01 guia docente arit 3°

AritméticaLibro del docente

Tercer gradode Secundaria

ARITMéTICA

LIBRO DEL DOCENTE

TERCER GRADO DE SECUNDARIA

COLECCIóN INTELECTUM EVOLUCIóN

© Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor

RUC 20545774519Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de LimaTeléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664Fax: 330 - 2405E-mail: [email protected]

Responsable de edición:

Yisela Rojas Tacuri

Equipo de redacción y corrección:

Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera LópezMarcos Pianto Aguilar / Julio Julca VegaÓscar Díaz Huamán / Kristian Huamán RamosSaby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio

Jhonatan Peceros Tinco

Diseño de portada:

Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente

Retoque fotográfico:

Luis Armestar Miranda

Composición de interiores:

Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón MayuríRoger Urbano Lima

Gráficos e Ilustraciones:

Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado

Primera edición: 2013Tiraje: 2250

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú

N.º 31501001300690ISBN: 978-612-313-065-7Registro de Proyecto Editorial N.º 2013-11996

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sin previa autorización escrita del editor.

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Editorial San Marcos, de Aníbal Jesús Paredes GalvánAv. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, Lima, S.J.L.RUC 10090984344

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en los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados enAv. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L. Lima, PerúRUC 10090984344

La COLECCIóN INTELECTUM EVOLUCIóN

para Secundaria ha sido concebida apartir de los lineamientos pedagógicosestablecidos en el Diseño CurricularNacional de la Educación Básica Regular,además se alinea a los patrones y

estándares de calidad aprobados en laResolución Ministerial N.º 0304-2012-ED.La divulgación de la COLECCIóN INTELECTUM

EVOLUCIóN se adecúa a lo dispuestoen la Ley 29694, modificada por la LeyN.º 29839, norma que protege a los usuariosde prácticas ilícitas en la adquisición dematerial escolar.El docente y el padre de familia orientaránal estudiante en el debido uso de la obra.

hacia una educación

moderna y de calidad

Naturaleza de la Matemática¿Qué es la Matemática?Resulta difícil encontrar una definición que abarque totalmente el concepto de Matemática, pero lapodemos definir como una ciencia formal (junto con la lógica), dado que utilizando como herramienta elrazonamiento lógico, se aboca al análisis de las relaciones y de las propiedades entre números y figurasgeométricas.

Según Federico Engels: “La Matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espacialesy las relaciones cuantitativas del mundo real”. Nos permite además el desarrollo de las capacidadesmatemáticas: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas.

Importancia de la MatemáticaLa Matemática es de suma importancia en nuestra vida, en nuestra cultura y en el contexto del desarrollocientífico y tecnológico de la humanidad. La Matemática ha llegado a ocupar un lugar central en lacivilización actual, porque es una ciencia capaz de ayudarnos en el desarrollo de nuestras capacidadesmatemáticas fundamentales. Esto nos permite comprender nuestro entorno y el universo en muchosaspectos, constituyéndose en el paradigma de muchas ciencias y en un gran apoyo auxiliar en la mayorparte de ellas. Esto gracias a sus procesos cognitivos, tales como el razonamiento simbólico con el quetrata de modelar diversas formas de ser del mundo físico e intelectual. La Matemática es entonces unpotente modelo de intervención en las estructuras de la realidad de nuestro entorno, en la aplicaciónde modelos fidedignos al mundo físico y mental. En realidad, como afirma Miguel de Guzmán, la mayorparte de los logros de nuestra tecnología no son sino matemática encarnada con la colaboración de otrasciencias. Esta intensa presencia de la Matemática en nuestra cultura no es algo que vaya a menos, sinotodo lo contrario. A juzgar por las tendencias que se manifiestan cada vez con más fuerza, parece claroque el predomino de la intelección matemática, acción y efecto de enterderla, será un distintivo evidentede la civilización futura.

Historia de la MatemáticaEl conocimiento de la historia de la Matemática y de la biografía de sus creadores más importantes noshace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momentoy de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, así como de los mutuos y fuertesimpactos que la cultura en general, la Filosofía, la Matemática, la tecnología, las diversas ciencias hanejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en suquehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la Matemática suele serpresentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.

La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, nos aproxima a las interesantespersonalidades de los hombres que han ayudado a impulsarla a lo largo de muchos siglos, por motivaciones

muy distintas.

La historia de la Matemática es

un recurso fundamental que debe

emplearse en el aula, valorando

elaporte genuino de cada autor.

Sobre la utilización de la

historia en la educación m

atemática

Sabemos que la Matemática es una actividad antigua que sirve para muchas cosas. A lo largo de lossiglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración devaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Entre los pitagóricos se consideró comoun medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a ladivinidad entre los pitagóricos. Fue utilizada como un importante elemento disciplinador del pensamiento,en el Medioevo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partirdel Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadoresdel racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, uncampo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.

Federico Engels

Prusia(1820) - Londres(1895)Notable sabio y maestro del

mundo civilizado.

Euclides

330 a.C - 275 a.C.Es el matemático griego más

famoso de la antigüedad.

En la historia de la matemática

tenemos la aportación de losmatemáticos y filósofos grie-gos.En esta época las matemá-ticas alcanzan la madurezcomo ciencia. Se preocuparonpor reflexionar sobre la natura-leza de los números y sobre lanaturaleza de los objetos ma-temáticos.

GUÍA METODOLÓGICA 3

Capacidades matemáticas de área Capacidades específicas

Razonamiento y demostraciónRazonamientoSinónimos: razón, argumento, demostración, explicación, prueba,ilación, inferencia, reflexión, juicio, lógica, discurso, raciocinio, de-ducción.

Es expresarse ordenando ideas en la mente para llegar a una con-clusión. Esta definición implica varios supuestos: primero, suponeque el sujeto tiene establecidas ideas que se constituyen gracias ala capacidad de abstraer; segundo, asume el ordenamiento de ellas(ordenar es el resultado de la capacidad de relacionar razonamientoy demostración).

El razonamiento y la demostración proporcionan modos potentesde desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedadde fenómenos, de allí que sea una capacidad que todo estudiantedebe desarrollar.

ReproducirSinónimos: copiar, imitar, remedar, calcar, repetir, machacar, insistir,porfiar.

Es una capacidad específica en la cual se repite conscientementey de manera comprensiva lo aprendido, mediante la observación, laidentificación, la conceptualización, la formulación o ejemplificaciónde la información recibida.

AnalizarSinónimos: examinar, estudiar, averiguar, comparar, separar, consi-derar, distinguir, detallar, descomponer.

Es una capacidad específica en la cual se distingue y separa laspartes de un todo para conocer sus elementos. Mediante la obser-vación, la diferenciación, la identificación, la relación o comparacióny la organización de la información recibida.

Comprensión de las capacidades matemáticas de área

Razonar y pensar matemáticamente implica percibir patrones, es-tructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real comoen objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si esos patronesson casuales o si hay razones para que aparezcan; poder formularconjeturas y demostrarlas.

DemostraciónSinónimos: prueba, confirmación, corroboración, verificación,justificación, ejemplificación.

Demostrar es establecer una sucesión finita de pasos partiendo deproposiciones verdaderas para fundamentar la veracidad de unaproposición.

InterpretarSinónimos: explicar, comentar, entender, comprender, traducir, des-cifrar, decodificar, representar, glosar.

Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo per-sonal la realidad, mediante la observación, la identificación, la com-prensión, la clasificación, la relación, la inferencia o deducción y lageneralización o formulación de la información recibida.

Relacionar significa encontrar un vínculo o nexo cuantitativo o cua-litativo entre dos o más objetos matemáticos de un mismo conjuntoo clase, lo cual permite reconocer y usar conexiones entre ideasmatemáticas.

Aprendizaje lúdico a través dejuegos didácticos.

Tend en c i a s a c t u a l e s d e l a e n s e ñ a n z a - a p r e nd i zaj e

d e l a Ma t e m á t i c aLos procesos del pensamiento matemático y el desarrollo de capacidadesUna de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en la transmisión de los procesos depensamiento propios de la Matemática más que en la mera transferencia de contenidos, poniéndoseénfasis en el desarrollo de capacidades matemáticas. Son capacidades que se pueden transferir o aplicara otros aprendizajes y situaciones de la vida. Planteamos una propuesta pedagógica para desarrollarcapacidades matemáticas, que implican procesos complejos que se desarrollan conjuntamente conel aprendizaje de conocimientos sobre Números, relaciones y operaciones, Geometría y medida, yEstadística y probabilidades. La Matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que elmétodo claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudiode las cuestiones (en buena parte colindantes con la psicología cognitiva) que se refieren a los procesosmentales de resolución de problemas.

En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que losprocesos verdaderamente eficaces de pensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez sonlo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectualtan rápidamente cambiante, vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que decontenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que formanun pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas,ineficaces para abordar los problemas del presente y del futuro.

4 Intelectum 3.°

“Una demostración matemática es una manera formal de expresartipos particulares de razonamiento y de justificación”.

En definitiva, el desarrollo de la capacidad de razonamiento ydemostración, que implica procesos de naturaleza compleja,se favorecerá a lo largo de la Educación Básica a través deintervenciones pedagógicas en las que los estudiantes tengan laoportunidad de reconocer que el razonamiento y la demostraciónson aspectos fundamentales de la Matemática. Formular e

Estimar significa cuantificar aproximadamente una característicamedible de un objeto, así como pronosticar el resultado de un pro-ceso matemático sobre la base de experiencias anteriores o juiciossubjetivos.

Argumentar significa fundamentar, utilizando razones lógicas o ma-temáticas, la validez de un proceso o el valor de verdad de unaproposición o resultado.

Comprende el desarrollo y evaluación de argumentos y demostra-ciones matemáticas.

investigar conjeturas matemáticas, seleccionar y utilizar diversostipos de razonamiento y métodos de demostración, relacionar lasideas matemáticas e interpretar la conexión entre ellas, y desarrollarprioritariamente las capacidades de: Identificar, relacionar, estimary argumentar.

AplicarSinónimo: adaptar, acomodar.

Es una capacidad específica en la cual se utiliza uno o más pro-cedimientos adecuados en una situación específica, mediante laobservación, la identificación, la descomposición, la transformación,la simplificación y la aplicación de algoritmos.

Comunicación matemáticaSinónimos: comunicado, escrito, oficio, trato, relación, correspon-dencia, unión, paso, contacto.

Es la transmisión y recepción de códigos relacionados a situacionesmatemáticas o de un lenguaje cotidiano.

La comunicación matemática es una de las capacidades del áreaque adquiere un significado especial en la educación matemáticaporque, entre otras cosas, permite expresar, compartir y aclarar lasideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento,discusión, análisis y reajuste. el proceso de comunicación ayudatambién a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas.

Escuchar las explicaciones de los demás da oportunidades paradesarrollar la comprensión. Las conversaciones en las que seexploran las ideas matemáticas desde diversas perspectivas,ayudan a compartir lo que se piensa y a hacer conexionesmatemáticas entre tales ideas.

Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad contribuyetambién al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideasmatemáticas, y apreciar la necesidad de la precisión en estelenguaje. Los estudiantes que tienen oportunidades, estímuloy apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases deMatemática, se benefician doblemente: comunican para aprenderMatemática, y aprenden a comunicar matemáticamente.

Debido a que la Matemática se expresa mediante símbolos, lacomunicación oral y escrita de las ideas matemáticas es una parteimportante de la educación matemática. Según se va avanzando enlos grados de escolaridad, la comunicación aumenta sus niveles decomplejidad.

Es necesario tener presente la autonomía del lenguaje matemáticoen relación con el lenguaje cotidiano.

Las diferentes formas de representación, tales como los diagramas,las gráficas y las expresiones simbólicas se deben considerarcomo elementos esenciales para sustentar la comprensión de losconceptos y relaciones matemáticas, para comunicar enfoques,argumentos y conocimientos, para reconocer conexiones entreconceptos matemáticos y para aplicar la Matemática a problemasreales.

InterpretarSinónimo: descifrar, dilucidar, desentrañar, aclarar.

Es atribuir significado a expresiones matemáticas de modo queadquieran sentido en función del problema planteado. Implica tantolos procesos de codificación como decodificación.

DecodificarSinónimos: descifrar.

Es una capacidad específica en la cual se transforma de un lenguajeformal simbólico a lenguaje cotidiano, mediante la observación, laidentificación, la interpretación y la transformación de la informaciónrecibida.

CodificarSinónimos: cifrar.

Es una capacidad específica en la cual se transfiere la informaciónde lenguaje cotidiano al lenguaje matemático, mediante laobservación, la identificación y la interpretación, la transformacióny la expresión de la información recibida.

RepresentarSinónimos: simbolizar, interpretar, trazar, figurar, reproducir, crear,informar, referir.

Es una capacidad específica en la cual se lleva el lenguajecotidiano o formal a gráficos o esquemas y viceversa, mediante laobservación, la identificación y la diferenciación, la clasificación, lainterpretación y la expresión de la información recibida.

Representar significa expresar ideas matemáticas con precisiónmediante el lenguaje de la Matemática.

Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos, esquemas, diagramas,formas geométricas, tablas, entre otros, para organizar, registrar ycomunicar ideas matemáticas.


Resolución de problemasResoluciónSinónimos: decisión, determinación, conclusión.

Resolver un problema significa buscar de forma consciente unaacción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido,pero no alcanzable de forma inmediata. (George Pólya).

La capacidad de resolución de problemas es de suma importanciapor su carácter integrador, ya que posibilita el desarrollo de las otrascapacidades. Resolver problemas implica encontrar un camino queno se conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontraruna solución. Para ello se requiere de conocimientos previos ycapacidades. A través de la resolución de problemas, muchas vecesse construyen nuevos conocimientos matemáticos.

Resolver problemas posibilita el desarrollo de capacidadescomplejas como la creatividad, y procesos cognitivos de ordensuperior como la inferencia, que permiten una diversidad detransferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y, enconsecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria yen el trabajo. De allí que resolver problemas se constituye en el ejeprincipal del trabajo en Matemática.

Desde esta perspectiva, el desarrollo de la capacidad de resoluciónde problemas permite que los estudiantes construyan susconocimientos matemáticos mediante el planteamiento de diversosproblemas, y amplíen capacidades específicas para: modelar,formular, seleccionar, aplicar y verificar.

InterpretarSinónimos: entender, alcanzar, discernir, atar cabos, percibir, desci-frar, intuir, acertar, averiguar, resolver, darse cuenta.

Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo per-sonal la realidad, mediante el análisis, la clasificación, la discusión yla representación de la información recibida para lograr un fin.

Procesar informaciónSinónimos: elaborar, asimilar, transformar la información.

Someter datos o materiales a una serie de operaciones programadas.Es una capacidad específica en la cual se realizan operacioneslógicas y aritméticas ordenadas, cuyo fin es la obtención deresultados determinados, mediante la relación, transformación yaplicación de propiedades y algoritmos a la información.

VerificarSinónimo: comprobar.

Es una capacidad específica en la cual se comprueba la verdaddel enunciado del problema, en función del resultado obtenido,mediante la sustitución, y la aplicación de algoritmos.

Verificar, significa controlar el proceso seguido para encontrar lasolución de un problema, evaluando la validez de cada uno de losprocedimientos matemáticos utilizados.

FormularSinónimos: exponer, proponer, manifestar, expresar, enunciar,aclarar, precisar.

Es la capacidad específica según la cual se elaboran proposicioneso problemas, mediante la analogía, la generalización, la creación.Formular, significa elaborar un enunciado o el texto de un problema,a partir de situaciones de la vida real y a partir de contextosmatemáticos.

AplicarConsiste en ejecutar un procedimiento o estrategia a partir deconceptos matemáticos y propiedades de relaciones matemáticas,para responder a una pregunta o hallar la solución de un problema.Comprende la realización de operaciones numéricas.

ModelarSignifica asociar a una situación u objeto no matemático unaexpresión u objeto matemático que represente determinadasrelaciones o características consideradas relevantes para la soluciónde un problema. Esto permite reconocer y aplicar la Matemática encontextos no matemáticos.

SeleccionarSignifica elegir una alternativa de respuesta para una pregunta, oelegir una estrategia para hallar la solución de un problema.

6 Intelectum 3.°

La enseñanza a través de la resolución de problemasLa enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poneren práctica el principio general de aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir,en lo posible, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento eficaces en la resolución deverdaderos problemas.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en losprocesos de aprendizaje y desarrollo de capacidades; y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor nose debe en absoluto dejar a un lado.

Un modelo para resolver problemas: el modelo de Miguel de Guzmán OzámizUn modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el procesode resolución de un problema. La finalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitosmentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los problemas.

Este modelo consta de cuatro fases, a saber:Fase 1: familiarización con el problema.Fase 2: búsqueda de estrategias.Fase 3: llevar adelante la estrategia.Fase 4: revisar el proceso y sacar consecuencia de él.

En cada una de las fases las pautas a seguir son:

Al comienzo, en la familiarización con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y contranquilidad. Hay que conseguir tener una idea clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones,incógnitas, etc. En resumen, antes de hacer, tratar de entender.

Una vez que hemos entendido el problema pasamos a buscar las estrategias que nos permiten resolverlo.En esta fase no iniciamos el ataque del problema, sino que vamos apuntando todas las ideas que nossurjan relacionadas con el problema. Es conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o caminoa desarrollar en la fase posterior.

Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. Lallevamos adelante trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante laprimera dificultad que surja, ni continuar con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el casode no acertar con el camino correcto, es el momento de volver a la fase anterior y reiniciar el proceso.Seguimos de esta forma hasta cerciorarnos de haber llegado a la solución.

Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y obtención de susconsecuencias. En esta fase, que no puede faltar, hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionarsobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido aotras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso.

El aprendizaje de la matemática y el desarrollo

decapacidades

Es suficiente observar en nuestro entorno que todo profesional hace uso de sus capacidades matemáticas.Hoy en día no es posible concebir la acción de un comerciante, de un vendedor, de un trabajador cualquierade la construcción, con mayor razón de un ingeniero, de un arquitecto, de un médico, de un economista, deun químico, de un físico, de un biólogo, sociólogo, estadístico o cualquier profesional que no haga uso dela matemática y de sus capacidades matemáticas. Por ello es importante que la Matemática forme partede nuestra vida, aprenderla nos permitirá el dominio de algunos aspectos de la realidad.

Veamos algunos lineamientos qu

e deben de ser una constante en

la labor educativa de los docente

s:• El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que

es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada

estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se

prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta

que la Matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo según el cual todo conocimiento

nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos.

• El aspecto manipulativo

debe de ocupar un lugar destaca

do en el trabajo de aprendizaje.

De estamanera, el estudiante

desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo

concreto y lo perceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes.

Los estudiantes deben resolverconstantemente problemas

y comunicar sus respectivassoluciones.


El trabajo cooperativo esimportante porque promueve elintercambio de conocimientos.

Los estudiantes deben relacionar

lo que aprenden teóricamentecon lo que viven en la práctica.

8 Intelectum 3.°

• Se debe alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve

también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen

su capacidad argumentativa.

• Los intercambios de ideas y conocimientos no deben de limitarse a

la institución educativa, sino quedeben de extenderse al entorno

familiar y social. Así, los estudiantes deben estar en condiciones de

participar en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc.

• Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivo

s que simplemente “esperan” quelos conocimientos entren a su

conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con

grandes potencialidades, las cuales, a su vez, tienen que desarrollar, basándose en su interés por

aumentar, el caudal de sus conocimientos.

• En relación con lo anterior, está también el fomento de la creati

vidad en los estudiantes, de modoque las actividades mecánicas,

repetitivas y rutinarias deben dejarse de lado, y se debe incentivar a

que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al final de los cuales, puede aparecer un

conocimiento valioso e inédito.

¿Por qué aprender matemática en la Educación Secundaria?La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten laexistencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas sellega a abstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teorías matemáticas, la cienciay la tecnología.

En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, esta siempre ha estado orien-tada hacia la finalidad práctica de proporcionar a los estudiantes las herramientas operativas básicas queles permitan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en su sociedad.

En un mundo que está en constante transformación, la educación matemática en la secundaria debe dotaral alumnado de la capacidad de adaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que sepresentan en el ámbito laboral.

Por esto, ahora más que nunca, la Matemática debe tener una vocación inclusiva para que la mayor can-tidad de estudiantes resulte beneficiada. Para ello, los docentes deben acercarse al alumnado de maneratal que una ciencia tan importante no sea vista como una traba, pesada e inútil, sino, por el contrario, unaaliada para el camino hacia el éxito y el desarrollo humano.

Los avances tecnológicos al haberse extendido en todos los ámbitos de la vida diaria, es casi imposible quealguien pueda mantenerse ajeno a ellos. La Matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridadante la tecnología. Nos enseña, además, a realizar planificaciones, interpretar estadísticas, administrarnuestros ingresos y consolidar nuestros proyectos comerciales.

Capacidades matemáticasSon tres las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular de Educación Básica Regular,veamos:

Comunicación matemáticaDebe de acostumbrarse al alumnado a la escritura. el encuentro que tendrán con la palabra será constante(en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráficas,etc.). Por ello será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas,primero debemos realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que estas lleguenal papel de una forma coherente. Dicho proceso permite que los matemáticos revisen detenidamente susideas y demostraciones.

Se debe incentivar constantemente a que los estudiantes apliquen o relacionen los conocimientosadquiridos con la realidad que los circunda. El aspecto comunicativo, como es de suponerse, facilita estaintención.

En el aprendizaje de la Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para:

• Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como la importancia que tiene en eldesarrollo de las ideas relacionadas con la resolución de problemas matemáticos.

• Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.

• Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en los problemas matemáticos.• Formular definiciones matemáticas y compartir con sus compañeros y compañeras las generalizaciones

que han obtenido como fruto de sus investigaciones.

Razonamiento y demostración

El razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de la Matemática. Los estudiantesdeben de tener claro que esta capacidad posee un sentido que hay que reconstruir mediante el desarrollode ideas, la justificación de resultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuentaque ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues no existe individuo carente denociones básicas de Matemática, los docentes buscarán estimular el natural desarrollo hacia la resoluciónde problemas más complejos.

Entonces, los estudiantes también tienen que estar capacitados para:

• Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia

en la resolución de problemas matemáticos.• Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en el proceso argumentativo.• Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas.

• Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema enparticular.

Los docentes explicarán a los estudiantes que toda afirmación matemática debe llevarnos a peguntarsobre su origen y validez. Es decir, no se trata de “aceptar” sin discusión lo propuesto, sino de ir hasta susraíces para verificar su validez, cuando sea pertinente.

Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidos de manera tal que adquieranseguridad al momento de conducirse en sus propias investigaciones. Debe quedar de lado la errada ideade que algo es válido solo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, el único criterio quedebe de tenerse en cuenta al momento de respaldar una afirmación matemática es el razonamiento, esdecir, el encadenamiento consistente de demostraciones.

Resolución de problemasCuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener en cuenta que “resolver” no significasimplemente realizar un proceso de modo mecánico para llegar a una solución. Pues, en el camino haciala respuesta, el estudiante participa activamente, ya sea realizando conexiones con conocimientospreviamente adquiridos (lo cual puede hacer que se llegue a la solución de una manera más rápida), oarriesgando nuevas propuestas, es decir, dando entrada libre a la creatividad.

Los estudiantes deben de ser constantemente retados con problemas que, yendo de lo simple a locomplejo, les permitan aumentar su capacidad de raciocinio matemático. Esa es la propuesta de laColección Intelectum Evolución, se ha estructurado los problemas por niveles.

Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de la Matemática, por locual debe buscarse problemas cuya proximidad con el entorno del estudiante lo motiven a comprometersecon su resolución.

A través del aprendizaje de la Matemática se debe capacitar a todos los estudiantes para:• Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de

describir.• Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otros contextos.• Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución de problemas.• Hacer un control del proceso de resolución de problemas matemáticos, propiciando la reflexión sobre

el mismo.

Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de manera espontánea, en su diarioacontecer, de modo que es labor de los docentes estimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello,deben crear en clase un clima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas,así como a participar en un intercambio de ideas.

Capacidadesmatemáticas

Comunicaciónmatemática

Razonamiento

y demostración

Resolución deproblemas

Diez mandamientos para los

profesores de Matemáticaspor Geoge Pólya.• Interésese en su materia.• Conozca su materia.• Trate de leer las caras

de sus estudiantes; tratede ver sus expectativas ydificultades; póngase ustedmismo en el lugar de ellos.

• Dése cuenta que la mejormanera de aprender algoes descubriéndolo por unomismo.

• Dé a sus estudiantes nosolo información, sino elconocimiento de cómo ha-cerlo, promueva actitudesmentales y el hábito deltrabajo metódico.

• Permítales aprender aconjeturar.

• Permítales aprender acomprobar.

• Advierta que los rasgosdel problema que tiene ala mano pueden ser útilesen la solución de proble-mas futuros: trate de sacara flote el patrón generalque yace bajo la presentesituación concreta.

• No muestre todo el secretoa la primera: deje que susestudiantes hagan susconjeturas antes; déjelosencontrar por ellos mismostanto como sea posible.

• Sugiérales; no haga que selo traguen a la fuerza.


"Resolver un problema es en-contrar un camino allí dondeno se conocía previamente ca-mino alguno, encontrar la for-ma de salir de una dificultad,encontrar la forma de sortearun obstáculo, conseguir el findeseado, que no es consegui-ble de forma inmediata, utili-zando los medios adecuados".

(George Pólya)

George Pólya

Nació en Hungría en 1887.Trabajó en una variedad detemas matemáticos incluidoslas series, la teoría denúmeros, geometría, álgebra, lacombinatoria y la probabilidad.

10 Intelectum 3.°

Puesta en práctica de las capacidades matemát

icasEn la comunicaciónOtra capacidad Matemática fundamental que se debe desarrollar en los estudiantes es la referida allenguaje matemático, que para nosotros es entendida como comunicación. Entonces, para comunicarcontenidos matemáticos es necesario usar un lenguaje adecuado y este es el lenguaje matemático,siempre ayudado de representaciones diversas para su mejor comprensión.

En lo posible, se debe tener a la

mano lápiz y papel para que esta co

municación sea fructífera. Asimismo,se debe fortalecer la comprensión y dominio del lenguaje matemático básico desde los primeros grados dela educación que, al igual que conocer otro idioma, es necesario para seguir teniendo vigencia en el mundo.

En el razonamiento y

demostración

La Matemática como ciencia formal ofrece, más que cualquier otra, aportes fundamentales para desarrollaren los estudiantes su capacidad de razonamiento y demostración, debido a que su característica deemplear objetos abstractos contribuye a tal propósito. Entonces, es fundamental seguir desarrollando

estas capacidades en los estudiantes para seguir educando la mente, pues con la agudeza delrazonamiento en sus diferentes niveles y la concreción en las demostraciones formales o factuales seestá interrelacionando la intuición con la lógica, capacidades fundamentales en los seres humanos querequieren seguir educándose.

En la resolución de problemasEl aprendizaje de la Matemática debe incluir experiencias abundantes y diversas con resolución deproblemas como métodos de indagación y aplicación, para que los estudiantes sean capaces de:• Usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos.• Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la Matemática.• Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas, haciendo hincapié en problemas de

pasos múltiples y no rutinarios.• Verificar e interpretar resultados en relación con la situación del problema original.• Generalizar soluciones y estrategias para situaciones nuevas del problema.• Adquirir confianza en el uso significativo de la Matemática.Se debe aprovechar las capacidades matemáticas en beneficio de los estudiantes de EducaciónSecundaria para incluir problemas más complejos que impliquen temas como la probabilidad, la estadística,la geometría, los números racionales y los números reales. Las situaciones y los enfoques deben basarseen el lenguaje matemático que los estudiantes van adquiriendo, y deben ayudarles a desarrollar todauna gama de estrategias y enfoques para la resolución de problemas. Aunque durante este nivel lassituaciones concretas y empíricas sigan siendo el centro de atención, debe conseguirse un equilibrioentre problemas que apliquen la Matemática al mundo real y problemas que surjan de la investigaciónsobre ideas matemáticas. Finalmente, el aprendizaje de la Matemática debe implicar a los estudiantesen diversos problemas que requieran un mayor esfuerzo para su resolución. Algunos de ellos podríanser tareas de grupo que hagan que los estudiantes utilicen la tecnología disponible y se dediquen a laresolución y discusión de problemas de forma cooperativa.

Evaluación en el área de MatemáticaEn nuestra vida diaria realizamos una permanente evaluación; así, antes de adquirir un producto loevaluamos desde distintos parámetros: si el producto es de buena calidad, si la textura es la adecuada,si los colores son los que nos gustan, si el precio justifica el producto acabado, etc. Si bien es cierto, nolo hacemos de una manera sistemática, la practicamos en cada instante de nuestra vida. Motivo por elcual, la evaluación no es ajena a nosotros; siempre está presente. Entonces, la evaluación en el área deMatemática debe contemplar el desarrollo de las capacidades específicas de dicha área. La evaluación delos aprendizajes matemáticos en el nivel de educación secundaria, debe permitir el desarrollo de actitudesque contribuyan a la formación de la personalidad y carácter de los estudiantes, el trabajo en equipo conresponsabilidad individual y grupal, y la cooperación democrática y justa.

La evaluación valora todo el proceso, todos los elementos y toda la persona, con el fin de llegar a unasconclusiones y tomar decisiones para mejorar ese proceso y sus elementos, en definitiva, mejorar loscomportamientos del sujeto.

Las capacidades matemáticas para su evaluaciónComunicación matemáticaSegún lo propuesto por los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, laevaluación de la capacidad de los estudiantes para comunicar debe mostrar evidencia de que estos soncapaces de:• Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente.• Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas de forma escrita, oral o visual.• Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones

y modelar situaciones.

Como la comunicación es una actividad social que tiene lugar dentro de un contexto, debe ser evaluadaen una diversidad de situaciones. En la evaluación, como en la enseñanza, los profesores deben ser

conscientes de cómo expresan ideas matemáticas los estudiantes y de cómo interpretan las expresionesmatemáticas de los demás. Al momento de evaluar la capacidad del estudiante para comunicarse, losdocentes deben prestarle atención a la claridad, precisión y propiedad del lenguaje que utiliza. Además,

la capacidad de los estudiantes para entender la comunicación oral o escrita de los demás constituye uncomponente importante de la docencia y de la evaluación.

Razonamiento y demostraciónEs natural que los estudiantes formulen conjeturas sobre la base de ejemplos que han visto o manejado, yque desarrollen argumentos basados en lo que saben que es cierto. Los estudiantes pueden tener tambiénnociones intuitivas sobre razonamiento proporcional y sobre relaciones espaciales. Todos los estudiantesdeben tener la oportunidad expresa de ocuparse en este razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, todaevaluación de la capacidad de razonamiento del estudiante debe obtener evidencias de esos procesos.

La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes para razonar matemáticamente debe ofrecerevidencia de que ellos son capaces de:• Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas.• Utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de enunciados matemáticos.• Utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas.• Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y

construir argumentos válidos.• Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes.• Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática.

Resolución de problemasLa capacidad que tengan los estudiantes para resolver problemas estará reflejada en los criterios eindicadores de evaluación en la que se debe determinar si son capaces, por ejemplo, de formularproblemas, de hacer preguntas, utilizar una información dada y elaborar conjeturas, utilizar estrategias ytécnicas adecuadas y comprobar e interpretar los resultados.La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes de utilizar la Matemática para la resolución deproblemas debe mostrar evidencia de que son capaces de:• Formular problemas. • Comprobar e interpretar resultados.• Aplicar diversas estrategias para resolver problemas. • Generalizar soluciones.• Resolver problemas.

En la evaluación, la resolución de problemas ha de ser el centro de atención de la Matemática. Lacapacidad del estudiante para resolver problemas se va desarrollando paulatinamente como resultado deuna orientación adecuada de parte de sus docentes y de haberse enfrentado a situaciones del mundo real.El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática, deliberada y continuamente para que se puedaafianzar su capacidad para resolver problemas en contextos diversos. Para esto es muy importante quelos estudiantes reciban información y respuesta del resultado de esta evaluación, en lo que respecta tantoa los procedimientos usados como a los resultados obtenidos. Además, los problemas deben constituir unreto para los estudiantes, ser instructivos e interesantes, sin llegar a ser irresolubles.

Entre los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas que tenga el estudiante se incluyen:la observación del estudiante al resolver problemas por separado, en grupos pequeños o en discusionesdel grupo; escuchar a los estudiantes discutir sus procesos de resolución; y analizar exámenes, tareashechas en casa, diarios y trabajos escritos. La respuesta que se proporcione a los estudiantes puedeadoptar diversas formas, incluyendo comentarios escritos u orales.

Los estudiantes deben tenerla capacidad de comunicarse

matemáticamente.

La evaluación nos permite

recoger información pertinentepara la toma de decisiones.


COLECCIÓN

INTELECTUM EVOLUCIÓN

motivadora Cómic

Hacia el desarrollo de las competencias y capacida

desmatemáticas

Nociones previas

DISEÑO CURRICULARLos diseños curriculares sonpropuestas de objetivos quese pretenden lograr; no invo-lucran solo definir el qué en-señar, sino también el cómoenseñarlo.El centro de gravedad del tra-bajo educativo es sin duda elaprendizaje de los estudian-tes. Para ello es imprenscindi-ble la contribución del docentea través de la enseñanza.

En el ámbito de la matemática nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidadesmatemáticas en su relación con la vida cotidiana, como un medio para comprender, analizar, describir,interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos,procedimientos y herramientas matemáticas.

Se entiende por COMPETENCIAS como el saber actuar en un contexto particular en función de un objetivoo la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situacióny a la finalidad de nuestra acción y es lo que deben lograr los estudiantes en su proceso de aprendizaje.

Comprometiéndonos con ese desafío es que la Colección Intelectum Evolución para Secundaria se haconcebido como un instrumento pedagógico que facilite la labor del docente y lograr ese gran reto que esel desarrollar las competencias y las capacidades del estudiante, para ello se ha elaborado los contenidosacorde a los requerimientos del Diseño Curricular Nacional (DCN). En las cuatro áreas que componenesta colección (Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría) se han desarrollado ampliamente, los trescomponentes: Número, relaciones y operaciones, Geometría y medición y Estadística y probabilidadesque el Ministerio de Educación exige que los alumnos procesen en el sexto y séptimo ciclo de la EducaciónBásica Regular.

Las secciones que componen cada área, antes de explicarlas, detallamos la interrelación que existe entreellas, en un mapa conceptual.

ÁREA DE TRABAJO PEDAGÓGICO

Compuesta

Texto escolar

Presenta

Binariamatemático

inician el

Desarrollo pedagógico delcontenido teórico

complentada con

Problemas resueltos

12 Intelectum 3.°

Libro de actividades

Presenta

Lectura

previa al

Desarrollo pedagógico delcontenido práctico

verificada con

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

relacionadas con

Maratón matemática

reforzadacon

Sudoku

Estructura de la Coleccion Intelectum EvoluciónLa Colección se ha organizado en cuatro áreas cada una con un determinado grupo de contenidos, del

Identifica

y combinación.

Formula los criterios del

recta numérica aplicando proporciones.

Expresa

con la

y

tales

en

diferentes

barras

las relaciona con las aplicaciones comerciales.

en las aplicaciones comerciales.

método de las líneas.

las magnitudes proporcionales aplicadas en la regla de tres.

proporcional.

Reconoce cómo varían

Aplica el

donde los criterios

la

sobre la

elaborando exclusión cubos potenciación

fracciones propias e impropias.

con el MCM en los ejercicios trabajados en clase.

Aplica correcta algoritmo

MCD en los problemas.

en la construcción de tablas.

Identifica números basados descomposición

las propiedades del principio de multiplicidad.

Representa

de los números enteros positivos.

comprensión y además los representa gráficamente.

uso de

datos

sobre de los esquemas lógicos haciendo

de las tablas de verdad.

y compuestas.

Magnitudes

Z+.

racionales (Q).

mínimo común múltiplo.

el conjunto Z+.

Aritmética

siguiente modo:• Área 1: Aritmética Hemos desarrollado los componentes: Número, relaciones y• Área 2: Álgebra operaciones y Estadística y probabilidades.

• Área 3: Geometría• Área 4: Trigonometría

Hemos desarrollado el componente: Geometría y medición.

Cada una de estas áreas propone cuatro unidades de trabajo pedagógico, siendo la composición decada unidad de cuatro temas, cuyo número facilitará su desarrollo total, porque se ha tenido en cuenta lacantidad de horas pedagógicas para el área de matemática de las que se dispone en el aula. A cada temava anexada la sección Problemas resueltos que facilitarán los aprendizajes esperados.

Respecto a la estructura del contenido teórico por áreaCada área teórica presenta las siguientes secciones articuladas:1. Binaria motivadora2. Cómic matemático3. Desarrollo pedagógico de contenidos (compuesto de cuatro temas por unidad)4. Problemas resueltos

Respecto a la estructura del contenido práctico por áreaCada área práctica presenta las siguientes secciones articuladas.1. Lecturas de eminentes matemáticos e historia de la matemática.2. Aplicamos lo aprendido3. Practiquemos4. Maratón matemática5. Sudoku

Detalle de cada una de las secciones del texto escolarBinaria motivadora del áreaCada área inicia con una binaria, en ella se ubican los contenidos que se desarrollarán en cada unidad,seguido de los indicadores de logro, también de las cuatro unidades, finalmente una lectura acompañadade una imagen que relaciona la matemática con la vida cotidiana, con ello tratamos de seguir los objetivosy lineamientos de las rutas del aprendizaje.

¿Cuál es el objetivo de las lecturas?Motivar al estudiante para aprender matemática, al constatar que puede usarla y aplicarla en cualquiercontexto de su vida real y cotidiana.

Contenido:

Intelectum IaIndicadores

de logro

Unidad1

• Lógica proposicional.

• Teoría de conjuntos.• Numeración.• Operaciones básicas en

Unidad2

• Teoría de la divisibilidad.

• Números primos.• Máximo común divisor y

• Conjunto de números

Unidad3

• Potenciación y radicación

• Razones y proporciones.• proporcionales.

• Regla de tres.

Unidad4

• Tanto por ciento.

• Estadística.• Análisis combinatorio.• Probabilidades.

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4

• Identifica clases de conectores lógicos. Formula proposiciones simples

• Identifica la veracidad de distintas proposiciones lógicas haciendo uso

•

Interpreta

los

los

conectores

disponibles

disyunción, conjunción, condicional,

bicondicional y disyunción fuerte en la solución de esquemas lógicos.

• Comprueba afirmaciones utilizando propiedades sobre conjuntos.

• Resuelve problemas sobre conjuntos determinándolos por extensión y

• Representa numerales en distintas bases utilizando algoritmos.

• Identifica correctamente las cuatro operaciones básicas en el conjunto

•

números enteros.

matemáticamente enunciados utilizando definiciones de

• Identifica los diferentes criterios de la divisibilidad.

• Demuestra los diferentes criterios de la divisibilidad haciendo uso de

•

relacionados con los divisores simples y compuestos. canónica

• Elabora conceptos y relaciona las propiedades sobre números primos

• Identifica de manera correcta el algoritmo de Euclides en el cálculo del

•

MCD en la resolución de problemas. de Euclides en el cálculo del

• Evalúa correctamente conceptos y relaciona las propiedades del MCD

• Discrimina las distintas propiedades de los números racionales en las

• Emplea el teorema fundamental de la aritmética y aplica los criterios

radicación. •

esquemas

algoritmo

se

de

aplican

potenciación y

radicación

potenciación y

radicación.

• Diseña razones y proporciones a partir de ejemplos didácticos. •

sistema de coordenadas.

las magnitudes directas e inversas en el

• Aplica las propiedades sobre la magnitud directa e inversa en el reparto

• Crea tablas en la interpretación de las propiedades donde intervienen

• Identifica los elementos para poder aplicar la regla de tres mediante el

• Identifica el aumento y descuento sucesivo referente al tanto por ciento

• Resuelve problemas aplicando las propiedades del tanto por ciento y

• Representa los esquemas estadísticos en diferentes diagramas.•

relacionados

distribución

estadística

frecuencias

como diagramas de

esquemas

histogramas.

• Demuestra el cálculo de la mediana para datos no clasificados en la

•

permutación y combinación.

análisis

combinatorio

basados

en

la

• Identifica los datos en el análisis combinatorio mediante la permutación

•

probabilidades.

diferentes espacios muestrales en el cálculo de las

• Interpreta postulados matemáticos basados en los cálculos probabilísticos.

DISTRIBUCIÓN EXACTA DE MI BARRIL DE PISCO

El pisco es la bebida nacional del Perú, que por ser

propio en aroma y sabor, es una de las bebidas tradi-

cionales de todas las regiones del país.Se elabora a través de la destilación y fermentación

del zumo de la uva blanca peruana. El proceso se iniciacon la recolección de dicho fruto para luego ser pisadospor un grupo de personas, después, en unos depósitosse realiza todo el proceso bioquímico donde se agregan

diversos ingredientes. Luego, durante la fermentaciónalcohólica es donde se extrae el azúcar natural de lauva; dicho proceso tarda siete días.La técnica y el arte de la destilación son reguladossegún la energía del calor, el ritmo, los componentesaromáticos y la vaporización de los todos los elemen-

tos. Este método consiste en dejar reposar el líquidopor lo menos tres meses antes de ser embotellado.

Si se quiere vaciar 3 barriles de pisco que contienen210; 300 y 420 litros de capacidad, en envases deun determinado tamaño y cuya capacidad es la mayorposible, ¿cuántos de estos envases son necesarios paraque todos queden llenos sin desperdiciar el pisco?


VD

45 VD

Luego:V

C

V

C=ND#

(n.° IP(n.°

UnaruedaAalejedeBhay

se ruedaCde40

ruedaB 60

87k

Costo 20880

20880soles.Elprimerotransportó1248

44 a el

costo

42k

A6

A48

Sela

S/.14es la

3como5es 6ylo

lole

le

146K

Un repartióañosde

entre18 20años

queladeja

de 000a2

debe 3 los3/4

5 lade yla

Pordato:1,6kg<>1600g. .400

Peso

Elun

precioladrillo

dede

unladrillo

4001,5

cm3g/cm

quepesa

3

1,6kg?300

IPasu¿Cuánto

Sereparte160a

DP

44k

laM yla

formaDPa b 5

,7

A C,y IP

deB,eldeD.

deBesA

la =4.HallaA,

3

42C7CB=8

& B=48

81K-65K=160016K=1600

Pordato:H1-H2=1600

= 2 & 1=81Luego:H.E& 1

H .26 20

n=4s&n = 4 s=5k,peroson2sobrinos

p = 3p= 3n& n

3Precio#Volumen=k(cte.)

&2430K=160380K=66

12Kh

(l)#(ll): A3=K12#K2=K3(Constante)

B B1 1 B =K ...(ll)

A

=K

&A2

=K2

...(l) C3

&M=16kM=64(16)∴M=1024

& M=16k

7k-4k=1923k=192

Igualandocondiciones: A=144 & A=2 &A=12

Multiplicando(I)y(II): A=k1.k2 & A=k3(constante)

B2=k2 ...(II)

A =k ...(I)

3 SabiendoqueAesDPaB yB esDPaC.HallaAcuandoC=6,

sicuandoAvale144,C=72.

` A= 9

Nospiden:

33

= ^23 18h2

Multiplicando(I)y(IV): A =K #K4

...(IV)& B3 =K43

Multiplicando(II)y(III):B2=K22#K3=K4

C =K ...(III)

B2 =K2&B4

=K2 ...(II)

A =K ...(I)

cuandoD=2 18.

3 327 & A= =3Igualandocondiciones: A =

Dividiendo(I)y(II): A =k3(constante)

• 4153266

• Todaexpresión esté

de

(6);114(6)

en

(6);134(6);...;554(6)

V.A.

• cifraque

(V.R.). elunvalorque

tienedosvalores:

- +•1342

-=266

+•28

+=122

-

+

a)Enunaigualdad

Decimal

23

Enundebasen,lacifra

Elbasen utilizar

Todo la

sistemade deunidades

tieneunay

queun

naturalmayorquelaformar

elcual del

1.Todacifra

• a(2b)b(5) • 27` ja(8) •a6b(a+b+1)(7)

2unidades unidades 1conjuntode3decenas

numeralesson:

0;1;2;3;...

Cómic matemáticoSeguido a la binaria tenemos el cómic también de contexto matemático, desarrollado a través dedivertidas historias que refuerzan aún más la relación existente entre la matemática y la vida diaria.Con ello llegamos al desarrollo de conocimientos con estudiantes motivados a conectarse con el árearespectiva.

Sugerencias pedagógicas• Luego de leer la lectura y el cómic matemático relacionados con un hecho cotidiano, podemos

generar una conversación acerca de ellos, de la relación que existe entre estos y su realidad,y que sirva para dar más ejemplos de lecturas de contexto matemático y su cotidianidad, paramentalizar en el alumno de por qué debe aprender la Matemática, al comprobar que lo aplicará ensu vida presente y futura.

• También nos debe llevar a revisar los contenidos que se desarrollarán en la unidad como unacercamiento previo a los conocimientos del estudiante. A su vez que sirven para dar a conocerde las capacidades que desarrollará.

Desarrollo pedagógico de contenidosPara el desarrollo pedagógico de contenidos, correspondiente alárea, se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, el desarrollo deellos es gradual según el grado de estudios. Una organizaciónde contenidos lo suficientemente necesaria para no sobrecargarcon información y que el estudiante perciba una dinámica que lomotive a seguir aprendiendo.El desarrollo de los contenidos se presenta acompañado deesquemas, ilustraciones y sobre todo con el apoyo permanentede los mediadores cognitivos (personajes de la colección) quese presentan a través de unos globos dando indicaciones ysugerencias, que facilitarán el proceso de aprendizaje.

NUMERACIÓN

DEFINICIÓN

Observación Eslapartedelaaritméticaqueseencargadelestudiodelaformación,lecturayescrituracorrectadelosnúmeros.Lascifrasqueemplearemos

paralaformaciónde CONCEPTOSPREVIOSNúmero.Esunentematemáticoqueindicacantidadynospermitecuantificarloselementosdelanaturaleza.Numeral.Eslarepresentaciónsimbólicaofigurativadelnúmero.Cifraodígito.Sonlossímbolosqueconvencionalmenteseutilizanenlaformacióndelosnumerales.

SISTEMADENUMERACIÓNEselconjuntodereglasyprincipiosquerigenlaformacióndelaescrituraylecturadelosnúmeros,mediantelaadecuadacombinacióndeungruporeducidodesímbolosypalabras.

Principios

queformapartedeunnumeraltieneasociadounordenyunlugar.

• Orden.Secuentadederechaaizquierdaapartirdecero.•

Lugar.Secuentadeizquierdaaderecha

3 2

deuno. 0 Orden

2 1 9 6 4Lugar 1 2 3 4 5

2.indica cantidad

numeración necesarias

basesuficientes

undenúmero

ordencualquierapara unidad,

unidadnos

ordeninmediatosuperior.

Tenencuenta... Ejemplos:• 15unidadesenbase6: • 17unidadesenbase3:

• de

sistemapuede

numeración

cifrasdiferentes.

• ración

sistemadenume-

máximaserá(n-1). 2 3(6) 1 2 2(3)

Sobró32conjuntos

unidadesunidades

15=23(6) 17=122(3)

3.Todacifraqueconformaunnumeral,esmenorquelabase.

Algunossistemasdenumeración

Base Nombre Cifrasqueutiliza2 Binario 0;13 Ternario 0;1;24 Cuaternario 0;1;2;35 Quinario 0;1;2;3;46 Senario 0;1;2;3;4;57 Heptanario 0;1;2;3;4;5;68 Octanario 0;1;2;3;4;5;6;79 Nonario 0;1;2;3;4;5;6;7;810 Undecimal 0;1;2;3;4;5;6;7;8;

9;(10)12 Duodecimal h7;8;9;(10);(11)n Enesimal 0;1;2;3;4;5;6;...;(n-2);(n-1)

Consideraciones

numerales:"Amayornumeralmenorbaseyviceversa".

Ejemplo: - + -

- +• 4236(7)=1141(11) (5) (9) (9) (4)

b)Lascifraspermitidasenlabasenson:0;1;2;...;(n-1)

c)Elnúmerodecifrasquesepuedeutilizarparalaformacióndenumeralesenciertabase,esigualalabase.

4.TodaValorrelativo

formaparteEs

de numeral

tomalacifrateniendoencuentalabaseysurespectivoorden.

• Valorabsoluto(V.A.).Eselvalorquetienelacifraporsurepresentación.

Ejemplo:Seaelnumeral5347(8);entonces:

(7)=7 V.R.(7)=7#80

V.A.(4)=4 V.R.(4)=4#81

V.A.(3)=3 V.R.(3)=3#82

V.A.(5)=5 V.R.(5)=5#83

REPRESENTACIÓNLITERALDEUNNÚMERO

Cadacifradeunnúmeropuedeserrepresentadaporunaletradelabecedario;todasellascubiertasporunabarrahorizontal,paradistinguirlasdelasexpresionesalgebraicas.

ab(n):representacualquiernúmerodedoscifrasenbasen.abc:representacualquiernúmerodetres

100;

cifrasenbasediez;

998;

decir:

ab37:representacualquiernúmerodecuatro

1137;1237;

base

9837;9937

terminaen37;esdecir:

ab4(6):representacualquiernúmero

104

trescifras

;124

baseseisqueterminaen4;esdecir:

Debemosconsiderarque

que: entreparéntesisrepresentaráunacifra.

Ejemplos:a3

• Lacifrademayorordendeunnumeraldebeserdistintadecero.

Ejemplo:Numeraldedoscifrasenbase3:

ab(3):10(3);11(3);12(3);20(3);21(3);22(3)

• Letrasdiferentesnonecesariamenteindicancifrasdiferentes.

Ejemplo:Numeraldedoscifrasenbase2:

ab(2):10(2);11(2)

DESCOMPOSICIÓNPOLINÓMICADEUNNUMERALConsisteenexpresarunnumeralcomolasumadelosvaloresrelativosdetodassuscifras.

Ejemplos:

(7)=V.R.(4)+V.R.(1)+V.R.(5)+V.R.(3)+V.R.(2)+V.R.(6)+V.R.(6)

4153266(7)=4#76+1#75+5#74+3#73+2#72+6#71+6#70

•

abcd(n)=V.R.

n

(a

+

+V.R.(b)

c#

V.R.(c)+V.R.(d)

Observación

Solo para la última cifra de

unnumeral,suvalorrelativocoincidiráconsuvalorabsoluto.

Delejemplo:

V.A.(7)=V.R.(7)=7

Nota

Numeralcapicúa.Es

aquelnumeralcuyascifrasequidistantessoniguales.

Ejemplos:

aba;mnnm(k);123321(4);xx(8)

Recuerda

Ladescomposiciónpolinómica

tambiénsepuederealizarporbloques.

Ejemplos:

mnmn(p)=mn(p)#p2+mn(p)

aabb(c)=aa(c)#c2+bb(c)

554466(k)=55(k)k4+44(k)k

2+66(k)

A

16 Intelectum3.° ARITMÉTICATEORÍA-UNIDAD1 17

Problemas resueltos A1 SabiendoqueAesIPaByBesIPaC.HallaAcuandoC= 3;

sicuandoA= 27;Cvale3.

Resolución:

Delenunciado:A.B=k1 …(I) / B.C=k2 …(II)

C

3 3 . 3 3

∴A=3

2 deesDP

Calescubo

alcuadradocuadrado

SicuandoDP

=a3;D

raízcuadrada

3

Resolución:

Delproblematenemos:

B3 1

C C

D2 3

4

D3

4

D23

3 1 4D2

& A =K5(constante)

D2

A3 2

42

2 2

Resolución:

Delenunciado:

B2 1

C

C C

6 72 6

Luego,elvalordeAes12.

56 Intelectum3.°

4 Serepartemayor

en menores

4192,

,halla

bM.

b.Siladiferenciade

Resolucion:

MsereparteDPa4 b,5 b,7 b;entonces:

Dato:4k +5k7k k=64

16k

5 SiADP ByBDPaC3,¿cómoserelacionanAyC?

Resolución:

2

2

C

∴A2DPC3

6 Divide1320enformaDPa 1183; 1372y 2023.Dacomo

respuestalamayordelaspartes.

Resolución:

Reduciendocadaunodelosradicales.

1183=13 7; 1372=14 7 y 2023=17 7

Comolas3partestienenunfactorencomún,podemossimplificaresefactor. DP DP

A 13 7 13 & A=13k

1320 B 14 7 14 & B=14k

C 17 7 17 & C=17k

Deldato:A+B+C=1320&13k+14k+17k=1320

&k=30

∴Lamayorpartees:17k=17(30)=510

7 ¿Cuántoletocará380

50?atodoslosnúmerosparesde2cifras.

Resolución:

DP

10K

160380

98K

2430K

Luego:50K=50(66)=3300

8 costaráunladrillodensidad

proporcionalcuesta

pesoesoles.

volumen;

Resolución:

Precio DP PesoPrecio IP Volumen Peso

Sabemos:Densidad= VolumenEntonces15gocupaunvolumende10cm3.

Igualandocondiciones:3001510=x

1600 & x=800

∴Elpreciodelladrilloseráde800soles.

9 Tino parte

S/.111cadaprimo

sobrinos,ser

nietosyde

primos;un

advirtiendo

deunnieto4/5deladeunsobrino.¿Cuántoletocaacadaprimo?

Resolución:

4 4 p=3k,peroson5primosn=4k,peroson3nietos

5 s 5

Secumpleque:10k+12k+15k=111000

Dedonde:k=3000∴Acadaprimoletoca:3(3000)=S/.9000

10 proporcionalmenteasus

su herencia

servicioquesus

sondos

ysirvientes

einversamenteproporcionalasusedadesde26y36añosrespectivamente.DeterminaelmontodelaherenciasielmayorrecibióS/.1600másqueelmenor.

Resolución:

Sean:H:herenciaarepartirA:añosdeservicioE:edad

H . 36 H A 18 H2 65

Luego:81K+65K=

146(100)

=S/.14600K=100

11 tocareparte

primera560

aentre

segundapersonasdemaneraque

queque

toca

alasegundaesalaterceracomo8esa7.¿Cuántoletocaalasegundapersona?

Resolución:

SeanlaspersonasA,ByC.

B=5 & B=

40 A=40k

B=48kC=42k

Entonces:40k+48k+130k

=14560&k=112

`Alasegundapersonaletoca:48(112)=S/.5376

12

Secontrató3ómnibus transportar

turistasturistas

km,un

segundo

20turistasa30kmyeltercero16turistasa60km.¿Cuántocostóeltransportedelgrupodemayornúmerodeturistas?

Resolución:

Debemos tener en cuenta que el costo de transporte esproporcionalalnúmerodeturistasyaladistanciarecorrida.

Turistas

total:

km DP

12 44 12.44=24.22 & 22k

20 30 20.30=24.25 & 25k (+)16 60 16.60=24.40

&

40k

=20880

k=240

Porlotanto,paralos20turistascostó:25k=25(240)=S/.6000

13 dientes.Fija

de180dientesotra

engranaconotradientesque

deestá

engranadaaotraruedaDde45dientes.SiAda120revolucionesporminuto,¿cuántasrevolucionesdaráDen4minutos?

Resolución:

C DA

B

Enlasruedasengranadasdientes)

cumple:devueltas)

& (n.°dedientes)#(n.°devueltas)=cte.

Además,sesabetambiénquesilasruedasestánunidasporelmismoeje,danunmismonúmerodevueltas,entonces:180#120=60#VB&VB=360rpm

También:B

N

=

#C

V

=360rpm

VD40#360

=320#

rpm

`En4minutosDdará:320#4=1280vueltas

57

ARITMÉTICA-TEORÍAUNIDAD3

Problemas resueltosLa resolución de problemas constituye el aspecto fundamentaldel área. En esta sección encontraremos problemas resueltos deun modo didáctico para que el estudiante procese la informaciónde manera exitosa.En cada uno de los cuatro temas que componen la unidadestá anexada la sección Problemas resueltos en los que seutilizan diversas estrategias de resolución, son problemas querequerirán de más análisis y proceso, esto con el objetivo dereforzar la destreza del estudiante.

Sugerencias pedagógicas• El objetivo del docente es que todo lo que desarrolla en el aula sea asimilado por cada uno de los estudiantes y es justamente por ser

esta una labor muy compleja, que requiere de mucha paciencia, se sugiere seguir el orden de los contenidos que la Colección propone,

C)23,17B)20,4A)21,6

E)89D)95C)90B)100

E)11,5D)14,5

B)13,5A)12

D)23%C)22%B)21%A)20%

4xx-1[ ; H

[ ; H

[ ; H

[ ; H

[ ; H

n.°dealumnosde1. añodesecundariaenunaI.E.

Ellosempleadosde

la empresa.

[74;80U 25

fi

Si el

intervalosquetienenanchoa una

común:

[1,75;1,80U 7

Halla la

[43;47U 6

Halla

130H

Latabladede

correspondeal

Se tiene

Setienen deunaI.E.

deFísicaII.

(en

980H

deEn

unacon

avícolasus

lapesos.

18 15 15

18 17 15 12 15

datos.

Si queremos triunfar, debemos

calidad de vida.

demuestra valor personal. también

El carga de la espalda y

quitas

explicando cada concepto con ejemplos de aplicación, los que se complementarán con problemas resueltos.• En los problemas resueltos se recomienda que los estudiantes intenten resolver dichos problemas y de ser posible, según cada situación,

aplicando una estrategia alternativa, lo puede hacer individualmente o en forma grupal. Esta práctica debe hacerla constantemente, paraque entrenen la capacidad de resolver problemas con autonomía.

14 Intelectum 3.°

Detalle de cada una de las secciones del libro de actividadesPara el desarrollo del contenido práctico también se ha tomado en cuenta el desarrollarlo porsecciones para que el estudiante aplique gradualmente lo procesado en el contenido teórico yencaminarlo al objetivo principal que es la resolución de problemas.Veamos las secciones que lo componen:

LecturaEn ella presentamos biografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemáticaa lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estudiantey lo que va a procesar.Es un valor agregado; para el docente constituye un conocimiento muy interesante ya que leayudará a comprender mejor la evolución de los diversos conceptos matemáticos, y para losestudiantes una fuente de conocimientos, interés y motivación.

Recuerda

Terence Tao (1975 - actual idad)

NacióenAdelaida,Australia,atempranaedadyaexhibíahabilidadesextraordinariasparalasmatemáticas.Taoasistíaaasignaturasdematemáticasdeniveluniversitarioalaedaddenueveaños,fueelparticipantemásjovendelahistoriaenlaOlimpiadaInternacionaldeMatemática,compitiendoprimerocondiezañosdeedadyganandounamedalladebronce,platayororespectivamente.Alos14añosempezóaasistiralResearchScienceInstitutedelInstitutoTecnológicodeMassachusetts.RecibiósugraduaciónbachelorymásterdelaUniversidadFlindersalos17años.En1992ganóunaBecaFulbringhtparacursarestudiosdeposgradoenEstadosUnidos.De1992a1996,TaofueunestudiantedegradosuperiorenlaUniversidaddePrincetonbajoladireccióndeEliasStein,recibiendosudoctoradoalaedadde20años.EsemismoañoentróenlaUniversidaddeCaliforniaenLosÁngeles.

RecibióelPremioSalemenelaño2000,elPremioBôcherenel2002yelClayResearchAwardenel2003porsuscontribuciones al análisis, incluyendo su trabajo sobre laconjeturadeKakeyaysobrelosmapasdeondas.Enel2005recibióelpremioLeviL.ConantdelaAmericanMathematicalSocietyjuntoconAllenKnutsonyen2006recibióelpremioSASTRARamanujan.

En 2004, Ben Green y Tao publicaron un borrador

quedemostrabaloquehoyseconocecomoteoremadeGreen-Tao.Esteteoremaafirmaqueexistenprogresionesaritméticasdenúmerosprimosarbitrariamentelargas.

Actualmente trabaja como profesor de matemática e

n laUniversidaddeCaliforniaenLosÁngeles,dondeascendidoaprofesortitularcontansolo24años.Enagostodel2006,recibiólaMedallaFields.Solounmesdespués,enseptiembrede2006,recibióunaBecaMacArthur.

Reflexióna

• una

momento en que perdonas, te puedes

continuar con tu vida.

• El perdón es un gran acto de espíritu y

una de las mejores maneras de elevar la

• totalmente honestos con nosotros mismos.

¡Razona...!Hallarlacantidadmínimadecerillosquehayquemoverparaquelaigualdadseacorrecta.

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Aplicamoslo aprendido

tema 2: ESTADÍSTICA7 Calculaladiferenciaentrelamodaylamediadelossiguientes

12 12 12 15 17

15 18 17 18 18

8 pollos respectoregistra

siguientetabladedistribuciónde

Peso

[960;

gramos)n.°

100

pollos

[980;1000H 200

[1000;1020H 280

1 Setienenlospromediosfinalesde20estudiantesdelcurso

10 12,5 13 15 19,8

18,5 14,2 15,2 13,5 17,2

16,4 12,2 17,6 15,8 13,2

11,8 15,5 15 16,8 11,5

Siseclasificanlosdatosen5intervalosdeclase,halla:

h3+h5+F4

A)16,1 B)17,2 C)18,4

D)19,6 E)20

3 secundarialasestaturas(enmetros)de100alumnosdelnivel

Ii Fi Hi[1,40;1,50H

[1,50;1,60H 0,58[1,60;

1,80]

¿Cuántosalumnosposeenunaestaturanomenorde1,60m?

A)58 B)50 C)48

D)46 E)42

5 personas.la tabla de distribución

de los salarios

de 225

Ii fi[600;700H 15

[700;800H 30

[800;900H 65

[900;1000H 70

[1000;1100] 45

¿CuántaspersonasgananentreS/.740yS/.950?

A)70 B)80 C)95

D)100 E)118

80 Intelectum3.°

2 Delasiguientetabladefrecuencias:

Ii fi hiQ125;135H 4/a

Q135;145H a 5/a

Q145;155H 7/aQ155;

175] 6/a

Calcula:f1+ f3+ f5

A)70 B)75 C)80

D)85 E)90

4 losobrerosfrecuencias

empresaconstructora.jornaldiario(enS/.)de

Ii fi Fi[50;70H 32

[70;90H 40

[90;110H 120

[130;150] 36 200

¿CuántosobrerostienenunsalarionomenorqueS/.70ymenorqueS/.130?

A)130 B)132 C)134

D)136 E)138

6 datos.ladiferenciaentrelamedianaylamodadelossiguientes

20 23 25 25 30

23 25 20 20 23

20 23 20 20 23

A)0 B)1 C)2

D)3 E)4

A)1 B)1,55 C)2,25

D)2,57 E)3

9 Dadalasiguientetabladedistribucióndefrecuencias:

Ii fi[27;31H 4[31;35H 7

[35;39H 12

[39;43H 11

Halla:X+h4+H3

A)37,6 B)38,65 C)39,75

D)40,51 E)41,75

11 frecuencias:mediana

de la siguiente

tabla de distribución

de

Ii fi[1,55;1,60H 8

[1,60;1,65H 12

[1,65;1,70H 14

[1,70;1,75H 9

A)1,52 B)1,57 C)1,60

D)1,67 E)1,71

13 clasificadasiguiente

histograma

corresponde

declasedistribución

13

10

764 58 66 IiCalcula:Mo-X

A)3,9 B)4,1 C)5,1

D)6,2 E)7,3[1020;

1060] 260

¿Cuántospollospesanentre1010gy1024g?A)190 B)192 C)194D)196 E)198

10 Delasiguientetabladedistribucióndefrecuencias:

Ii fi[50;56H 20

[56;62H 75

[62;68H 50

[68;74H 30

Hallalamoda.

A)50 B)50,5 C)58,7

D)59,3 E)60,1

12 Deldiagramadebarras:

fi9

7653 11 12 15 18 20 Xi

Halla:X+Me

A)30 B)31,5 C)32,5

D)33 E)34,5

14 dehistogramamuestra

unadistribucióndelossalariossemanales

fi64

44403220 250 300 350 400 450 500 Ii

Halla:Me+Mo

A)520,7 B)475,8 C)674,2D)954,3 E)853,7

ARITMÉTICA-ACTIVIDADESUNIDAD4 81

Aplicamos lo aprendidoEsta sección propone ejercicios, problemas ysituaciones problemáticas de un nivel igual o superiora los planteados en la sección Problemas resueltos,un total de 14 problemas por tema, cada uno conalternativas de respuesta y agregado al final la clave derespuesta de cada problema. El objetivo de esta secciónes continuar con el entrenamiento de estrategias deresolución de problemas y encaminar al estudiantehacia el aprendizaje significativo autónomo.

Sugerencias pedagógicas• Al ser esta sección de problemas una primera entrada a lo que significa la práctica del estudiante, es primordial la participación del docente,

para que el estudiante pase del aprendizaje significativo dirigido a la etapa del aprendizaje significativo autónomo. En esta etapa los grupos de trabajo resultan también convenientes.

• Es recomendable que algunos de estos problemas sean resueltos en clase para poder entrenar diferentes estrategias de resolución, paraello se debe pedir la participación de los estudiantes y no sea solo un trabajo expositivo por parte del docente. Con la participación activade los estudiantes se puede lograr en algunos casos resolver problemas con sus indicaciones.

Practiquemos

Practiquemos

La compone un promedio de 30 problemas

portema de un total de 16 temas por área. Están

organizados en tres niveles de dificultad. Cada

nivel desarrolla las tres capacidades de área:Comunicación

Delmúltiplode4

¿cuál6?

1; 3;4;...;35

Si Andrés lanza seis

quelos dadosmuestren cuántas

unun yunaniña. enel hayuntotalde21alumnos

Deunpara

8abordarun

sebusca¿De

grupode5

vaaser

8=

aP8.

Raúlsenúmerodevacas,

enunyasnos.Sidichocamión

que15?

7 1

aesta siF1;F2;...;F8 una

distribuciónlos

torres la2;...;8,

D)1 E)1

F8no

8.

dos

teneren

quedeserasí,dostorres

F1;F2;...;

A)13 B) 22 C)11

2 2.

D) 2 E) 4

¿Decuántas

de se quenose

untablerode laotra?

A) 1 B) 22 C)5

Notas

¿Enquéal1. trimestre?

2013?

En queganandesdeS/.800hastaS/.1400?

60

60 28 30

de ¿Quéojiva delas

10ydecierto

Enunatabla

essimétricacon6intervalostalque:f3= 1+ 5

E)B A

A)

B

B B) A

A

detieneel

común:

Al elaborar

una

tabla

de

hesdistribución

de frecuencias

i,

coches.

observatorioduranteuna en

n.° de frutos

n.°de

oEscribeen

deunaI.E.

lasconcolorazul

matemática, Razonamiento ydemostración y Resolución de problemas. Cadaproblema tiene cinco alternativas de respuesta y alfinal de la sección un listado de claves de respuestade todos los problemas.

Nivel 1

Comunicación matemática

1. Marcavariablescualitativas.

variablescuantitativasyconcolorrojo

n.°degolesmarcadosporlaselecciónperuanaensus

dosúltimospartidos.

Colordeojosdelosalumnosdel1.erañodesecundaria

er

Comidafavorita

Nacionalidaddeunapersona

Profesióndeunapersona

2. continua).losrecuadroseltipodevariablecuantitativa(discretaa) ciudad.

habitantesporm2enuna

b) mismaespecie.

de un árbol de la

c) Pesodeunniñoalcumplir4años.

d)

Temperatura

registradahora.

un

e) Diámetrodelasruedasdevarios

3. EscribeNsilavariableindicadaesnominal,yOsiesordinal.

a) Estadocivil.

b) Medallasenunapruebadeportiva.

c) Cursofavorito.

d) Niveleducativoalcanzado.

e) Profesión.

Razonamientoydemostración

4. intervalos,seobservaque inversamenteproporcionala7

además:

verdadero

=70.

ofalso(F),segúncorresponda:

82 Intelectum3.°

a) Elnúmerodeobservacionesesiguala50.

b) f2=210

c) h7=0,06

5. Seclase

siguientecuadrodedistribuciónsimétricaconancho

Ii fi xifi

[4;8H k2-6

k

90

Indicaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.

a) f3+f4=11

b) F2$11

c) F4=3F2

Resolucióndeproblemas

Enunciadoparalosproblemas:6;7y8

Setienenlassiguientesmuestras:A:12;13;13;17;17;13;15;18;19;18B:11;16;17;15;15;17;11;17;16;14C:13;14;16;16;18;19;20;15;17;11

6. Determinaelordenenqueseencuentran XA;XB y XC.

D)

XA>XC>X

C E)X

B>X

C

>XC C)XC>XA>XB

7. Determina

Me

ordenenqueseencuentran

MeC

A

<MA

yMeC.

C)

MeA>MeB>MeC D)MeA=MeC>MeB

8. Determina

Mo

ordenenqueseencuentran

MoB

A

>

MoB

C

yMoC.

C)MoC>MoB>MoA D)MoB>MoC>MoAE)MoB>MoC>MoA

9. Delasiguientetabladefrecuencias:

Ii hi Fix-34x

x-24x

10-x4x

x+14x

6x

Elnúmerodeobservacioneses:

A)20 B)80 C)40 D)60 E)30

Nivel 2


Enunciadoparalosproblemas:10y11

Setienelasiguienteojivadeunadistribucióndeunconjuntodedatos.

Fi

170

120100

7050

6 12 18 24 30 Ii

10. ElvalordelaMees:

11. ElvalordelaXes:

Razonamientoydemostración

12.

distribución dedistribucióndefrecuenciasseobserva

fque

fdicha


a) H1+H2+H3=0,25

b) H2+H3=0,5

c) H2+H3+H4=1,5

13.

ancho

60;

clasedistribuciónsimétricade

f

5intervalosde

además:


a) X=50

b) f2+f3<F2

c) Me=52

Resolucióndeproblemas

14.

Dada

alumnos.siguiente

porcentajetieneentreedades

16años?número

Hi%100

5545

E)24% 2510

7 12 17 22 27 Edades

15. Sielsiguientecuadrodedistribucióntieneigualanchodeclase.

Ii xi fi Fi[ ; H 30 12 12

[ ; H 15 45

Calculalamoda.

A)65 B)62 C)60 D)70 E)50

16. Enelsiguientegráficocalculalamayormodasi:

n.°depersonas

20

15

C)12,2 10853

2 5 8 11 1417 20 Notas

17.

tales siguientediagramaescalonado.¿Cuántaspersonashay

n.°personas

A)99 155

110

50

20

4 7 10 13 16 (sueldo#100)

18. Calculalamediaaritméticaen:

Ii xi fi Fi

[ ; H 5

[12; H 15

D)24 [ ; H 32

E)16,5 [ ; H

[30; H 7 50

Nivel 3


Enunciadoparalosproblemas:19y20

Elsiguientegráficopresentalaproducciónentoneladasdehojuelasdemaízenelprimersemestredelaño2013.

%Producción

120

110

90858075

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Meses

19. ¿Cuántastoneladasseprodujeronenelprimertrimestredelaño

Respuesta:

20.

respectoporcentajedisminuyelaproducciónenel2.°trimestre

Respuesta:

83

ARITMÉTICA-ACTIVIDADESUNIDAD4


Sugerencias pedagógicas

• Algunos de estos problemas se pueden desarrollar en el aula, pero siempre buscando la mayor participación de los estudiantes.

• Considerando el nivel de avance de los estudiantes, se les puede organizar en grupos para que resuelvan problemas, la cantidad loestimará el docente, para que los expongan ante sus compañeros y lograr así el efecto multiplicador de la capacidad matemática que esla Resolución de problemas.

Maratón matemática

Elaborada con problemas de todos los temas que componen la unidad de trabajo pedagógico. Estasección se presenta encabezada con un problema resuelto, y dejando para el alumno un promediode 10 problemas propuestos con un nivel de dificultad mayor al de las de secciones anteriores.

Sugerencias pedagógicas• Esta sección se presenta al final de cada unidad, cuando ya todos los contenidos que lo

componen ya han sido expuestos. Entonces los estudiantes están listos para hacer frente asituaciones que involucran más de un conocimiento procesado. Se puede trabajar en clase,(pizarra) para ver los procesos de resolución y quizá para descubrir otros métodos de resolución.

• Con estos problemas se puede estimular la creatividad de los estudiantes, creando ellossituaciones problemáticas similares. Todo proceso de creación aumenta las posibilidades paradesarrollar capacidades cognitivas y afectivas.

▪

torresidénticas,formas

modopuedenubicar

puedan“comer”unaaajedrez,8

Resolución:

Paraquelas8torresubicadaseneltablerodeajedreznosepuedan“comer”unaalaotra,encadalíneahorizontalyencadalíneavertical

deberáhaberunasolatorre.

Denotemos:

F1:la1.afilahorizontal

h

F8:la8.afilahorizontal

Entonces,

(F1;F2;...;F8)seráciertapermutacióndelosnúmeros1;

2;...; hay

Debemosiguales,puesto

cuentaqueentrelosnúmerosquedarían

enunamismavertical.Luego,

lecorresponderáescierta

permutacióndelas

números1;cualno

sepodráncomerunaalaotra.

Enunciadoparalosproblemas:1;2y3.

LasiguienteojivamuestralafrecuenciaacumuladadelasnotasdelcursodeFísicaII.

Fi

504741

26

8

4 8 12 16 20

1. Hallalanotapromedio.

A)7,51 B)8,12 C)8,24D)9,15 E)10,01

2. Hallalamediana.

A)3,1 B)7,! C)8,1!

D)9,3 E)16,1

3. ¿Cuántosalumnosobtuvieronunanotamayorque9ymenor

A)11 B)12 C)13

D)14 E)16

4. Lima,ciertodisponeatransportar

caballoscamión,deHuancayoa

tieneunacapacidadpara9animales,¿decuántasmaneraslospuedetransportarsitienedisponiblesmásdenueveanimalesdecadaespecie?

A)165 B)166 C)167D)168 E)169

Matemática

Porejemplo,enlasiguientefiguraserepresentaladistribucióndelas

torrescorrespondientesalapermutación46132875.

Deestamanera,elnúmerodedistribucionesbuscadasdelastorreses

igualalnúmerodepermutacionesdelosnúmeros1;2;...;8,esdecir,

Luego:P

igual

8!=40320

Porlotanto,las8torresidénticaspuedenubicarsedelaformarequerida,de40320formasdiferentes.

5. personasgrupode

personas,automóvil.

escogercuántasmaneras

diferentessepuedenescoger,sisesabequedelas8personassolo3tienenlicenciaparaconducir?

A)105 B)106 C)107D)108 E)109

6. Enniño

baileescolar,laSiprofesora

aulaformaparejasconformadaspor

deloscuales10sonniñas,¿cuántasposiblesparejasdistintaspodríaformar?

A)106 B)107 C)108D)109 E)110

7. maneraspuedeocurrirdados simultáneamente,

¿de

diferentes

números?

A)36 B)216 C)648D)720 E)1296

8. De2;lossiguientesnúmerosseescogeunnúmeroalazar.

¿Cuáleslaprobabilidaddequeseaunnúmeroparomúltiplode7?

35 35 7

35 7

9. númeroenunciadoanterior,

múltiploesde

laprobabilidaddequeseaun

35 35 35

5 7

1

5

7

2

6

4

5

1

7

3

8

1

5

2

5

9

3

4

7

8

1

6

6

3

9

7

1

8

6

1

7

4

2

3

5

9

3

7

1

9

1

2

7

5

9

8

3

4

6

1

2

9

8

3

5

7

1

8

2

4

6

9

8

4

3

9

6

3

9

4

8

7

2

5

1

3

6

1

5

9

7

2

8

4

7

6

3

8

9

2

4

1

5

3

8

9

2

6

4

5

1

7

3

1

6

SudokuSección que permite ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.

Instrucciones:completalostablerossubdivididosen9cuadradosllenandolasceldasvacíasconlosnúmerosdel1al9,sinqueserepitaningunacifraen

cadafila,niencadacolumna,niencadacuadrado.

ARITMÉTICA-ACTIVIDADESUNIDAD4 93

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Conclusiones• La Educación Básica Regular del Perú se encuentra estructurada en base a cuatro aprendizajes de orden superior y que están propuestos

en el Diseño Curricular Nacional (DCN) como ejes curriculares y son: aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender yaprender a hacer.

• El Diseño Curricular Nacional tiene una orientación cognitiva; porque busca el entrenamiento de procesos cognitivos, que son los procesosinternos que deberán activarse para desarrollar las capacidades de área. Estos procesos en el DCN se conocen como capacidadesespecíficas.

• En el nivel secundaria el aprendizaje está orientado a conseguir capacidades cognitivas. Los alumnos deberán adquirir y manejar en formapertinente, eficiente, eficaz, coherente y lógica cuatro capacidades fundamentales que son: el pensamiento crítico, el pensamiento creativo, la resolución de problemas o pensamiento resolutivo y la toma de decisiones o pensamiento ejecutivo.

• Los logros de aprendizaje son otros de los elementos del currículo; estos buscan articular los niveles y ciclos de la Educación BásicaRegular y establecer una secuencia entre los aprendizajes; se encuentran estructurados en torno a tres tipos de contenidos que son:conceptuales, procedimentales y actitudinales.

16 Intelectum 3.°

01 guia docente arit 3°

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