5.6. EJERCICIOS RESUELTOS DE LA circunferencia

Ejemplo 1

1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

.... SOLUCIÓN

En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. 

Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene: 

 

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente: 

 

Ejemplo 2

2.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el

punto común a las rectas:  y ... ..

SOLUCIÓN

Al resolver simultáneamente el sistema:  se obtiene  . 

Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).       

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene

que   

es el valor del radio. 

Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con  y  , se obtiene: 

.. Ejemplo 3

3.Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de

extremos  y  .......

SOLUCIÓN

Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r

es  .   

Es decir,  (fórmula de la distancia).     

Esto es,       

Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del

segmento  . (Ver fig.).   

Asi que:  y     

Luego, la ecuación de la circunferencia pedida

es:  .

 

Ejemplo 4

4.La ecuación:  representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.

....

.. SOLUCIÓN

La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes: 

 

 

 

Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce

que:  y  . 

Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

   

Ejemplo 5

5.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

....

....  

SOLUCIÓN

 

Como A, B yC no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C. 

 

Su ecuación es la forma      

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0  Hallemos d, e y f. 

Como A(0, 6) C ,  

02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0  Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1)     

   

Como B(4, -2) C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0  Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2)     

Como C(9, 3) C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0     

Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3)     

El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así: 

12e + f = -36 

8d – 4e + f = -20 

18d + 6e + f = -90 

o también: 

cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0     

Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir:  (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25     

ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25     

Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5...

Ejercicio 6

6.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la

recta  ...    

Ejercicio 7

7.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la

recta  ... ..

SOLUCIÓN

Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones: 

 

(1) 

(2)   

De (2) se tiene:  (3).   

Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir:   

 

La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único punto de intersección. 

Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene:  . De esta forma  es el único punto común a la recta y a la circunferencia. 

En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto  .   

La figura adjunta ilustra la situación.         

 . ..

 

Problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia

1

Escr ib i r la ecuac ión de la c i rcunferenc ia de centro (3 , 4) y rad io 2 .

Dada la c i rcunferenc ia de ecuac ión x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 , ha l lar e l centro y e l

rad io .

Determina las coordenadas de l centro y de l rad io de las c i rcunferenc ias :

1

2

3

4 4x 2 + 4y 2 - 4x - 8y - 11 = 0

Calcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que t iene su centro en (2 , -3) y es

tangente a l e je de absc isas .

 

Ca lcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que t iene su centro en ( -1 , 4) y es

tangente a l e je de ordenadas .

 

Calcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que t iene su centro en e l punto de

intersecc ión de la rectas x + 3y + 3 = 0 , x + y + 1 = 0 , y su rad io es igua l a 5 .

 

Ha l lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia concéntr ica con la ecuac ión

, y que pasa por e l punto ( -3 ,4) .

Por ser concéntr icas t ienen e l mismo centro .

 

Hal lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que t iene e l centro en e l punto C(3 ,1) y es

tangente a la recta : 3x - 4y + 5 = 0 .

 

Ha l lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que pasa por los puntos A(2 ,0) , B(2 ,3) , C(1 ,

3) .

Hal lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia c i rcunscr i ta a l t r iángulo de vért ices : A(0 ,0) ,

B(3 ,1) , C(5 ,7) .

 

Ha l lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que pasa por los puntos A(2 ,1) y B( -2 ,3) y

t iene su centro sobre la recta : x + y + 4 = 0 .

 

Calcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que pasa por e l punto (0 , -3) , cuyo rad io es

y cuyo centro se ha l la en la b isect r i z de l pr imer y tercer cuadrantes .

 

Los extremos de l d iámetro de una c i rcunferenc ia son los puntos A( -5 ,3) y B(3 ,1) .

¿Cuá l es la ecuac ión de esta c i rcunferenc ia?

 

Ha l lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia concéntr ica a la c i rcunferenc ia

que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0 .

 

Calcu la la pos ic ión re lat iva de la c i rcunferenc ia y la recta

.

15

Estud iar la pos ic ión re lat iva de la c i rcunferenc ia x 2 + y 2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las

rectas :

1 x + 7y -20 = 0

 

 

2 3x + 4y - 27 = 0

 

 

3 x + y - 10 = 0

 

Determina las coordenadas de l centro y de l rad io de las c i rcunferenc ias :

1

2

3

 

Ca lcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que t iene su centro en (2 , -3) y es

tangente a l e je de absc isas .

 

 

Calcu la la ecuac ión de la c i rcunferenc ia que

t iene su centro en e l punto de intersecc ión de la rectas x + 3y + 3 = 0 , x + y + 1 =

0 , y su rad io es igua l a 5 .

 

Hal lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia concéntr ica con la ecuac ión

, y que pasa por e l punto ( -3 ,4) .

Por ser concéntr icas t ienen e l mismo centro .

 

Ha l lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia c i rcunscr i ta a l t r iángulo de vért ices : A(0 ,0) ,

B(3 ,1) , C(5 ,7) .

 

Los extremos de l d iámetro de una c i rcunferenc ia son los puntos A( -5 ,3) y B(3 ,1) .

¿Cuá l es la ecuac ión de esta c i rcunferenc ia?

 

Hal lar la ecuac ión de la c i rcunferenc ia concéntr ica a la c i rcunferenc ia

que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0 .

 

Estud iar la pos ic ión re lat iva de la c i rcunferenc ia x 2 + y 2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las

rectas :

1 x + 7y -20 = 0

 

 

2 3x + 4y - 27 = 0

 

 

3 x + y - 10 = 0

 

 

Ecuaciones de la circunferencia y la elipse                 17.1

Circunferencia

Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es r.

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda determinada cuando  conocemos:

o  Tres puntos de la misma.

o  El centro y el radio.

o  Un punto y el centro

o  El centro y una recta tangente.

Ecuación de la circunferencia

Ejemplos

Cálcula en esta actividad el centro y el radio de una circunferencia de ecuación en forma general.

En esta actividad puedea cambiar las coordenadas del centro de una circunferencia y ver que le pasa a la ecuación.

Elipse

Ejemplos

Ejercicios Resueltos de la Circunferencia

1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .

Solución: Aplicando completando trinomios cuadrados perfectos obtenemos:

( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0

Al reducir la expresión obtenemos la ecuación de la circunferencia

( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0

Por tanto, el centro y el radio son:

C ( 8 , - 1 ) ; a = 0

2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .

SOLUCIÓNCompletando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4

De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y K = 4.

Como a² =4, entonces a = 2.

El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P alcentro C.

a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4

Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16

3. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

SOLUCIÓNEl centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:C (h ,k)

k = 2

h = -2

Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,

por lo tanto, C B ² = 52 = radio

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.

4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Solución: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:

(x + 5)² + (y – 12)² = 169

x² + y² + 10x – 24y = 0

Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica.

Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).

5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.

SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:

x = 10 - 2 y

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, seobtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0

100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0

5 y² - 40 y + 80 = 0

y² - 8 y + 16 = 0

Resolviendo para y:Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:

x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia.