UNIVERSOS FRACTALES

1. Introducción. ¿Qué es un fractal?

2. Los primeros fractales de la historia

De los fractales a la realidad.

3. Fractales del sistema L

4. Fractales del sistema IFS

De la realidad a los fractales.

5. La dimensión de los fractales y los objetos reales

6. Universo homogéneo versus universo fractal

Julio Bernués y María López

Introducción

Benoit Mandelbrot

Fractal: Del latín fractus, interrumpido o irregular

Mandelbrot set

Introducción

Benoit Mandelbrot Mandelbrot set

Acta fundacional: “Los objetos fractales”, Tusquets 1975

Introducción

Benoit Mandelbrot

“Acepto que se me califique de… padre de la revolución fractal… con sorpresa pero con gusto…”

Mandelbrot set

Introducción

Benoit Mandelbrot

“He concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometría de la naturaleza”

Mandelbrot set

Introducción

Benoit Mandelbrot

“Mi libro… es un documento histórico”

Mandelbrot set

¿Qué es un fractal?

Definición (provisional) 1. Un fractal es el producto final que se origina a través de la repetición infinita de un proceso geométrico bien especificado.

Definición (provisional) 2. Un fractal es un conjunto cuya dimensión no es entera.

¿ Existen los fractales ?

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

Helge-von Koch

(1879-1924)

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

2. Triángulo de Sierpinski

3. Alfombra de Sierpinski

Waclaw Sierpinski

(1882-1969)

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

2. Triángulo de Sierpinski

3. Alfombra de Sierpinski

4. Esponja de Menger

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

2. Triángulo de Sierpinski

3. Alfombra de Sierpinski

4. Esponja de Menger

Menger (1902-1985)

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

2. Triángulo de Sierpinski

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

3. Alfombra de Sierpinski

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

3. Alfombra de Sierpinski

Fractales autosemejantes.

Los primeros fractales de la historia.

4. Esponja de Menger

Fractales del sistema L

1. Curva de Koch como sistema L

Fractales del sistema L

1. Curva de Koch como sistema L

Alfabeto: F, +, -

Axioma: F

Reglas: F -> F + F - - F + F

+ -> +

- -> -

Significado: F = Avanzar una unidad

+ = Giro de 60º

- = Giro de - 60º

Paso 1: F

Paso 2: F + F - - F + F

Paso 3:(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)- -(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)

Fractales del sistema L

2. Construcción de objetos reales

Fractales del sistema L

2. Construcción de objetos reales

Fractales del sistema L

2. Construcción de objetos reales

Fractales del sistema L

2. Construcción de objetos reales

Fractales del sistema L

3. Una dimensión más. Paisajes fractales

Fractales del sistema L

3. Una dimensión más. Paisajes fractales

Fractales del sistema L

3. Una dimensión más. Paisajes fractales

Fractales del sistema L

3. Una dimensión más. Paisajes fractales

Fractales del sistema IFS

Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

Fractales del sistema IFS

1. Brocoli IFS

F

Fractales del sistema IFS

2. Helecho de Barnsley

Función 1 Función 2 Función 3 Función 4

a 0 0,2 -0,15 0,75

b 0 -0,26 0,28 0,04

c 0 0,23 0,26 -0,04

d 0,16 0,22 0,24 0,85

e 0 0 0 0

f 0 1,6 0,44 1,6

La dimensión de los fractales y de los objetos reales

1. Método de contar cajas

La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula

Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para

cubrir el conjunto.

Ejemplo:

Dimensión de un segmento es 1. Dimensión de una circunferencia es 1. Dimensión del fractal de Koch ,

La dimensión de los fractales y de los objetos reales

1. Método de contar cajas

La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula

Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para

cubrir el conjunto.

Ejemplo:

Dimensión de un segmento es 1. Dimensión de una circunferencia es 1. Dimensión del fractal de Koch ,

La dimensión de los fractales y de los objetos reales

1. Método de contar cajas

dimension (experimental) = 1.18dimension (analytical) = 1.26deviation = 6%

log (1/h)0-0.69315-1.38629-2.56495-3.09104-3.49651-3.78419-4.00733-4.18965-4.34381-4.47734-5.17615

log N(h)7.608377.040546.329724.859814.219513.526363.295843.044522.995732.708052.564951.60944

La dimensión de los fractales y de los objetos reales

1. Método de contar cajas

log (1/h)0-0.69315-1.38629-4.06044-4.71850-5.12396-5.41165-5.63479-5.81711-5.97126-6.10479-6.79794

log N(h)13.105512.020910.92535.998944.828314.143133.737673.367302.944442.833212.639061.79176

(dimension (experimental) = 1.73dimension analytical) = ??deviation = ??

La dimensión de los fractales y de los objetos reales

1. Método de contar cajas

Dimensión de costas y fronteras. (Lewis Fry Richardson, 1961).

Costa de Africa del Sur: Dimensión= 1

Frontera terrestre de Alemania: Dimensión =1,18

Costa oeste de Gran Bretaña: Dimensión = 1,25

Frontera España-Portugal: Dimensión = 1,16

Resumiendo ....

- Los fractales son objetos sencillos de construir. La reiteración es la causa de su aparente complejidad.

- Una característica de los fractales es su “apariencia autosemejante”.

- En física sobre todo, se le llama fractal a todo objeto que tiene dimensión no entera.

Universo homogéneo versus universo fractal

Is the universe fractal? , por V.J. Martínez, Science, vol 284 (1999) p. 445 ss

Is the universe homogeneous on large scales? , por L. Guzzo, New Astronomy, vol 2 (1997) p. 517 ss

Principio Cosmológico (Einstein): “El universo es homogéneo a grandes escalas”.

Universo homogéneo versus universo fractal

Está aceptado que a pequeña escala el universo no es homogéneo. El universo tiene estructura fractal en escalas de hasta 50 millones de años luz.

Dos opiniones:

1. El universo, a grandes escalas, es homogéneo.

2.El universo, a grandes escalas, tiene estructura fractal de dimensión:

- Dimensión 1,00 (Mandelbrot)- Dimensión 2,00 (L. Pietronero)- Dimensión 1,2 - 1,5- 2,2 (otros autores)

Universo homogéneo versus universo fractal

Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal.

Método 1.

M(r) es el número de galaxias en un círculo de radio r centrado en la Tierra.

Si la distribución fuese homogénea, M(r) crecería como r 3.

En una escala de 450 millones de años luz, M(r) crece como r 2.

Universo homogéneo versus universo fractal

Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal.

Método 2.

C(r) es el número medio de galaxias en un círculo de radio r.

Si la distribución fuese homogénea, C(r) crecería como r 3.

En una escala de 450 millones de años luz, C(r) crece como r 2 (otros autores deducen exponentes distintos).