08 controladores continuos

Control Digital 08.doc 1

1. Aproximación de Controladores Continuos

1. Aproximación de Controladores Continuos____________________________ 1

1.1. Introducción ________________________________________________________ 2

1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia _____________________ 2 1.1.1. Aproximación de Tustin ______________________________________________ 2 1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia _____________________________________ 3 1.1.3. Respuestas Equivalentes ______________________________________________ 5

1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado ____________________________ 8

1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia ___________________________10 1.1.4. Método de la Transformada w _________________________________________ 10


1.1. Introducción

Muchas veces ya existe un controlador analógico

Se intenta reproducir su comportamiento

Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.

1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia

Se intenta aproximar ( )G s

Reloj

u(t)

CDAAlgoritmoCAD

u(kt) y(kt) y(t)

text

1.1.1. Aproximación de Tustin

aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)

( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t T x t qpx x t

dt T T

+ − −= ≈ = [1.1]

como una diferencia hacia atrás

( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t x t T qpx x t

dt T qT− − −

= ≈ = [1.2]

en transformadas significa reemplazar

1zsT−= o

1zszT−= [1.3]

que corresponden a un desarrollo en serie truncado

Para el método de Euler

1sTz e sT= ≈ + [1.4]

para la diferencia hacia atrás

11

sTz esT

= ≈−

[1.5]

Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin


12

12

sT

sT

z esT

+= ≈

− [1.6]

Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones:

Euler

1zsT−′ = [1.7]

diferencia hacia atrás

1zszT−′ = [1.8]

Tustin o bilineal

2 11

zsT z

−′ =+

[1.9]

de este modo se obtiene

( ) ( )H z G s′= [1.10]

La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s

Plano Z

Diferencia en Adelanto Diferencia en Atraso Tustin

1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia

Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias.

Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones.

Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0


( ) ( )1 2 11

1

j Tj T j T

j T

eH e e G

j T T e

ωω ω

ωω −

= − + [1.11]

el factor anterior es debido al bloqueador

el argumento de G es

2 2

2 2

2 1 2 2tan

1 2

j T j Tj T

j T j Tj T

e e e j TT e T Te e

ω ωω

ω ωω

ω−

−

− − = = + + [1.12]

la escala de frecuencias no es lineal.

Por ejemplo si el sistema continuo no deja pasar una determinada frecuencia ω ′ , la frecuencia bloqueada en el discreto será

2 tan2T

Tωω ′ =

[1.13]

o sea

( )212

tan 12 12

TTT

ωωω ω−

′′ ′= ≈ − [1.14]

No hay distorsión para 0ω = y la distorsión es baja para bajas frecuencias.

Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia 1ω se puede introducir una nueva transformación:

( )1

1

11tan 2

zs

T zωω

−′ =+

[1.15]

ahora se cumple

( ) ( )11

j TH e G jω ω= [1.16]

para esa frecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias.

Ejemplo 1.1. Integrador

( ) 1G ss

= [1.17]

su versión digital según Tustin


( ) 1 12 1 2 1

1

TT z

H zz z

T z

+= =

− −+

[1.18]

la versión modificada para 1ω

( )( )1

1

tan 2 11M

Tz

H zz

ω

ω+

=−

[1.19]

en función de la frecuencia

( )( ) ( )

( )1 1

1 1

tan tan2 21 11 tan 2

j Tj T

M j T

T Te

H eTe j

ωω

ω

ω ω

ωω ω+= =−

[1.20]

para 1ω ω= continua y discreta, coinciden.

1.1.3. Respuestas Equivalentes

Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual respuesta al escalón o a una rampa.

Ejemplo 1.2. Comparación de Aproximaciones

( )( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

1 2 400

5 2 100 3 2500

s s sG s

s s s s s

+ + +=

+ + + + + [1.21]

se muestrea con 0,03T s= o sea 105N rad sω =

con un bloqueador de orden cero resulta

( ) ( ) ( )1ˆ 1 sT sTG s e H esT

−= − [1.22]


Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0From: U(1)

10-1

100

101

102

103

-300

-200

-100

0

100

To:

Y(1

)

Sistema continuo, Aproximación de Tustin, BO0

Ejemplo 1.3. Motor con compensador en adelanto

Motor:

( ) ( )1

1G s

s s=

+ [1.23]

compensador en adelanto

( ) 142k

sG ss

+=+

[1.24]

función de transferencia en lazo cerrado

( ) 2

42 4lcG s

s s=

+ + [1.25]

tiene un factor de amortiguamiento 0,5ξ = y una frecuencia natural 0 2radsω =

El objetivo es encontrar una función de transferencia que aproxime la respuesta en lazo cerrado según el esquema de la figura


-1

r(t)

ek

H(z)CAD CDA ( )1

1s s +

uk u(t) y(t)

La aproximación de Euler resulta

( ) ( )( )

11 11

4 4 41 1 2 1 22

Ek

zz Tz TTH z

z z T z TT

−+ − −− +

= = =− − + − −+

[1.26]

Tustin

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

22 11 2 2 2214 4 4

2 1 12 2 2 2 2 2211

Tk

Tz zT z T TTT zH z

z TT z T T zTT z

−− −+ + − + +++= = =− −+ − + ++ −

++

[1.27]

La transformación con un bloqueador de orden cero del regulador resulta

( ) ( ) ( )2 2

0 2 2

4 2 1 0,5 14

T T

BO k T T

z e z eH z

z e z e

− −

− −

− + − += =

− − [1.28]

todas las aproximaciones tienen la forma

( ) 0 1

1k

b z bH zz a

+=+

[1.29]

La frecuencia de corte del sistema continuo es 1,6crad

sω = y una buena elección

del período de muestreo es 0,1 0,3T s= L

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

3

4

Discretización de Euler para diferentes períodos de Muestreo y el Control Continuo


1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado

La realimentación del estado puede verse como un controlador proporcional generalizado.

Proceso

dxAx Bu

dty Cx

= + =

[1.30]

se suponen medibles todos los estados

Controlador

( ) ( ) ( )u t Mr t Lx t= − [1.31]

La versión discreta será

( ) ( ) ( )u kT Mr kT Lx kT= −% % [1.32]

Se trata de obtener las matrices aproximando las continuas

El estado en lazo cerrado evoluciona

( ) lc

dxA BL x BMr A x BMr

dty Cx

= − + = + =

[1.33]

si la referencia se mantiene constante durante el período de muestreo se puede integrar en el período resultando

1k lc k lc kx x r+ = Φ + Γ [1.34]

donde

0

lc

lc

A Tlc

T A slc

e

e dsB

Φ =

Γ = ∫ [1.35]

el controlador discreto deberá dar la misma respuesta, o sea

( )1k k kx L x Mr+ = Φ − Γ + Γ% % [1.36]

donde Φ y Γ son las matrices en lazo abierto

En general no es posible elegir L% tal que

lc LΦ = Φ − Γ % [1.37]


Se divide

0 1 2TL L L= +% [1.38]

Se puede hacer un desarrollo en serie

( ) ( )( ) 222

2lcTI A BL T A BLA ABL BLΦ ≈ + − + − − + +L [1.39]

y

22

2TI AT AΦ ≈ + + +L [1.40]

( )( )2 2 2

0 1 0 1 02 2 2 2T T T TL BT AB L L BL T BL ABLΓ ≈ + + + = + + +% L L [1.41]

( ) ( ) 220 0 1 2

TL I A BL T A ABL BLΦ − Γ ≈ + − + − − +% L [1.42]

igualando término a término

( )( )2TL L I A BL= + −% [1.43]

Para calcular M se supone que en régimen estacionario las ecuaciones [1.34] y [1.36] deben dar el mismo valor

según el continuo el valor final es

( ) 0lc lcI x Mr− Φ = Γ [1.44]

y en el discreto

( )( ) 0I L x Mr− Φ − Γ = Γ% % [1.45]

suponiendo

0 1 2TM M M= +% [1.46]

( ) 2

2lcTM BMT A BL BMΓ ≈ + − +L [1.47]

( ) 2

0 1 0 2TM BM T BM ABMΓ ≈ + + +% L [1.48]

esto da

( )2TM I LB M= −% [1.49]

Ejemplo 1.4. Doble integrador. Aproximación de Realimentación del Estado


[ ]

0 1 00 0 1

1 0

dxx u

dt

y x

= +

=

[1.50]

sea el controlador continuo

( ) ( ) [ ] ( )1 1u t r t x t= − [1.51]

se utiliza 0,5T =

las matrices discretas resultan

[ ]1 0,5 1L T= −% [1.52]

1 0,5M T= −% [1.53]

0 5 10 15-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia

Bode y Nyquist son métodos frecuenciales adecuados para Sistemas expresados como entrada-salida.

1.1.4. Método de la Transformada w

Pasos

1- Obtener una ( )H z muestreando el sistema continuo con un BO0.

2- Definir la variable 2 1

1zw

T z−=+

.

3- Transformar ( )H z obteniendo ( ) ( ) 1 21 2

wTz

wTH w H z +

=−

′ =

4- Dibujar el Bode y utilizar los métodos convencionales.


5- Retransformar el controlador al plano z .

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