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PROBLEMA 13
Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye a travs de cuatro almacenes
de servicio al mercado.
Almacn
Precio de venta
(por unidad)
Demanda anual
(unidades)
1
2
3
4
$ 1.00
$1.10
$1.00
$0.60
40,000
10,000
20,000
25,000
PlantaCosto variable de produccin
(por unidad)
Capacidad
(unidades)
A
B
C
$ 0.40
$ 0.35
$ 0.45
40,000
30,000
45,000
A
De
Almacn
1 2 3 4
Planta A
Planta B
Planta C
$ 0.20
$ 0.20
$ 0.45
$ 0.20
$ 0.10
$ 0.30
$ 0.30
$ 0.35
$ 0.20
$ 0.30
$ 0.40
$ 0.20
a. Suponga que el gerente de mercadotecnia quiere cumplir con toda la demanda acosto mnimo. Elabore una formulacin de programacin lineal de este problema que
genere las decisiones de produccin y envos.
Use XA1 para representar la cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al
almacn 1; emplee notacin para otros casos. No resuelva el problema.
b. Suponga que el vicepresidente de grupo solo desea las demandas que generenbeneficios, es decir, quiere maximizar los beneficios (los ingresos menos los costos de
produccin y transporte). Modifique su formulacin de programacin lineal de (a.)
para resolver este problema en forma ptima. No resuelva el problema.
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Solucin del problema
Lo que hacemos, en primer lugar, es declarar todas las variables que vamso a necesitar para la
resolucin de nuestro problema:
XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1
XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2XA3 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 3
XA4 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 4
XB1 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 1
XB2 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 2
XB3 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 3
XB4 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 4
XC1 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 1
XC2 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 2
XC3 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 3
XC4 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 4
Parte a
1. Lo que nos pide el problema es minimizar costos (min z).Costo de produccin del Producto en la Planta A: 0.40 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4)
Costo de produccin del Producto en la Planta B: 0.35 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4)
Costo de produccin del Producto en la Planta C: 0.45 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4)
Costos de almacenaje de cada 0.20(XA1) + 0.20(XA2) + 0.30(XA3) + 0.30(XA4)
producto en cada almacn: 0.20(XB1) + 0.10(XB2) + 0.35(XB3) + 0.40(XB4)
0.45(XC1) + 0.30(XC2) + 0.20(XC3) + 0.20(XC4)
---------------------------------------------------------------
Costo Total Z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) +
0.70(XB3) + 0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)
Lo que el problema nos pide es minimizar esta funcin Z.
2. Una de las restricciones que nos plantea el problema es que debemos cumplir con toda lademanda; con esto nos quiere decir que debe existir restricciones de igualdades (=):
Demanda anual en el almacn 1: XA1 + XB1 + XC1 = 40,000
Demanda anual en el almacn 2: XA2 + XB2 + XC2 = 10,000
Demanda anual en el almacn 3: XA3 + XB3 + XC3 = 20,000
Demanda anual en el almacn 4: XA4 + XB4 + XC4 = 25,000
3. Tambin debemos cumplir con las restricciones de produccin que el mismo problemanos plantea:
Capacidad anual de produccin en la planta A: XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000Capacidad anual de produccin en la planta B: XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000
Capacidad anual de produccin en la planta C: XC1 + XC2+ XC3 + XC4 45,000
4. Aparte de estas restricciones debemos contar tambin con las restricciones de nonegatividad de cada variable:
XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0
XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0
XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0
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Por lo tanto nuestra formulacin de programacin lineal seria la siguiente:
XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2
XA3 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 3
XA4 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 4
XB1 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 1
XB2 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 2
XB3 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 3
XB4 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 4
XC1 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 1
XC2 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 2
XC3 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 3
XC4 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 4
Min: z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) + 0.70(XB3) +
0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)
Sujeto a:
XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000
XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000
XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000
XA1 + XB1 + XC1 = 40,000
XA2 + XB2 + XC2 = 10,000
XA3 + XB3 + XC3 = 20,000
XA4 + XB4 + XC4 = 25,000
XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0
XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0
XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0
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Solucin con el programa LINDO
1. Ingresamos la funcin que queremos optimizar. En nuestro caso ingresamos laecuacin Z con la intencin de minimizarla. Luego de esto ingresaremos cada
restriccin hallada para poder resolver el problema:
2. Luego de haber ingresado esto, indicamos al programa para que la resuelva:
Al mandar solucionar el programa nos sale esta pantalla. La informacin que nos
brinda esta pantalla es, principalmente:
El numero de Iteraciones = 5
La solucin = z = 56750
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3. Luego de esto, nos aparecer otra pantalla con lo siguiente:
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La tabla nos dice que:
VARIABLE VALUE
XA1 = 20000.000000
XA2 = 0.000000
XA3 = 0.000000
XA4 = 0.000000XB1 = 20000.000000
XB2 = 10000.000000
XB3 = 0.000000
XB4 = 0.000000
XC1 = 0.000000
XC2 = 0.000000
XC3 = 20000.000000
XC4 = 25000.000000
Rangos:
XA1: [0.55;0.70]
XA2: [0.50;INFINITY]
XA3: [0.65;I
NFI
NITY
]XA4: [0.65;INFINITY]
XB1: [0.45;0.60]
XB2: [-0.50;0.55]
XB3: [0.60;INFINITY]
XB4: [0.60;INFINITY]
XC1: [0.60;INFINITY]
XC2: [0.50;INFINITY]
XC3: [0.00;0.70]
XC4: [0.00;0.70]
Rangos:
Capacidad anual de produccin en la planta A: [20,000;INFINITY]
Capacidad anual de produccin en la planta B: [10,000;50,000]
Capacidad anual de produccin en la planta C: [45,000;INFINITY]
Demanda anual en el almacn 1: [20,000;60,000]
Demanda anual en el almacn 2: [0;30,000]
Demanda anual en el almacn 3: [0;20,000]
Demanda anual en el almacn 4: [0;25,000]
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Parte b
5. Lo que nos pide el problema es maximizar utilidades (max z), que es la diferencia de losingresos con los costos.
Costo de produccin del Producto en la Planta A: 0.40 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4)
Costo de produccin del Producto en la Planta B: 0.35 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4)
Costo de produccin del Producto en la Planta C: 0.45 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4)
Costos de almacenaje de cada 0.20(XA1) + 0.20(XA2) + 0.30(XA3) + 0.30(XA4)producto en cada almacn: 0.20(XB1) + 0.10(XB2) + 0.35(XB3) + 0.40(XB4)
0.45(XC1) + 0.30(XC2) + 0.20(XC3) + 0.20(XC4)
---------------------------------------------------------------
Costo Total Z = 0.60(XA1) + 0.60(XA2) + 0.70(XA3) + 0.70(XA4) + 0.55(XB1) + 0.45(XB2) +
0.70(XB3) + 0.75(XB4) + 0.90(XC1) + 0.75(XC2) + 0.65(XC3) + 0.65(XC4)
Lo que el problema nos pide es minimizar esta funcin Z.
6. Ahora calculamos los ingresos:Ingreso por la venta en el almacn 1: 1.00 (XA1 + XB1 + XC1)
Ingreso por la venta en el almacn 2: 1.10 (XA2 + XB2 + XC2)Ingreso por la venta en el almacn 3: 1.00 (XA3 + XB3 + XC3)
Ingreso por la venta en el almacn 4: 0.60 (XA4 + XB4 + XC4)
------------------------------------
Ingreso total 1.00 (XA1 + XB1 + XC1) + 1.10 (XA2 + XB2 + XC2) +
1.00 (XA3 + XB3 + XC3) + 0.60 (XA4 + XB4 + XC4)
7. Calculamos la utilidad:Utilidad total: z= 0.40(XA1) + 0.50(XA2) + 0.30(XA3) -0.10(XA4) + 0.45(XB1) + 0.65(XB2) +
0.30(XB3) - 0.15(XB4) + 0.10(XC1) + 0.35(XC2) + 0.35(XC3) 0.05(XC4)
8. Una de las restricciones que nos plantea el problema es que debemos cumplir lademanda que nos da beneficios; con esto nos quiere decir que debe existir restricciones:
Demanda anual en el almacn 1: XA1 + XB1 + XC1 40,000
Demanda anual en el almacn 2: XA2 + XB2 + XC2 10,000
Demanda anual en el almacn 3: XA3 + XB3 + XC3 20,000
Demanda anual en el almacn 4: XA4 + XB4 + XC4 25,000
9. Tambin debemos cumplir con las restricciones de produccin que el mismo problemanos plantea:
Capacidad anual de produccin en la planta A: XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000
Capacidad anual de produccin en la planta B: XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000Capacidad anual de produccin en la planta C: XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000
10.Aparte de estas restricciones debemos contar tambin con las restricciones de nonegatividad de cada variable:
XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0
XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0
XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0
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Por lo tanto nuestra formulacin de programacin lineal seria la siguiente:
XA1: Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 1
XA2 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 2XA3 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 3
XA4 : Cantidad que se produce en la fbrica A para el envo al almacn 4
XB1 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 1
XB2 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 2
XB3 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 3
XB4 : Cantidad que se produce en la fbrica B para el envo al almacn 4
XC1 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 1
XC2 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 2
XC3 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 3
XC4 : Cantidad que se produce en la fbrica C para el envo al almacn 4
Max: z = 0.40(XA1) + 0.50(XA2) + 0.30(XA3) -0.10(XA4) + 0.45(XB1) + 0.65(XB2) + 0.30(XB3)
0.15(XB4) + 0.10(XC1) + 0.35(XC2) + 0.35(XC3) 0.05(XC4)
Sujeto a:
XA1 + XA2 + XA3+ XA4 40,000
XB1 + XB2 + XB3+ XB4 30,000
XC1 + XC2+ XC3 + XC4 40,000
XA1 + XB1 + XC1 40,000
XA2 + XB2 + XC2 10,000
XA3 + XB3 + XC3 20,000
XA4 + XB4 + XC4 25,000
XA1 0 XA2 0 XA3 0 XA4 0
XB1 0 XB2 0 XB3 0 XB4 0
XC1 0 XC2 0 XC3 0 XC4 0
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Solucin con el programa LINDO
4. Ingresamos la funcin que queremos optimizar. En nuestro caso ingresamos laecuacin Z con la intencin de maximizarla. Luego de esto ingresaremos cada
restriccin hallada para poder resolver el problema:
5. Luego de haber ingresado esto, indicamos al programa para que la resuelva:
Al mandar solucionar el programa nos sale esta pantalla. La informacin que nos
brinda esta pantalla es, principalmente:
La solucin = z = 30500
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6. Luego de esto, nos aparecer otra pantalla con lo siguiente:
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La tabla nos dice que:
VARIABLE VALUE
XA1 = 20000.000000
XA2 = 0.000000
XA3 = 0.000000
XA4 = 0.000000XB1 = 20000.000000
XB2 = 1000 0.000000
XB3 = 0.000000
XB4 = 0.000000
XC1 = 0.000000
XC2 = 0.000000
XC3 = 20000.000000
XC4 = 0.000000
Rangos:
XA1: [0.30;0.45]
XA2: [-INFINITY;0.6]
XA3: [-I
NFI
NITY
;0.35]XA4: [-INFINITY;0.00]
XB1: [0.40;0.55]
XB2: [0.55;INFINITY]
XB3: [-INFINITY;0.40]
XB4: [-INFINITY;0.05]
XC1: [-INFINITY;0.40]
XC2: [-INFINITY;0.60]
XC3: [0.3;INFINITY]
XC4: [-INFINITY;0.00]
Rangos:
Capacidad anual de produccin en la planta A: [20,000;INFINITY]
Capacidad anual de produccin en la planta B: [10,000;50,000]
Capacidad anual de produccin en la planta C: [20,000;INFINITY]
Demanda anual en el almacn 1: [20,000;60,000]
Demanda anual en el almacn 2: [0;30,000]
Demanda anual en el almacn 3: [0;45,000]
Demanda anual en el almacn 4: [0;INFINITY]