1 Conceptos básicos Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg.

1Conceptos básicos

Cálculo matricial de estructuras

Guillermo Rus Carlborg

Introducción Relaciones Discretización Métodos Matrices


Índice

Introducción Métodos matriciales: relaciones básicas Discretización: barras y nudos Métodos de compatibilidad y equilibrio Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad



Conocimientos previos

Mecánica de medios continuos: Esfuerzo + Tensión + Deformación + Desplazamiento Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad

Resistencia de materiales – Vigas: Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas

Álgebra matricial: Operación con matrices, propiedades



Introducción

Método matricial: Generaliza métodos de Maxwell, Mohr, S-XIX

Métodos:

Peligros: Olvidar la física

Específicos por tipologías Generales

Conocer: Fundamentos Limitaciones

Solución

Ordenador



Métodos matriciales: relaciones básicas

Barra (1D) prisma rectoPlacas, láminas, sólidos (2D, 3D)

Diagrama de Tonti

MDR El más usado Equilibrio

MIR Menos sistemático

MIF Optimización Compatibilidad



Discretización: barras y nudos

Idealización de Resistencia de materiales

Representación en función de los extremos

Número finiton=GDL

Discre

tizar



Discretización: barras y nudos

Grados de libertad (GDL) = número de coordenadas a fijar para que su movimiento quede determinado unívocamente

Se pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzas



Métodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Se convierte en isostática y se obliga la compatibilidad

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos

y se obliga el equilibrio





Seleccionar n incógnitas hiperestáticas fH Estructura isostática








Equilibrio








Equilibrio Comportamiento








Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vínculos

liberados Sistema de ecuaciones → fH










Postproceso u(fH)










Postproceso u(fH)

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos Se permiten todos los movimientos y

se obliga el equilibrio Incógnitas = desplazamientos u

Tantas como GDL

Compatibilidad Comportamiento Equilibrio en todos los GDL

Sistema de ecuaciones → u

Postproceso: f,p(u)



Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Concepto: Intuitivamente:

Rigidez = fuerza necesaria para producir un movimiento unidad

Flexibilidad = movimiento necesario para producir una fuerza unidad

k= rigidez del muelle

a= flexibilidad del muelle




Generalización a una estructura: Varios GDL → forma matricial

Matriz de rigideznxn

Matriz de flexibilidadnxnn=GDL




Sentido de K (matriz de rigidez):

Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0 Consecuencia: diagonal > 0



Sentido de A (matriz de flexibilidad):

Aij es el desplazamiento en i cuando fj=1, fj=0





Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:




Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

No lo haremos así: automatizaremos Repetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad A




Simetría: Teorema de reciprocidad:

Definimos los estados A y B:

Generalizando:



Resumen

Diagrama de Tonti:

Discretización: → GDL

Métodos de rigidez / flexibilidad

Matriz de rigidez:

Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0

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