1. Abril – Aritmética - 1er Año

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

1. IDEA DE CONJUNTO

Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretas o abstractas. Los conjunto se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, .... etc. Sus elementos separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) o bien indicando una propiedad común de ellos.

Sub – Área: Aritmética 1º Secundaria

CONCEPTOS PREVIOS

CONJUNTOSCONJUNTOS

REPRESENTACIÓNREPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓNDE CONJUNTO

REPRESENTACIÓNDE CONJUNTO

PERTENENCIAPERTENENCIA

INCLUSIÓNINCLUSIÓN

EXTENSIÓNEXTENSIÓN

COMPRENSIÓNCOMPRENSIÓN

DIAGRAMA DE VENN EULER

DIAGRAMA DE VENN EULER

DIAGRAMA DE CARROLDIAGRAMA DE CARROL

CONJUNTOS ESPECIALESCONJUNTOS ESPECIALES

OPERACIONES CON CONJUNTOS

OPERACIONES CON CONJUNTOS

C: VACÍOC: VACÍO

C: UNITARIOC: UNITARIO

C: UNIVERSALC: UNIVERSAL

UNIÓNUNIÓN

INTERSECCIÓNINTERSECCIÓN

DIFERENCIADIFERENCIA

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

Ejemplos:

Si llamamos “B” al conjunto de vocales, entonces:

B = {a, e, i, o, u}

Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces:

Z+ = {1; 2; 3; 4; .....}

Si llamamos “M” al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero.

M = {2; 4; 6; 8; 10}

2. CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.

Ejemplos:

Sea: A = {a; e; i; o; u}Entonces n(A) = 5

Que se lee: El cardinal de “A” es 5.

Sea: C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}Entonces n(C) = 7

Que se lee: El cardinal de “C” es 7.

Sea: w = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}Entonces n(w) = 7

Que se lee: El cardinal de “w” es 7.

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS

3.1. Diagrama de Venn Euler Este diagrama es una forma ilustrativa y muy práctica intuitivamente las relaciones entre conjuntos:

Ejemplos:

A = {2; 3; 4; 6} B = {1; 3; 5; 6; 7}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}


3


La interpretación sería:

2 y 4 pertenecen a “A”. 3 y 6 pertenecen a “A” y “B”. 1; 5 y 7 sólo pertenecen a “B”. 8 y 9 no pertenecen a los conjuntos ni a A ni a B.

3.2. Diagrama de CarrollSe usa generalmente para representar conjuntos disjuntos.

Ejemplos:

Se ha encuestado a 40 personas sobre el uso de radio, 10 mujeres no tienen radio, 10 mujeres tienen radio y 5 hombres no tienen radio. ¿cuántos hombres tienen radio?

Total : 40

H M

x 10

5 10

4. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “”. a)

A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}

a)


x + 10 + 10 + 5 = 40x = 40 = 25x = 15

R = Radio

R

NR

2 B1 A4 A6 A

8 A3 B2 A3 A

U

A B

2

4

3

6

1

5

7

A B

3

5

2

4

6

8

1

"La educación es la preparación a la vida completa."

"La educación es la preparación a la vida completa."

4


b)

R = {a; b; c; d; e; f}S = {b; d; g; h; i}

5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

5.1. Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = {7; 8; 9; 10; 11}

Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.

5.2. Por Comprensión: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo; del ejercicio anterior.

A = {x/x N; 6 < x < 12}

Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos “x” tal que “x” es un número natural además es mayor que 6 pero menor que 12.

6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

6.1. Inclusión de Conjuntos

A B x A x B

Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este también pertenece a “B”.

Además: “A B”


a Rh Rd Si R

G RI SF SC S

R S

i

c

e

b

d

g

h

a

f

Mira que fácil esta este

tema

Mira que fácil esta este

tema

5


“A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B”.

“B A” “B” incluye a “A” “B” contiene a “A” “B” es superconjunto de “A”

6.2. Igualdad de Conjuntos Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B” y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales.

Se denota : A = B

Ejemplo:

A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es una letra de la palabra maroma}

Entonces: A = {A; R; O; M}B = {M; A; R; O}

Luego: A = B

6.3. Conjunto Potencia de AEs el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A.

Ejemplo: A = {a; b} P(A) = {{a}; {b}; {a; b}; }

n[P(A)] = 2n(A)

Donde:

n (A) = cardinal de A

n[P(A)] = 22 = 4


El número puede decirse que gobierna al

mundo de la cantidad, y las

cuatro reglas de la aritmética

puede ser considerada como equipo completo del matemático.

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1. Dado el conjunto: A = {7; 8; 10; 15}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

i) 7 A ( )

ii) {10} A ( )

iii) 9 A ( )

iv) {15} A ( )

2. Dado el conjunto: A = {5 {7}; 9; 12}

Indicar verdadero (V) o falso (F); según corresponda:

i) 7 A ( )ii) {9} A ( ) iii) 5 A ( ) iv) 12 A ( )

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

4. Dado: A ={5; {7}; 9; {12}}


i) {5} A ( )ii) {7} A ( ) iii) 9 A ( ) iv) {5; {2}} A ( )

5. Dado el conjunto: M = {a; {b}; {m}, p}

¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {b} M ( )ii) b M ( )iii) {{m}} M ( )iv) {{b}; {m}} M ( )

6. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto:

A = {x/x N; 6 < x < 12}B = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < }

7. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto?

8. Si:

A = {x + 1/ x Z; 4 < x < 12}B = {x + 2/ x Z; 2 < x < 6}

¿Cuántos elementos tienen los 2 conjuntos sin repetir sus elementos?


A C T I V I D A D E N A U L A

7


1. Dado el conjunto: B = {1; 3; 5; 7}

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

i) 3 B ( )ii) 7 B ( ) iii) 6 B ( ) iv) 2 B ( )

Rpta. ………………………….

2. Dado el conjunto:

B = {3; {6}; 9; 15}


i) {3} B ( )ii) {6} B ( ) iii) {15} B ( ) iv) 9 B ( )

Rpta. ………………………….

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos?

Rpta. ………………………….

4. Si un conjunto tiene 4 elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene?

Rpta. ………………………….

5. Dado: Z = {4; 6; {8}; {10}}Indicar verdadero (V) falso (F); según corresponda:

i) 4 Z ( )ii) {8} Z ( )iii) {{10}} Z ( )iv) {4; {8}} Z ( )

Rpta. ………………………….

6. Dado el conjunto: N = {1; {3}; {5}; 7}

¿Cuántas proposiciones son falsas?

i) {3} N ( )ii) 3 N ( )iii) {{3}} N ( )iv) {{5}; {7} N ( )v) 3 N ( )

Rpta. ………………………….

7. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto:

F = {x/x N; 7 < x < 13}G = {x2 + 1 / x Z; 4 < x 19}

Rpta. ………………………….

8. Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios. ¿cuántos elementos tiene el conjunto?

a) 3 b) 4 c) 6d) 15 e) 31

Rpta. ………………………….


A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

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1. CONJUNTO ESPECIALES

1.1. Conjunto Vacío o Nulo

Es aquel conjunto que no posee elemento. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: ; es decir: {x/x x} = { } =

Ejemplos:

{x/x N; 6 < x < 7} = { }No existe un “x N” que sea mayor que 6 y menor que 7 a la vez.

El conjunto de todos los hombres inmortales. P = { } = o P =

1.2. Conjunto Unitario

Es aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “singular.

{x/x N; 6 < x < 8} = {7}Puesto que “6 N” es el único comprendido entre 6 y 8.

El conjunto de satélite que posee la tierra. {Luna}

Ejemplos:

Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”. A = { 7 – a; b + 4; 5}

7 - a = 5 7 – 5 = a 2 = a

b + 4 = 5 b = 5 – 4 b = 1

a + b = 2 + 1 = 3


John Venn

Euler

Fue un matemático británico que se hizo famoso por sus diagramas lógicos. Los diagramas de Venn se emplean a menudo para enseñar matemáticas elementales.

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1.3. Conjunto Universal Es un conjunto referencial que incluye a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U” o bien. E.

A = {2; 4; 6; 8}B = {1; 2; 3; 6; 9; 11; 13} = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11}

Nota: U También puede expresarse

= {x/x n; 1 < x < 11} ó = {x/x Z+ ; x < 12}

Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2+b2”

A = {a + b; 12}B = {4; a –b}

a + b = 12a – b = 4 2a = 16

a = 8

a + b = 12 a + 8 = 12

b = 4

a2 + b2 = 82 + 42 = 80

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS

2.1. Reunión de Conjuntos

Se llama reunión de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos de A, de B o de ambos.

Se simboliza por A B.

2.2. Intersección de Conjuntos

Se denomina intersección de “A” con “B” al conjunto de todos los elementos comunes a “A” y a “B”.

Se denota por A B

Observación:


A B

4

5

6

8

19

3

7

2 1113

10

René

Descartes(1596-1650)

Nació de una familia francesa noble en la Turena – Francia. Los aportes que realizó a la matemática fueron en el área de estadística y probabilidades.

Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Matemática. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas.

“Considerada que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera.

No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento”.

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Si A B = , se dice que “A” y “B” son disjuntos.

2.3. Diferencia Se conoce como diferencia de “A” y “B” al conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”.

Se denota por A – B

Ejemplos:


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Si: A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8}B = {1; 3; 4; 5; 7; 9}

Entonces: A B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}A B = {1; 3; 4}A – B = {0; 2; 6; 8}B – A = {5; 7; 9}

Si:T = {m; v; t; p}P = {m; v; t; s; u; p}

Entonces: T P = {m; v; t; p; s; u}T P = {m; v; t; p}T – P = { } = P – T = {s; u}

1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2

M = {p + q; 12}N = {4; p – q}

2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n”

Z = { 7 – m; n + 4; 5}

3. Si los conjuntos:

P = {p; a; l; o; m; a}Q = {l; o; m; a; s}entonces hallar “P Q”

4. De 50 alumnos de un aula poseen libros de matemática o lenguaje; 40 tienen libro de Matemática y 15, de Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje?

5. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8 ; 18}

6. De una encuesta realizada a 120 alumnos de una universidad se sabe que; 75 estudian, 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos sólo estudian?

7. En una fiesta donde asistieron 70 personas se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan de bailar rock, ¿Cuántas personas no gustan de bailar?, si se sabe que 25 personas gustan de ambas músicas.

8. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a + b + c

A = {3a + 5; 17; 4b – 3}B = {4a – b; c}


"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida."

A C T I V I D A D E N A U L A

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

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1. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, hallar a2–b2.

R = {a + b; 16}S = {8; a – b}

2. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, hallar “m – p”

x = {9 – m; n + 4; 5}

3. Si los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l}N = {s; a; m; u; e; l}

hallar “M N”.

4. De 60 alumnos del colegio “Leonardo de Vinci” poseen computadora o celular; 32 tiene computadora y 12 computadora y celular. ¿Cuántos tienen sólo celular?

5. Si los conjuntos P y Q son unitarios, hallar r+ s

P = {r + s; 18}Q = {6; r – s}

6. Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de 1ro. de secundaria del colegio “Trilce” y se sabe que: 81 estudian, 32 ven televisión y 18 estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven televisión’

7. De 85 personas 35 gustan de natación y 25 gustan de atletismo, ¿cuántas personas sólo gustan de natación si se sabe que 10 personas gustan de ambos deportes?

1. ¿Cuántos sub conjuntos tiene N?

N = {1; {2; 2}}


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