Transformadas de laplace

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INTRODUCCIÓN

• La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

INTRODUCCIÓN

• Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como:

cuando tal integral converge.

DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA

Notas La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante.

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s.

Condiciones para la existencia de la transformada de una función: • De orden exponencial.

• Continua por tramos.

• Para asegurar el proceso de transformación mediante Laplace, necesitamos ciertas condiciones que nos asegure que la integral existe. Hacemos la pregunta:

• ¿ Puedo siempre hallar la transformada de La Place?

• No, ya que es una integral indefinida y éstas no siempre convergen.

• Para saber cuándo convergen necesitamos conocer ciertas condiciones.

Funciones continuas por partes en un intervalo

• Una función f es continua por partes en un intervalo [a,b] si:

a) f está definida y es contínua en todos los puntos de [a,b], salvo un número finito de ellos.

b) Existen los límites por la derecha y por la izquierda de f en cada x0, donde x0 es un punto de subdivisión de [a,b]

•Ejemplo: f(t) = 3, 0 ≤ t < 5 4, 5 ≤ t Es continua por partes (en *0, 5+ y en *5,∞>), ya que Límt --> 5- f(t) = 5 Límt --> 5+ f(t) = 4 •Ejemplo: f(w) = w + 2 , 0 < w < 1 4w , 1 < w < 2 Es continua por partes (en <0, 1> y en <1,2>), ya que Límw--> 1- f(w) = 3

Límt --> 1+ f(w) = 4

Observaciones

1) Cualquier función contínua en [a, b] es contínua por partes.

2) Si y g son contínuas por partes en [a, b], entonces su producto f.g también lo es.

3) Si f es continua por partes en [a, b], entonces

la integral con esos límites existe.

Función de orden exponencial

• El signo menos de e-st no debe permitir que la ecuación crezca demasiado para que esta converga, para esto f(t) no debe crecer muy rápido. A esta condición se denomina “función de orden exponencial”.

• Una función f es de orden exponencial en *0,∞> si existen constantes k y c, (c>0) tal que:

│f(t)│≤ cekt para todo t>0.

Ejemplos: 1) Demostrar que F(t)=sen(nt + p) es de orden

exponencial. F(t)=sen(nt + p) Sabemos que toda función sen(nt + p) es menor o

igual que uno, entonces: F(t)≤1 Dándole la forma para saber si es de orden

exponencial: F(t)≤1*e0t De lo cual vemos que existe un k (= 0) y un c=1, para

lo cual se cumplen las condiciones, entonces F(t) es de función exponencial.

• 2) f(t)=tn

Debemos demostrar que tn ≤cekt para cierto c y t>0

Hacemos tn/et ≤c, graficamos la ecuación:

Vemos que en t=0, la gráfica está en 0

Por L’Hospital, hallamos que tn/et tiende a cero, cuando t tiende a ∞, ya que si derivamos tn n veces, llegaremos hasta el momento en que se forma t0 y después de derivar eso se hará cero.

Observaciones

1) Hallando la transformada de La Place de cierta función, no aseguramos que esta función sea de orden exponencial.

2) Si la integral impropia:

No converge, entonces no podemos hallar la transfromada de Laplace.

3) f(t)=tn es función de tipo exponencial para n>0, veamos el siguiente caso, donde no se puede hallar la transformada de La Place.

Supongamos el caso f(x)=1/t

La transformada de La Place estará definida por:

Esta falla en el punto cero, ya que cuando t tiende a cero, e-st tiende a 1 y la integral 1/t*dt cuando t tiende a 0, tiende a ln(0), que es -∞ y no converge.

• 4) Si la función f(x) crece demasiado rápido (no es una función de tipo exponencial), no podemos hallar la transformada de La Place.

Ejemplo:

(et )2 > cekt d siempre se va a cumplir para todo k que pertenezca a los reales, justo en el momento que t sea mayor que k. Por ese motivo (et )2 no es una función de tipo exponencial.

PROPIEDADES

-Linealidad

-Primer Teorema de Traslación

PROPIEDADES

-Teorema de la transforma de la Derivada

-Teorema de la transformada de la Integral

PROPIEDADES

-Teorema de la Integral de la Transformada

-Teorema de la Derivada de la Transformada

PROPIEDADES

-Transformada de la Función Escalón

Si representa la funcion escalón unitario entonces

-Segundo Teorema de Traslación

PROPIEDADES

-Transformada de la Función Periódica

-Teorema de la Convolución