UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA TRABAJO COLABORATIVO No. 2: 299006 – CONTROL DIGITAL

TRABAJO COLABORATIVO No. 2 Nombre de curso: 299006 – Control Digital Temáticas revisadas: Unidad 2, capítulo 1 – Técnicas de diseño digital basado en la frecuencia. Unidad 2, capítulo 2 – Técnicas de diseño digital. Unidad 2, capítulo 3 – Análisis en el espacio de estados. 1. NOTA ACLARATORIA El curso CONTROL DIGITAL – 299006 es de tipo Metodológico (Teórico/Práctico); por lo tanto, hay que tener en cuenta que los trabajos colaborativos contienen una actividad teórica y otra actividad práctica. La actividad teórica se debe desarrollar de forma analítica, mientras que la actividad práctica se debe desarrollar utilizando la herramienta de software LabVIEW®, que se encuentra licenciada por parte de la universidad, y a la cual pueden acceder a través del representante de la GIDT del CEAD en el cual se encuentra matriculado el estudiante. Los tutores que orientan la práctica de forma local pueden asesorar al estudiante en el desarrollo de la misma pero NO DEBEN CALIFICARLA, puesto que el informe que el estudiante coloca en el FORO del curso virtual evidencia ambos desarrollos y, por lo tanto, la nota de laboratorio está inmersa en la nota del trabajo colaborativo. Agradezco tener en cuenta esta aclaración e informar a los tutores encargados con el fin de evitar mal entendidos al finalizar el periodo académico. ¡Éxitos! 2. CONTROLADORES DIGITALES 2.1. Compensadores en Adelanto y en Atraso Los compensadores en adelanto y en atraso se utilizan ampliamente en control. Un compensador en adelanto puede aumentar la estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario. Dependiendo del efecto deseado, se pueden utilizar uno o más compensadores en adelanto y en atraso en diversas combinaciones. Generalmente, los compensadores en adelanto, en atraso, y en adelanto/atraso se diseñan para un sistema en forma de función de transferencia. 2.1.1. Compensador en Adelanto utilizando el Lugar de las Raíces Un compensador en adelanto de primer orden �(�) se puede diseñar utilizando el lugar de las raíces. Un compensador en adelanto en la forma del lugar de las raíces está dado por

�(�) = ��(� − ��)

(� − ��) (1)

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donde la magnitud de �� es menor que la magnitud de ��. Un compensador en adelanto de fase tiende a desplazar el lugar de las raíces hacia a la izquierda en el plano complejo �. Esto se traduce en una mejora en la estabilidad del sistema y en un aumento de su velocidad de respuesta. ¿Cómo se logra esto? Recuerde cómo encontrar las asíntotas del lugar de las raíces que conducen a los ceros en el infinito, la ecuación para determinar la intersección de las asíntotas a lo largo del eje real es la siguiente.

� =∑(�����) − ∑(�����)

(#�����) − (#�����) (2)

Cuando se añade un compensador en adelanto a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más grande de lo que era antes. El número neto de ceros y polos será el mismo (se añaden un cero y un polo), pero el polo añadido es un número negativo más grande que el cero añadido. Por lo tanto, el resultado de un compensador en adelanto es que la intersección de las asíntotas se mueve más a la izquierda en el plano complejo, y todo el lugar de las raíces se desplaza a la izquierda también. Esto tiende a aumentar la región de la estabilidad y la velocidad de respuesta del sistema. 2.1.2. Compensador en Adelanto utilizando la Respuesta en Frecuencia Un compensador en adelanto de fase de primer orden también se puede diseñar utilizando un enfoque de respuesta en frecuencia. Un compensador en adelanto en la forma de respuesta en frecuencia está dado por

�(�) =1 + ���

1 + ��, � > 1 (3)

Tenga en cuenta que esto es equivalente a la forma del lugar de las raíces que aparece a continuación

�(�) = ��(� − ��)

(� − ��) (4)

con � = 1/�, � = 1/��, y �� = �. En el diseño basado en la respuesta en frecuencia, el compensador en adelanto de fase añade una fase positiva al sistema en el rango de frecuencias de 1/�� hasta 1/�. El diagrama de Bode de un compensador en adelanto de fase �(�) se muestra en la siguiente figura. Las dos frecuencias de corte se encuentran en 1/�� y 1/�; note que la fase positiva se añade al sistema entre estas dos frecuencias. Dependiendo del valor de �, la máxima fase agregada puede ser de hasta 90º, y si se necesita más de 90º de fase, se pueden emplear dos compensadores en adelanto en serie. La cantidad máxima de fase se añade en la frecuencia central, la cual se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación.

�� =1

�√� (5)

La ecuación que determina la fase de máxima se da a continuación.

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sin� =� − 1

� + 1 (6)

La fase positiva adicional aumenta el margen de fase y por lo tanto aumenta la estabilidad del sistema. Este tipo de compensador se diseña mediante el cálculo de � a partir de la cantidad de fase necesaria para satisfacer los requisitos de margen de fase, y el cálculo de � para colocar la fase añadida en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Otro efecto del compensador en adelanto se puede ver en la gráfica de magnitud. El compensador en adelanto aumenta la ganancia del sistema a altas frecuencias (la magnitud de esta ganancia es igual a �). Esto puede aumentar la frecuencia de cruce, lo que ayuda a disminuir el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento del sistema (pero puede amplificar el ruido de alta frecuencia). 2.1.3. Compensador en Atraso utilizando el Lugar de las Raíces Un compensador en atraso de primer orden �(�) se puede diseñar utilizando el lugar de las raíces. Un compensador en atraso en la forma del lugar de las raíces está dado por la siguiente ecuación

�(�) =(� − ��)

(� − ��) (7)

Ésta tiene una forma similar a la del compensador en adelanto, excepto que ahora la magnitud de �� es mayor que la magnitud de �� (y se omite la ganancia ��). Un compensador en atraso de fase tiende a desplazar el lugar de las raíces hacia a la derecha en el plano complejo �, lo cual no es deseable. Por esta razón, el polo y el cero de un compensador en atraso a menudo se colocan muy juntos (por lo general cerca del origen) para que no cambien apreciablemente la respuesta transitoria o las características de estabilidad del sistema.

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¿Cómo el controlador en atraso desplaza el lugar de las raíces a la derecha? A continuación se repite la ecuación para encontrar dónde las asíntotas del lugar de las raíces se cruzan a lo largo del eje real.

� =∑(�����) − ∑(�����)

(#�����) − (#�����) (8)

Cuando se añade un compensador en atraso a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más pequeño de lo que era antes. El número neto de ceros y polos será el mismo (se añaden un cero y un polo), pero el polo añadido es un número negativo más pequeño que el cero añadido. Por lo tanto, el resultado de un compensador en atraso es que la intersección de las asíntotas se mueve a la derecha en el plano complejo, y todo el lugar de las raíces también se desplaza a la derecha. Se estableció anteriormente que un compensador en atraso se diseña a menudo para cambiar mínimamente la respuesta transitoria del sistema, ya que por lo general tiene un efecto negativo. Si se supone que el compensador en atraso de fase no cambia la respuesta transitoria notablemente, entonces ¿cuál es su propósito? La respuesta es que un compensador en atraso de fase puede mejorar la respuesta del sistema en estado estacionario. Funciona de la siguiente manera. A altas frecuencias, el compensador en atraso tendrá ganancia unitaria. A bajas frecuencias, la ganancia será ��/�� la cual es mayor que 1. Este factor ��/�� multiplicará las constantes de posición, velocidad o aceleración (��, ��, o ��), y por lo tanto el error en estado estacionario se

reducirá en el mismo factor. 2.1.4. Compensador en Atraso utilizando la Respuesta en Frecuencia Un compensador en atraso de fase de primer orden también se puede diseñar utilizando un enfoque de respuesta en frecuencia. Un compensador en atraso en la forma de respuesta en frecuencia está dado por

�(�) =1

��1 + ���

1 + ��� , � < 1 (9)

El compensador en atraso de fase es similar a un compensador en adelanto de fase, excepto que � es ahora menor que 1. La principal diferencia es que el compensador en atraso añade una fase negativa al sistema sobre el rango de frecuencias especificado, mientras que un compensador en adelanto añade una fase positiva sobre las frecuencias especificadas. El diagrama de Bode de un compensador en atraso de fase se muestra en la siguiente figura. Las dos frecuencias de corte son de 1/� y 1/��. El efecto principal del compensador en atraso se muestra en el gráfico de magnitud. El compensador en atraso añade ganancia a frecuencias bajas; la magnitud de esta ganancia es igual a �. El efecto de esta ganancia es hacer que el error en estado estacionario del sistema en lazo cerrado se disminuya por un factor de �. Debido a que la ganancia del compensador en atraso es unitaria a frecuencias medias y altas, generalmente la respuesta transitoria y la estabilidad no se afectan mucho.

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El efecto secundario del compensador en atraso es la fase negativa que se añade al sistema entre las dos frecuencias de corte. Dependiendo del valor de �, se pueden añadir hasta -90º de fase. Se debe tener cuidado de que el margen de fase del sistema con compensación en atraso sea todavía satisfactorio. Generalmente esto se consigue colocando la frecuencia de máximo atraso de fase ��, la cual se calcula a continuación, muy por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

�� =1

�√� (10)

2.1.5. Compensador Digital en Adelanto Considere el compensador de primer orden mostrado a continuación

�(�) = ��� − ��� − ��

(11)

La ganancia (��) se define de la siguiente manera a fin de no afectar la respuesta en estado estacionario.

�� =1 − ��1 − ��

(12)

El polo (��) debe ser un valor real dentro del círculo unitario. Para un compensador en

adelanto, el cero es mayor que el polo (�� > ��) y la ganancia �� es mayor que 1.

En general, para el diseño de un compensador en adelanto, se coloca el cero (��) cerca de la ubicación de uno de los polos de la planta para lograr una cancelación aproximada polo-cero. El polo del compensador (��) se coloca entonces a la izquierda

del cero de modo que el lugar de las raíces se desplace hacia la izquierda. La siguiente

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figura ilustra cómo el lugar de las raíces se desplaza cuando se colocan el polo y el cero.

El desplazamiento del lugar de las raíces hacia la izquierda resulta en un tiempo de respuesta más rápido. Ahora la pregunta es, ¿cuánto más a la izquierda se necesita desplazar el lugar de las raíces? Depende de los requisitos de diseño, tales como tiempo de subida, tiempo de establecimiento y sobreimpulso. Es posible que tenga que seleccionar la ubicación del polo del compensador (��) por ensayo y error hasta obtener la forma deseada lugar de

las raíces. 2.1.6. Compensador Digital en Atraso El compensador en atraso se expresa de la misma forma que un compensador en adelanto. La forma general se repite a continuación.

�(�) = ��� − ��� − ��

(13)

y

�� =1 − ��1 − ��

(14)

El polo (��) debe ser nuevamente un valor real dentro del círculo unitario. Sin

embargo, para un compensador en atraso el cero es menor que el polo (�� < ��), y la

ganancia �� es menos que 1. La filosofía de diseño es la siguiente. Considere el lugar de las raíces en la siguiente figura como punto de partida.

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Suponga que los lugares de las raíces �� y ����� dan una respuesta transitoria satisfactoria (sobreimpulso, tiempo de establecimiento, tiempo de subida), pero que la ganancia (�) se debe aumentar para reducir el error en estado estacionario. Se puede añadir el polo del compensador cerca de � = 1 y el cero del compensador a la izquierda del polo de la planta que se encuentre más a la derecha como se muestra a continuación.

Recuerde que la ganancia � tiende a infinito cuando los polos en lazo cerrado se acercan a ceros en lazo abierto, y la ganancia se tiende a 0 cuando los polos en lazo cerrado se acercan a los polos en lazo abierto. Mediante la adición del cero del compensador (��) al lugar de las raíces, la ganancia � se incrementa en �� y �����. También el cero y el polo del compensador han sido apropiadamente colocados de modo que los lugares de las raíces deseadas �� y ����� permanezcan en el mismo lugar. Es posible que tenga que seleccionar la ubicación de �� y �� por ensayo y error hasta

obtener una respuesta satisfactoria. 2.2. Controlador PID Recuerde que la función de transferencia en tiempo continuo de un controlador PID es:

�(�) = �� +���+ ��� (15)

Hay varias maneras para mapear del plano � al plano �. Anteriormente se utilizó una conversión con retenedor de orden cero para el modelo de la planta debido a que refleja el tipo de circuito de retención que se utiliza en el muestreo de las señales de la planta en una implementación física del sistema de control. Para el controlador, es posible que se prefiera utilizar una conversión que aproxima con mayor exactitud el comportamiento que se lograría con un controlador continuo, en lugar de uno digital. La conversión exacta entre los dominios de Laplace y � es la siguiente.

� = ��� (16) Sin embargo, esta conversión implica una función transcendental y la función de transferencia resultante no se puede representar como una relación de polinomios. Esto hace que sea difícil implementar un algoritmo de este tipo de control en un computador digital. Por lo tanto, se utilizará una conversión aproximada. En particular, se utilizará la transformación bilineal que se muestra a continuación.

� =2

�

� − 1

� + 1 (17)

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Esta transformación mapea toda la mitad izquierda del plano � dentro del círculo unitario en el plano �. Esta transformación también corresponde a una aproximación trapezoidal de la integración. En un sistema de tiempo continuo, la función de transferencia para un controlador PID se describe de la siguiente manera

�(�) = �� +���+ ��� =

���� + ��� + ��

� (18)

donde ��, �� y �� son las ganancias proporcional, integral y derivativa,

respectivamente. Para mapear al plano � se sustituye la relación bilineal de arriba en la función de transferencia del PID, de tal manera que el controlador PID en tiempo discreto se convierte en

�(�) = �� + ���

2

� + 1

� − 1+��

2

�

� − 1

� + 1 (19)

�(�) =��� +

���2 +

2���

��� + ���� −4���

�� + �−�� +���2 +

2���

�

�� − 1 (20)

La inspección de la fórmula anterior muestra que el proceso de discretización genera un controlador con polos sobre el círculo unitario indicando un controlador que es marginalmente estable lo cual puede causar problemas. 3. GUÍA DE ACTIVIDADES El trabajo consiste de dos actividades (una teórica y una práctica), con una sola entrega. 3.1. Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de

ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 2.

Ejercicio 1: El control automático de la velocidad crucero de un automóvil tiene el

siguiente modelo de función de transferencia:

�(�) =�(�)

�(�)=

1

�� + � (21)

Suponga que los parámetros del sistema son:

� = 1000

� = 50

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Teniendo en cuenta que la entrada al sistema es la fuerza �, y la salida es la

velocidad �, y suponiendo un tiempo de muestreo � = 0.02 segundos, diseñe un

compensador en atraso de tal manera que el sistema en lazo cerrado presente un

tiempo de subida menor a 5 segundos, un sobreimpulso menor al 10% y un error

en estado estacionario menor al 2%.

Ejercicio 2: Un motor DC tiene la siguiente función de transferencia en lazo

abierto para un voltaje de armadura a la entrada y una velocidad angular a la

salida:

�(�) =Ω(�)

�(�)=

�

(�� + �)(�� + �) + �� (22)

Suponga que los parámetros del sistema son:

� = 0.01

� = 0.1s

� = 0.01

� = 1

� = 0.5

Suponiendo un tiempo de muestreo � = 0.05 segundos, diseñe un controlador PID

digital de tal manera que el sistema en lazo cerrado presente un tiempo de

establecimiento menor a 2 segundos, un sobreimpulso menor al 5% y un error en

estado estacionario menor al 1%.

3.2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando la herramienta de software LabVIEW®. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 2. Ejercicio 1: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 1 de la Actividad

Teórica, utilice LabVIEW® para: (a) obtener las respuestas del sistema en lazo

cerrado sin compensación y con compensación en atraso, ante una entrada escalón

� = 500, junto con las características de tiempo de subida, sobreimpulso y error en

estado estacionario, (compare las dos gráficas) y (b) dibujar el lugar geométrico

de las raíces para el sistema en lazo abierto sin compensación y con compensación

en atraso, (compare las dos gráficas).

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Ejercicio 2: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 2 de la Actividad

Teórica, utilice LabVIEW® para: (a) obtener las respuestas del sistema en lazo

cerrado sin controlar y controlado, ante una entrada escalón unitario, junto con las

características de tiempo de subida, sobreimpulso y error en estado estacionario,

(compare las dos gráficas) y (b) dibujar el lugar geométrico de las raíces para el

sistema en lazo abierto sin controlar y controlado, (compare las dos gráficas).

4. ESPECIFICACIONES DEL PRODUCTO FINAL DEL TRABAJO

El archivo final debe estar comprimido y se le debe asignar un nombre que tenga la siguiente estructura: Codigodelcurso_NombredelGrupo y debe colgarse en el foro de equipo bajo el tema ENTREGA FINAL DEL TRABAJO No. 2. El archivo .ZIP debe incluir:

Un archivo en formato .PDF con el desarrollo detallado de la situación propuesta.

Debe incluir Portada, Introducción, desarrollo de la situación, conclusiones, referencias bibliográficas usadas.

Los archivos .VI generados para la elaboración de las tareas propuestas.