03.17 Funciones Lineales Y Cuadraticas

• Relación de proporcionalidad. Si los valores de dos magnitudes M y M' se corresponden según la siguiente tabla

de modo que se verifica

se dice que las mignitudes M y M' son directamente proporcionales.• La constante de proporcionalidad para pasar de M a M' es el cociente

y para pasar de M' a M es

Magnitud M a b c ...

Magnitud M’ a' b' c' ..

aa '=

bb '

=cc '=. ..

a 'aa

a '

1. Recuerda (I)

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández

• Rectas en el plano. Dos puntos del plano determinan una recta.• Rectas secantes en el plano. Tienen un punto en común.• Rectas aparelelas en el plano. No tienen puntos en común

• A

• B

•

2. Recuerda (II)


Un avión vuela a una velocidad constante de 500 km/h. Si construimos una tabla y representamos los puntos de la tabla, obtenemos:

Tiempo Espacio

1 500

2 1000

3 15004 2000

.... ....

Los puntos están alineados. Además tiene sentido unirlos, obteniendo de esta forma una recta que pasa por el origen.

3. Función de proporcionalidad directa: representación


• Las relaciones de proporcionalidad directa entre dos magnitudes representadas por las variables x e y se pueden representar como funciones de ecuación y = mx.

• Las gráficas de las funciones y = mx son rectas que pasan por el origen.

Como un punto cualquiera (a, b) de la recta debe verificar su ecuación debe ser b = m.a de donde obtenemos

m=ba

m recibe el nombre de pendiente de la recta

4. Función de proporcionalidad directa: pendiente


Si la recta es creciente o ascendente, a medida que se avanza en horizontal se produce un aumento de la vertical y su pendiente es positiva.

Si la recta es decreciente o descendente, a medida que se avanza en horizontal se produce una disminución de la vertical y su pendiente es negativa.

5. La pendiente de una recta: significado


6. La pendiente de una recta: medida de la verticalidad


Cuando un submarinista hace una inmersión en agua dulce, a medida que desciende, la presión va aumentando de forma uniforme con arreglo a a la fórmula y = 0,1x + 1. Si construimos una tabla y representamos sus puntos, obtenemos:

Profundidad en metros

Presión enatmósferas

0 1

10 220 3

30 4

.... ....

Los puntos están alineados. Además tiene sentido unirlos, obteniendo de esta forma una recta que no pasa por el origen.

7. Funciones de la forma: y=mx+n


En las gráficas de las funciones de ecuación y = mx + n• m es la pendiente de la recta, ya que por cada unidad de aumento de la x en

horizontal, la y aumenta m unidades en vertical.• n es la ordenada en el origen que indica que la recta pasa por el punto (0, n)

1 u.

m u.

• (0, n)

8. Pendiente y ordenada en el origen


• Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.• Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas.

y = 2x + 3 = 2x – 1 + 4

9. Paralelismo y valor de la pendiente


• • • • • • • • y = 3

Pendiente: m =0Ordenada en el origen n = 3

y = 0

Pendiente: m =0Ordenada en el origen n = 0

(2 ,3) (4 ,3)

10. El eje OX y sus paralelas


•

x = –2

•

•

•

•

•

•

•

•

• Los puntos del plano cuya primera coordenada es – 2 forman la recta x = –2.

• x = –2 no es función pues a un valor de x no le corresponde un único valor de y

11. El eje OY y sus paralelas


Las funciones dadas por la expresión y = ax2 + bx + c, a≠ 0 se llaman funciones cuadráticas . Las gráficas de las funciones cuadráticas se llaman parábolas.

Las parábolas se abren hacia arriba si a > 0

Las parábolas se abren hacia abajo si a < 0

12. Funciones cuadráticas (I)


Dada la parábola de ecuación y = ax2 a medida que aumenta (en valor absoluto) el coeficiente a, la parábola va cerrándose sobre el eje Y

y = 2x2

y = x2

y = (1/3)x2

y = – 2x2 y= – x2

y = –(1/3)x2

13. Funciones cuadráticas (II)


En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2

Para construir la gráfica de la función y = x2 + 1 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 una unidad hacia arriba

14. Traslación vertical de una parábola (I)



Para construir la gráfica de la función y = x2 – 2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia abajo.

15. Traslación vertical de una parábola (II)



Para construir la gráfica de la función y = (x+1)2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 una unidad hacia la izquierda

15. Traslación horizontal de una parábola (I)



Para construir la gráfica de la función y = (x – 2)2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia la derecha

17. Traslación horizontal de una parábola (II)



Para construir la gráfica de la función y = (x – 2)2 +1 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia la derecha, y posteriormente una unidad hacia arriba

18. Traslación oblicua de una parábola (I)


• Se parte de: y = ax2 + bx +c• Se multiplica por 4a: 4ay = 4a2x2 + 4abx + 4ac • Se busca un cuadrado perfecto en el segundo miembro, para lo cual hay

que sumar y restar b2 4ay = 4a2x2 + 4abx + b2 + 4ac – b2

• Se factoriza: 4ay = (2ax + b)2 + 4ac – b2

• El valor de las abcisa del vértice se obtiene cuando 2ax + b = 0

Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola y = ax2 + bx +c se obtienen del siguiente modo:• La abcisa x es la solucion de 2ax + b = 0• La ordenada y se obtiene sustitituyendo el valor de la abcisa en y = ax2 + bx +c

19. Obtención del vértice de una parábola


Para dibujar y = ax2 + bx +c

• Se hallan las coordenadas del vértice.• El eje se simetría es la recta perpendicular a OX que pasa por V.• Si a > 0 las ramas van hacia arriba. Si a < 0 las ramas van hacia abajo.• Se fija la parábola hallando dos o más puntos simétricos respecto al eje de

simetría.• Un punto fácil de obtener es (0, c) y su simétrico respecto al eje de simetría

Para representar y = 2x2 – 8x + 7

• Obtenemos el vértice: 4x – 8 = 0 ⇒ x = 2 La ordenada es y = –1

V(2, –1)

• Dibujamos el eje: x = 1

• Obtenemos otros puntos y sus simétricos respecto al eje:

(1, 1) y (3, 2) (0, 7) y (4, 7)

• Dibujamos la parábola

20. Representación de funciones cuadráticas


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