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Transferencia de Masa
2012-08-16-4ª
Transferencia de Masa
Temas a tratar:
# Sistemas integrales: Mezclado Perfecto;
# Nodo
# Tanque de Mezclado Perfecto CST.
# Reactor continuo agitado CSTR;
# Reactor continuo agitado con interfase CSTR-I.
C
G
V
v dV 0t
Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de volumen finito, es
decir que dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se cumple si y solo si:
Ecuación de transporte (balance) de ψ
0
Vvt
G
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección
Transformación
Esta ecuación es la
expresión diferencial
(balance diferencial)
del transporte de ψ
Balance diferencial molar del componente de interés A cuando hay
transformación química
Como: Gv 0t
A
AB A A A
CD C vC R 0
t
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección Transformación
Rapidez de Reacción de A
nA y CA… son respectivamente las moles A y la concentración molar A
Como: A
A A3 3
npcpc n C
L L
Balance diferencial molar de A en términos de su concentración:
A
AB A A A
CD C vC R 0
t
Unidades
A
3 3
C 1 mol mol
t seg L seg L
2
AB A 3 3
1 1 L mol molD C
L L sec L seg L
A 3 3
1 L mol molvC
L seg L seg L
A 3
molR
seg L
Balance diferencial molar del componente de interés A cuando:.
(1) No hay transformación química
(2) Si hay transferencia con una interfase
AAB A A A
CD C vC S 0
t
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección
(1) Rapidez de tranporte de reacción de : •
AA R 0
Rapidez de transferencia
de A con una interfase
(2) Rapidez de tranporte de hacia (o desde) interfase: •
AA S 0
Ecuación de Transferencia de Energía Térmica
Balance diferencial de energía térmica
Las unidades de la propiedad conservativa en el balance diferencial de
energía térmica deben ser: calorías/volumen:
Transporte por difusión molecula
Transporte por convección Rapidez de
transformación
Entonces, la expresión del balance diferencial de energía térmica se
puede obtener haciendo = CpT en el balance diferencial general, y
tomar en consideración los parámetros correspondientes a este caso:
Acumulación
0
p 3 0
mol calcomo: C T C
L mol * C
p 3
cal C T
L
p
p p
C T C T v C T q 0
t
Balance diferencial de energía térmica, unidades
CpT t
CpT v CpT q
0
CpT t
1
seg
cal
L3
cal
seg L3
CpT 1
L
1
L
L2
seg
cal
L3
cal
seg L3
v CpT 1
L
L
seg
cal
L3
cal
seg L3
q
cal
seg L3
Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R S
t x y z x y z
AyAxA AzA A
NNC NR S
t x y z
Plawsky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico
AA AzAr A A
NC 1 1 Nr N R S
t r r r z
2 2
A A A A A A Ar z AB A A2 2 2
vC C C C 1 C 1 C Cv v D r R S
t r r z r r r r z
Coordenadas esféricas
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A A2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R S
r r r r r
AA2A
Ar A A2
NN sinC 1 1 1r N R S
t r r r sin r sin
Balance de masa en un nodo Sea un “nodo” con las siguientes características: tiene dos corrientes de entrada y
una de salida; las de entrada tienen composiciones diferentes; los fluidos tienen
densidad constante y son miscibles entre sí; el sistema está en estado estacionario;
y es isotérmico.
Obtener el modelo matemático de:
i) Balance global.
ii) Balance de un componente de interés: A.
Solución
1) Esquema
iAC concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3
gramos de A masa de A
gramos de solución masa solución
ig gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3
gramos solución masa solución
minuto tiempo
11 Ag ,C
22 Ag ,C33 Ag ,C
Balance de masa en un nodo Sea un “nodo” con las siguientes características: tiene dos corrientes de entrada y
una de salida; las de entrada tienen composiciones diferentes; los fluidos tienen
densidad constante y son miscibles entre sí; el sistema está en estado estacionario;
y es isotérmico.
Obtener el modelo matemático de:
i) Balance global.
ii) Balance de un componente de interés: A.
Solución
1) Esquema
iAC concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3
gramos de A masa de A
gramos de solución masa solución
ig gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3
gramos solución masa solución
minuto tiempo
11 Ag ,C
22 Ag ,C33 Ag ,C
2) Preguntas: i) balance global; ii) balance de A.
3) Modelo (características o restricciones)
3.1- tiene dos corrientes de entrada y una de salida;
3.2- las corrientes de entrada tienen composiciones diferentes;
3.3- los fluidos tienen densidad constante y son miscibles entre sí;
3.4- el sistema está en estado estacionario;
3.5- el sistema opera en condiciones isotérmicas;
3.6- el nodo (elemento de control) que esta fijo: w = 0;
3.7- en el nodo, el mezclado es “perfecto e instantáneo”;
3.8- no hay reacción química.
Solución (formal, larga, repaso)
i) Modelo del balance diferencial
masa solución
gasto másico de las corrientes ... tiempo
ig i 1, 2, 3
GComo: v 0t
En este caso: masa
volumen
G v 0t
11 Ag ,C
22 Ag ,C 33 Ag ,C
De acuerdo con las restricciones de este caso, y el significado de cada uno de los
términos que constituyen la ecuación de conservación de masa, ésta se simplifica de la
siguiente manera:
Como: ... A.3-20 BSLv v v
Gv 0t
Para modelar lo que ocurre en todo el nodo, es necesario integra la expresión
diferencial de la ecuación de conservación:
3.4 3.7 3.8
Como: constante v 0
Como: constante v v 0
igualdad que no sirve0 0
De acuerdo con las restricciones de este caso, y el significado de cada uno de los
términos que constituyen la ecuación de conservación de masa, ésta se simplifica de la
siguiente manera:
v 0
CVc A
Por el teorema de divergencia (Gauss): v dV n v dA
En este caso: C entrada1 entrada2 salida1A A A A
Gv 0t
Por lo tanto, el transporte de masa en dicho elemento diferencial del nodo es:
CV
v dV 0
Para modelar lo que ocurre en todo el nodo, se integra la expresión diferencial de la
ecuación de conservación:
CA Ae1 Ae2 As1
n v dA n v dA n v dA n v dA 0
3.4 3.7 3.8
Recordando la convención de signos para entradas y salidas:
CA Ae1 Ae2 As1
n v dA n v dA n v dA n v dA 0
Además, como: flujo másico2
3
L M Mn v dA L dg
L
e1 e 2 s1g g g
d g d g d g 0 e1 e2 s1 g g g 0
e1 e2 s1g g g
Por lo tanto, el balance global de masa en el nodo queda:
“lo que entra es igual a lo que sale”
ii) Modelo del Balance por componente
Escribiendo la ecuación de conservación de masa en términos del componente A
(concentración molar de A), y aplicando las restricciones del caso se tiene:
AC v 0
C
A A
Vc A
Por el teorema de divergencia (Gauss): vC v dV n vC dA
En este caso: C entrada1 entrada2 salida1A A A A
A
AB A A A
CD C vC C V 0
t
Por lo tanto, el transporte de A es el siguente:
C
A
V
C v dV 0 Lo que ocurre en todo el nodo es:
A A A A
Ac Ae1 Ae2 As1
n C v dA n C v dA n C v dA n C v dA 0
3.4 3.7 3.8
Además: flujo másico de A2
A A3
L masa de A Mn vC dA L G
L
A A Ae1 e2 s1 G G G 0 A A Ae1 e2 s1
G G G
A A A A
Ac Ae1 Ae2 As1
Como: n C v dA n C v dA n C v dA n C v dA 0
Ae1 Ae2 As1
A A A
G G G
d G d G d G 0
A i
Ai
i
G C
g A i Aii
G g C ... i = entradas y salidos
e1 Ae1 e2 Ae2 s1 As1 g C g C g C
iComo: g gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3.
AiAdemás, C concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3.
eg
2sg
1sg
"Rapidísimo, ... de memoria"... balance global: e s1 s2g g g
Otro nodo:
Como se vió: AsC s As e Ae As C
dCV Q C Q C R V
dt
Forma ”rápida” de obtener el modelo correspondiente: simplificando el modelo
de tanque agitado (como lo veremos en clases posteriores)
Adaptándolo y simplificando: AsC s1 s2 e As C
dCV g g g R V
dt
3.4 3.8
Ae As1 As2g g g
En este caso no tiene sentido considerar el balance por componente…
¿Por qué?...
Correcto.
Balance molar integral del componente A en un CST
Este tipo de balance se utiliza cuando en el elemento de control se tiene un “mezclado
perfecto”.
El balance integral se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al
balance diferencial, como se indica a continuación con el balance molar del
componente A, para un sistema de dos componentes: A y B.
Esquema
Qe CAe
Qs CAs
CAs
Balance molar integral de A, en términos de la concentración molar CA
Desarrollo del modelo integral
Restricciones: Qe CAe
Qs CAs
CAs
Análisis del término de acumulación:
1) Mezclado perfecto: 0AC
AC
t
2Como: 0AA AB A
C
tvC D C
El balance de masa esta expresado por unidad de volumen del EC; por lo tanto, la
acumulación ocurre en un elemento de control de volumen diferencial dV es:
ACdV
t
Consecuentemente, la acumulación en todo el elemento de control de volumen VC es:
C
A
V
CdV
t
2) El elemento de control no se mueve: 0EC w
3) No hay reacción química: 0AR
De acuerdo con el Teorema de Transporte de Reynolds (ver clases anteriores):
Como: 2) el elemento de control EC no se esta moviendo: w = 0
Como:
C
A
V
CdV
t
( )
C C C
AA A
V V A
d CC dV dV C w n dA
dt t
C C
AA
V V
C ddV C dV
t dt
C C
A A A C
V V
d d dC dV C dV C V
dt dt dt
Además, CA no es función de la posición, porque la solución perfectamente agitada:
C
A AA A
V
C d dV dCdV C V C V
t dt dt dt
En estos casos, se debe disponer de una función independiente que describa la
dependencia de VC con respecto del tiempo (y por lo tanto, de la concentración de A,
o composición del sistema):
Acumulación en todo el :
C C
CA AA A C
V V
dVC d dCEC dV C dV C V
t dt dt dt
0CdV
dt
Acumulación en todo el :
C
A AC
V
C dCEC dV V
t dt
Por otro lado, en aquellos casos en los que se cumplan las restricciones antes
indicadas, pero además se cumpla que el gasto volumétrico sea constante
Qe = Qs = constante
lo cual implica que VC es constante, y por lo tanto se tiene que:
ACV tV C
Análisis del término convectivo (transporte por convección)
La convección en un elemento diferencial de volumen dV es:
La convección en el elemento de volumen de control VC es:
AvC
AvC dV
C
A
V
vC dV
Por el Teorema de Divergencia de Gauss (ver clases anteriores):
C C
A A
V A
vC dV C v ndA
Esta ecuación representa el flujo neto de A a través de todas las áreas de entrada y
salida del elemento de control.
C C
A A
V A
vC dV C v ndA
Como el flujo neto de A a través de todas las áreas de entrada y salida del EC es:
Los signos de las áreas de entrada (negativo) y salida (positivo) se explican por el
sentido que tiene el vector normal n que representa a cada una de ellas y el vector v
que caracteriza al transporte por convección.
Considerando que en dichas áreas la concentración de A es independiente de la
posición, y que (v•n)dA = dQ = flujo volumétrico, el flujo convectivo neto queda:
( ) ( )
C e s
A A A
A A A
C v ndA C v n dA C v n dA
C e s
A Ae As
A A A
C v ndA C v n dA C v n dA
Como: v ndA dQ
e s e S
Ae As Ae As
A A Q Q
C v n dA C v n dA C dQ C dQ
Por lo tanto, considerando que el EC tiene un área de entrada Ae y un de salida As, el
flujo neto de A en el EC se expresa como:
Flujo convectivo neto:
C C
A A s As e Ae
V A
vC dV C v ndA Q C Q C
Como:
e s e S
Ae As Ae As
A A Q Q
C v n dA C v n dA C dQ C dQ
además: y
e S
e s
Q Q
dQ Q dQ Q
Análisis del término de difusión:
En el EC no hay gradientes de posición (perfectamente agitado), es decir:
2
AB A AB AD C D C
2
AC 0
Consecuentemente, en el EC que representa a un equipo que está “perfectamente
agitado”, no hay transporte por difusión (dispersión).
De acuerdo con las consideraciones anteriores, el balance de materia para el CST antes
descrito puede ser expresado en términos de la concentración molar CA , en cuyo caso
estaría compuesto por los términos siguientes:
Acumulación: AC
dCV
dt
Convección: s As e AeQ C Q C
Difusión: no hay
Reacción: No hay
AsC s As e Ae
dCV Q C Q C 0
dt
El balance de A para un EC que esta “perfectamente agitado”; en el cual NO se lleva a
cabo una reacción; y opera en condiciones isotérmicas y en estado no-estacionario es:
Este modelo implica una ecuación diferencial ordinaria, cuya variable independiente
es tiempo; consecuentemente, se requiere una condición inicial para completar el
modelo, como la siguiente:
Condición inicial: A Aot 0 C C
Qe CAe
Qs CAs
CAs
Balance molar integral del componente A en otro CST
CST que tiene dos entradas y una salida.
Esquema
Qe1 CAe1
Qs CAs
CAs
Qe2 CAe2
AsC s As e1 Ae1 e2 Ae2
dCV Q C Q C Q C 0
dt
Condición inicial: A Aot 0 C C
Este balance también se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al
balance diferencial molar del componente A:
Balance molar integral del componente A en un CSTR
Este tipo de balance se utiliza cuando en el elemento de control se tiene un “mezclado
perfecto” y ocurre una reacción química.
El balance integral se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s) del caso al
balance diferencial, como se indica a continuación con el balance molar del
componente A, para un sistema de dos componentes: A y B.
Esquema
Qe CAe
Qs CAs
CAs
Balance molar integral de A, en términos de la concentración molar CA
Desarrollo del modelo integral
Restricciones: Qe CAe
Qs CAs
CAs
Como se hizo en el CST
Análisis del término de acumulación
Análisis del término de convección
Análisis del término de difusión
Solamente falta analizar el término de la reacción
1) Mezclado perfecto: 0AC
2Como: A
AA AB AvC C Rt
DC
2) El elemento de control no se mueve: 0EC w
Análisis del término de reacción
Como el balance de masa esta expresado por unidad de volumen del elemento de
control, por lo tanto la reacción que se tiene en un elemento de control de volumen
diferencial dV es:
Entonces, la reacción en el elemento de control de volumen VC es:
Considerando que: 1) en el EC hay una agitación perfecta y por lo tanto la
concentración es la misma en todo el tanque; y 2) que el coeficiente de rapidez de
reacción k(T) es constante porque sistema es isotérmico, el término de reacción
queda:
,A AR C T dV
,
C
A A
V
R C T dV
,
C C
A A A A A A CT T
V V
R C T dV R C dV R C V
,A AR C T
Por lo tanto, el balance de materia “integral” del EC en cuestión (expresado en
términos de la concentración del reactivo limitante CA) está compuesto de los
siguientes términos:
Acumulación: AC
dCV
dt
Convección: s As e AeQ C Q C
Difusión: no hay
Reacción: As CR V
AsC s As e Ae As C
dCV Q C Q C R V
dt
Por lo tanto, el balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta
“perfectamente agitado”; en el cual se lleva a cabo una reacción; y opera en
condiciones isotérmicas y en estado no-estacionario es:
AsC s As e Ae As C
dCV Q C Q C R V
dt
Incompatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C
Balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta “perfectamente agitado”;
en el cual se lleva a cabo una reacción; y opera en condiciones isotérmicas y en estado
no-estacionario es:
Qe CAe
Qs CAs
CAs
Compatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C
AsC s As e s C IAe A
dCV Q C Q C R V
dtS
Compatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C
Incompatibilidad: en A Ao Aet 0 C C C
Por lo tanto, el balance molar integral de A (modelo) para un EC que esta
“perfectamente agitado”; en el cual se lleva a cabo una reacción; que tiene una
interfase a través de la cual entra o sale A; y opera en condiciones isotérmicas y en
estado no-estacionario es el siguiente:
Transferencia de Masa
Fin de 2012-08-16-4ª