MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Movimiento de una recta• Supongamos un segmento de recta AB

que se mueve en el espacio desde AB hasta AB’ en un tiempo t:

dtd

t

táneainsangularVelocidad

t 0lim

tan

A B

B’t

P

tmediaangularvelocidad

MOVIMIENTO DE UNA RECTA

• Considerando que la partícula posee una velocidad angular inicial 0, la cual varía hasta una cantidad final f , en un tiempo t, entonces se define:

• Para el punto P:

tmediaangularnaceleració

dtd

t

táneainsangularnaceleració

t 0lim

tan

A B

B’t

P

0

f

• Para el movimiento curvilíneo:

• Como:

0

0

0 0

0 0

t

t

MCUVctesitdtd

MCUctesitdtd

200 2

1 tttdtd

220

2

0 0

luego

dddtdtdd

dtddtd

dtd

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

• Consideremos el movimiento de una partícula describiendo un movimiento curvilíneo:

C

A’

v

A

d

ρ

en eT

i

j

x

y

aT

aN

a

En A la partícula posee un velocidad v y una aceleración a, la cual puede ser descompuesta en una componente tangencial y otra perpendicular al movimiento.Desde A hasta A’ barrió un ángulo d, cuyo radio de curvatura es , siendo su centro de curvatura C

• La velocidad puede ser expresada como:

normalnaceleraciódted

v

gencialnaceleracióedtvdDonde

dted

vedtvdaLuego

dted

vedtvdev

dtd

dtvdaPero

evv

T

T

TT

TTT

T

tan:

eTeN

jisenejseniefiguralaDe

NT cos;cos

:

NT

NT

NTT

evedtdva

tambiénoedtdve

dtdva

edtd

dted

dtdjisen

dted

resiónprimeralarivandoDe

:

cos

:exp

NT

NT

evedtdva

evvedtdva

Luego

vdtdv

dtds

dsd

dtdPero

dsddds

AyAentreocomprendidarcoaldsLlamemos

2

1

1'

MOVIMIENTO CIRCULAR

• Consideremos una partícula moviéndose alrededor de un círculo.

rxv

RvsenrRperosenrv

δ r

R

ω

xy

z

O

A

S

Cθ

v

Período (T): Tiempo requerido para completar una vuelta o ciclo.

Frecuencia (f): Número de ciclos por unidad de tiempo. Se mide en seg-1 ó Hertz.

Para una revolución completa (2π): t=T, θ= 2π entonces:

fT

fperott

2

1,2

Para la aceleración tangencial

Rva

RadtdRR

dtd

dtdva

N

T

T

2

Para el movimiento circular uniforme:

RRvx

vxdtrdx

dtvd

rxvperocte

2

,

Puesto que:

Rayaluegodtdcte

NT20

0,

VELOCIDAD RADIAL Y TRANSVERSAL

Vr

V

Vθ

uruθ

r

θθ

A

x

y

jisenu

jseniu

urr

r

r

�

cos

cos

jisenuperodtdjisen

dtdj

dtdisen

dtud r

cos:cos

cos

udtdru

dtdrv

dtudr

dtdru

dturd

dtrdv

r

rr

r

�

dtdrvltransversavelocidad

dtdrvradialvelocidad

Donde

r

:

:

:

MOVIMIENTO PARABÓLICO

θ

vvy

vx hmáxvy v

vx

v0

v0x

v0y

Y

X

Eje x: MRU (v=cte)Eje y: MRUV

senvvvv

y

x

00

00 cos

cos0

00

vvx

gtsenvgtvv yy

20

20

000

21

21

coscos

tgtsenvtgtvy

vxttvtvx

y

x

gsenv

y

gsenv

ggsenv

senvy

gsenv

tttCuando

máx

máx

máxmáx

2

21

220

200

0

0

horizontalAlcancegsenv

x

gsenvx

vxgtgx

vxg

vxsenv

yendoreemplazanv

xtxDe

2

cos2cos2

,cos2

1,cos

0

0,cos

,

20

2022

0

2

2

000

0

)(45 máximoalcanceRxCuando

• Ejemp:• 1.-Una línea gira en un plano vertical de

acuerdo a la ley:La línea está rotando en sentido horario cuando t=1 s. Determinar la aceleración angular cuando t=2s y el valor de t cuando ω=0.

• α= ? t = 2s

22 23 tt

22 23 tt

tt 43 2

46 t

2/84)2(6)2( segrad

043 2 tt

st34

• 2.-Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son x=t2, y=(t-1)2. a) Encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria; b)Representa la trayectoria; c) ¿Cuándo se tiene la velocidad mínima; d) Encontrar las coordenadas cuando la velocidad es 10 pies/seg, e) Calcular las aceleraciones tangencial y normal en cualquier instante.

1...212 xttx

2...)1()1( 212 ytty

3...1)(

2...)1(

:21

21

21

21

21

yx

yx

enDe

t x y0 0 11 1 02 4 13 9 4-1 1 4-2 4 9½ ¼ ¼

X

y

• c) Velocidad mínima• a=0 → 0

dtdv

)1(22 tvtv yx

2

12

222122

1222

12144

ttv

ttttv

024122)2(21

01222

212

212

ttt

ttdtd

dtdv

st21

• d)Coordenadas cuando v= 10 pies

01202422

2512210122222

2212

tttt

ttttv

sttt

40)3()4(

• e)Aceleración tangencial y normal en cualquier instante.

212

212

122

)12(2122

24

tt

ta

tt

tdtdva

T

T

)(16 2txpiesx

))1((9 2 typiesy

• Como 22222TNNT aaaaaa

8

)2()2(

2

222

2

22

2

22

a

dtyd

dtxda

2

212

22

122

)12(28

tt

taN

22

/122

2 spiestt

aN

• 3.-Un volante cuyo diámetro es de 8 pies tiene una velocidad angular que disminuye uniformemente de 100 rpm en t=0, hasta detenerse cuando t=4s. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de un punto situado sobre el borde del volante cuando t= 2s.

??;4;0

1004

0

nt aast

rpmpiesr

2

0

/6

560

22525

41000

srad

sradxrpm

rpmt

raT

2/3

10 smaT

rrvaN

22

srad

t

/3

5)2(

265

310)2(

0

• 4.- La resistencia de u freno se aplica a un volante que efectúa 180 rpm. Si el volante gira 30 revoluciones antes de detenerse, encontrar su aceleración angular (que se supone cte.), y el tiempo en el que se verifica la pérdida de velocidad.

radradxsrad

sxrpm

60230/6

602180180

0

0

??

t

radradxsrad

sxrpm

60230/6

602180180

0

0

dd

dtddtd

dtd

;

st

t

t

20

0

0

2

2220

2

20

2

/103

)60(260

2

2

srad