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TEMA 1: NÚMEROS REALES 3º ESO Matemáticas Apuntes para trabajo del alumnos en el aula.
1. Fracciones. Números racionales • Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador
de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente.
€
1236
€
2472
€
168504
€
39
€
13
simplificar amplificar
€
⋅2
€
⋅7
€
: 4
€
: 3
1. Fracciones. Números racionales Todas las fracciones equivalentes a una dada determinan un mismo número que se llama número racional
13
€
39
=
€
1236
=
€
2472
=
€
168504
=
El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q
1. Fracciones. Números racionales
• Expresa estas fracciones con el mismo denominador
EJERCICIO 1 *Página 8. Ejercicio 3
Triángulos Semejantes: “Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si” � Teorema de Tales: “Si por un triángulo se traza una
línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”
2. Representación de números racionales Representar
€
34
EJEMPLO 1
2. Representación de números racionales
2. Representación de números racionales
2. Representación de números racionales
2. Representación de números racionales
€
AEAC
=ADAB
€
1u1u*
=AD34u*
€
AD =34u* ⋅ 1u
1u*
€
AD =34u
“AC es a AE como AB lo es a AD”
1 unidad en la línea verde es a una unidad en la línea negra como en la línea verde lo son a en la línea negra
€
34
€
34
2. Representación de números racionales
€
34Observa que es una fracción propia. ¿Cómo
podemos representar las impropias?
€
53
€
53
=1+23
EJEMPLO 2 Representar
2. Representación de números racionales
• Utiliza el teorema de tales para representar en la recta real los siguientes números:
EJERCICIO 2 *Página 9. Ejercicio 10
2. Representación de números racionales
• Calcula los valores de las abcisas de los puntos de cada figura
EJERCICIO 3 *Página 9. Ejercicio 13
3. Operaciones con números racionales • Suma y diferencia
Se reducen primero a común denominador y se suman o restan los numeradores
€
912
+812
=1712
€
34
+46
=
3. Operaciones con números racionales
• Producto
• Inversa
• Cociente
Producto, inversa y cociente
€
35⋅26
=630
€
ab⋅cd
=a ⋅ bc ⋅ d
€
35⋅53
=1515
=1
€
ab⋅ba
=a ⋅ bb ⋅ a
=1
€
35: 26
=35⋅62
=1810
€
ab: cd
=ab⋅dc
=a ⋅ db ⋅ c
4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional
La expresión decimal de una fracción es el número que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador
€
−51
= −5
€
174100
=1,74
€
259
= 2,⌢ 7
€
12490
=1,3⌢ 7
Entera
Decimal exacta o finita
Decimal periódica pura
Decimal periódica mixta
€
1,3ˆ 7 anteperíodo
período Parte entera
De la expresión fraccionaria a la decimal
EJEMPLOS
4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional
• Todo decimal exacto o periódico puede escribirse en forma de fracción de acuerdo con la siguiente fórmula
De la expresión decimal a la fraccionaria
€
x =
Número entero formado por las cifras de la parte entera, el anteperíodo y el período.
Número entero formado por las cifras de la parte entera y el anteperíodo.
Tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
Tantos nueves como cifras tenga el período.
• ¿Cómo podemos saber si un número racional tiene representación decimal exacta, periódica pura o periódica mixta?
• Atendiendo al denominador de la fracción irreducible: • Si tiene sólo como factores doses y cincos: su desarrollo decimal
es finito • En otro caso será periódico.
• Si tiene doses, cincos y otros: será periódico mixto • Si no tiene doses ni cincos será periódico puro
4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.
• Sin hacer la división, di que tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción
4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.
EJERCICIO 4 *Página 12. Ejercicio 27
• ¿Cómo podemos pasar de decimal a fracción?
Caso 1 Pasar 3,25 de decimal a fracción
Como es un decimal exacto, multiplicamos por 100 (dos decimales) y construimos la fracción con el número obtenido como numerador y el 100 como denominador.
€
325100
Decimal exacto
4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.
Caso 2
€
x =1,23232323232323....
€
100 ⋅ x =123,232323232323....
€
100 ⋅ x − x =123,2323....−1,232323...
€
99x =122
€
x =12299
Pasar de decimal a fracción
Multiplicamos por 100
Restamos
Despejamos x
Decimal periódico Puro
4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.
Caso 3 Pasar de decimal a fracción Decimal periódico
Mixto
€
1,4ˆ 6
€
x =1,466666666
€
100 ⋅ x =146,666666...
100 ⋅ x −10x =146,6666....−14,666...90x =132
Multiplicamos por 100
Restamos
Despejamos x €
10 ⋅ x =14,666666...Multiplicamos por 10
x = 13290
4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.
5. Números irracionales • Los números con expresión decimal ni exacta ni periódica
pura se llaman números irracionales. • No pueden expresarse como una fracción de términos
enteros • Observa:
8,10100100010000100000
1 2 3 4 5
5. Números irracionales • Otro ejemplo:
7,73773777377773777773
1 2 3 4 5
5. Números irracionales • Las raíces no exactas dan lugar a expresiones decimales
no periódicas, es decir a números irracionales. • La diagonal de un cuadrado lado 4 es un número
irracional. • Aplicando pitágoras:
€
d2 = 42 + 42 ⇒ d2 = 32⇒ d = 32
€
πEl número
Es ilimitado y no periódico. Es decir es irracional. Es el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. El número π con 1000 cifras decimales 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
59230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642.
6. Números reales. Valor absoluto REALES"
Racionales (Q)"
Irrac
iona
les
(I)"Enteros (Z)"
Naturales"(N)"
6. Números reales. Valor absoluto. • El valor absoluto de un número real x es el número en
positivo, y se denota por |x| • Geométricamente representa la distancia de “x” al punto
cero (0) en la recta numérica.
€
−5 = 5
€
+2 = 2
7. Aproximación decimal de los números reales
Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él
POR DEFECTO: el número es menor que el sustituido
POR EXCESO: el número es mayor que el sustituido
APROXIMAR
POR REDONDEO: elegir la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si es mayor o igual que 5
Para redondear un número a un orden dado:
Se observa la primera cifra eliminada
SI <5
SI ≥5
Mejor aproximación por defecto
Mejor aproximación por exceso
€
55 = 7,416198487...
Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima
Truncamiento 7 7,4 7,41 7,416 7,4161
Redondeo 7 7,4 7,42 7,416 7,4162
7. Aproximación decimal de los números reales
EJEMPLO
8. Errores de una aproximación
El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y la aproximación escogida.
Si se elige 1,5 como valor de
€
2€
2 =1,41421356237309...
Si se elige 1,4 como valor de
€
2
|1,5-1,4142135…|=0,0857…
|1,4-1,4142135…|=0,0142…
EJEMPLO
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número.
8. Errores de una aproximación
El error relativo no sólo contempla el error cometido sino que
establece una relación entre el error cometido y la medida original que
permite hacer comparaciones
8. Errores de una aproximación
8. Errores de una aproximación
8. Errores de aproximación Error absoluto: 2m en todos los casos.
¿Es la misma clase de error? ¿Es igual de “grave”?
€
E r1=260
€
E r2=
21000
€
E r3=24,5
El error relativo establece una relación entre el error cometido y
la medida original que permite hacer comparaciones
8. Errores de una aproximación EJERCICIO 5 *Ejercicio 53
EJERCICIO 6 *Ejercicio 54
9. Representación gráfica de números reales
• A cada número real se le asocia un punto de la recta, llamada recta real.
• Recíprocamente a cada punto de la recta se le asocia un número real.
Representación gráfica de números reales (por aproximación)
€
π = 3,14159265...Para representar pi usando aproximaciones seguimos el siguiente proceso:
€
π
EJEMPLO
€
2 =1,41421356237309...
9. Representación gráfica de números reales (teorema de pitágoras)
Usaremos el teorema de Pitágoras
€
2 = 12 +12
EJEMPLO
9. Representación gráfica de números reales EJEMPLO
9. Representación gráfica de números reales
€
2
EJEMPLO
9. Representación gráfica de números reales
€
2
€
2 = 12 +12EJERCICIO 7 Representa
€
3
€
3 = 12 + 2( )2
EJERCICIO 8 Representa
€
6
€
6 = 3( )2
+ 3( )2
EJERCICIO 9 Representa
10. Intervalos y semirrectas • Un intervalo es un segmento de la recta que contiene
todos los números comprendidos entre estos dos números llamados extremos
• Dependiendo de si los extremos están incluidos o no existen hasta cuatro tipos de intervalos
• Tipos de intervalos
10. Intervalos y semirrectas
10 .Intervalos y semirrectas
• Los intervalos y semirrectas se usan para describir conjuntos de números en la recta real
€
(−∞,a](−∞,−2]
€
(−∞,a)(−∞,5)
€
[a,+∞)[7,+∞)
€
(a,+∞)(−4,+∞)
TIPOS DE SEMIRRECTAS
10. Intervalos y semirrectas • Dibuja en la recta real cada uno de estos intervalos
EJERCICIO 10
10. Intervalos y semirrectas
Dibuja en la recta real estas semirrectas EJERCICIO 11
10. Intervalos y semirrectas
Indica el intervalo que representa cada dibujo.
EJERCICIO 12
10. Intervalos y semirrectas
• Dibuja en la recta real las semirrectas determinadas por las relaciones
€
x > 3
€
x ≥ 3
EJERCICIO 12
Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales:
€
45,77777....A)
€
1,2323232323....B)
EJERCICIO 13 *Ejercicio 88
€
0,53636...D)
€
3,42222....C)
Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales:
EJERCICIO 13 (continuación) *Ejercicio 88
• Escribe y representa los intervalos o semirrectas descritos a continuación. a) Al menos 20 euros. b) Como poco 13 años, pero no llega a 20 c) No menos de 5 ni más de 7 km. d) Entre 750 g y un kilo y medio. e) De −1 a 12, ambos inclusive.
EJERCICIO 14
Halla los valores que faltan en la tabla
EJERCICIO 15
Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta
EJERCICIO 16 *Ejercicio 93
Determina el valor de un denominador adecuado para convertir cada fracción en una expresión decimal del tipo que se indica.
EJERCICIO 17
Realiza las siguientes operaciones:
EJERCICIO 18 *Ejercicio 82
Encuentra una fracción que esté situada entre y
€
47
€
53
EJERCICIO 19 *Ejercicio 85
Observa la siguiente operación:
a) ¿Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en ella?
b) Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta
EJERCICIO 20 *Ejercicio 86
¿Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea 7,414114111...? Justifica la respuesta.
EJERCICIO 21 *Ejercicio 94
Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a) Todo número entero es racional. b) Todo número real es racional. c) Muchos números racionales son naturales. d) Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria. e) Los números irracionales forman el conjunto de todos los números
con infinitas cifras decimales.
EJERCICIO 22 *Ejercicio 95
Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
EJERCICIO 23 *Ejercicio 97
Realiza estas aproximaciones del número 463,2673
a) Aproxima por defecto a la centésima. b) Aproxima por exceso a la milésima. c) Redondea a la parte entera. d) Redondea a la décima.
EJERCICIO 24 *Ejercicio 98
Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al elegir 5,67 como aproximación de
€
173
EJERCICIO 25 *Ejercicio 100
El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es 5,831.
Determina el error absoluto y el error relativo.
EJERCICIO 26 *Ejercicio 102
Representa en la recta real el número
€
7
EJERCICIO 27 *Ejercicio 106
En el triángulo equilátero de la figura: a) Determina la altura redondeando a la milésima b) Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales.
EJERCICIO 28 *Ejercicio 118
116. El radio de la Luna es de 1737 kilómetros. a) Calcula el perímetro de su ecuador, tomando para π el valor 3,14.
Redondea el resultado a las unidades. b) Calcúlalo ahora con la aproximación que usaban los babilonios: π = 3. c) Compara los resultados obtenidos. Si el valor verdadero es el del apartado
a, ¿qué errores absoluto y relativo cometían los babilonios? d) Calcula el error relativo en %
EJERCICIO 29 *Ejercicio 116
Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.
EJERCICIO 30 *Ejercicio 110
Representa cada uno de estos números irracionales en una recta. EJERCICIO 31 *Ejercicio 109
Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales.
EJERCICIO 32 *Ejercicio 80
Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales:
€
5,222222....A)
€
7,452323232323....B)
EJERCICIO 33
Representa usando un gráfico y un intervalo, el conjunto de números que satisface la desigualdad:
€
x ≤ 5
€
€
x ∈[−5,5]
EJERCICIO 34
Números reales. 2014-2015
MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA
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