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GEOMETRÍA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN
En un trazado de rectas y curvas circulares, la curvatura pasa de 0 en la recta,
a un valor finito y constante en la curva, lo que produce incomodidad y puede
causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga.
Para alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a
dicho peralte, lo cual se reparte 2/3 antes del TE y 1/3 después.
Estas cusas hacen necesario el empleo de un alineamiento de transición.
Otras causas:
- Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad.
- Permite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas.
- El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y
salida.
CLOTOIDE
La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor
de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen
y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la
distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el
radio es infinito.
La expresión matemática usual es:
Siendo:
ρ = el radio de curvatura.
s = el desarrollo o arco.
C= la constante de la espiral.
Numerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de
curvatura:
El ovalo.
La parábola cúbica.
La lemniscata de Bernoulli.
La espiral de Cornu o Clotoide. (*)
(*) Avanzada por Max Von Leber 1860, introducida en la práctica de la
ingeniería por L. Oerley en 1937.
Ventajas de la Clotoide:
1. La clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la
longitud comenzando en cero desde el origen.
2. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a
velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza
centrífuga.
F = WV 2
g R
3. La parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la
forma de la espiral.
L
Tc Le
4. La fórmula de la Clotoide es sencilla; el producto del radio de curvatura
(R) por la longitud (L) desde el origen hasta ese punto, es constante (K2)
donde K se denomina el parámetro de la curva.
Para K = 8 R L RxL K2
2 32 64
4 16 64
8 8 64
16 4 64
5. La magnitud de K se denomina; parámetro de la curva.
6. Todas las Clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño, son
homotéticas con K, pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria
K=1 y obtener valores para otra clotoide por simple proporción.
7. Las Clotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su
curvatura, siendo apropiadas para marcha rápida de vehículos. Las de
R x L = K2
parámetro pequeño aumentan rápidamente la curvatura, siendo aptas
para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.
USOS DE LAS CLOTOIDES
a) Transición entre recta y arco de círculo.
b) Enlace de círculos.
c) Como curva de transición total.
d) Curva revertida.
e) Problemas de distribuidores.
f) Clotoide como curva compuesta.
ECUACIONES DE LA CLOTOIDE
Los radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus
respectivos arcos.
R X L = K2
Donde:
L= longitud del arco.
R= radio de curvatura.
K= parámetro.
Para reducir el valor del parámetro se hace:
Considérese la siguiente figura:
Considérese un elemento diferencial dl:
dl = Rdθ dθ = dlR
R = K2
L dθ =
LdlK2
θ= L2
2K2
Sustituyendo K2 = R x L Integrando:
θ= L2
2 Rl θ= L
2 R K2= L2
2θ K= L
√2θ
En el punto paramétrico o punto característico L = R:
θ=12x 180o
Π 28o 38' 52,4”
Refiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos ejes son la tangente
y su perpendicular en el origen, donde L = 0
dx=dlcos θ
dy=dl senθ
x=∫0
L
dl cosθ y=∫0
L
dl senθ
Desarrollando en serie cos θ y sen θ e integrando se obtiene:
a. Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud.
x=l(1− θ2
5 x2 !+ θ4
9 x4 !− θ6
13x 6 !+ ..)
y=l( θ3− θ3
7 x3 !+ θ5
11 x5 !− θ7
15x 7 !+..)
b. Definen a la clotoide por su parámetro. Sustituyendo l=K √2θ
x=K [√2θ (1− θ2
5 x2 !+ θ4
9 x 4 !− θ6
13 x6 !+..)]
y=K [√2θ( θ3− θ3
7 x3 !+ θ5
11 x 5!− θ7
15 x 7!+..)]
ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
Puntos:
TE = tangente - espiral.
ET = espiral – tangente.
EC = espiral – curva.
CE = curva – espiral.
PC = punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.
PI = punto de intersección.
Ángulos:
Δo = ángulo de deflexión entre tangentes.
Θ = deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto.
Θe = deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide.
Distancias:
Rc = radio de la curva circular.
R = radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto.
Le = longitud total de la espiral.
L = longitud de la espiral desde el origen a un punto.
TL = tangente larga.
TC = tangente corta.
TT = tangente total.
Xc, Yc = coordenadas del EC.
K, P = coordenadas de PC.
CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
Topografía:
Vproy. Rc
Dato ℓe
R x ℓ = Rc x ℓe
Radio a una longitud ℓ del origen
θ = l ²
2k ² en EC θe = l e ²2k ² θe =
l e ²2Rc l e
Radianes
ℓe = 2 Rc θe
Rc = l e
2θe
θ = l ²
2Rc l e = l ²
2( l e2θe )l e =
l ²le ² θe = (
lle
¿ ² θe
Angulo de deflexión a una distancia l del origen
Es una transición de tipo clotoide – curva circular – clotoide
Υ=Δc=Δ−2θe
R = Rc .l e
l
Θe = l e2Rc l e
θ = ( lle
¿ ² θe
L=¿+ lc+¿=2≤+lc
L=4 Rcθe+Rc Δc
L=ℜ (4θe+δ )
Siendo L la longitud de la curva, θe y Υ en radianes
Sistema de coordenadas cartesianas (X, Y) en el origen de la clotoide.
×=l(1− θ10
2
+ θ216
4
−…)
Y=l( θ3− θY 2
3
+…)
Para EC Xc, Yc se obtienen haciendo l = le
Sistema de coordenadas polares de un punto (Ø, C):
C=√ x2+ y2
Ø=Arctang[ yx]
Donde:
C= cuerda
Φ= ángulo de la cuerda
Para Ec:
CL = √Xc ²+Yc ²
Φe = arcTang (YcXc )
Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada k , ρ
k=Xc−Rc senθe
ρ=Yc−Rc (1−cosθe )
k es aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide.
La clotoide bisecta a ρ en partes prácticamente iguales.
Para Clotoides iguales a la entrada y salida:
Tangente Total
Ee = (ρ + Rc) Sec (Δ/2) – Rc
Externa
En términos de la Semitangente y la Externa de la curva circular:
Para calcular la Tangente Larga y la Corta:
Tt = k + (Rc + ρ) Tang (Δ/2)
Ee = Rc (Sec (Δ/2) – 1) + ρ Sec (Δ/2)
Tt = T+ ρ Sen (Δ/2) + k
Ee = E+ ρ Sec (Δ/2)
TL = Xc – Yc Cotg θe
Valores de X, Y Tablas, Programas
LONGITUD MÍNIMA DE LA CLOTOIDE
Cambio de dirección del vehículo.
Tres Criterios Transiciones del peralte.
Aparición de la fuerza centrifuga.
1. Le ≥ 30m
2. Le ≥ a x p x n
3. Le ≥ 0,0522 Vp ³Rc - 6,64 Vp e (Smirnoff)
Donde:
a = ancho del canal (m)
e = peralte (decimales)
n = 1S s: pendiente borde exterior calzada
n = 200
3 + 53 Vp
Le (m)
Vp = Velocidad de Proyecto (Km/h)
Rc = Radio de la curva (m)
TL = Xc – Yc Cotg θe
Tc = Yc
Senθe
NORMAS VENEZOLANAS
Longitud de transición para ancho de rotación de 1 canal
Rc Le
50 55
60 60
70 60
80 65
90 70
100 70
120 75
140 80
150 80
160 85
180 85
200 90
440 90
450 85
520 85
540 80
600 80
700 70
750 70
800 65
850 60
900 60
950 55
1000 55
1100 50
1200 45
1300 40
1400 35
1500 30
Ejemplo:
Carretera de dos canales x 3,60 m; Vp = 80 K/h ; Re = 200m; P= 10% rotación
del peralte por el eje.
1. ¿≥30m
2. ¿≥a x p xn
3. ¿≥0,0522 x 803
200−6,64 x80 x0,10=81
Ejemplo Nª 1
Datos:
Re = 250
Le= 90
∆ = 40º
Incógnitas:
a) K ,θe , Xc ,Yc ,CL,∅ e , (k , ρ ) , Tt , E , Lc ,Tc ,Tl
b) coordenadas cartesianas y polares de P1 a 45 m de Te.
Solución:
a)
Rc * le = k2
k=√250∗90=150
θe= lc2 Rc
= 902∗250
= 0,18 = 10,31 º = 10º 18´47”
Xc=lc(1− θe2
52!+ θe4
94 !+ θe6
136 !+…)
Xc=90 (1−0,182
52!+ 0,184
94 !+ 0,186
136 !+…)
Xc=90 (1−0,00324+0 ,00000486−0,00000000363 )=89 ,709
Yc=lc(θ3− θ3
7∗3!+ θ5
11∗5 !− θ7
15∗7 !+…)
Yc=90(0,183
− 0,183
7∗3 !+ 0,185
11∗5 !− 0,187
15∗7 !+…)
Yc=90¿
Yc=5 ,388
CL=√Xc2+Yc2=√ (89,709 )2+(5,388 )2
CL=89 ,871
∅ e=arctg YcXc
=arctg 5,38889,709
=3,437
Øe=¿03 º 26´13,58” k=Xc−ℜ senθe=89,709−250 sen10 º18 ´ 47,67
k=44 ,952
ρ=Yc−ℜ¿
P = 1.349
Tt=k+ ( ℜ+ ρ ) tan(∆2 )=44,952+ (250+1,349 ) tan( 402 )
Tt=136.435
E=Rc(sec(∆2 )−1)+ ρ sec(∆2 )=250( 1cos20
−1)+1,349( 1cos20 )
E=17 ,48
Lc=ℜ x δ
δ=∆−2θe=40−2∗10 º 18´ 47,67 = 19,373 = 19º 22´24.66”
Lc=250∗19,373( π180 )=84 ,533
TL=Xc−Yc cot θe=89,709−5,388 cot 10º 18 ´ 47,67
TL= 60,100
Tc= Ycsenθe
= 5,388sen10 º 18´ 47,67 ¿
Tc=30 ,096
b) Calcular coordenadas P1 a 45m TE
Θ = l12
2Rc lc = 452
2x 250 x 90=0,045=2,5783
Θ ¿20 34 ’ 41,92’ ’
X1=¿ ¿ l1( 1 - Ѳ2
52!+ Ѳ4
94 !− Ѳ6
13 x6 !+…¿
X1=¿ ¿ 45 (1 – (0,045)2
10 + (0,045)4
216 - (0,045)6
9360 +…)
X1=¿ 44,991¿
Y 1= l1 ( Ѳ3 - Ѳ3
7 x3 ! + Ѳ5
11 x5 ! - Ѳ7
15x 7 ! + … )
Y 1= 45 ( 0,0453
−(0,045)3
45 + (0,045)5
1320 - (0,045)7
75600 +…)
Y 1= 0,675
C1= √X12+Y 1
2 = √(44,991)2+(0,675)2
C1= 44,996
Φ= arc tang Y 1
X1 = arc tang (
0,67544,991 )
Φ= 0º 51’34,36”
USO DE LAS TABLAS
Para resolver un problema de clotoide necesitamos dos datos en un punto
cualquiera. Generalmente Ec.
Los datos pueden ser:
( le , Rc ¿ (p ,R c) (K , le) (K , Rc ) (K ,θe) (θe , le) (θe , Rc )(Cl ,Φe)
Para encontrar en la tabla el punto de semejanza entramos con un coeficiente
de forma:
- Un ángulo.
- Relación de dos elementos lineales.
En la fila del coeficiente de forma leemos todos los elementos. Para la clotoide
real los multiplicamos por el parámetro.
Ejemplo Nª 2
Datos:
Carretera de 2 canales x 360m
Vp= 80Km/h
∆= 30º20’38”
Re= 250
e= 9%
Incógnitas:
a) Determine le según normas.
b) θe ,K , X c , Y c ,Cl ,Φe, (K , p ) ,T t , E , lc
Solución:
a) Tabla ----------- Rc = 250 ------------ le= 90m
b) En Ec conocemos Le y Rc, por lo tanto tenemos el coeficiente de forma:
leR c
=¿ 90250 = 0,360000
Fila L = 0,600 (datos de la tabla para lR = 0,360000)
L = 0,600 x = 0,598059 K = 0,299676
Θ = 10º18’48” y = 0,035917 d = 0,008990
r = 1,666667 c = 0,599136 t = 0,604595
Φ = 3º26’12”
Calculamos el parámetro
K = √R x le = √250 x90 = 150
le = K x l 90 = K x 0,600 K = 150
Rc= K x r 250= K x 1, 66667 K = 150
Multiplicamos por 150 los datos de la tabla.
le = 150 x 0,600 = 90
Rc= 150 x 1,666667 = 250
θe= θ = 10º18’48”
Xc= 150 x 0,598059 = 89,709
Yc= 150 x 0,035917 = 5,388
Cl = 150 x 0,599136 = 89,870
Φe= Φ = 3º29’12”
K = 150 x 0, 29967 = 44,951
p = 150 x 0,008990 = 1,349
δ =∆-2θe = 30º20’38” – 2 (10º18’48”) = 9º43’02”
le= Rc δπ
180 = 42,399
T t= [ (Rc x p ) tg π2 ]+K = 113,109
E = Rc+ p
cos ∆2
−Rc=10,426