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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Bloque IV * Tema 172

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc.

• La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial.

• En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F).• Esta distribución queda caracterizada por:• (1) El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse

en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F).• (2) Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros.• (3) La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y

suele denotarse por p.• P(E) = p• Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q.• P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p• (4) La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas:• r = 0, 1, 2, ..., n• Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, ..., ni.• Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe • B(n, p)

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL • Ejemplo 1

• En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”.

• Es una experiencia dicotómica.• P(E) = p =40/100 = 0,40• P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60• n= 30 veces que se repite el experimento.• La binomial queda caracterizada por B(n, p) B(30, 0,30)• Hay que hallar P(x=10)

• Notas importantes:• El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de

personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión.

• Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”)

• P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30)• O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ]

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Ejemplo 2

• Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de …

• a) Que no cace ninguna pieza.• b) Que cace 7 piezas.• c) Que cace al menos 3 piezas.• Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro.• P(E) = p =0,65• P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35• n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar.• La binomial queda caracterizada por B(n, p) B(20, 0,65)

• a) P(x=0)• b) P(x=7)• c) P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20)• P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ]

• Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Ejemplo 3

• Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que …

• a) Ningún tornillo resulte defectuoso.• b) Halla 37 tornillos defectuosos.• c) Halla menos de 3 tornillos defectuosos.• Es una experiencia dicotómica, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no.• P(E) = p =32/1000 = 0,032• P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968• n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja.• La binomial queda caracterizada por B(n, p) B(50, 0,032)

• a) P(x=0)• b) P(x=37)• c) P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

• Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1• Por el Teorema de la Probabilidad Total, al ser los “n” sucesos independientes.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Los experimentos o experiencias que quedan determinados por dos sucesos contrarios reciben el nombre de experiencias dicotómicas.

• En general, cualquier distribución de probabilidad discreta se puede reducir a una experiencia dicotómica:

• Ejemplo_1

• Lanzamos un dado al aire.• Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6).• Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos:• P(“Obtener un seis”) = 1/6• P(“No obtener un seis”) = 5/6• Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico.• P(E) = p=1/6• P(F) = q= 5/6• B(n, 1/6)• Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado.

• Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera un 5 en lugar de un seis.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL • Ejemplo_2

• En una población conocemos:• P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 0,25• P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 0,25• P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 0,20• P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 0,20• P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 0,10

• Si lo que nos interesa es que gane más de 1000 € /mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución binomial:

• P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20+0,10 = 0,30• P(“Un habitante no gane más de 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70• Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica.• P(E) = p=0,30• P(F) = q= 0,70• B(n, 0,30)• Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado.• Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera que ganara hasta 500 €.