Post on 28-Jul-2018
Carlos Paredes CALCULO II
Apartado 6
Integrales triples.
Teorema de Fubini.
TEMA 4
Cálculo integral en Varias variables
Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Carlos Paredes CALCULO II
INTEGRAL TRIPLE
Integral definida según Riemann en R ⊂ IR3, planteamiento general
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Carlos Paredes CALCULO II
INTEGRAL TRIPLE
Integral definida según Riemann en D ⊂ IR3, planteamiento general
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
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INTEGRAL TRIPLE
Integral definida según Riemann en Q ⊂ IR3, propiedades
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
PROPERTIES
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INTEGRAL TRIPLE
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini - I
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
===
E
bx
ax
)x(gy
)x(gy
)y,x(uz
)y,x(uzD
)y,x(uz
)y,x(uz
2
1
2
1XY
2
1
dx)dy)dz)z,y,x(f((dA)dz)z,y,x(f(dV)z,y,x(f
E
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INTEGRAL TRIPLE
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini – I, ejemplo
Evaluate where E is the region under the plane that lies in the first octant.
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INTEGRAL TRIPLE
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Teorema de Fubini - II
E
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
===
E
by
ay
)y(gz
)y(gz
)z,y(ux
)z,y(uxD
)z,y(ux
)z,y(ux
2
1
2
1YZ
2
1
dy)dz)dx)z,y,x(f((dA)dx)z,y,x(f(dV)z,y,x(f
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T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini – II, ejemplo Determine the volume of the region that lies behind the plane and
in front of the region in the yz-plane that is bounded by and .
INTEGRAL TRIPLE
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INTEGRAL TRIPLE
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini - III
E
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
===
E
bx
ax
)x(gz
)x(gz
)z,x(uy
)z,x(uyD
)z,x(uy
)z,x(uy
2
1
2
1XZ
2
1
dx)dz)dy)z,y,x(f((dA)dy)z,y,x(f(dV)z,y,x(f
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T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini – III, ejemplo
INTEGRAL TRIPLE
Evaluate where E is the solid
bounded by and the plane .
The region D in the xz-plane can be found by “standing” in front of this solid and we can see that D will be a disk in the xz-plane. This disk will come from the front of the solid and we can determine the equation of the disk by setting the elliptic paraboloid and the plane equal.
We can always “translate” them over to the xz-plane with the following definition. Since the region doesn’t have y’s we will let z take the place of y in all the formulas. Note that these definitions also lead to the formula,
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INTEGRAL TRIPLE
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Teorema de Fubini, ejemplo
F(x,y,z)=xyz
R
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INTEGRAL TRIPLE
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Teorema de Fubini, ejemplo
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=
−=
φ=
φ=
γ=
γ=
=
===
D
1x
1x
)x(y
)x(y
)y,x(z
)y,x(zR
)y,x(fz
)y,x(fz
2
1
2
1XY
2
1
dx)dy)dz)z,y,x(F((dA)dz)z,y,x(F(dV)z,y,x(F
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INTEGRAL TRIPLE
Elección de los límites de integración
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
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INTEGRAL TRIPLE
Elección de los límites de integración, ejemplo
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Carlos Paredes CALCULO II
INTEGRAL TRIPLE
Elección de los límites de integración, ejemplo
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
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INTEGRAL TRIPLE
Elección de los límites de integración, ejemplo
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
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INTEGRAL TRIPLE
Elección de los límites de integración, ejemplo
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
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INTEGRAL TRIPLE
T4 – A6: Integrales triples. Fubini
Elección de los límites de integración, ejemplo
Carlos Paredes
Ejercicio
Determina el volumen del tetraedro, integrando dydzdx
CALCULO II
T4 – A6: Integrales triples. Fubini