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MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 NOMBRE ________________________ CUENTA _________________________ TEORÍA DE EXPONENTES Introducción:
Las operaciones de potencia, multiplicación y suma
están relacionadas. Toda potencia puede
convertirse en una multiplicación y toda
multiplicación puede convertirse en una suma.
Ejemplo: 32 2 2 2 (2 2) (2 2) (2 2) (2 2) 8 i i i i
Esto es cierto porque 32 es una multiplicación
simplificada y es igual a multiplicar 2 tres veces así 32 2 2 2 i i .
Por otro lado la multiplicación 2 3i significa que el
número 3 se debe sumar dos veces 2 3 3 3 i , en una multiplicación el primer número indica el
número de veces que se repite el segundo número
es por eso que 2 (2 2) (2 2) (2 2) i i i i . Al hacer este proceso descubrimos varias
propiedades de los exponentes
Propiedad Ejemplo
...nb b b b i i n veces
32 2 2 2 i i
1/nn b b toda raíz se expresa
como un
exponente
fraccionario
1/22 2 2 (2) 1.4142... Y se cumple
1.4142x1.4142=1.9999=2 1/33 2 (2) 1.2599.
Y se cumple que
1.2599*1.2599*1.2599= 1.999=2
/n m m nb b siempre el
número de la
raíz va abajo
3 3 3/3 13 8 2 2 2 2
m n m nb b b i 3 2 3 2 53 3 (3 3 3) (3 3) 3 3 i i i i i
nm m nb b i 23 3 2 63 (3 3 3) (3 3 3) 3 3 ii i i i i
nn
n
a a
b b
22
2
5 5 5 5 5 5
3 3 3 3 3 3
i
i
i
nn na b ab
2 2
2
5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)
5 3
i i i i i i
i
0 1a
2 2
2
5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)
5 3
i i i i i i
i
1nn
aa
2 2
2
2 2
11 1 13 3
1 13
3 3
2
1naa
22
1 13
3 9
TEORÍA DE LOGARITMOS Un logaritmo se puede interpretar como el
exponente que logra el argumento del logaritmo al
elevar la base del mismo, se expresa formalmente.
Si tenemos 32 8
Entonces se cumple que
2log 8 3 En ambos caso el número 2 se le llama base, el
número 3 es el exponente, y también es el
logaritmo de 8 con base 2.
Ejemplos
Forma exponencial Forma logarítmica 32 2 2 2 8 i i 2log 8 3 43 3 3 3 3 81 i i i 3log 81 4 37 7 7 7 343 i i 7log 343 4
Numero e o numero natural Existe un número especial que se usa mucho en logaritmos y formulas exponenciales el cual es el numero “e” Este número se calcula con la formula
1/(1 ) xe x Siempre que x sea un número muy pequeño, si tomamos varios valore seste será el
resultado.
2
Al igual que los exponentes los logaritmos tienen
sus propias reglas.
Propiedad Ejemplo
log 1b b 2
3 3 3log 9 log 3 2 log 3
2
log lognb ba n a i 2
3 3 3log 9 log 3 2 log 3
2
logb a bi log logb ba b
33 3log 9 3 log 3i33log 3 3
3 3log 9 log 3 2 1
3 3log 3 log 3
3 32log 3 1 log 3 i
2 1 3
log /b a b log logb ba b
3log 9 / 3 3 3log 9 log 3 2 13 3log 3 log 3 3 32log 3 1 log 3 i }
2 1 1
Propiedad Ejemplo
log logb ba b
ac d
i
i
log log
log
b b
b
b c
d
3 32 5
log log 26 7
i
i
2 2
2
log 5 log 6
log 7
ln( ) logea a ln( ) 1e
logb xx b 3log 22 3 log
log , 0log
cb
c
aa c
b
3
ln(5)log 5
ln(3)
ln( )log
ln( )b
aa
b
10
10
loglog
logb
aa
b
1.60941.4650
1.0986
103
10
log 5log 5
log 3
0.698971.4650
0.4771
EJERCICIO DE SEPARACIÓN DE LOGARITMOS
5
33 4 3
2log
x yxz w
i i
i
Primero convertimos radicales en exponentes
1/31/2
5
3 4 3
2log
x yxz w
i i
i
Luego simplificamos exponentes
1/31/2 5/2 1/2
3 4/2 3/2
2log
x yxz w
i i
i
1/31/2 5/2 1 1/2
3 4/2 3/2
2log
x y
z w
i i
i
1/31/2 7/2 1/2
3 4/2 3/2
2log
x y
z w
i i
i
1/6 7/6 1/6
3 4/6 3/6
2log
x y
z w
i i
i
Aplicamos la propiedad
log log logb b ba b a b i
1/6 7/6 1/6
3 3 3
4/6 3/6
3 3
log 2 log log
log log
x y
z w
Aplicamos la propiedad
log lognb ba n a i
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log log6 6 6
4 3log log6 6
x y
z w
Para verificar asumimos
X=2, y=3, z=4,w=5
x e
0.1 2.593742
0.01 2.704814
0.001 2.716924
0.0001 2.718146
0.00001 2.718268
0.000001 2.718280
0.0000001 2.718282
3
Sustituimos primero en la original
5
33 4 3
2 2 3log 2
4 5
i i
i
33
192
3200l g 2
0o
3
30.0775log 2 i
3 0.log 5371
3ln( )
logln(3)
0.5371 0.621620.5371
1.0986
= -0.565820094
Sustituimos en la respuesta
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log log6 6 6
4 3log log6 6
x y
z w
3 3 3
3 3
1 7 1log 2 log 2 log 36 6 6
4 3log 4 log 56 6
0.1052 +0.7361+0.1667-0.8412-0.7325
=-0.56582
Con lo cual se verifica la respuesta Ejercicios con verificación de ecuaciones exponenciales con verificación
2 10x Aplicamos logaritmo natural ambos lados
ln 2 ln 10x Pasamos exponente al frente
ln 2 ln 10x i Despejamos x
ln 2 ln 10x i
2.30263.3219
0.6931
ln 10
ln 2x
Verificamos 3.321( 9)2 10
9.9999=10
EJEMPLO 2: 3 12 10x x Aplicamos logaritmo natural ambos lados
3 1ln 2 ln 10x x Pasamos exponente al frente
3 1 ln 2 ln 10x x i Operamos
3 ln 2 1 ln 2 ln 10x x i i Juntamos las x
3 ln 2 ln 10 1 ln 2x x i i 3 ln 2 ln 10 1 ln 2x i i
1 ln 2
3 ln 2 ln 10x
i
i
Calculamos el valor
0.693153.1063
2.07944 2.30259x
Verificamos 3.1063) 3.10633( 12 10 3.1063) 3.10633( 12 10
1277.2730 1277.2730 Fusionamos el logaritmo, quitamos primero los
números al frente
1 ln 2
3 ln 2 ln 10x
i
i
31 ln 2
ln 2 ln 10x
i
3
1 ln 2
2ln10
x
i
3210
log 2x
0.693ln 15(2)
l3.1063
0.22314n(8 /10)x
Con lo cual se confirma el resultado Esta técnica es la misma para cualquier ecuación exponencial.
EJEMPLO 3: 5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)(3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
Primero aplicamos logaritmo natural a ambos lados
5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)ln ln (3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
Separamos los logaritmos
4
5 2 4 2 2 2 1ln(7) ln(7) ln 3 ln 3 ln3 ln(2)x x x x Pasamos los exponentes al frente
(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3
2ln 3 (2 1) ln(2)
x x x
x
(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3
2ln 3 (2 ) ln(2) (1)ln(2)
x x x
x
Pasamos las x a un solo lado
(5 ) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3 (2 ) ln(2)
2 ln 3 (1)ln(2) ( 2) ln(7)
x x x x
Sacamos x de factor común
( ) (5) ln(7) (4) ln3 (2) ln 3 (2) ln(2)2 ln3 ln(2) 2ln(7)
x
2ln 3 ln(2) 2ln(7)( )
5ln(7) 4 ln3 2ln 3 2ln(2)x
Calculamos la x
3.8918 0.6931 2.1972
1.3863 2.1972 4.394(
4 9 296)
.7x
5.3959
1.( )
7517x =3.08038
Para verificar sustituimos en la original5 2
2 2 1
4 2
(7) (7)(3 ) (2)
3 3
xx
x x
i
i
2.117949 1135.7720
658090973.9
1( )
E
i
321.83 321.95 La diferencia se debe a los decimales de la variable
x
EJEMPLO 4
3 3log (5 3) log (3 4) 5x x Primero aplicamos las propiedades
log log logb b ba b a b i 3log 3 1
Y nos queda
3 3log (5 3)(3 4) 5log 3x x Pasamos el numero al rente como exponente
53 3log (5 3)(3 4) log 3x x Igualamos argumentos
5(5 3)(3 4) 3x x Operamos y simplificamos el polinomio
55 (3 4) 3(3 4) 3x x x 2 515 20 9 12 3x x x 215 29 12 243x x
215 29 12 243 0x x 215 29 231 0x x
Aplicamos la formula cuadrática
a=15 b=29 c=-231 2 24 29 4(15)( 231)b ac 14701
1
(29) 14701,
2(15)x x
1
121.(29),
2(15)
2479x x
1
(29) 121.2479,
30x x
Calculamos y verificamos los valores X1 = 3.0749
3 3log (5( 3) log (3(3.0749) 3.0749) 4) 5
3 3log ( ) log (18.3745 13.224 57)
ln( ln(18.3745) 13.2247)5
ln(3) ln(3)
2.64967347+2.350316231=5
4.9999=5
X2 = -5.0083
3 3log (5( 3) log (3(5.0083) 5.0083) 4) 5
3 3log ( ) log (22.0415 11.02 9) 54 No es válida la solución x2=-5.0083
Final ente definimos el conjunto solución C.s={3.0749}
5
EJERCICIOS VARIOS 1) Calcule y verifique
3log 8 x
3
2.079ln(8)log
41.89279
1.8l 9863 0n( )
Verificación
1.89279
3 8
3 8
8.0001 8
x
2) expanda y verifique con x=2, y=3, z=4 2
3logx y
z
i
2 2
3 2log
x y
z
i
2 2 23 3 3log log logx y z 3 3 32 og 2log 2logl x y z
Verificación
X=2, y=3, z=4 2 2
3 3 3 3
2 3 6 36 9log log log log
4 4 16 4
i
3
9 ln(9 / 4)log
4 ln(3)
0.810930.73814
1.09861
Y evaluamos separados
3 3 32 og 2 2log 3 2log 4l 1.26186 2.52372 42 0.7381 Como ambas respuestas son iguales esta correcto
3)Determine el conjunto solución
3 3log 2 1 log lx x
3
2 1log l
x
x
3 3
2 1log l log 3
x
x
i
3 3
2 1log log (3)
x
x
Igualamos argumentos
2 13
x
x
2 1 3x x 1 3 2x x
1 x 1x
Verificación (obligatoria)
3 3log 2(1) 1 log 1 l 3 3log 3 log 1 l
1 0 l
1 1
4) Resuelva por el método grafico la siguiente
problema
Min z=2x+2y
13 4
x y
13 5
x y
0, 0x y Las ecuaciones se pueden expersar asi tambine
4 3 12x y Iy(0, 12/3)=(0,4)
Ix(12/4,0)=(3,0)
5 3 15x y Iy(0, 15/3)=(0,5)
Ix(15/5,0)=(3,0)
x Y Z=2x+2y
0 3 2(0)+2(3)=6
0 5 2(0)+2(5)=10
3 0 2(3)+2(0)=6
La respuestas posibles son dos
Respuesta 1: x=0 y =3 z= 6
Respuesta 2: x=3 y =0 z= 6
6
MÉTODOS CUANTITATIVOS II PARCIAL iii
1. GENERALES
7
2. OPERACIONES COMBINADAS
8
9
3. POTENCIA
10
11
4. RADICALES
12
13
14
15
16
17
5. LOGARITMOS
18
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
19
20
Ejemplos
21
22
23
24
Aplique las propiedades y separe (descomponga)
25
26
27
Ejemplos
28
29
30
31
32
ECUACIONES EXPONENCIALES
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma
( ) mx bf x a B c i Donde B es un número positivo
EJEMPLO 1: 2( ) 2 2 1xf x i
a) Su grafica es
b) Asíntota horizontal: esto es lo que primero se debe determinar (línea horizontal de la gráfica)
que ocurre cuando y=c en el caso del ejemplo es AH: y=1
c) Tabla de valores: Para esbozar la gráfica elaboramos esta tabla:
Tipo X Y
-10 10 22 2 1 1.0078 i Iy 0 0 22 2 1 9 i 10 10 2 812 32 1 9 i otro 1 1 22 2 1 17 i Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica anterior, los valores que representan a menos infinito y más
infinito pueden ser cualquier valor, elegimos 10 porque números mayores se alejan demasiado, cuando uno de
los valores es muy grande elegimos otro mas pegado al 0, como el 1 para lograr graficar
d) Determinamos el intercepto en x, Ix(¿, 0) 20 2 2 1x i
Despejamos el término con el exponente 21 2 2x i
21 22
x
Revisamos los signos, porque recordemos que jamás un número con variable exponencial será cero
31100
31
7.888617.8886110
102
i
02 1 30100 302 1.26765 10 1.26765 10 i i
Por tanto no hay solución para el intercepto en x
58
e) Dominio = reales= , f) Rango = 1,
Notas:
para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos La grafica exponencial siempre tiene intercepto en y
EJEMPLO 2:
Y=
EJEMPLO 3:
59
60
61
62
63
64
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es una función de la forma
( ) logBf x a mx b c i Donde B es un número positivo
EJEMPLO 1:
2( ) 2 log 2 1f x x i g) Su grafica es
h) Asíntota vertical: esto es lo que
primero se debe determinar (línea
vertical de la gráfica) que ocurre
cuando mx+b=0 AH:x=-b/m
i) Dominio: un logaritmo no puede tener argumento negativo ni cero por lo tanto mx+b>0: 2 0
2
x
x
Dominio = 2, j) Con el dominio definido procedemos a
determinar el intercepto en x que
siempre existe Ix(¿,0)
20 2 log 2 1x i
21log 2
2x
Ponemos todo como potencia de la misma
base del logaritmo
21
log 222 2x
Aplicamos la propiedad
logb xx b
1
22 2x
Despejamos
1
22 2 x
1
2 92
1.292x
Ix (-1.2929, 0)
k) Calculamos ahora el Iy (0, ¿) si es que
existe
2 2(0) 2 log 0 2 1 2log (2) 1 3f i Iy (0,3)
l) Procedemos a elaborar una tabla de
valores, que debe tener al menos 3
puntos
Tipo X Y
AH -2 No aplica
Ix -1.2929 0
Iy 0 3
otro 2 2(2) 2 log 2 2 1 5f i
Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica e indicar los intercepto
m) Rango = , Reales Notas:
para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos
La grafica exponencial siempre tiene intercepto en x
65
EJEMPLOS 2
Y=
EJEMPLO 3
Y=
66
67
68
69
EJEMPLO DE SIMPLEX CON MAXIMOS Y MINIMOS
2 X + 1 Y >= 150
1 X + 3 Y >= 150
1 X + 1 Y
METODO SIMPLEXMODELOmax z = 5 x + 4 y
sujeto a8 x + 2 y = 0 Nota: Condicion exigida por simplex
PASO 1 CONVERTIR EN ECUACIONES8 x + 2 y + S1 = 164 x + 5 y + S2 = 20
PASO 2: pasar todas las variables al lado izquierdo-5 x -4 y + z = 0
1 PASO 3: CREAR MATRIZ, determinar columna pivote, b/bpivote, fila pivoteX Y S1 S2 Z B b/cpivote
ES1 +8 +2 +1 0 0 16 2 = 2.00 1/8 R1 -> R1 ->ES2 +4 +5 +0 1 0 20 5 = 5.00 R2 -> R2 -4 R1 ->EZ -5 -4 +0 0 1 0 R3 -> R3 5 R1 ->
Nota: columna pivote es la mas negativa osea "X"Nota: fila pivote es el valor que mejor cumple b/bpivote (POR LO GENERAL EL MAS BAJO)1 1/4 1/8 0 0 24 + (-4)(1) 5 + (-4)(1/4) 0 + (-4)(1/8) 1 + (-4)(0) 0 + (-4)(0) 20 + (-4)(2)-5 + (5)(1) -4 + (5)(1/4) 0 + (5)(1/8) 0 + (5)(0) 1 + (5)(0) 0 + (5)(2)
2 PASO 2: Elegimos la columna pivote y la fila pivote siguienteX Y S1 S2 Z B b/cpivote
ES1 1 1/4 1/8 0 0 2 SALIO R1 -> R1 -1/4 R2 ->ES2 0 4 -1/2 1 0 12 3 = 3.00 1/4 R2 -> R2 ->EZ 0 -11/4 5/8 0 1 10 R3 -> R3 11/4 R2 ->
Nota: la columna mas negativa ahora es la yNota: no calculamos b/cpivote de la fila 1 porque SALIO1 + (-1/4)(0) 1/4 + (-1/4)(1) 1/8 + (-1/4)(-1/8) 0 + (-1/4)(1/4) 0 + (-1/4)(0) 2 + (-1/4)(3)0 1 -1/8 1/4 0 30 + (11/4)(0) -11/4 + (11/4)(1) 5/8 + (11/4)(-1/8) 0 + (11/4)(1/4) 1 + (11/4)(0) 10 + (11/4)(3)
3 paso 3: vemos si hay mas valores negativos en EZ,1 0 5/32 -1/16 0 5/40 1 -1/8 1/4 0 30 0 9/32 11/16 1 73/4
Nota: como ya no hay valores negativos, termina el proceso1/2
4 Paso 4: La respuesta seran las sigueintesX Y S1 S2 Z B
ES1 1 0 5/32 -1/16 0 5/4 x= 5/4 =ES2 0 1 -1/8 1/4 0 3 y= 3 =EZ 0 0 9/32 11/16 1 73/4 z= 73/4 =
5 Verificamos el resultado con la funcion de maximizacion
z = 5 x + 4 y= 5 ( 5/4 ) + 4 ( 3 )= 73/4 correctoComo son iguales las respuestas de z y no hay mas negativos hemos terminado el metodo simplex
18.253.001.25
2/2