001 Modulo de Programacion LinealA

Universidad Privada San Pedro

INTRODUCCIN.

El presente Mdulo de Autoaprendizaje titulado: Investigacin de Operaciones: PROGRAMACIN LINEAL se ha elaborado para los alumnos de la escuela profesional de Ingeniera en Energa del curso de Investigacin de Operaciones a fin de ayudar en el aprendizaje de esta amplia disciplina y cubriendo algunas necesidades pedaggicas.

El mdulo se ha elaborado teniendo en cuenta las diversas metodologas existentes en los libros y adaptndolo a las necesidades pedaggicas propias de los estudiantes y, se ha dividido en cinco sesiones de aprendizaje considerando algunas actividades de atajo por cada tema donde el alumno tiene que ir comprobando su aprendizaje y al finalizar cada sesin se considera una auto evaluacin. Los alumnos no podrn pasar a la siguiente sesin si no han desarrollado todas las actividades planteadas.

El contenido de las sesiones son los siguientes:

Sesin 01 : Fundamento Bsicos de Investigacin de Operaciones, orienta a los estudiantes en el contexto de la metodologa de investigacin de operaciones brindando las principales definiciones, sus campos de aplicacin y las tcnicas de investigacin de operaciones desarrolladas.

Sesin 02 : Fundamentos de Programacin Lineal, introduce al conocimiento de la tcnica de programacin lineal, construyendo sus modelos y la descripcin de cada uno de sus elementos; se formula modelos a partir de situaciones problemticas dndolo solucin por el mtodo grafico. Adicionalmente a ello se estudia el problema de Asignacin, Transporte y de la dieta.

Sesin 03 : Mtodo Simplex Primal, los alumnos aprendern a resolver los modelos de Programacin Lineal haciendo uso del algoritmo simplex primal dando un interpretacin administrativa a los resultados y asignndolo un tipo de solucin.

Sesin 04 : El Problema Dual y El Mtodo Simplex Dual, el alumno construir un problema dual a partir del problema primal brindando los resultados del dual a partir de la solucin del Primal. Adems, aprender el algoritmo Simplex Dual como una alternativa de solucin de problemas de PL que se ajuste a las condiciones de esta tcnica.

Sesin 05 : Anlisis de Sensibilidad, el alumno estar en la capacidad de interpretar los resultados de la tcnica de programacin lineal, evaluando las posibilidades el incrementos o disminucin de sus recursos y/o utilidades (costos) respetando las condiciones de factibilidad y optimidad respectivamente.

Con este mdulo de autoaprendizaje pretendo contribuir en el campo pedaggico de la enseanza de la investigacin de operaciones de los estudiantes de Ingeniera en Energa de la UNS y esta abierta a cualquier sugerencia o critica constructiva a fin de seguir mejorando y que es la razn de ser de todo profesional ...PERFECCIONAMIENTO CONTINUO.

El Autor.

INDICE

Pg.

Introduccin2

ndice3

Sesin 1 : Fundamentos Bsicos de Investigacin de Operaciones5

Definiciones de investigacin de operaciones6

Secuencia operativa de un estudio de investigacin de operaciones7

Campos de aplicacin de la investigacin de operaciones.8

Tcnicas de investigacin de operaciones.8

Modelos en Investigacin de Operaciones9

Auto evaluacin10

Sesin 2 : Fundamentos de Programacin Lineal11

Antecedentes histricos de Programacin Lineal.12

Definiciones de Programacin Lineal.12

Elementos de un Modelo de Programacin Lineal.12

Modelo de Programacin Lineal.12

Propiedades de la forma Estndar de un modelo de Programacin Lineal.13

Tipos de Variables de un modelo de Programacin Lineal.13

Formulacin y solucin a modelos de PL por el mtodo grafico.13

Aplicaciones de la Programacin Lineal19

El problema de asignacin20

El problema del transporte23

El problema de la dieta26

Auto evaluacin28

Sesin 3 : Mtodo Simplex Primal 29Procedimiento del Mtodo Simplex Primal.30

Solucin a un modelo de Maximizacin con el mtodo simplex primal.31

Solucin a un modelo de Minimizacin con el mtodo simplex primal.33

Casos especiales de solucin del mtodo simplex.34

Autoevaluacin35

Sesin 4 : El Problema Dual y el Mtodo Simplex Dual 36El Problema Dual.37

Condiciones para derivar un Dual a partir de un Primal.37

Mtodo Simplex Dual.- Procedimiento.41

Solucin a Modelos de PL por el Mtodo Simplex Dual.41

Autoevaluacin43

Sesin 5 : Anlisis de Sensibilidad 44

Anlisis de Sensibilidad.45

Estado de los Recursos.45

Precios Duales.45

Cambio en la disponibilidad de los recursos.45

Cambios en las Utilidades y/o costos marginales de la funcin objetivo.47Autoevaluacin50

Bibliografa52

Universidad Nacional del Santa

Facultad de Ingeniera

Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera en Energa

SESION 1FUNDAMENTOS BASICOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

DURACIN:

120 minutos

CAPACIDAD GENERAL

Aplica correctamente los conceptos generales de investigacin de operaciones en los problemas propios de la especialidad de ingeniera en energa ubicndolo en el contexto de su realidad.

CAPACIDADES TERMINALESCONTENIDO

1. Elabora un concepto de investigacin de operaciones a partir de las definiciones dadas por diversos estudiosos de la rama.

2. Reconoce los campos de aplicacin de la investigacin de operaciones.

3. Reconoce las tcnicas de investigacin de operaciones aplicadas a diversas empresas del mundo.

4. Aplica modelos matemticos en problemas de investigacin de operaciones.

1. Definiciones de investigacin de operaciones.

2. Campos de aplicacin de la investigacin de operaciones.

3. Tcnicas de investigacin de operaciones.

4. Modelos de Investigacin de operaciones.

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

1. DEFINICIONES DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

La I.O. puede describirse como un enfoque cientfico de la toma de decisiones que requiere la operacin de sistemas organizaciones.

Hiller y Lieberman

La I.O. comprende los mtodos y modelos de matemticas aplicadas para resolver problemas de operaciones complejas.

Comisin Presidencial sobre Seguridad de la

Aviacin de los EEUU de Norteamrica.La I.O. es la aplicacin de mtodos cientficos, tcnicas y herramientas a problemas que involucran las operaciones de sistemas adems de proveer a stos, de soluciones ptimas en los problemas sobre control de sus operaciones.

Churchman, Ackoff y Arnoff

La I.O. comprende la aplicacin del mtodo cientfico al estudio de organizaciones o actividades grandes y complejas

Concejo Nacional de Investigacin de Gran Bretaa

Se define la I.O. como la aplicacin del mtodo cientfico al anlisis y solucin de problemas de decisin gerencial

Turban y Meredith

Se utiliza aqu el termino I.O. como el anlisis del uso de los modelos matemticos como un auxiliar en el proceso de la toma de decisiones

Buffa y Dyer Tomado del material de estudio del curso Tcnicas de Investigacin Operativa de la Maestra en Ingeniera de Sistemas de la escuela de Post Grado de la Universidad de Lima. SECUENCIA OPERATIVA DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

Tomado del material de estudio del curso Tcnicas de Investigacin Operativa de la Maestra en Ingeniera de Sistemas de la escuela de Post Grado de la Universidad de Lima.

2. CAMPOS DE APLICACIN DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

La investigacin de operaciones aborda temas que responde a preguntas que se formulan a continuacin:

Cul es la forma ms eficiente de asignar ciertos recursos escasos para conseguir la ms alta tasa de retorno? Cul es la mejor manera de asignar rutas a una flotilla de transporte de bienes que deben ser colocados en bodegas de distribuidores para que los costos sean ms bajos? Cuntas ventanillas deben colocarse en un banco en las horas normales y en las horas y das pico para que los clientes no se desesperen y se retiren al banco que est cruzando la calle (competencia)?

Cuntas cajas registradoras debe habilitar un supermercado para que el largo de las colas no entorpezcan la circulacin de los clientes que an estn comprando y de los trabajadores que colocan mercadera, etiquetan y dan atencin al pblico? De qu manera debe asignarse un presupuesto en una industria (o en un sector de la economa de un pas), para que se satisfaga la demanda interna y externa del bien o servicio que produce?

Cul ser la demanda de lneas telefnicas para el ao 2010, teniendo en cuenta el crecimiento natural de la poblacin, el cambio de sus hbitos, la produccin, el nmero de profesionales, escuelas, comercios, etctera, que habrn en ese entonces? Ser posible hacer predicciones (aproximadas por supuesto) de cuntas escuelas, comercios, profesionales, etctera, habr en el ao 2010? , etc. Es muy oportuno porque es en estos casos donde los especialistas en esta disciplina pueden apoyar a los dems.

Como se podr notar el campo de la investigacin de operacin es diverso: se puede aplicar en cualquier Actividad Humana pero primordialmente en la Administracin, economa, industria e Ingeniera, siempre buscando optimizar sus recursos.

3. TCNICAS DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

Entre la tcnicas mas utilizadas de investigacin de operaciones podemos citar lo siguiente:

Programacin Lineal y Entera.: Consiste en formular problemas en trminos de modelos matemticos conducidos a maximizar o minimizar los beneficios o costos. La programacin lineal varia un tanto de la programacin entera en respecto a la tcnica para encontrar los resultados en funcin de los valores que asume.

Programacin Dinmica.- La programacin dinmica se utiliza tanto en problemas lineales como no lineales. Es til para resolver un problema donde se deben tomar una serie de decisiones interrelacionadas. A diferencia de la Programacin Lineal la programacin dinmica no tiene formulacin matemtica estndar. Se trata de un enfoque de tipo general para la solucin de problemas, y las ecuaciones se derivan de las condiciones individuales de los mismos.Programacin y evaluacin de proyectos con PERT CPM.: Esta tcnica para la planificacin de proyectos es un instrumento gerencial por excelencia, ya que permite al ejecutivo planear y mantener un control muy preciso durante la ejecucin de los mismos.Teora de Inventarios.- se crea un inventario cuando el volumen de materiales, partes o bienes terminados que se recibe es mayor que el volumen de los mismos que se distribuye; el inventario se agota cuando la distribucin es mayor que la recepcin de materiales. La teora de inventarios se dedica a estudiar diversos modelos de administracin de inventarios de tal forma que nos permita mantener recursos disponibles necesarios sin incurrir en costos cuando suceda su faltante o un exceso. Entre varios mtodos que nos permiten tener un inventario optimo entre ellos tenemos: Clasificacin ABC, modelo JUST IN TIME ( JIT ), Modelo de Planeacin de Requerimientos de Materiales (MRP), Modelo EOQ con demanda determinstica, etc.

Teora de Decisiones.- cada uno de nosotros siempre tomamos decisiones influenciados por diversos factores internos o externos pudiendo ser el resultado de estas decisiones favorable o desfavorable. En algunos casos los resultados de las decisiones son previsibles pero otros casos existe una gran incertidumbre. La teora de decisiones se basa en el estudio de la toma de decisiones haciendo uso de las probabilidades basados en informaciones previas de tal forma que las posibilidades de acertar en una decisin sean calculadas previamente. Algunas de las tcnicas son: teora de BAYES, el criterio MNIMAX, MAXIMIN, MXIMAX, etc.

Teora de Colas.- Las colas es una palabra comn en nuestra vida por ejemplo si queremos sacar el dinero de un cajero automtico, cuando vamos a atendernos a un hospital, maquinas descompuestas que esperan ser reparadas, etc todo esto trae como consecuencia incomodidad y costos inmersos en el hecho de realizar las colas. Esta teora se basa en elaborar ciertas tcnicas en reducir las molestias volviendo mas eficiente el sistema y por ende la reduccin de los costos.

Teora de Juegos.- consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratgicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bien al pensar sobre los problemas de las relaciones estratgicas, pues generalmente la solucin es la lgica a la inversa.

En la Teora de Juegos la intuicin no es muy fiable en situaciones estratgicas, razn por la que se debe entrenar tomando en consideracin ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales.

La Teora de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economa es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teora de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicacin de la Teora de Juegos tenemos: La economa, la ciencia poltica, la biologa y la filosofa.

4. MODELOS EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES.

Un modelo es una representacin de la realidad como un producto de anlisis para efectos de su estudio.

Tipos de Modelos:

Modelo Icnico: Es concreto, representacin de un objeto de la vida real (fotografa, maqueta).

Modelo Simblico: Una curva de demanda en economa.

Modelo Matemticos: Las ecuaciones en este punto se propone la hiptesis de que el modelo es la representacin real de la situacin problemtica.

Este tipo de modelo es el que hace uso la investigacin de operaciones.

AUTOEVALUACION

Desarrollo Individual

1) Escribir un concepto de investigacin de operaciones.

2) Explique mediante un ejemplo la secuencia de pasos de un estudio de investigacin de operaciones.

3) Elaborar un cuadro resumen de las tcnicas de investigacin de operaciones.

4) Explique mediante un ejemplo 3 tcnicas de investigacin de operaciones.

5) Escriba un concepto de modelo y brinde ejemplos de los tipos de modelos.

TRABAJO GRUPAL: Formar grupos de 5 alumnos e investigue los siguientes temas:

Antecedentes histricos de la investigacin de operaciones.

Investigar en que reas de su especialidad se han aplicado la investigacin de operaciones.

Preparar un informe grupal y las diapositivas para la exposicin en la siguiente clase.




SESION 2FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIN LINEAL

DURACIN:

180 minutos

CAPACIDAD GENERAL

Resuelve problemas de programacin lineal aplicando correctamente los fundamentos tericos de esta disciplina en la solucin de problemas empresariales relacionados con la optimizacin de los procesos de las reas respetivas.


1. Contextualiza en el tiempo y espacio a la Programacin Lineal.

2. Elabora un concepto de Programacin Lineal.

3. Identifica los elementos de un modelo de Programacin Lineal.4. Reconoce y compara los modelos de Programacin Lineal.

5. Asume las propiedades de la forma estndar de un modelo de Programacin Lineal en la solucin de modelos.

6. Clasifica las variables de un modelo de Programacin Lineal segn el tipo de restriccin.

7. Elabora y resuelve por el mtodo grafico modelos de Programacin Lineal.

8. Resuelve problemas de transporte y asignacin de recursos.

1. Antecedentes histricos de Programacin Lineal.

2. Definiciones de Programacin Lineal.

3. Elementos de un Modelo de Programacin Lineal.

4. Modelos de Programacin Lineal.

5. Propiedades de la forma Estndar de un modelo de Programacin Lineal.

6. Tipos de Variables de un modelo de Programacin Lineal.

7. Formulacin y solucin a modelos de PL por el mtodo grafico.8. Problemas de transporte, Asignacin de recursos y Dieta.

PROGRAMACIN LINEALANTECEDENTES HISTORICOS.

Debido al xito obtenido en las campaas de la segunda guerra mundial, entonces, en la dcada de 1950 se usa en la industria, los negocios y el gobierno.

Dio origen a las carreras como ingeniera mecnica, qumica e Industrial.

Inglaterra dio origen a esta disciplina y a los EEUU se le atribuye el rpido crecimiento gracias al mtodo simplex desarrollado en 1947 por George Dantzing. Otras herramientas de IO son PL, P. Dinmica, Lneas de Espera y teoras de inventario hasta antes de terminar la dcada de 1950 .

DEFINICIN DE PROGRAMACIN LINEAL.

Es una tcnica matemtica de anlisis que permite determinar cual es la asignacin ms eficiente de los recursos limitados en actividades que desarrolla la empresa con el propsito de optimizar los objetivos de la organizacin, esto es, maximizar beneficios o minimizar costos.ELEMENTOS DE UN MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL.VARIABLES DE DECISIN:

Incgnitas del Modelo (X1, X2, X3, ... , Xn)

PARAMETROS: Variables controlables del sistema. ( aij )

FUNCION OBJETIVO : Maximizacin o Minimizacin. ( Max Zo. Min Zo. )

RESTRICCIONES: Expresadas como ecuaciones restrictivas, representan los recursos limites del sistema.REGIN FACTIBLE. Son el conjunto de valores de Xi que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto de esa regin puede ser solucin del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solucin. La solucin ptima del problema ser un par de valores (Xa, Xb) del conjunto factible que haga que f(Xa,Xb) tome el valor mximo o mnimo.

MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL

(Maximizar o Minimizar) Zo= C1X1+ C2X2 +...+ Cn-1Xn-1+ CnXn

Sujeto a:

a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + . . . + a1nXn (< = > ) b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + . . . + a2nXn (< = > ) b2

:

:

ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + . . . + ainXn (< = > ) bi

:

:

am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + . . . + amnXn (< = > ) bm

Xj >= 0 ( j = 1,2,3, . . . , n ; i = 1, 2, 3, . . ., m )

En General:

PROPIEDADES DE LA FORMA DE PL ESTANDAR Todas las restricciones son ecuaciones (con los segundos miembros no negativos si el modelo se soluciona por medio del mtodo simplex primal.

Todas las variables son no negativas.

La funcin objetivo puede ser la maximizacin o la minimizacin.TIPOS DE VARIABLES EN UN MODELO DE PL Si la restriccin es de la forma ( entonces se suma una VARIABLE DE HOLGURA Si Si la restriccin es de la forma ( entonces se agrega una VARIABLE DE EXCESO - Si Variables Artificiales (Ai) : Hace las veces de una variable de holgura en restricciones de la forma =

Variables No Bsicas: Son aquellas variables que tienen valor igual a cero.

Variables Bsicas: Son aquellos que cuyo valor son distintos de cero. Si son positivos se dicen que son Variables Bsicas Factibles. Variable Irrestricta (o no restringida) : yi puede representarse en trminos de dos variables no negativas mediante la sustitucin de:

YI = YI YI

YI, YI ( 0

Solo una de las dos variables puede tomar un valor positivo, Es decir:

Si YI>0 , entonces, YI=0 y viceversa.

Si YI (irrestricta) representa holgura y exceso, entonces:

YI es Holgura y YI es Exceso.FORMULACION Y SOLUCION DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL.

FORMULACION DE UN MODELO DE MAXIMIZACIN.

Problema N 01En una urbanizacin se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un mximo de 1800 millones de ptas, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones respectivamente. El Ayuntamiento exige que el nmero total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4 millones y de 3 millones por una de tipo B cuntas casas deben construirse de cada tipo para obtener el mximo beneficio?

Solucin:

Capital a invertir

( millones de ptas.)Demanda del Mercado

(unidades)Utilidades

(millones ptas)

Tipo A (X1)3014

Tipo B (X2)2013

Disponibilidad 180080

El modelo de programacin lineal es el siguiente:

Maximizar Z = 4X1 + 3X2Sujeto a:

30X1 + 20X2 (1800

(Capital disponible)

X1 + X2

(80

(Demanda del mercado)

X1 , X2 ( 0

La solucin se dar por el mtodo grafico ms adelante.

Ejercicio N 01

La fbrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al pblico de una mesa es de S/. 270 y el de una silla S/.110 LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de S/. 100 de materias primas y de S/. 140 de costos laborales. Fabricar una silla exige S/. 40 de materias primas y S/. 50 de costos laborales. La construccin de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintera y un proceso final de acabado (pintura, revisin de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintera y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintera y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas ni de los costos laborales, pero slo puede contar semanalmente con un mximo de 80 horas de carpintera y un mximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como mximo, 40 mesas a la semana. No ocurre as con las sillas, para los que no hay ningn tipo de restriccin en cuanto al nmero de unidades fabricadas.

Determinar el nmero de mesas y de sillas que semanalmente deber fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Formular el Modelo de Programacin Lineal.

FORMULACION DE UN MODELO DE MINIMIZACIN.

PROBLEMA N 02

Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limn necesita para su elaboracin 0,5 gr. de un producto de fermentacin y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentacin. El coste de produccin de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limn. Cuntos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaa sea mnimo?

Solucin:Promocin (Unidades)Producto Fermentacin (gr.)Costo de Produccin

Unidades monetarias / unidad

Yogurt de Limn (X1)10.51

Yogurt de Fresa (X2)10.22

Demanda o disponibilidad300009000

Luego del Modelo de Programacin Lineal ser

Minimizar Z = X1 + 2X2Sujeto a:

X1 + X2

( 30000

(Unidades Yogurt)

0.5X1 + 0.2X2 ( 9000

(Productos de fermentacin)

X1 , X2 ( 0

La solucin se dar por el mtodo grafico ms adelante.

Ejercicio 2:

En una granja de pollos se da una dieta para engordar con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta:

Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo?. Formular el Modelo de Programacin Lineal.SOLUCION POR EL METODO GRAFICO.

Modelo de Maximizacin: considerando el modelo del problema 1

Maximizar Z = 4X1 + 3X2Sujeto a:

30X1 + 20X2 ( 1800


X1 + X2

(80


X1 , X2 ( 0

Realizando las operaciones algebraicas para obtener los valores de X1 y X2 en cada una de las restricciones:

En la restriccin 1 (C1):

Si X1 = 0 , entonces, X2 =90 Luego P1(X1,X2) = P1(0,90) y Z1 = 4(0)+3(90) = 270


P2 si forma parte de la solucin.





Calculando el punto (R) donde se interceptan las dos restricciones:

Resolviendo simultneamente las dos ecuaciones.

30X1 + 20X2 = 1800

-30X1 + -30X2 = -2400

-10X2= - 600

X2= 60

Luego: X1 = 20PR(X1,X2) = PR(20,60)

Entonces: ZR = 4(20) + 3(60)

ZR = 260

Por lo tanto la solucin optima esta en el punto R (Por ser un problema de maximizacin)

Aqu la Z se vuelve el mayor posible.

X1 = 20X2= 60

ZR = 260

Se tiene la siguiente grafica:

Interpretacin Administrativa:La Empresa Constructora debe construir 20 y 60 casas de tipo A y tipo B respectivamente para obtener la mxima utilidad posible que representa a 260 millones de ptas. bajo las condiciones de disponibilidad de recursos financieros y demanda del mercado.

Ejercicio 3: Dar solucin con el Mtodo Grfico al ejercicio 1 y dar una interpretacin administrativa al resultado.

Respuesta:

Mesas = 20 unidades.

Sillas = 60 unidades.

Utilidad Mxima = S/. 1800

Modelo de Minimizacin: considerando el modelo del problema 2

Minimizar Z = X1 + 2X2Sujeto a:

X1 + X2

(30000

(Unidades Yogurt)

0.5X1 + 0.2X2 ( 9000


X1 , X2 ( 0

Realizando las operaciones algebraicas para obtener los valores de X1 y X2 en cada una de las restricciones:


Si X1 = 0,entonces, X2 =30000 Luego P1(X1,X2) = P1(0,30000) y Z1= 1(0)+2(30000)=60000

Si X2 = 0,entonces, X1 =30000 Luego P2(X1,X2) = P2(30000,0) y Z2= 1(30000)+2(0)=30000



Si X1 = 0 ,entonces, X2 =45000 Luego P3(X1,X2) = P3(0,45000) y Z3=1(0)+2(45000) = 90000

Si X2 = 0 ,entonces, X1 =18000 Luego P4(X1,X2) = P4(18000,0) y Z4 = 1(18000)+2(0) = 18000


Calculando el punto (R) donde se interceptan las dos restricciones:

Resolviendo simultneamente las dos ecuaciones.

X1 + X2 = 30000

-X1 - 0.4X2 = -18000

0.6X2= 12000

X2= 20000

Luego: X1 = 10000PR(X1,X2) = PR(10000,20000)

Entonces: ZR = 1(10000) + 2(20000)

ZR = 50000

Por lo tanto la solucin optima esta en el punto R (Por ser un problema de minimizacin)

Aqu la Z se vuelve el mnimo posible.

X1 = 10000X2= 20000

ZR = 50000

Se tiene la siguiente grafica:

Interpretacin administrativa:A fin de minimizar los costos de produccin en la fabricacin de yogurt con sabor a limn o fresa que se pretende promocionar en la campaa se recomienda producir 10000 y 20000 unidades de yogures de limn y fresa respectivamente obteniendo un costo mnimo total de 50000 unidades monetarias bajo las condiciones mnimas de demanda en la promocin y los insumos de productos de fermentacin disponibles.

Ejercicio 4: Dar solucin con el Mtodo Grfico al ejercicio 2 y dar una interpretacin administrativa al resultado.

Respuesta:

Tipo X = 2.5 unidades.

Tipo Y = 2.5 unidades.

Costo Mnimo = 10000 ptas.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIN LINEALAunque surgi como aplicacin a cuestiones de carcter logstico y militar, es la industria y la economa donde, posteriormente ha encontrado sus aplicaciones ms importantes.As, por ejemplo, la Programacin Lineal permite resolver problemas de mezclas, nutricin de animales, distribucin de factoras, afectacin de personal a distintos puestos de trabajo, almacenaje, planes de produccin, escalonamiento de la fabricacin, problemas de circulacin, planes de optimizacin de semforos, estudios de comunicaciones internas, etc.Veamos algunas de las aplicaciones ms importantes:EL PROBLEMA DE ASIGNACIN.Este problema administrativo consiste en colocar m recursos (personal u objetos) a n tareas. Por ejemplo, una empresa puede asignar ptimamente sus m empleados a n reas de la empresa teniendo en cuenta el rendimiento del empleado. Aqu se puede maximizar el rendimiento. Por otro lado se puede minimizar los costos asociados que tiene el hecho de asignar un empleado a un determinado departamento.

RECURSOTAREAS

T1T2T3. . .Tn

R1C11C12C13. . .C1n

R2C21C22C23. . .C2n

R3C31C32C33. . .C3n

. . .. . .. . .. . .. . .. . .

RmCm1Cm2Cm3. . .Cmn

Procedimiento:Caso minimizacin.

1. Determinar el menor costo para cada una de las filas.

2. Restar con ese valor a los dems costos de la fila.

3. Hacer lo mismo a nivel de columnas si es que alguna no se halla cubierto con ceros y restar con ese valor a los dems elementos de la columna comprometida.

4. Trazar el menor numero de rectas que incluya la mayor cantidad de ceros. Si el numero de rectas es igual al numero de filas entonces se habr llegado a la solucin optima. Ir al paso 7.

5. Si no es solucin ptima, en las celdas no cubiertas, seleccionar el menor valor de las celdas y restar de los dems y adicionar este valor aquellas celdas que forman parte de la interseccin de dos rectas (no aquellos que sean ceros).

6. Regresar al paso 4.

7. Para obtener el costo empiece asignando a las celdas cubiertas con ceros los valores originales dados en la matriz inicial. Empiece este procedimiento con aquellas filas con el mnimo numero de ceros.

Caso Maximizacin:

Seleccionar los valores mas altos de las filas y columnas y seguir los pasos dados anteriormente.

Problema: Caso Compaa JAV.

La gerencia general que se encuentra en Bogot ha decidido que cada uno de los 4 vicepresidentes visite una de las 4 plantas de la compaa ubicadas en diferentes ciudades.La gerencia empieza por estimar los costos que representar a la compaa el envo de cada vicepresidente a cada planta. Con esos costos el gerente puede evaluar cualquier designacin particular con base en la siguiente matriz de costos:PLANTAVICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)24102111

Mercadeo (M)14221015

Operaciones (O)15172019

Personal (P)11191413

Establecer el plan de asignacin a mnimo costo.Solucin:

Paso 1:

VICEPRESIDENTE1234Mnimo


Mercadeo (M)1422101510


Personal (P)1119141311

Paso 2:

VICEPRESIDENTE1234Mnimo


Mercadeo (M)4120510


Personal (P)083211

Paso 3:

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)140110

Mercadeo (M)41204

Operaciones (O)0253

Personal (P)0831

Mnimo---1

Paso 4: Las rectas que incluyen la mayor cantidad de ceros (02) son la columna 1 y la fila de Finanzas. Como piden el mnimo numero de rectas se puede escoger arbitrariamente cualquiera de ellas. Escogemos la columna 1.

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)140110

Mercadeo (M)41204

Operaciones (O)0253

Personal (P)0831

Paso 5: El menor valor de las celdas es el numero 1 que se encuentra en la celda (4,P). Luego se adiciona y resta segn corresponda as:

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)14+1011+10

Mercadeo (M)412-104-1

Operaciones (O)02-15-13-1

Personal (P)08-13-11-1

Quedando la siguiente tabla:

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)150120

Mercadeo (M)41103

Operaciones (O)0142

Personal (P)0720

Paso 6:

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)150120

Mercadeo (M)41103

Operaciones (O)0142

Personal (P)0720

Paso 7:

Como el numero de rectas es igual al numero de filas entonces obtenemos el costo mnimo.

VICEPRESIDENTE1234

Finanzas (F)150120

Mercadeo (M)41103

Operaciones (O)0142

Personal (P)0720

Luego la asignacin queda de la siguiente manera

VICEPRESIDENTEPlantaCosto ($)

Finanzas (F)210

Mercadeo (M)310

Operaciones (O)115

Personal (P)413

Total48

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.Este problema consiste en colocar en varios destinos las unidades situadas en varios orgenes, en tal forma que la colacin sea ptima (reducir costos o maximizar la ganancia).

ORIGENESDESTINOSSUMINISTRO

(OFERTA)

123. . .n

O1C11C12C13. . .C1nS1

O2C21C22C23. . .C2nS2

O3C31C32C33. . .C3nS3

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

OmCm1Cm2Cm3. . .CmnSm

DEMANDAD1D2D3. . .DnTotal

Procedimiento:

1. Obtener las penalizaciones restando el menor costo de cada fila o columna de su inmediato superior.

2. Seleccionar la fila o columna con mayor penalizacin y ubicar su menor costo.

3. Obtener el menor valor entre la oferta y demanda en la interseccin encontrada en el paso anterior y restarlo del otro.

4. Eliminar aquella fila o columna con menor oferta o demanda. Regresar al paso 1 hasta ya no se pueda hacer mas reducciones.

5. Luego que se ha obtenido la primera solucin bsica validar el resultado mediante la tcnica de los signos (Mtodo del eslabn).

6. Para evaluar los resultados asignar un signo positivo ( + ) a la celda vaca que se desea evaluar e ir asignando alternadamente con signos negativos o positivos a aquellas celdas llenas. Se debe tener en cuenta que en cada fila o columna debe tener un positivo y un negativo o viceversa.

Problema:

La compaa HBB productora de mquinas tiene 4 plantas (A,B,C,D) en diferentes ciudades que pueden suministrar 400, 900, 200 y 500 unidades al mes. Tres centros de consumo (X,Y,Z) requieren para su distribucin 500, 700 y 800 unidades respectivamente. La compaa debe decidir cuntas mquinas enviar de cada planta a cada centro. Para esto tiene en cuenta el costo del transporte en miles de $ por unidad que est resumido en la siguiente tabla:

Centros

PlantasXYZSUMINISTROS

A12610400

B1349900

C41012200

D6114500

DEMANDA5007008002000

Observe que el problema se balancea en el sentido de que la oferta total suministrada por las mquinas disponibles es igual al nmero total de unidades requerido por los centros de consumo.La meta de HBB consiste en minimizar los costos de transporte de las mquinas de las plantas a los centros.Solucin:

Paso 1:

Centros


(Oferta)Diferencia

A1261040010 - 6 = 4

B13499009 4 = 5

C4101220010 4 = 6

D61145006 4 = 2

DEMANDA5007008002000

Diferencia6-4=26-4=29-4=5

Paso 2:

Centros


(Oferta)Diferencia

A1261040010 - 6 = 4

B13499009 4 = 5

C4101220010 4 = 6

D61145006 4 = 2

DEMANDA5007008002000

Diferencia6-4=26-4=29-4=5

Paso 3:

El menor valor entre oferta y demanda: min(200,500) = 200

Luego la diferencia ser: 500 200 = 300

Paso 4: Se elimina la Fila C por tener menor oferta = 200 y se aplica la tcnica segn el paso1.

Centros


(Oferta)Diferencia

A1261040010 - 6 = 4

B13499009 4 = 5

D61145006 4 = 2

DEMANDA3007008001800

Diferencia12-6=66-4=29-4=5

Hallando el minimo: Min (500,300) = 300 , entonces, la diferencia = 500 300 = 200 y se elimina la columna X.

Centros

PlantasYZSUMINISTROS

(Oferta)Diferencia

A61040010 - 6 = 4

B499009 4 = 5

D11420011 4 = 7

DEMANDA7008001500

Diferencia6-4=29-4=5

Hallando el minimo: Min (200,800) = 200 , entonces, la diferencia = 800 200 = 600 y se elimina la Fila D.

Centros

PlantasYZSUMINISTROS

(Oferta)Diferencia

A61040010 - 6 = 4

B499009 4 = 5

DEMANDA7006001300

Diferencia6-4=210-9=1

Hallando el mnimo: Min (900,700) = 700 , entonces, la diferencia = 900 700 = 200 y se elimina la columna Y.

Centros

PlantasZSUMINISTROS

(Oferta)

A10400

B9200

DEMANDA600600

Paso 6:

Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

Centros


A12610400

+400-

B1349900

700-200+

C41012200

200

D6114500

300200

DEMANDA5007008002000

Consideremos que sucede el hecho de enviar 1 unidad en la ruta A - X.

Aumentar 1 unidad en A X +12

Disminuir 1 unidad en A Z -10.

Aumentar 1 unidad en D Z +4

Disminuir 1 unidad en D X -6

Total = 0 ; esto significa que enviar una unidad en esa ruta mantiene indistinto al modelo.

Consideremos que sucede el hecho de enviar 1 unidad en la ruta A - Y.

Aumentar 1 unidad en A Y +6

Disminuir 1 unidad en A Z -10

Aumentar 1 unidad en B Z +9

Disminuir 1 unidad en B Y - 4

Total = + $ 1 ; esto significa que enviar una unidad en esa ruta se incrementa el costo en una unidad de miles de dlares.

Ejercicio: Evaluar para las dems celdas vacas.

Finalmente la solucin seria la ptima con un costo de acuerdo a la siguiente tabla.

RUTAUNIDADESCOSTOTOTAL

( $ )

AZ400104000

BY70042800

BZ20091800

CX2004800

DX30061800

DZ2004800

Total200012000

EL PROBLEMA DE LA DIETA. Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutricin necesaria y a la vez minimizar el coste.AlimentosComponentes

C1C2...CnCostes

A1B11b12...b1na1

A2B21b22b2na2

..................

Ambm1bm2...bmnam

NecesidadesC1c2...cn

Ejemplo: Un ave de rapia necesita para subsistir al da 30 unidades de protenas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de protenas, 4 de grasa y 1 de vitaminas; y palomas, que le proporcionan 6 unidades de protenas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratn le cuesta 7 unidades de energa y una paloma 12 unidades de energa, cuntas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menor gasto de energa?

Solucin:

AlimentosComponentes

ProtenasGrasasVitaminasCostes

(Unidades de Energa)

Ratones3417

Palomas62112

Necesidades30208

El problema consiste en minimizar el gasto de energa.

AUTOEVALUACIN

Resuelve el siguiente cuestionario luego consulta a tu profesor la respuesta de la misma.

Escribe V (verdadero) o F (Falso) a las siguientes proposiciones:

()Programacin Lineal se utiliza para optimizar el uso de los recursos buscando

maximizar utilidades y minimizando costos.

()El Mtodo Simplex se creo el ao 1947 y su creador fue George Dantzing.

()Los Modelos de Programacin Lineal son de Maximizacin y Minimizacin.

()Un ejemplo de parmetro son las proporciones de recurso disponible que se da para

cada variable de decisin.

()La funcin objetivo son los recursos que se dispone para la asignacin al modelo.

()Las restricciones son las limitaciones que tiene el modelo en funcin a los recursos

que dispone.

() La regin factible es la solucin optima.

() La solucin optima forma parte de la regin factible.

() Las restricciones de tipo ( siempre dan soluciones factibles y se agrega variables de

holgura.

() Las restricciones de tipo ( siempre dan soluciones infactibles y se agregan variables

de exceso.

() La variable artificial acta como una holgura frente a una variable de exceso.

() Las variables Bsicas son aquellos cuyo valor son igual a cero.

Formula y resuelve por el mtodo grfico el modelo de programacin lineal.

1. Las rectas asociadas a las desigualdades

2x + y ( 18; 2x + 3y ( 26; x + y ( 16

se cortan dos a dos en tres puntos que son los vrtices de un tringulo T. Sea S la interseccin del tringulo T con el primer cuadrante (x(0, y(0). Hallar el mximo de la funcin 5x + 3y cuando x e y varan en S

2. Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino es siempre menor o igual que la produccin de vinagre ms cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la produccin de vinagre sumado con cuatro veces la produccin de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el nmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas.

3. Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de ncoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero slo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de ncoras y 2 de percebes. Por su parte, B enva en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. Cuntos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mnimas con el menor coste posible?Universidad Nacional del Santa



SESION 3METODO SIMPLEX PRIMAL

DURACIN:

180 minutos

CAPACIDAD GENERAL

1. Resuelve problemas de programacin lineal aplicando correctamente el Mtodo Simples Primal.

2. Analiza la tabla ptima final del mtodo simplex asocindolo a un tipo de solucin teniendo en cuenta las caractersticas propias de cada uno de ellos.


1. Aplica correctamente el Mtodo Simples en la solucin de modelos de Programacin Lineal.

2. Identifica el tipo de solucin a partir de tabla ptima final.1. Procedimiento del Mtodo Simplex Primal.

2. Solucin a un modelo de Maximizacin con el mtodo simplex primal.

3. Solucin a un modelo de Minimizacin con el mtodo simplex primal.

4. Tipos de Soluciones.

METODO SIMPLEX PRIMAL Algoritmo creado en 1947 por George Dantzing.

PROCEDIMIENTO:

El modelo debe estar representado en su forma estndar.

Debe tener una solucin bsica inicial factible. Es decir los elementos del lado derecho deben ser positivos.

Aadir las variables de Holgura, Exceso y/o artificial dependiendo del tipo de Restriccin.

Evaluar las variables de entrada y salida segn el mtodo de Gauss-Jordan.CONDICION DE OPTIMIDAD:

La variable entrante en una maximizacin (en una minimizacin) es la variable no bsica, con el coeficiente mas negativo (ms positivo) en la ecuacin z objetivo. Un empate se rompe arbitrariamente. El ptimo se alcanza cuando todos los coeficientes no bsicos en la ecuacin z son positivos (negativos) o ceros.CONDICION DE FACTIBILIDAD:

Cualquiera sea el modelo de Programacin Lineal (Maximizacin o Minimizacin) la Variable Saliente es la variable bsica actual, con la menor interseccin (razn mnima con denominador estrictamente positivo) en direccin de la variable entrante. Un empate se rompe arbitrariamente.

METODO DE GAUSS JORDAN.

1.- Ecuacin Pivote:

Nueva Ec. Pivote = Ec. Pivote ( Elem Pivote

2.- Formula para hallar las dems ecuaciones, incluyendo Z.

Nueva Ec. = (Ec. Anterior) (Coef. Columna Entrante) X (Nueva Ec. Pivote)Tipo de Solucin del Mtodo Simplex Primal: Solucin Optima y Factible.

Es aquella cuyo conjunto solucin se encuentra en algn punto extremo del espacio de soluciones factibles (regin factible). Se puede notar cuando se llega a una iteracin donde no existe variable candidata para ingresar (condicin de optimidad) y todos los elementos del lado derecho de la tabla son positivos (condicin de factibilidad)

SOLUCION DE UN MODELO DE MAXIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX PRIMALSea el modelo:

Maximizar Z = 3x1 + 2x2

s.a.

x1 + 2x2

(6

2x1 + x2(8

-x1 + x2(1

x2 (2

x1,, x2 (0METODO GRAFICO:

FORMA ESTANDARMaximizar Z - 3x1 - 2x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 0

s.a.

x1 + 2x2 + S1

=6

2x1 + x2 + S2

=8

-x1 + x2 + S3

=1

x2 + S4=2

x1,, x2 , S1, S2, S3, S4 ( 0

Simplex Tableau -- Iteration 1

ZX1X2S1S2S3S4Solucinbi

aij

Z1-3-200000

S1012100066

S2021010084

S30-1100101M

S400100012M

Nueva Ec. Pivote.

X1010004

Calculo de los coeficientes de las dems variables.

Zanterior1-3-200000

-(-3)*NEP033/203/20012

Znuevo10-0.503/20012

Calculo del Nuevo S1.

S1 anterior01210006

-(1)*NEP0-1-1/20-1/200-4

S1nuevo003/21-1/2002


S3 anterior0-1100101

-(-1)*NEP010004

S3nuevo003/20105


S4 anterior00100012

-(0)*NEP00000000

S4nuevo00100012


ZX1X2S1S2S3S4Solucinbi

aij

Z10-0.501.50012

S1001,51-0,50021,3333

X1310,500,50048,0000

S3001,500,51053,3333

S4001,000122,0000


ACTIVIDAD 01:

Completar la tabla siguiendo el procedimiento del algoritmo Simplex Primal para obtener la tabla optima final.

ZX1X2S1S2S3S4Solucin

Z

X20010,6667-0,3333001,3333

X1

S3

S4

Solucin:

Z = 12,6667

X1 = 3,3333

X2 = 1,3333

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 3

S4 = 0,6667

SOLUCION DE UN MODELO DE MINIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX PRIMALMinimizar Z = x1 + 2x2

s.a.

0.1x1 + 0.1x2(1

0.5x1 + 2x2(10

x1,, x2 (0Forma Estndar:

Minimizar Z = x1 + 2x2 + MA1 + MA2

s.a.

0.1x1 + 0.1x2 S1 + A1=1

(()

0.5x1 + 2x2 S2 + A2=10

(()

x1, x2 , S1 , S2 , A1 , A2 ( 0

En (()

A1 = 1 0.1x1 0.1x2 + S1En (()

A2 = 10 0.5x1 2x2 + S2Reemplazando A1 y A2 en Z, tenemos:

Z + (0.6M 1)x1 + (2.1M 2)x2 MS1 MS2 = 11M

Tabla Inicial

ZX1X2S1A1S2A2SolucinBi / aij

Z10.6M 12.1M 2-M0-M011M

A100.10.1-1100110

A200.5200-11105

Iteracin 1


Z10.075M-0.50-M00.05M-1-1.05M+110+0.5M

A100.0750-110.05-0.050.56.667

X200.25100-0.50.5520

Iteracin 2 (Tabla Optima)


Z

ACTIVIDAD 02:

Completar la tabla ptima haciendo los clculos para cada una de las ecuaciones segn la tcnica del mtodo Simplex Primal.

Solucin:

Z = 13.33

X1 = 6.667

X2 = 3.333

A1 = 0

A2 = 0

S1 = 0

S2 = 0

CASOS ESPECIALES EN LA SOLUCIN CON EL METODO SIMPLEX

1. Soluciones Infactibles (Inexistentes).

Sucede cuando las restricciones no se puede satisfacer en forma simultanea. Esto puede suceder cuando existen restricciones distintas al de ( dado a que se debe agregar variables artificiales (valores muy grandes) que se convierten en cero cuando llegan al ptimo. Caso contrario (valor positivo de la variable artificial) se dice que la solucin es infactible.

2. Soluciones Degeneradas.

Sucede cuando existe al menos una restriccin redundante generando con ello que en el espacio de soluciones (variables bsicas) aparezca algunas de ellas con valor cero (0).

3. Soluciones con opciones ptimas alternativas.

Sucede cuando la funcin objetivo es paralela a un restriccin de enlace (sea, una restriccin que satisface en el sentido de la igualdad a travs de la solucin ptima). La funcin objetivo tomar el mismo valor ptimo en mas de un punto de solucin. Otra forma de notarlo en las iteraciones del mtodo simplex primal es cuando al evaluar mas dos variables candidatas a ingresar cualquiera de ellas cumple con el mismo valor en la funcin objetivo.

4. Soluciones No acotadas.

Sucede cuando los valores de la variable pueden aumentar o disminuir indefinidamente sin alterar a ninguna de las restricciones. Cuando el valor de la funcin objetivo crecen (maximizacin) o disminuyen (minimizacin) indefinidamente se dice que el espacio de soluciones y el valor optimo de la funcin objetivo son no acotadas.

Ejercicio:

Dados los siguientes modelos determinar su tipo de solucin:

Minimizar Z = 3X1 + X2 + X3sujeta a

X1 2X2 + X3 11

-4X1 + X2 + 2X3 3

2X1 - X3 = -1

X1;X2; X3 0Maximizar Z = X1 + 3X2 - X3sujeta a

X1 + 2X2 + X3 = 4

2X1 + X2 5X1,X2 0

AUTOEVALUACIN

Resolver con el mtodo simplex primal cada uno de los modelos propuestos e indicando el tipo de solucin.

1) Min Z = 10 X1 + 4 X2Sujeto a:

0.2 X1 + 0.1 X2 1.7

0.1 X1 + 0.2 X2 2

0.1 X2 0.6

0.1 X1

0.4

X1, X2 0

2) Maximizar Z = 4X1 + 3X2Sujeto a:

30X1 + 20X2 ( 1800


X1 + X2

( 80


X1 , X2 ( 0

3) Minimizar Z = X1 + 2X2Sujeto a:

X1 + X2

( 30000

(Unidades Yogurt)

0.5X1 + 0.2X2 ( 9000


X1 , X2 ( 0

4) Un avin de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un lmite de capacidad, tanto en peso como en espacio, y se pretende utilizarlos para satisfacer cualquier fraccin conveniente de las demandas que tambin se indican. Para mantener balanceada la nave debe distriburse la carga de manera que el peso en cada compartimiento sea proporcional a su capacidad. Cul es el modelo matemtico del problema?.

Comparti-

mientoPeso mximo (Ton)

Volumen mximo (pie3)CargaPeso (Ton)Volumen (pie3/Ton)Utilidad ($/Ton)

Delantero127000120500320

Central189000216700400

Trasero105000325600360

413400290




SESION 4EL PROBLEMA DUAL Y EL METODO SIMPLEX DUAL

DURACIN:

180 minutos

CAPACIDAD GENERAL

1. Aplica correctamente la teora del Problema Dual a solucin de modelos de Programacin Lineal.

2. Resuelve problemas de programacin lineal por el mtodo Simplex Dual.


1. Elabora un Modelo Dual a partir de un Modelo Primal.

2. Reconoce los modelos que pueden darse solucin con el mtodo Simplex Dual

3. Resuelve correctamente problemas de programacin lineal por el Mtodo Simplex Dual.1. El Problema Dual.

2. Condiciones para derivar un Dual a partir de un Primal.

3. Mtodo Simplex Dual.- Procedimiento.

4. Solucin a Modelos de PL por el Mtodo Simplex Dual.

EL PROBLEMA DUAL Y EL METODO SIMPLEX DUAL

PROBLEMA DUAL:

Considerar el siguiente modelo de PL.

Maximizar Z = CX

s.a.

AX ( b

X(0

Esta asociado al problema Dual:

Minimizar w = b T X

s.a.

A T Y ( CTY(0

Condiciones para derivar un Dual a partir de un Primal.

1. El objetivo primal es maximizacin, y el objetivo dual es minimizacin.

2. El nmero de variables en el dual es igual al nmero de restricciones en el primal.

3. El nmero de restricciones en el dual es igual al nmero de variables en el primal.

4. Los coeficientes de la funcin objetivo en el primal forman las constantes del lado derecho del dual.

5. Las constantes del lado derecho del primal forman los coeficientes de la funcin objetivo del dual.

6. Todas las variables son no negativas en ambos problemas.

Ejemplo 1 : Dado el siguiente modelo de PL.

Primal:


s.a.

x1 + 2x2

(6...........Y1

2x1 + x2(8........... Y2

-x1 + x2(1........... Y3

x2 (2........... Y4

x1,, x2 (0Dual:

Minimizar W = 6Y1 + 8Y2 + Y3 + 2Y4s.a.

Y1 + 2Y2 - Y3 ( 3

2Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ( 2

Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ( 0

Todo Modelo Primal tiene asociado un Dual que representa los precios sombra del modelo primal.

Siempre se debe cumplir en la solucin optima final lo siguiente:

Zmax = WminLa solucin Dual se puede obtener a partir de la solucin ptima Primal.

As:

ZX1X2S1S2S3S4Solucin

Z1000,33331,33330012,6667

X20010,6667-0,3333001,3333

X1010-0,33330,6667003,3333

S3000-1,00001,0000103,0000

S4000-0,66670,3333010,6667

Y1 = 0.3333 , Y2 = 1.3333 , Y3 = 0 , Y4 = 0

Wmin = 6Y1 + 8Y2 + Y3 + 2Y4Wmin = 6(0.3333) + 8(1.3333) + 0 + 2(0) = 1.9998 + 10.6664 = 12.667Wmin = 12.667

Zmax = Wmin = 12.667

Ejemplo 2: Dado el siguiente modelo de PL (Primal) obtener su Dual.

Primal:


s.a.

x1 - x2(3/5...........Y1

x1 - x2(2........... Y2

x1 , x2 ( 0Dual:

Minimizar W = 3/5Y1 - 2Y2

s.a.

Y1 - Y2 ( 4

-Y1 + Y2( 3

Y1 , Y2 ( 0

Si en el modelo Primal existe una restriccin de igualdad, entonces, en el modelo Dual aparecer una variable irrestricta y viceversa. As:

Ejemplo 3:

Primal:

Maximizar Z = y

s.a.

x1 + x2 + x3 + x4

=500...........Y1

3x1 - 4x2 + 7x3 15x4 + y(0........... Y2

-5x1 + 3x2 9x3 4x4 + y(0........... Y3

-3x1 + 9x2 10x3 + 8x4 + y(0........... Y4

x1, x2 , x3 , x4 (0

y no restringida (irrestricta)

Dual:

Minimizar W = 500Y1

s.a.

Y1 + 2Y2 - 5Y3 3Y4

( 0

Y1 - 4Y2 + 3Y3 + 9Y4

( 0

Y1 + 7Y2 - 9Y3 10Y4 ( 0

Y1 - 15Y2 - 4Y3 + 8Y4

( 0

Y2 + Y3 + Y4

= 1

Y2 , Y3 , Y4 ( 0

Y1 no restringida (irrestricta)

El Dual del Dual es el Primal.

Ejemplo 4.

Primal:

Maximizar Z = 2x1 - 3x2

s.a.

x1 + 5x2

(11...........Y1

-7x1 + 6x2(22........... Y2

9x1 + 4x2(33........... Y3

x1,, x2 (0Dual:

Minimizar W = 11Y1 - 22Y2 + 33Y3s.a.

Y1 + 7Y2 + 9Y3 ( 2

5Y1 - 6Y2 + 4Y3

( -3

Y1 , Y2 ( 0

El modelo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Maximizar - W = -11Y1 + 22Y2 - 33Y3s.a.

-Y1 - 7Y2 - 9Y3

( -2

-5Y1 + 6Y2 - 4Y3( 3

Y1 , Y2 ( 0

Hallando su Dual a este modelo tenemos:

Minimizar -Z = -2x1 + 3x2

s.a.

-x1 - 5x2

(-11

-7x1 + 6x2(22

-9x1 - 4x2(-33

x1,, x2 (0Convirtiendo Z a +Z.

Maximizar Z = 2x1 - 3x2

s.a.

x1 + 5x2

(11

-7x1 + 6x2(22

9x1 + 4x2(33

x1,, x2 (0Lo cual demuestra que el dual del dual es el primal.

METODO SIMPLEX DUALEs aplicado a modelos que tiene restricciones de tipo ( (esta restriccin da solucin inicial infactible) o la combinacin de ( y ( (esta restriccin siempre da solucin inicial factible).

PROCEDIMIENTO:

El modelo debe estar representado en su forma estndar.

Debe tener una solucin bsica inicial ptima e infactible. Es decir los coeficientes de Z deben ser negativos o ceros y los elementos del lado derecho deben ser negativos.

Aadir las variables de Holgura o Exceso dependiendo del tipo de Restriccin.

Las variables de Exceso deben tener coeficiente positivo. Logrando con ello que la solucin inicial sea infactible.

La variable bsica que sale es aquella que tiene valor negativo con mayor valor absoluto.

La variable No bsica que ingresa resulta de la divisin entre los coeficientes de Z y los coeficientes de la variable que sale (discriminndose los ceros y positivos a fin de conservar la condicin de optimidad) y se considera aquella cuyo resultado de la divisin sea la mas pequea.

Calcular las dems ecuaciones segn el mtodo de Gauss-Jordan.METODO DE GAUSS JORDAN.

1.- Ecuacin Pivote:

Nueva Ec. Pivote = Ec. Pivote ( Elem Pivote

2.- Formula para hallar las dems ecuaciones, incluyendo Z.

Nueva Ec. = (Ec. Anterior) (Coef. Columna Entrante) X (Nueva Ec. Pivote)SOLUCION DE UN MODELO DE MAXIMIZACION CON EL METODO SIMPLEX DUALMinimizar Z = x1 + 2x2

s.a.

0.1x1 + 0.1x2(1

0.5x1 + 2x2(10

x1,, x2 (0Forma Estndar

Minimizar Z = x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2

s.a.

- 0.1x1 - 0.1x2 + S1=-1

- 0.5x1 - 2x2+ S2 =-10

x1,, x2 , S1, S2 (0

Tabla Inicial.

ZX1X2S1S2Solucin

Z1-1-2000

S10-1/10-1/1010-1

S20-1/2-201-10

-105--

Nueva Ec. Pivote:(NEP)

X2010-1/25

Calculo de los coeficientes de las dems variables:

Zanterior1-1/200-110

-(-2)*NEP020-110

Znuevo1-1/200-110

S1anterior0-1/10-1/1010-1

-(-1/10)*NEP01/401/100-1/20

S1nuevo0-3/4001-1/20-1/2

Nueva Tabla:

ZX1X2S1S2Solucin

Z1-1/200-110

S10-3/4001-1/20-1/2

X2010-1/25

-20/3--20

Nueva Ec. Pivote:(NEP)

X1010-40/32/320/3

Calculo de los coeficientes de las dems variables:

Zanterior1-1/200-110

-(-1/2)*NEP00-20/31/310/3

Znuevo100-20/3-2/340/3

X2anterior010-1/25

-(-1/2)*NEP0-1/4010/3-1/6-5/3

X2nuevo00110/32/310/3

Nueva Tabla: Tabla Final.

ZX1X2S1S2Solucin

Z100-20/3-2/340/3

X1010-40/32/320/3

X200110/3-2/310/3

AUTOEVALUACION

Obtiene el Problema dual a partir del Primal planteado. Da solucin por el mtodo simplex Dual al Problema (Dual o Primal) que mejor se adapte al mtodo.

1) Min Z = 10 X1 + 4 X2Sujeto a:

0.2 X1 + 0.1 X2 1.7

0.1 X1 + 0.2 X2 2

0.1 X2 0.6

0.1 X1

0.4

X1, X2

0

2) Maximizar Z = 4X1 + 3X2Sujeto a:

30X1 + 20X2 ( 1800


X1 + X2

( 80


X1 , X2 ( 0

3) Minimizar Z = X1 + 2X2Sujeto a:

X1 + X2

( 30000

(Unidades Yogurt)

0.5X1 + 0.2X2 ( 9000


X1 , X2 ( 0




SESION 5ANLISIS DE SENSIBILIDAD

DURACIN:

120 minutos

CAPACIDAD GENERAL

Analiza y evala los elementos de la tabla ptima final obteniendo resultados para una correcta toma de decisiones.


1. Obtiene el estado de los recursos y los precios duales a partir de la solucin ptima.

2. Calcula el intervalo de variacin de los recursos conservando la factibilidad de la solucin final.

3. Calcula el intervalo de variacin de las utilidades y/o costos marginales conservando la optimidad de la solucin final.1. Anlisis de Sensibilidad.

2. Estado de los Recursos.

3. Precios Duales.

4. Cambio en la disponibilidad de los recursos.

5. Cambios en las Utilidades y/o costos marginales de la funcin objetivo.

ANLISIS DE SENSIBILIDAD.Sea el siguiente modelo de PL:

Maximizar Z = 12x1 + 20x2 + 18x3 +40x4

s.a.

4x1 + 9x2 + 7x3 + 10x4

(6000(Horas Hombre en carpintera)

x1 + x2 + 3x3 + 40x4

(4000(Horas Hombre en acabado)

x1,, x2 , x3 , x4 (0x1,, x2 , x3 , x4 : son modelos de escritorio ( 4 modelos ).

Sean las siguientes tablas:

Tabla Inicial:ZX1X2X3X4S1S2Solucion

Z1-12-20-18-40000

S1049710106000

S2011340014000

Tabla Final:

ZX1X2X3X4S1S2Solucin

Z1020/310/3044/154/1556000/3

X1017/35/304/15-1/154000/3

X400-1/301/301-1/1502/751000/15

A partir del anlisis de estas dos tablas podemos deducir lo siguiente:

Estado de los recursos.- Pueden ser de dos tipos: Escasos y abundantes.

S1 es escaso (representa a Horas Hombre en carpintera).

S2 es escaso (representa a Horas Hombre en acabado).

Estas dos variables no forman parte de la solucin bsica por lo tanto S1=S2=0 lo cual indica que se ha utilizado todo en el proceso productivo.

Por otro lado, un recurso es abundante cuando forma parte de las variables bsicas y es diferente de cero. Lo cual indica que existen recursos disponibles al finalizar el proceso productivo por lo tanto no es necesario disponer de ms recursos.

Precios Duales (Precios sombra).- Representa el Precio Unitario que tiene cada recurso expresado en unidades monetarias por unidad de medida del recurso.

En el ejemplo:

El recurso 1: tiene un precio dual Y1 = 44/15.

El recurso 2: tiene un precio dual Y2 = 4/15.

CAMBIO EN LA DISPONIBILIDAD DE LOS RECURSOSCualquier cambio Di que se haga a un recurso Bi este afectar a la funcin objetivo en una proporcin igual al coeficiente del recurso en la misma funcin objetivo.

Es decir:

Si cambio el recurso 1 de: 6000 a 6000 + D1 , entonces, Z = 56000/3 +(44/15)D1El intervalo de variabilidad se calcula de la siguiente manera:

4000/3 + (4/15)D1 >= 0(1000/15 + (-1/150)D1 >= 0(( y ( son mayor igual a cero para conservar la factibilidad:

De aqu se tiene que analizar dos casos:

Caso1: si D1 > 0

( Cumple para cualquier D1>=0

( Cumple para cualquier D1=-5000

As:

4000/3 + (4/15)D1>=0

D1>=-5000

( Cumple para cualquier D1 0

Di ( -(SVBi)/aijDi ( Max(-(SVBi)/aij) = (iSi aij < 0

Di ( -(SVBi)/aijDi ( Min(-(SVBi)/aij) = (iPor tanto:

(i ( Di ( (iBi + (i ( Bi + Di ( Bi + (iBi + (i ( (Bi ( Bi + (i(Bi : variacin del recurso i

Por ejemplo: variar el recurso 1 de B1 = 6000 a B1 = 6000 + Bi

S1S2Solucin

44/154/1556000/3

4/15-1/154000/3

-1/1502/751000/15

Si aij > 0

D1 ( Max( - (4000/3) / (4/15)) = (1 = -5000

Si aij < 0

D1 ( Min( - (1000/15) / (-1/150)) = (1 = 10000

Luego:

-5000 ( D1 ( 10000

Bi + (i ( (B1 ( Bi + (i1000 ( (B1 ( 16000

Ejercicio:

Calcular el rango de variabilidad del recurso2 y cmo afecta a la funcin objetivo.

CAMBIO EN LAS UTILIDADES Y/O COSTOS MARGINALES DE LA FUNCIN OBJETIVO

Cualquier cambio d1 que se efectu a los coeficientes de la funcin objetivo de las variables de decisin, este afectara en igual proporcin en la solucin ptima final.

Es decir:

Sea ci el coeficiente de la variable xj y d1 la variacin, entonces,

Cinicio = ci Cinicio = ci + d1

Al inicioLuego de incrementar en di a ciPara calcular los coeficientes de variabilidad se toma dos casos.

Caso 1: Si No es variable bsica.

El cambio d del coeficiente objetivo original de una variable no bsica conduce siempre al decremento en la misma cantidad del coeficiente objetivo en la tabla optima actual.

Por ejemplo:

X2 es variable no bsica su c2 = 20 , entonces el nuevo seria c2 = 20 + d2 y la variacin del coeficiente de X2 se vera afectado en: 20/3 - d2Para no romper la optimidad se debe cumplir que: 20/3 - d2 >= 0 , entonces, d2(20/3Por lo tanto:

Mtodo Analtico:Si d2 > 0 , entonces, d2 (20/3Si d2 < 0, entonces, d2 se cumple ( d2 < 0

Luego:

-( ( d2 ( 20/3

-(( 20+d2 ( 20+20/3

-(( (C2 ( 80/3

(C2 Representa la variacin de C2Ejercicio:Hallar la variacin para el coeficiente de X3Caso 2: Si es variable bsica.

En este caso el anlisis se hace en la filas del coeficiente de Z optimo (zj cj) y la fila de la variable bsica.

Por ejemplo, consideremos a la variable bsica x1 cuyo c1 = 12. Cmo cambiara a (c1 = 12 + d1?.

Veamos la Tabla ptima:

ZX1X2X3X4S1S2Solucin

Z1020/310/3044/154/1556000/3

X1017/35/304/15-1/154000/3

X400-1/301/301-1/1502/751000/15

Si vario en d1 a c1 inicial, entonces, en el ptimo se variara de la siguiente manera:

ZX1X2X3X4S1S2

Z1020/3 + (7/3)d1 (010/3+(5/3)d1(0044/15 + (4/15)d1(04/15 (1/15)d1(0

Nota:

Son mayores que cero para conservar la optimidad.

Solucin por el Mtodo Analtico:

ZX1X2X3X4S1S2

Z1020/3 + (7/3)d1 (010/3+(5/3)d1(0044/15 + (4/15)d1(04/15 (1/15)d1(0

Si d1 > 0cumpleCumplecumpled1 ( 4

Si d1 < 0d1 ( -20/7D1 ( -10/5 = -2d1 ( -44/4 = -11d1 ( -4

De la tabla:

-2( d1 ( 4

12 2 ( 12 + d1 ( 12 + 4

10 ( (c1 ( 16

(c1 : rango de variacin de c1Ejercicio:

Calcular la variacin de la utilidad de la variable bsica x4

Otro Mtodo:

A partir del anlisis anterior y de la tabla ptima siguiente:

X1X2X3X4S1S2Solucin

Zzj - cjXi

X1aij

X4

Se puede concluir:

Si aij > 0

di( -(zj-cj)/aijdi( Max(-(zj-cj)/aij) = (iSi aij < 0

di( -(zj-cj)/aijdi( Min(-(zj-cj)/aij) = (iPor tanto:

(i (di((ici + (i ( ci + di ( ci + (ici + (i ( (Ci ( ci + (iEjemplo: Calcular la variacin para el coeficiente de X1Si aij > 0

di( -(zj-cj)/aijd1( Max(-20/7, -10/5 ,-44/4) = (1 = -2

Si aij < 0

di( -(zj-cj)/aijd1( Min(-4/-1) = (1 = 4

-2 ( d1 ( 4

12 - 2 ( c1 + d1 ( 12 + 4

10 ( (C1 ( 16

Ejercicio: Calcular la variacin del coeficiente de X4AUTOEVALUACION

1) La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construccin de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, stas tienen un margen de utilidad diferente, as las casas tipo campo arrojan 5.100 K$ y las de tipo rancho 5.000 K$. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra informacin relevante se resume en la siguiente tabla:

Recurso por tipo de casaDisponibilidad

CampoRanchode horas

20010012000Carpintero

5012013000Albail

a) Formule el problema de programacin lineal.

b) Encuentre la solucin ptima grficamente.

c) Determine el estado de cada recurso.

d) Determine el valor unitario de cada recurso.

e) Con base en el valor unitario de cada recurso, Qu recurso debe recibir prioridad para un incremento de nivel?

f) Determine el intervalo de cambio de cada recurso.

g) Determine el cambio mximo en el coeficiente de ganancia de X1 y X2.

h) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada Espaola que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albail/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.

2) Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cra de pollos una dieta mnima para la alimentacin de las aves compuesta de 3 unidades. de hierro y 4 unidades. de vitaminas. El granjero sabe que cada kilo de maz proporciona 2.5 unidades. de hierro y 1 unidad. de vitaminas, cada kilo de harina de pescado 3 unidades. de vitaminas y cada kilo de cierto pienso sinttico 1 unidad de hierro y 2 unidades de vitaminas.

El granjero se pregunta por la composicin de la dieta ptima que minimice el costo de la alimentacin, sabiendo que los precios del maz, harina de pescado y pienso sinttico son de 20, 30 y 16 ptas. respectivamente.

Comprobar si la solucin sigue siendo vlida en los siguientes casos:

El precio del kilo de maz pasa de 20 a 25 ptas.

El precio del kilo de harina de pescado se reduce a 20 ptas.

El precio del kilo de pienso sube hasta las 20 ptas.

Aparece otro tipo de alimento cuyo precio es de 25 ptas. y cuya composicin es 2 unidades de hierro y 2 unidades. de vitaminas.

Se hace necesario introducir un nuevo componente alimenticio de manera que las aves consuman por lo menos una unidad. En cada kilo de los alimentos (maz, harina de pescado y pienso) se encuentra una unidad del nuevo componente.

La cantidad mnima de hierro se amplia a 5 unidades.

Las aves precisan consumir por lo menos 5 unidades. de vitaminas.

Se presenta una variedad de maz que en cada kilo contiene 3 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que sigue costando 20 ptas./kilo.

3) Una compaa desea determinar el nmero de unidades mensuales de los productos P1, P2 y P3 que debe producir para maximizar sus beneficios totales. Para la elaboracin de una unidad de cada uno de los productos se precisa de dos recursos R1 y R2. La cantidad de cada recurso disponible, la cantidad de recurso que precisa cada unidad de producto y, el beneficio por cada unidad de producto se dan en la siguiente tabla:

P1P2P3Cantidad Mxima disponible

R1012230

R2211360

Beneficio/unidad224

Adems, por necesidades de mercado, la produccin mensual conjunta de P1 y P2 debe ser de al menos 160 unidades.

Determinar qu cantidad de cada producto debe fabricarse con objeto de maximizar el beneficio.

Cunto puede variar la ganancia por unidad de producto P1 sin que se modifique la solucin ptima?

Diversos problemas en el suministro de R1 han reducido su disponibilidad a 50, cul es la nueva solucin ptima?

Se esta pensando una posible modificacin de P2 que permitira un aumento en su beneficio por unidad, pasara a ser de 3, pero que provocara un cambio en la cantidad de cada uno de los recursos consumidos, que seran ahora 1 y 2, respectivamente. Resultara rentable llevar a cabo las modificaciones?

Cmo se modificara la solucin ptima si la cantidad de P1 no pudiera superar las 100 unidades?

Cabe la posibilidad de fabricar un nuevo producto P4, cuyo beneficio por unidad sera de 5, y cuyo consumo de R1 y R2 sera de 4 y 1 unidades, respectivamente. Merece la pena fabricarlo?

BIBLIOGRAFA

Taha, Handy, Investigacin de Operaciones; Alfa Omega Grupo Editor, S.A. Quinta Edicin. Mxico. 1995.

Gallagher, Charles, Mtodos cuantitativos para la toma de decisiones en administracin; Ed. Mc Graw Hill Internacional. Mxico, 1982.

Gould J. , Investigacin de Operaciones. Ed. Prentice may. 1987.

Prawda, Juan, Mtodos y modelos de investigacin de operaciones. Vol I; Ed. Limusa; Mxico. 1982.

Taha, Handy, Investigacin de Operaciones. Una introduccin; Ed. Representaciones y Servicios Ingeniera; Mxico; 1981.

Tierouf, Robert J., Toma de decisiones por medio de investigacin de operaciones; Ed. Limusa; Mxico; 1989.

SISTEMA

FORMULACION DEL PROBLEMA

CONSTRUCCIN DEL MODELO

RECOLECCION DE DATOS

SOLUCION DEL MODELO

VALIDACIN DEL MODELO

IMPLEMENTACION

CONTROLES SOBRE LA SOLUCION

INTERPRETACIN DE RESULTADOS

ANLISIS DE RESULTADOS

Maximizacin o Minimizacin

EMBED Equation.3

Sujeto a:

EMBED Equation.3

i= 1, 2 , 3 , . . . , mj = 1, 2, 3, . . . , n

Tomado del libro de Taha Investigacin de Operaciones. Quinta Edicin

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_1210195866.unknown

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001 Modulo de Programacion LinealA

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