@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 4 ECUACIONES Y SISTEMAS.

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

U.D. 4

ECUACIONES Y SISTEMAS


U.D. 4.5 * 1º BCS

SISTEMAS CUADRÁTICOS


• Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado.

• Ejemplos

• x2 – 3x = y + 5 x2 – 3y2 – 3x = y + 5 • 3x + 2y = 7 x2 + 5x = 4y + 5

• x – 3y = 5 x2 + 2xy – 3y2 = 7• 3x + 2xy = 4 3x2 + 7y2 – 3x = y + 5

• Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado.

SISTEMAS DE 2º GRADO


• M. de SUSTITUCIÓN en sistemas cuadráticos

• Sea el sistema:• x2 + y2 = 10 (1)• x + y = 4 (2)

• De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – y

• Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y)2 + y2 = 10• • Operando queda : 2 y2 – 8y + 6 = 0

• Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola …

• y = 3 , y = 1• 1 2 • Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos …

• x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3• 1 2


• M. de IGUALACIÓN en sistemas cuadráticos

• Sea el sistema: • y2 – x = 8 (1)• x + y = 4 (2)

• De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” :• • x = y2 – 8 (1)• x = 4 – y (2)

• Se igualan ambas expresiones: y2 – 8 = 4 – y y2 + y – 12 = 0 • • Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola …• y = 3 , y = – 4• 1 2 • Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos …

• x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (– 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8• 1 2


• M. de REDUCCIÓN en sistemas cuadráticos

• Sea el sistema:• • x2 + y2 - 2 x = 8 (1)• x2 + y2 - y = 7 (2)

• Restando a la (1) la (2) , queda:• • x2 + y2 - 2 x - x2 - y2 + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (1)

• De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x• Y sustituyo en la (2), quedando:• • x2 + (1+2x)2 – 1 - 2x = 7 x2 + 1 + 4x + 4x2 – 1 – 2x = 7 5x2 + 2x – 7 = 0• • Resulta una ecuación de 2º grado


• Teníamos el sistema:• • y – 2x = 1 (1)• x2 + y2 - y = 7 (2)

• …. 5x2 + 2x – 7 = 0• • Resolviendo:

• - 2 +/- √[22 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1• x = ----------------------------- = ------------ =• 2.5 10 - 7/5

• De la (1): y = 2x + 1• y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5

• Solución_1: x1 = 1, y1 = 3• Solución_2: x2 = - 7/5, y2 = - 9/5•


• EJEMPLO 1• La suma de las áreas de dos terrenos cuadrados es de 100 Ha (1 Ha = 10000

m2). La suma de sus perímetros es de 5,60 km. • Hallar el lado de cada terreno.

• RESOLUCIÓN• Sea x = El lado de un terreno, en metros.• Sea y = El lado del otro terreno, en metros.• Según el enunciado:• 4.x + 4.y = 5,60 km 4.x + 4.y = 5600 m x + y = 1400 (1)• x2 + y2 = 100 Ha x2 + y2 = 100.10000 m2 x2 + y2 = 1000000 • Despejando y de la primera ecuación: y = 1400 – x • Sustituyendo en la 2ª ecuación:• x2 + (1400 – x)2 = 1000000• Operando: x2 + 1960000 – 2800.x + x2 = 1000000• 2.x2 – 2800.x + 960000 = 0 x2 – 1400.x + 480000 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = 800 m y x = 600 m• y = 1400 – x = 1400 – 800 = 600 m e y = 1400 – 600 = 800 m

• Ambos terrenos miden 600 m y 800 m respectivamente.


• EJEMPLO 2• Un informático prevé ganar 1000 € por la reparación de un determinado

número de ordenadores. Pero comprueba que dos equipos no tienen posible arreglo, por lo cual decide cobrar 25€ más por la reparación de cada uno de los restantes, al objeto de ganar lo mismo. ¿Cuántos equipos son y cuál era el coste inicial de reparación de cada uno?.

• RESOLUCIÓN• Sea x = El número de equipos en total.• Sea y = El coste de reparación inicial de cada uno.• Según el enunciado:• x.y = 1000 y = 1000 / x• (x – 2).(y + 25) = 1000 x.y – 2.y + 25.x – 50 = 1000• Sustituyendo:• 1000 – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 1000• – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 0• Operando, para lo cual multiplico todo por x:• – 2000 + 25.x2 – 50.x = 0 • 25.x2 – 50.x – 2000 = 0 x2 – 2.x – 80 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = 10 y x = – 8 (que no vale por negativa) • x = equipos iniciales, de los cuales 2 sin posible reparación.• y = 1000 / x = 1000 / 10 = 100 € cada reparación inicialmente.


OFERTA Y DEMANDA

• En Economía aparecen las funciones de oferta y de demanda.• La función de demanda, fd, para cualquier producto, es la función que

nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar.

• La relación puede ser lineal o cuadrática.• fd = mp + n con m<0• fd = ap2 + bp + c con a<0.

• La función de oferta, fo, para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto.

• La relación puede ser lineal o cuadrática.• fo = kp + v con k>0• fo = dp2 + ep + f con d>0.

• El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".


10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

200

300

400

500

600

OFERTA Y DEMANDA

fdfo

Precio de equilibrio

Precio unitario

Núm

ero

de

unid

ade

sDEMANDA: Al aumentar el precio de un bien, los usuarios adquieren menos cantidad.

OFERTA: Al aumentar el precio de un bien, el fabricante produce más unidades.

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12Precio unitario

Núm

ero

de

unid

ade

s

Precio unitario

Núm

ero

de

unid

ade

s

Precio unitario

Núm

ero

de

unid

ade

s

OFERTA Y DEMANDA

fd fd

fdfd

fo

fo

fofo

Núm

ero

de

unid

ade

s

Precio unitario

Precio de equilibrio


• EJEMPLO 1

• La función de demanda, fd, de un determinado producto para un precio entre 90 y 120 € es: fd = -2.p2 + 400.p + 2000

• La función de oferta, fo, del mismo producto, para los mismos márgenes de precio es: fo = 3p2 + 20p – 10000

• Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en este caso.

• Resolución• El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería:• -2.p2 + 400.p + 2000 = 3p2 + 20p – 10000• Operando queda: p2 – 76.p – 2400 = 0 • Resolviendo: p = 100 y p = - 24 (que no vale)

• Las unidades demandadas serían:• xd = – 2.1002 + 400.100 + 2000 = – 20000 + 40000 + 2000 = 22000

• Las unidades ofertadas serían:• xo = 3.1002 + 20.100 - 10000 = 30000 + 2000 – 10000 = 22000


• EJEMPLO 2

• Las funciones de demanda y de oferta correspondientes al mercado de MP4 en cierto momento son:

• xd = – 0,05.p2 + 0,50.p + 150• xo = 0,25.p2 – 10.p + 150 • Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en

este caso.

• RESOLUCIÓN

• El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería:• – 0,05.p2 + 0,50.p + 150 = 0,25.p2 – 10.p + 150• Operando queda: 0,30.p2 – 10,50.p = 0 p = 35

• Las unidades demandadas serían:• xd = – 0,05.352 + 0,50.35 + 150 = – 61,25 + 17,50 + 150 = 106

• Las unidades ofertadas serían:• xo = 0,25.352 – 10.35 + 150 = 306,25 – 350 + 150 = 106

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