Solucionario taller transformada de fourier

Post on 06-Jun-2015

65.663 views 36 download

description

Solucionario de un taller de comunicaciones 1. El contenido del taller es sobre trasnformada de fourier, transformada inversa de fourirer y sus propiedades, y el teorema de convolución.No todos los ejercicios están buenos pero sirven para realizar otros

Transcript of Solucionario taller transformada de fourier

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

SOLUCIONARIO

TALLER DE TRANSFORMADA DE FOURIER, TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER Y

TEOREMA DE LA CONVOLUCION

PRESENTADO AL PROFESOR:

ING. VICTOR CORREA

POR EL ESTUDIANTE

JUAN PABLO GOMEZ GALLEGO

PARA LA MATERIA COMUNICACIONES I

DEL PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS

Y COMPUTACIÓN

Miércoles, 23 de mayo de 2007

Taller

1. Calcular la trasnformada de Fourier para las siguientes funciones ���� no periódicas

Solución

a) ������ � �� �� � �� � � �� � �� �� �� � �� �� ������� � �� �� ��������������������� ���� � 2�� �� �cos���� cos ������

b) ������ � � �� � 1� 14 ��� � 14 �� 4�# � $% & �� � 1� 14 ��� � 14 �� 4�' ����(��)

�* + ������� � � ��� 14 � 14 ���)���# ���� � ����� � 14 ���)�� 1����

c)

% ������(��*, � ������������ 2� � 2��- ,

* �./0 �1�2/ #1� % ������(��*

, � ���������4 2� � 2� 2�-

d)

������ � A2 � ∂�t � 3� � ∂�t � 1� ∂�t 3�� ������� � �2 9%�:�� � 3� � :�� � 1� :�� 1� :�� 3������(; ������� � �2 ��-�� � ��� ���� � ��-��� ���� � 2��sin 3� � sin ��

e)

������ � A�∂�t � 5� ∂�t � 4� � ∂�t � 3� � ∂�t 3� ∂�t 4� � ∂�t 5�� ������� � A %�∂�t � 5� ∂�t � 4� � ∂�t � 3� � ∂�t 3� ∂�t 4� � ∂�t 5������(�� ���� � �?�@�� �)�� � �-�� � ��-�� ��)�� � ��@��A ���� � 8��C/D�5�� C/D�4�� � C/D�3���

f)

F�ω� � % cos�t�dtH��H�

F�A� � A % e�JKLdtH��H� � �����(iω �H�

H� � A eJKH� eJKH�iω � 2 sin Mω π2Oω � 4P � D� Mω π2O ��4� � 4P � D� Mω π2O por la propiedad de la modulación

g)

���� � cos �20��

��4� � % cos �20����

Y ���Z(��[\�[\ � ]^_`a��Z �[\ [\ � ]_`[\��Z � ]^_`[\�Z � ]_`[\ �]^_`[\�Z � � H bJc Z[\@ =sa(

H@ w) ��cos�20��� � D� MP5 4 20O � D� MP5 4 � 20O2

h)

% ���(���Z(��,�e � % ���(���Z(�� � ����f�Z�(�� � �4��e

, � ����f�Z�(�� � �4�,ee

,� 1�� � �4� � ���f�Z�e� � �4 ����f�Z�e� � �4 � 1�� � �4� � ���f�Z�e ����f�Z�e� � �4

i)

% ���(g������Z(� � % ���(e, ���Z(�� � ����f�Z�(�� � �4�,

e � ����f�Z�e�� � �4� � 1�� � �4�h

, � 1 ����f�Z�i�� � �4�

2. Para una función����con trasnformada ��4�comprobar las siguiente propiedades

a)

Propiedad de diferenciación en frecuencia:

���� j ��4� ��4� � % �k�k ������Z(�� ���4 � ��4 % ����k

�k ���Z(�� ���4 � % ���������Z(��k�k

������ j ���4

En general: ����l���� � �l�4l

b)

Propiedad de la simetría:

���� j 2P��4� ���� � 12P % ��4���Z(��k

�k m� 0��nop�q� � o/0 � r sg���: ���� � 12P % ��4����Z(��k�k

Se reemplaza w por x

2P���� � % ��2����u(�2k�k

Se reenop�q� t por w 2P��4� � % ��2����uZ�2k�k

Se reemplaza x por t

2P��4� � % �������(Z��k�k

���� j 2P��4�

d)

Propiedad de escalamiento:

����� j 1|�| � M4� O

Sea � una constante real positiva

�������� � % ��������Z(��k�k

Se reemplaza 2 � �� �������� � 1� % ��2���M�Z� Ou�2k�k

�������� � 1� � M4� O ����� j 1� � M4� O

e)

Convolución en la frecuencia:

�*��� j �*�4� �w��� j �w�4� % �*�2����� 2��2k�k j �*�4��w�4�

�*�������� j 12P % �*�g����4 g��gk�k

�*�������� j 12P �x�4� y �w�4�#

3. Si la función ���� con transformada ��4�, calcular la transformada de ���� sin�4,��

% ����D�1�4z����k�k � % ���� $��Z( ���Z(2� + ��k

�k � 12� $% ������Z(k�k % �������Z(k

�k +� 12� ���4 4,� ��4 � 4,��

4. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (dibujar����r �p ��4�)

a.

Con a=-1

���� � ����(g��� ��4� � % ����(k, ���Z(��

% �����f�Z�(k, ��

$����f�Z�( ��� � �4�� 1��� � �4�� ,k+ {�0 �1�2/ #2

��4� � 1�� � �4��

b.

a=-1

���� � ��|} sin�4,�� g��� ��4� � 12� ��4 4,� 12� ��4 � 4,� � 12� ~�����(g����Z�Z� � �����(g����ZfZ�� ��4� � 12� 1��4 4,� � � � 1��4 � 4,� � �#

C.

| � xx� �� � �

���� � ����( cos 4,� g���

��4� � % ����( cos 4,� ���Z(g�����k�k

��4�� � % ����(���Z(��k, � 1�� � �4��

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2

��4� � 1�� � ��4 4,��� � 1�� � ��4 � 4,���2

d.

| � �. ��

a=1

���� � ���(� ��4� � Y ���(�k�k ���Z(��

g � ���(� �g � 2�����(� �� � ���Z( � � ���Z(�4 ��4� � ���(� ���Z(�4 2��4 % ����(����Z(��k

�k � 0 2��4 % ����(����Z(��k�k

��4� � 2�4 ���4��4

2� ���4��4 � 4��4� � 0

���4��4��4� � 42� �� ln ��4� � 4�4� � � �� ��4� � ���Z�)� � �P� ��Z�)�

e.

f.

���� � Sa�w,t� cos�3w,t� F�w�� � % Sa�w,t�e�J�Ldt � 2πw, G���w�k�k

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2 ��4� � πw, ?G���w 3w,� � G���w � 3w,�A

g.���� � sin��� cos�6��

��4� � % �D�1���cos �6������Z(���,

��4� � Y M]�_a�]\_a�]^\_af]^�_a�� O�, ���Z(dt ��4� � Y �����Z�(���, -Y ���@�Z�(���, Y ����@fZ�(���, � Y �����fZ����, ��4� � �����Z�(��7 4�,

� ���@�Z�(��5 4�,� ����@fZ�(��5 � 4�,

� � �����fZ���7 � 4�,�

��4� � �����Z�� 1��7 4� ���@�Z�� 1��5 4� � ����@fZ�� 1��7 � 4� ����fZ���*��7 � 4� H.H.H.H. ���� � �1 �����(�� ��4� � % �1 �����(�� ���Z(��k

�k � % ��(�� ���Z(��k�k % ��]^a�� ���Z(��k

�k � &4��(�� ' � √2P ��Z�� �

�� &��(�� '�4 � √2P 4��Z��

����]^a�� ��Z� � √2P �^`�� �1 � 4�)

��4� � √2P �^`�� √2P �^`�� �1 � 4�)= ��4� � √2P �^`�� �1 � 1 � 4�� �4�√2P �^`��

5. Usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales

a. ��0� � Y �1 ���w��}w��k�k ��4� � Y �������Z(��k�k ��0� � Y ������k�k ���� � % �1 2�� � �)���}w�� � % ��}w��k

�kk

�k 2 % ��}w����k�k � % ��}w�)k

k�

���� � √P &��Z�) ' $1 4�2 4)8 + C/1 4 � 0 ���� � √P

b. ��0� � % ��}wC/D��5����k�k ��4� � % �������Z(��k

�k ��0� � % ������k�k

���� � 12 % ��}w�1 � C/D�10����� � $% ��}w�� � % ��}wC/D�10����k�k

k�k +k

�k

� M��}wO � √P &��Z�) ' C/1 4 � 0 � M��}wO � √P ���� � √P � √P 9���@) ; � 9���@) ;# 2

6. Calcular la trasnformada de Fourier de las siguientes señales periódicas:

a. ���� � |�D�1�4,��|

�l � 4,�2P % sin �4,����Z�l(�, ��

� 4,�2P % $e�Z�( e��Z�2i + ��Z�l(���,� 4,�4�P $% ��Z��*�l�(�, % ���Z��*fl�(�

, +� 4,�4�P � ��Z��*�l�(�4,�1 1�,

� � ���Z��*fl�(�4,�1 � 1�,��

� 4,�4�P $ ��Z��*�l���4,�1 1� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l���4,�1 � 1� 1�4,�1 � 1�+� 4,�4�P $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +

���� � 4,�2� � $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +k�k e�Z�l(

��4� � 4,�2� � $��Z��*�l�� 1�4,�1 1� � ���Z��*�l�� � 1�4,�1 � 1� +k�k :�4 14,�

b.

���� � � cos�200P�� �l � 1i % f�t�e�Jc��Ldth�

�h� � 14 � % ��lZ�(��*�* � 14 ���lZ�(�14, �*

* � 14 A $eJcZ�L eJc�Z�in4, +� 12 ASa�n4,t� ¡��� � 2P � m��14,����lZ�(k

�k ��4�� � ��¡���� � 2P � m��14,�k

�k :�4 14,�

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2

��4� � P �� m��14,�k�k :�4 200 14,� � � m��14,�k

�k :�4 � 200 14,��

c.

���� � C/D�100P�� �l � 14 % ����lZ���*

�* � 14 � &���lZ�( ��lZ�(�14, ' � �2 9sin �14,14, ; � �2 m��14,� ¡��� � P� � m��14,���lZ�(k

�k ��4�� � P� � m��14,�:�4 14,�k

�k

��4� � ��4��Z�Z� � ��4��ZfZ�2� P�2 ¢ � m��14,�:�4 100 14,� � � m��14,�k

�k :�4 � 100 14,�k�k £

7.Si f(t) tiene la transformada ��4� calcular la transformada de las siguientes funciones

a)

��� ��2��� � % ���2�����Z(��k�k � ����� ��2���2

b) ���� 2������ � % �� 2���������Z(�� �k�k % ��������Z( 2 % �������Z(k

�kk

�k

���� 2������� � ������ 2������� 2��4�

c)

���� 2���2���� % �� 2���2������Z(�� �k�k 22 % ���2�����Z( 2 % ��2�����Z(k

�kk

�k ���� 2���2���� � 12 ����� 2���2���� 2��24�

8.Calcular �*��� y �����o�0� p�D D�¡g��1��D D�ñ�p�D: a.

f*�t� � f��t� � u�t� % g�2�g�� 2��2 � % g�� 2��2 � % �2 � 2, (L,

k,

k�k � t

b.

f*�t� � u�t�, f��t� � e�Lu�t� % g�2�g�� 2�e��L�¦��2 � % g�� 2�e��L�¦��2 � % ���(�u��2 � ���Zu, (L,

k,

k�k � ���Z( 1

c.

f*�t� � e��Lu�t�, f��t� � sin�3t� % e��¦u�x�k

�k sin�3�t x�� �2 � % e��¦ $�-��(�u� ��-��(�u�2� +k, �2

� 12� $% ����f-��uf-�(k, �2 % �����-��u�-�(k

, �2+� 12� �����f-��uf-�(�2 � 3�� ,

k �����-��u�-�(�2 3�� ,k� � 12� $ �-�(�2 � 3�� ��-�(�3� 2�+

d. �*��� � ��(g���, ����� � cos �2�� g��� % e�¦u�x�k

�k cos��2�t x�u�t x� �2 � % e�¦ $����(�u� � �����(�u�2 +(, �2

� % ���*f���uf��(, �2 � % ���*����u���(

, �� � ���*f���uf���1 � 2�� ,( ���*����u����1 2�� ,

(

� 12� $ ���*f���(����2� � 1� � ����2� � 1� � ���*����(�����2� 1� �����2� 1�+

e.

�*��� � ���( sin�4�� g���, ����� � g���

� ¨���( sin�4�� g���©� ¨g���© � 9 4�2 � �4�� � 16; 9P �4� � 1�4;

���� � % ���u sin�42� g�2�k�k g�� 2��2 � % ���u sin�42�(

, �2� 12� % ���u?�)�u ��)�uA(

, �2 � 12� $% �����)��u(, �2 % ����f)��u�2(

, +� 12� � �����)��u�2 4��,

( ����f)��u�2 � 4��,( �

� 12� $ �����)��(�2 4�� � 1�2 4�� � �����)��(�2 � 4�� 1�2 � 4��+

f.

�*��� � �g�1 �� �� � ª2 �� 2�

�ª2 % g�1 2��� 2 2��2 � �ª2 % �� 2 2��2 � �ª2 ��� 2�2 2�2 ,*�*

�k�

, � �ª2 �� 2� 12#

10.Calcular la transformada inversa de Fourier de los siguientes espectros ��4�

a.

��4� � sin�4�,� ���� � 12P % sin��,4� ���Z(�4 � 14�Pk�k % ?��(�Z ���(�ZA��Z(k

�k �4 14�P $% ���(�f(�Z�4k

�k % ���(��(�Z�4k�k + � 14�P ����(�f(�Z���, � ���k

k ���(��(�Z���, ���kk �

b.

��4� � ���Zg�4� ���� � 12P % ���Zg�4���(Z�4 � 12Pk�k % ���Z��(Z�4 �k

,12P % ����f�(�Z�4k

, 12P $ ����f�(�Z�� � ��,�+,

k � 12P 9 1� ��;

c.

��4� � g�4� ���� � 12P % ��(Z�4 � 12Pk

, &��(Z�� ',k � 12P 91��;

d.

���� � 12P $% �2� �4 4, 2����(Z�4 � % �2� �4 � 4, � 2����(Z�4Z�f��Z�

Z�Z���� + �

�4�P $% �4 4, 2����(Z�4 % �4 � 4, � 2����(Z�4Z�f��Z�

Z�Z���� +

�4�P «$��(Z�4�1 �4��� 4,��(Z�� 2���(Z�� Z����Z� +

���(Z�4�1 �4��� � 4,��(Z�� � 2���(Z�� Z�Z�f���¬

e.

��4� � |��4�|��­ � ���­ ®�4� � �,4 ��4� � � ���(�Z ���� � 12P % � ���(�Z��Z(�4Z�

�Z� � �2P��� �,� ?���(�(��ZA�Z�Z� � �P $��Z��(�(�� ���Z��(�(��2��� �,� +

� �P sin�4,�� �,���� �,� � 2�i sin�4,�� �,���� �,� 2Pi � 2�i m��4,�� �,��

f.

���� � �2P $ % ��Z(�4,�Z�/� � % ��Z(�4Z�/�

, +

���� � �2P � ��Z(it ���/�

, � ��Z(�� ,Z�/��

���� � �2P ° 1�� � ���(Z��it � ��(Z��it 1it ± � �2P °2 � 2C/D M�4,2 O�� ±

Anexos.

#1

% ����( �� g � �� �g � 2� �� � ��( � � ��(� % ����( �� � ����� � 2� % ���(�� g � �, �g � ��, �� � ��(, � � ��(�

Y ���(�� � (]²a³ � *³ Y e³Ldt % ���(�� � te³La � e³La� � �te³L � e³L��

% ����( �� � ����� � 2� &�te³L � e³L�� ' � ����� � 2��te³L � e³L��- � ������( � 2��te³L � e³L��-� ��(����� � 2� � 2��-

#2

% ���(�� � �te³L � e³L�� � e³L�a � 1���