.852 1.852 4.87
2310.643 0.024168 100 0.2J
230.005405J
23 23 23h J L
23 0.005405 180h 23
0.9729h m
2 23 3r gv vH h h h H
22
3 32 22 23 3
2 2r gv v
v pv pz h h h z
g g
Como v2 = v3 ez2 = z3:
3223 r gv v
pph h h
2
3
3
3 3
10500
0.9729 0.0754 0.30210 10
kgf
m
kgf
m
p
3333
10.5 1.3503 9.1497 1010
pp
3 29149.7
kgfp
m
3 29149.7
kgfp
m
3 20.91497kgf
p cm
Trecho 3-4: 34 0.15m 34 90C 1.852 1.852 4.87
34 34 3410.643J Q C
1.852 1.852 4.87
34 10.643 0.024168 90 0.15J
340.00656J
34 34 34h J L 34
0.00656 100h 34
0.656h m Comprimentos equivalentes:Dispositivo Nome LeqComprimento
equivalente (m)
(=0.2m)
Vlvulagaveta aberta 1.4
(=0.2m)
Vlvula globo(aberta) 67
(=0.2m)
Vlvula dereteno tipo
leve16
a
(=0.2m)
Cotovelo 90RL
4.3
b
(=0.15m)
Curva 45 1.1
2 2
3 3 4 43 34 4
2 2b
v p v pz h h z
g g
2 2
43
3
9149.70.9729 0 0
804 0.656 1.12 9.81 2
10
kgf
m zkgf g
m
40.04824 9.1497 804 1.756 z 4 814.44z m
0 01 01 1ga vH h L h h H 2 2
0 0 1 10 01 01 1
2 2ga v
v p v pz h L h h z
g g
4
2 2
01 013
3
0.5 100 0 0.769
800 0.003856 4.3 1.4 8042 2 9.81
10
kgf
mL Lkgfg
m
2
01
0.769800 1.003856 5.7 5 804
2 9.81L
01?L
Tubulao de Ferro fundido:Rugosidade: 2.5.10-4mTrecho 0-1 e 1-2:
4
0.2800
2.5 10K K
Nmero de Reynolds:
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3535
R
vN
1
8
6
1317.69 0.22.635 10
1 10R RN N
1
82.6 10 , 800R
f f NK
Pelo diagrama de Moody-Rouse:f
eq
KL
f
19. No sistema abaixo a vazo de gua 20C,em regime permanente Q = 11,9 L/s. Sabe-se que a
presso relativa no ponto 2 p2 = 2,3 kgf/cm. Notrecho 0-1 o dimetro 150,0 mm e o comprimento 182,0 m. No trecho 2-3 o dimetro 100,0 mm.
Utilizando a frmula Universal da perda de carga e omtodo do comprimento equivalente, pede-se: a) apresso relativa no ponto 1; b) o comprimento do trecho2-3; c) a potncia real da bomba para rendimento de58%.Obs.: -No desenho: a, b = cotovelo 90 RLResp.: a) p1/ = 3,0 mcH2O; b) L2-3 = 117,3 m; c) PrB
5,5 cv
Soluo:
20. Para o sistema abaixo, a potncia real dabomba (rendimento de 90%) 72 cv. A perda de cargalocalizada devida vlvula de reteno na tubulao C-D igual a 0,127m. O fluido gua 20C e as pressesrelativas nos pontos "A" e "D" so respectivamente: -0,2 kgf/cm e 0,3 kgf/cm. Pede-se: a) a vazo dosistema; b) as presses relativas nos pontos B e C; c) ocomprimento da tubulao A-B.Obs.: -Considerar no trecho A-B: rugosidade: e =0,005m ; dimetro igual a 400mm -Considerar no trechoC-D: comprimento: L = 1200m; dimetro igual a350mm; rugosidade: e = 0,0003m-Utilizar a frmula Universal da perda de carga e o
mtodo do comprimento equivalente.No considerar as perdas de carga devidas
entrada normal e sada da canalizao,respectivamente nos reservatrios A e D -No desenho: a= curva 45
Resp.: a) Q = 96,0 L/s; b) pB = 3.490,0 kgf/m , pC =5,412 kgf/cm; c) LA-B = 500,5 m
Soluo:
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3737
Apndice
Turbinas Hidrulicas - TiposBasicamente existem dois tipos de turbinas
hidrulicas: as de ao e as de reao. No primeiro caso,
de ao, a energia hidrulica disponvel transformadaem energia cintica para, depois de incidir nas ps dorotor, transformar-se em mecnica: tudo isto ocorre a
presso atmosfrica Na turbina de reao, o rotor completamente submergido na gua, com o escoamentoda gua ocorre uma diminuio de presso e develocidade entre a entrada e a sada do rotor.
Tradicionalmente o uso de turbinas hidrulicas tem-se concentrado no tipo Pelton, com um ou mais jatos, nocaso das mquinas de ao; na Francis, Hlice e Kaplan,no caso do tipo de reao. A escolha do tipo adequado
baseia-se nas condies de vazo, queda lquida, naaltitude do local, na conformao da rotao da turbina
com a do gerador e na altura de suco, no caso demquinas de reao.Conhecidos a altura (H) e a vazo (O) disponveis
no local, levando-se em conta: a rotao (n) imposta emvalores discretos em funo do nmero de pares de
plos (z), do gerador eltrico, e altura de suco,(hs), nocaso da turbina hidrulica ser de reao, determina-seuma rotao especfica nq = 3 n Q05 / H~175 , quedefinir o tipo de rotor da turbina hidrulica, adequadoao aproveitamento em questo.
Definido o tipo de mquina, a preocupao passa sero tipo de carga a ser atendida. Deve-se procurar adequara curva de carga com a de comportamento da turbina.
No caso de grandes variaes na carga, divide-se ainstalao em duas ou mais mquinas, de maneira queatravs de manobras, a instalao atender a demandasempre com as mquinas trabalhando a cargasadequadas. Neste caso, faz-se necessrio a mudana dotipo do rotor, j que a rotao especfica mudou, devidoa diviso da vazo.
Em grandes centrais hidroeltricas as turbinassomente sero construdas aps a definio de todos os
parmetros topogrficas, hidrolgicos e operacionais.Com isto, existe uma perfeita caracterizao da rotaoespecfica. Neste caso feito um projeto exclusivo paraas condies impostas. A preocu