Trabajocolaborativo2 Guia 2014 01

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA TRABAJO COLABORATIVO No. 2: 201527 SISTEMAS DINMICOS

TRABAJO COLABORATIVO No. 2 Nombre de curso: 201527 Sistemas Dinmicos

Temticas revisadas: Unidad 2, captulo 1 Anlisis de la respuesta en e l tiempo. Unidad 2, captulo 2 Anlisis de respuesta en frecuencia. Unidad 2, captulo 3 Anlisis del LGR y del espacio de estados.

1. NOTA ACLARATORIA El curso SISTEMAS DINMICOS 201527 es de tipo Metodolgico (Terico/Prctico); por lo tanto, hay que tener en cuenta que los trabajos colaborativos contienen una actividad terica y otra actividad prctica. La actividad terica se debe desarrollar de forma analtica, mientras que la actividad prctica se debe desarrollar utilizando la

herramienta de software LabVIEW, que se encuentra licenciada por parte de la universidad, y a la cual pueden acceder a travs del representante de la GIDT del CEAD en e l cua l se encuentra matriculado e l estudiante. Los tutores que orientan la prctica de forma local pueden asesorar al estudiante en el desarrollo de la misma pero NO DEBEN CALIFICARLA, puesto que el informe que e l estudiante coloca en el FORO del curso virtual evidencia ambos desarrollos y, por lo

tanto, la nota de laboratorio est inmersa en la nota del trabajo colaborativo. Agradezco tener en cuenta esta aclaracin e informar a los tutores encargados con e l fin de evitar mal entendidos a l finalizar e l periodo acadmico. xitos! 2. ANLISIS DE SISTEMAS

Una vez obtenidos el modelo matemtico apropiado de un sistema, ya sea en forma de espacio de estado o de funcin de transfe rencia, entonces se puede analizar este modelo para predecir cmo responder el sistema, tanto en e l dominio del tiempo como de la frecuencia. Para poner esto en contexto, los s istemas de control son a menudo diseados para mejorar la estabilidad, la velocidad de respuesta, el error en estado estacionario, o para prevenir oscilaciones. A continuacin se mostrar cmo

determinar las propiedades dinmicas del modelo del sistema. 2.1. Generalidades de la Respuesta en el Tiempo La respuesta en el tiempo representa cmo cambia el estado de un sistema dinmico en el tiempo cuando se somete a una entrada en particular. Dado que los modelos generalmente consisten de ecuaciones diferenciales, debe llevarse a cabo

alguna integracin con el fin de determinar la respuesta en el tiempo del sistema. Una solucin analtica de forma cerrada puede estar disponible para a lgunos s istemas simples. Sin embargo, para la mayora de los sistemas, especialmente los sistemas no lineales o los que estn sujetos a fuerzas de entrada complicadas, esta integracin debe llevarse a cabo numricamente. Afortunadamente, LabVIEW proporciona muchos recursos tiles para el clculo de respuestas en el tiempo para muchos tipos

de entradas, como se ver ms adelante.



La respuesta en el tiempo de un sistema dinmico lineal se compone de la suma de la respuesta transitoria que depende de las condiciones iniciales y de la respuesta en estado estacionario que depende de la entrada del sistema. Estas corresponden

respectivamente a las soluciones libre (entrada homognea o cero) y forzada (entrada no homognea o no-cero) de las ecuaciones diferenciales que gobiernan e l sistema. 2.2. Generalidades de la Respuesta en Frecuencia Todos los ejemplos presentados a continuacin se modelan por ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y por lo tanto son lineales e

invariantes en el tiempo (LTI). Los sistemas LTI tienen una propiedad extremadamente importante: si la entrada del sistema es s inusoidal, entonces la salida en estado estacionario tambin ser sinusoidal de la m isma frecuencia pero en general con diferente magnitud y la fase. Estas diferencias de magnitud y fase como una funcin de la frecuencia comprenden la respuesta en frecuencia del sistema.

La respuesta en frecuencia de un sistema se puede encontrar a partir de la funcin de transferencia de la siguiente manera: cree un vector de frecuencias (que vare entre cero o "DC" hasta infinito) y calcule el valor de la funcin de transferencia de la planta en esas frecuencias. Si () es la funcin de transfe rencia en lazo abierto de un sistema y es el vector de frecuencia, entonces se d ibuja () contra . Dado que

() es un nmero complejo, se puede dibujar tanto su magnitud como su fase

(diagrama de Bode) o su posicin en e l plano complejo (diagrama de Nyquist). Ambos mtodos muestran la m isma informacin en diferentes maneras. 2.3. Estabilidad

Para nuestros propsitos, se utilizar la definicin de estabilidad Entrada Acotada Salida Acotada (BIBO) que establece que un s istema es estable s i la salida se mantiene acotada para todas las entradas acotadas (finitas). En la prctica, esto significa que e l sistema no va a "explotar" durante la operacin. La representacin en funcin de transferencia es especialmente til en el anlisis de la estabilidad del sistema. Si todos los polos de la funcin de transferencia (valores de

en los que el denominador es igual a cero) tienen partes reales negativas, entonces e l sistema es estable. Si cualquier polo tiene parte real positiva, entonces e l sistema es inestable. Si se ven los polos en el plano complejo , entonces todos los polos deben estar en el semiplano izquierdo (LHP) para asegurar la estabilidad. Si cualquier par de polos est sobre el eje imaginario, entonces el sistema es marginalmente estable y e l

sistema oscilar. Los polos del modelo de un s istema LTI se pueden encontrar fcilmente en LabVIEW, como se muestra a continuacin:



Por lo tanto este sistema es estable dado que las partes reales de los polos son ambas negativas. La estabilidad de un sistema tambin se puede encontrar a partir de la

representacin en espacio de estado. De hecho, los polos de la funcin de transferencia son los valores propios de la matriz del sistema, . Se pueden encontrar los valores propios utilizando directamente el modelo del sistema LTI, o la matriz del sistema como se muestra a continuacin:

2.4. Orden del Sistema

El orden de un sistema dinmico es el orden de la derivada ms a lta de la ecuacin diferencial que gobierna e l sistema. Es decir, es la potencia ms a lta de en e l denominador de su funcin de transfe rencia. Las propiedades importantes de los sistemas de primero, segundo, y de orden superior se revisarn a continuacin.

2.5. Sistemas de Primer Orden Los sistemas de primer orden son los sistemas dinmicos ms simples para analizar. Algunos ejemplos comunes incluyen sistemas de control de velocidad y circuitos RC. La forma general de la ecuacin diferencial de primer orden es la s iguiente:

+ = + = (1) La funcin de transfe rencia de primer orden es

() =

+ =

+ 1 (2)



2.5.1. Ganancia DC La ganancia DC, , es la relacin entre la magnitud de la respuesta escaln en estado

estacionario y la magnitud de la entrada escaln. Del Teorema del Valor Final, para funciones de transfe rencia estables, la ganancia DC es e l valor de la funcin de transfe rencia cuando = 0. Para s istemas de primer orden es igual a = .

2.5.2. Constante de Tiempo La constante de tiempo = = 1 es el tiempo que le toma a l sistema a lcanzar e l

63% de l valor en estado estacionario para una respuesta escaln o para d isminuir a l 37% de l valor inicial para una respuesta impulso. En general, representa la escala de tiempo para la cual la d inmica del sistema es s ignificativa.

2.5.3. Polos/Ceros Hay un solo polo real en = . Por lo tanto, el sistema es estable s i es positivo e inestable s i es negativo. No hay ceros.

2.5.4. Respuesta Escaln Se puede calcular la respuesta en el tiempo del sistema ante una entrada escaln de magnitud de la s iguiente manera:



2.5.5. Tiempo de Establecimiento El tiempo de establecimiento, , es el tiempo requerido para que la salida del sistema

caiga dentro de un cierto porcentaje (por ejemplo, 2%) del valor en estado estacionario para una entrada escaln o de forma equivalente para que disminuya a un determinado porcentaje del valor inicial para una entrada impulso. Los tiempos de establecimiento para sistemas de primer orden para las tolerancias ms comunes se presentan en la s iguiente tabla. Tenga en cuenta que entre ms estricta sea la

tolerancia, ms tarda la respuesta del sistema para establecerse dentro de esta tolerancia, como se espera.

10% 5% 2% 1% = . = . = 3 = 3 = 3.9 = 3.9 = 4.6 = 4.6

2.5.6. Tiempo de Subida El tiempo de subida, , es el tiempo requerido para que la sa lida del sistema crezca desde algn nivel inferior % hasta algn nivel ms alto % del valor final en estado

estacionario. Para s istemas de primer orden, el rango tpico es 10% - 90%.

2.5.7. Diagramas de Bode Los diagramas de Bode muestran la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia del sistema, (). Se pueden generar los d iagramas de Bode como se muestra a

continuacin.



Los diagramas de Bode utilizan una escala de frecuencia logartmica, de modo que es visible un rango de frecuencias ms amplio. Adems, la magnitud se representa mediante la unidad logartmica decibelios (dB) definida como:

= 20 log() (3)

Al igual que la frecuencia, la escala en decibelios permite ver un rango mucho ms amplio de magnitudes en un solo grfico. Adems, cuando los sistemas se combinan o se agregan controladores, las funciones de transferencia a menudo se multiplican entre s. Usando la escala en dB, se pueden s implemente sumar las magnitudes de las funciones de transferencia. Tenga en cuenta, que tambin se pueden sumar los

ngulos de fase aunque estos no se muestran en una escala logartmica. La magnitud a baja frecuencia del diagrama de Bode de primer orden es 20 log(). El grfico de magnitud tiene una curva en la frecuencia igual al valor



absoluto del polo (es decir, = ) y, a continuacin disminuye en 20 dB por cada incremento en un factor de diez de la frecuencia (-20dB/dcada). El diagrama de fase es asinttico a 0 grados en baja frecuencia, y asinttico a -90 grados en a lta

frecuencia. Entre las frecuencias 0.1 y 10, la fase cambia en aproximadamente -45 grados por cada incremento en un factor de diez de la frecuencia (-45 grados/dcada). 2.6. Sistemas de Segundo Orden

Los sistemas de segundo orden son frecuentes en la prctica, y es el tipo ms s imple de sistema dinmico que exhibe oscilaciones. De hecho, muchos s istemas reales de orden superior se modelan como sistemas de segundo orden con e l fin de facilitar e l anlisis. Los ejemplos incluyen sistemas masa-resorte-amortiguador y circuitos RLC. La forma general de la ecuacin diferencial de segundo orden es la s iguiente:

+ + = () + 2 + =

(4) La funcin de transfe rencia de segundo orden es

() =1

+ + =

+ 2 + (5)

2.6.1. Ganancia DC La ganancia DC, , es la relacin entre la magnitud de la respuesta escaln en estado

estacionario y la magnitud de la entrada escaln, y para sistemas estables es e l valor de la funcin de transfe rencia cuando = 0. Para s istemas de segundo orden:

=1

(6)

2.6.2. Coeficiente de Amortiguamiento

El coeficiente de amortiguamiento es una cantidad sin dimensiones que caracteriza las prdidas de energa en el sistema debido a efectos tales como la friccin viscosa o la resistencia e lctrica. A partir de las definiciones anteriores,

=

2 (7)

2.6.3. Frecuencia Natural La frecuencia natural es la frecuencia (en rad/s) a la que el sistema oscilar cuando no hay amortiguamiento, = 0.

=

(8)



2.6.4. Polos/Ceros La funcin de transfe rencia de segundo orden tiene dos polos:

= 1 (9)

2.6.5. Sistemas Subamortiguados Si < 1, entonces el sistema es subamortiguado. Ambos polos son valores complejos

con partes reales negativas; por lo que el sistema es estable, pero oscila m ientras se

aproxima a l valor en estado estacionario.



2.6.6. Tiempo de Establecimiento El tiempo de establecimiento, , es el tiempo requerido para que la salida del sistema

caiga dentro de un cierto porcentaje del valor en estado estacionario para una entrada

escaln o de forma equivalente para que disminuya a un determinado porcentaje del valor inicia l para una entrada impulso. Para un sistema de segundo orden subamortiguado, el tiempo de establecimiento se puede aproximar por la s iguiente ecuacin:

=ln(fraccindetolerancia)

(10)

Los tiempos de establecimiento para las tolerancias ms comunes se presentan en la

siguiente tabla:

10% 5% 2% 1% = . () = 3 () = 3.9 () = 4.6 ()

2.6.7. Porcentaje de Sobreimpulso El porcentaje de sobreimpulso es el porcentaje por el cual un sistema excede su valor

final en estado estacionario. Para un sistema de segundo orden subamortiguado, el porcentaje de sobreimpulso est d irectamente re lacionado con e l coeficiente de amortiguamiento mediante la s iguiente ecuacin:

% =

100% (11)

Para sistemas de segundo orden subamortiguados, el tiempo de establecimiento (2%), el tiempo de subida , y el porcentaje de sobreimpulso %, estn relacionados

con el amortiguamiento y la frecuencia natural como se muestra a continuacin.

4.6

(12)

2.2

(13)

=ln(% 100 )

+ ln(% 100 ) (14)



2.6.8. Sistemas Sobreamortiguados Si > 1, entonces el sistema es sobreamortiguado. Ambos polos son reales y

negativos; por lo que el sistema es estable y no oscila. La respuesta escaln y el mapa

de polos-ceros de un s istema sobreamortiguado se obtienen a continuacin:



2.6.9. Sistemas Crticamente Amortiguados Si = 1, entonces el sistema es crticamente amortiguado. Ambos polos son reales y tienen la misma magnitud, = . Los sistemas crticamente amortiguados se

acercan ms rpido a l estado estacionario s in oscilar.



2.6.10. Sistemas No Amortiguados Si = 0, entonces el sistema es no amortiguado. En este caso los polos son

puramente imaginarios; por lo que e l sistema es marginalmente estable y oscila

indefinidamente.



2.6.11. Diagramas de Bode A continuacin se muestran los diagramas de Bode de Magnitud y Fase para todas las condiciones de amortiguamiento de un s istema de segundo orden:



La magnitud del diagrama de Bode de un sistema de segundo orden caen -40 dB por dcada, mientras que la fase relativa cambia entre 0 y -180 grados a -90 grados por

dcada. Para los sistemas subamortiguados, tambin se ve un pico de resonancia cerca de la frecuencia natural, = 10rad/s. La agudeza del pico depende del

amortiguamiento del sistema, y se caracteriza por el factor de calidad o Factor Q. El factor Q es una propiedad importante en e l procesamiento de seales.

=1

2 (15)

3. GUA DE ACTIVIDADES El trabajo consiste de dos actividades (una terica y una prctica), con una sola

entrega. 3.1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie de

ejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes

al trabajo colaborativo 2.

Ejercicio 1: La funcin de transferencia para el control automtico de la velocidad

crucero de un vehculo es:

() =()

()=

1

+

Los parmetros a tener en cuenta son:

Masa del vehculo: = 1000kg

Coeficiente de amortiguamiento: = 50N.s/m

Fuerza de control nominal: = 500N

De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que la entrada a l sistema es la

fuerza , y la salida es la velocidad , encuentre (a) la ganancia DC, (b) la

constante de tiempo, (c) e l tiempo de establecimiento (criterio 2%), y (d) la

frecuencia de corte del sistema .

Ejercicio 2: La funcin de transferencia para el control de velocidad de un motor

DC es:

() =()

()=

( + )( + ) +



Los parmetros a tener en cuenta son:

Momento de inercia del rotor: = 0.01

Constante de friccin viscosa del motor: = 0.1

Constante del motor: = 0.01

Resistencia e lctrica: = 1

Inductancia e lctrica: = 0.5

De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que la entrada a l sistema es e l

volta je , y la salida es la velocidad , encuentre (a) la ganancia DC, (b) e l

coeficiente de amortiguamiento, (c) la frecuencia natural, (d) el tiempo de

establecimiento (criterio 2%), y (e) la frecuencia de corte del sistema .

3.2. Actividad Prctica: La segunda actividad est compuesta de una serie de ejercicios que debern ser desarrollados utilizando la herramienta de software LabVIEW. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 2. Ejercicio 1: Con los datos suministrados en el Ejercicio 1 de la Actividad Terica,

utilice LabVIEW para: (a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada

escaln de 500 N; (b) obtener el mapa de polos-ceros; y (c) obtener los

diagramas de Bode de magnitud y fase.

Ejercicio 2: Con los datos suministrados en el Ejercicio 2 de la Actividad Terica,

utilice LabVIEW para: (a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada

escaln de 1 V; (b) obtener el mapa de polos-ceros; y (c) obtener los d iagramas

de Bode de magnitud y fase.

4. ESPECIFICACIONES DEL PRODUCTO FINAL DEL TRABAJO

El archivo final debe estar comprimido y se le debe asignar un nombre que tenga la siguiente estructura: Codigodelcurso_NombredelGrupo y debe colgarse en e l fo ro de equipo bajo el tema ENTREGA FINAL DEL TRABAJO No. 2. El archivo .ZIP debe incluir:

Un archivo en formato .PDF con el desarrollo detallado de la s ituacin propuesta. Debe incluir Portada, Introduccin, desarrollo de la s ituacin, conclusiones, refe rencias b ibliogrficas usadas.

Los a rchivos .VI generados para la e laboracin de las tareas propuestas.

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