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7/26/2019 1-Dinamica Estructural.pdf

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2-1

CAPTULO 2 - CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ES-TRUCTURAL

En un sentido amplio, un sistema dinmico es aquel cuyas variables experimentan varia-ciones en el tiempo y, si se conocen las influencias externas que actan sobre el sistema,

podr predecirse el comportamiento de este.

influencias externas

sobre el sistema

SISTEMADINAMICO

conocidas estas accionesexternas, permiten

"predecir" el comportamiento

de las variables temporales

variables con variaciones

temporales

En nuestro curso, los sistemas a estudiar sern sistemas estructurales, las variaciones en el

tiempo sern vibraciones producidas por cargas dinmicas.

permiten evaluar el

comportamiento de

la estructura frente

a acciones dinmicas

cargas dinmicas

SISTEMASESTRUCTURALES

resolucin de las

ecuaciones diferenciales

ecuaciones diferenciales

que gobiernan el

comportamiento de las

vibraciones

vibraciones

Definicin de la accin dinmica

Una accin tiene carcter dinmico cuando su variacin con el tiempo es rpida y da ori-

gen a fuerzas de inercia comparables en magnitud con las fuerzas estticas. Algunas fuen-tes importantes de vibraciones estructurales son:


2/25

2-2

- sismos

- viento

- olas y corrientes de agua

- explosiones e impactos

-

cargas mviles (vehculos, personas, etc.)

La definicin de estas cargas externas puede distinguirse entre: determinista y no determi-

nista, sta ltima denominada tambin estocstica o aleatoria.

determinista: cuando su variacin temporal es perfectamente conocida

no determinista: cuando alguno o todos sus parmetros son definidos estadsticamente

En nuestro curso trabajaremos con cargas definidas en forma DETERMINISTA.

Respuesta dinmica cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga

dinmica sobre la estructura

Una carga definida determinsticamente da origen a una respuesta, tambin determinista.

Fig. 2.1- Definicin de la respuesta dinmica: para un punto considerado se calculan:

deformaciones, aceleraciones, tensiones, etc.

Acciones y fuerzas dinmicasLas acciones dinmicas definidas utilizando representaciones deterministas, son funciones

del tiempo cuyo valor en cada instante ES CONOCIDO.

Este tipo de representacin es apropiado para evaluar el comportamiento de una estructuraA POSTERIORI del acontecimiento que dio lugar a dicha accin. Por ejemplo, evaluar el

comportamiento de un edificio nuevo ante el terremoto ocurrido en Mxico en 1986 (del

que se poseen registros). El diseo de una estructura NO PUEDE encararse en base a ac-

ciones deterministas, pues nada nos asegura que la accin estudiada volver a repetirse.


3/25

2-3

F(t)

M(t1)

M(t2)

M(t3)

t3

t1

t2

F(t2)

F(t1)F(t3)

t1 t2 t3 t

F

ACCION

RESPUESTA

este esquema temporalde carga debe ser

perfectamente conocido

Fig. 2.2 - Accin y respuesta determinista

No considerada como

"carga" sino como una

propiedad intrnseca de

la estructura

da origen a fuerzas

de "inercia" comparables

con las estticas

ACCIONDINAMICA

rigidez K

masa M

ESTRUCTURA

a(t)

depende deK , M

la comparacin se

basa en: - velocidad de

la accin

- periodo propio

de la estructura

Fig. 2.3 - Accin dinmica y propiedades de la estructura

Importancia de la masa en el problema dinmico

Aunque la carga vare con el tiempo, la respuesta de una estructura vara radicalmente se-

gn la masa que vibra con ella. Ante una misma funcin de carga, una estructura SIN

MASA y una CON MASA responden de la siguiente manera:


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2-4

b) Estructura CON MASA CON INERCIA

a) Estructura SIN MASA SIN INERCIA

Se desarrolla energa

cintica, que modifica

la respuesta y deja vibracionesremanentes

rigidez: Kmasa: m

F(t) m/2x(t)

m/2

x

F

rigidez: Kmasa: m = 0

K x(t) = F(t)

La respuesta seguir

exactamente la forma

de la carga

F(t)

x

x(t)

A A'F

vibraciones

remanentes

t2> t1!!

t1 t2

xmx

t1

F0

x0

t

t

x0= F0/K

t1

t1

F0

t

t

( ) ( ) ( )tFtxktxm =+

Fig. 2.4 - Importancia de la masa en la respuesta


5/25

2-5

Velocidad de reaccin de una estructura

Ante una accin exterior, distintas estructuras reaccionarn de formas diferentes. Esta res-

puesta est ntimamente relacionada con las formas o modos de vibrar y sus correspon-

dientes frecuencias o periodos propios. En el caso de un oscilador de 1 grado de libertad,este periodo propio se obtiene fcilmente. No as para estructuras de mltiples GLD.

Como veremos en los captulos siguientes, los periodos y formas de vibrar dependen de las

caractersticas geomtricas y de materiales (rigidez) y de la inercia que la estructura opone

al movimiento (masa).

En general si tD>> T no es necesario un anlisis dinmico si tDT PROBLEMA DINAMICO

T

m

k

F(t)

tD

F

vibraciones

libres

m

k x0

x

x0

el periodo propio permanece

prcticamente constante

tDt

F

t

F0

ESTRUCTURA CONAMORTIGUAMIENTO

ESTRUCTURA SINAMORTIGUAMIENTO

con AMORTIGUAMIENTOla amplitud decrece en cada ciclo

t

Fig. 2.5 - Velocidad de reaccin T vs. tD


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2-6

k

m x0

2

T1

a masa constante

k1> k2

a rigidez constante

m2> m1

T21

t

x0

etc,k

m

k

mvariables

;k;m

2

2

2

1

1

1TT

Fig. 2.6 - Velocidad de reaccin; varios Ti

Modelos dinmicos caractersticos

Desde el punto de vista del clculo numrico, obtener la respuesta dinmica de una estruc-

tura, es el resultado de "filtrar" la seal de excitacin a travs de la misma estructura y ob-tener las variaciones de las magnitudes de anlisis (desplazamientos, velocidades, acelera-ciones, momentos, tensiones, etc.) respecto del tiempo.

La obtencin de la respuesta requiere, previamente, la definicin del movimiento del te-rreno (en caso ssmico) tanto como de las caractersticas estructurales del mismo y de laestructura propiamente dicha. El anlisis es practicado, no a la propia estructura sino a unmodelo mecnico de la misma. La definicin del modelo depende del tipo de estructura

analizado y pretende brindar una serie de relaciones entre acciones y respuesta que descri-ban un modelo matemtico del problema.

Este modelo matemtico puede ser resuelto mediante diversas tcnicas. En nuestro casoharemos hincapi en los mtodos numricos de anlisis.

Segn la certeza con que fueron formulados los modelos y procedimientos o algoritmos declculo durante el anlisis, ser la precisin de la respuesta obtenida.


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2-7

a3a1

a1

onda

original

t

onda ssmica

original

onda

reflejada

onda

refractada a2 discontinuidad

en el suelo

respuesta

axed

t

respuesta en un punto

en particular

ayed

axed

Fig. 2.7 - Filtrado de una seal ssmica

Se brindan, a continuacin, algunas definiciones tpicas del anlisis estructural dinmicode una estructura:

Grados de libertad (GL)

Se definen como grados de libertad (GL) a los puntos de la estructura en los cuales seidentifica algn desplazamiento y permiten brindar una deformada de la estructura.

Grados de libertad dinmicos (GLD)

Son los grados de libertad que tienen asociada masa y para los cuales puede conocerse las

vibraciones o movimientos a lo largo del tiempo.


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2-8

menos exacta

RESPUESTA (desplaz. en el piso 1)

k2

k1

MODELODINAMICO

x1

t

mas exacta

EXCITACIONSISMICA

ESTRUCTURAREAL

x1 m1

x2 m2

PROCEDIMIENTOSNUMERICOS

MODELOMATEMATICO

[ ] [ ] [ ]aMxKxM =+

Fig. 2.8- Modelizacin de una estructura

Mtodos de modelizacin dinmica

Pueden distinguirse modelos dinmicos exactos y modelos dinmicos discretos.

En general, para la primera clase, solo pueden resolverse casos muy sencillos y con pocaaplicacin practica, por lo que a lo largo del curso profundizaremos en modelos discretos.

Para estos mtodos modelos discretos, se debe tener en cuenta que la subdivisin en domi-nios finitos es tanto espacial (discretizacin estructural) como temporal (solucin para ins-tantes de tiempo determinados).


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2-9

n FINITO DE INSTANTES

DE TIEMPO donde

se calcula la respuesta

(para cada GLD)

n FINITO DE PUNTOS ESPACIALES (GLD)

respuesta dinmica

en CADA PUNTO n infinito de

DE LA ESTRUCTURA puntos espaciales

en CADA INSTANTE n imfinito de

DE TIEMPO puntos temporales

Modelo

dinmicoDISCRETO

Modelo

dinmico

EXACTO

DISCRETIZACIONTEMPORAL

DISCRETIZACIONESPACIAL

Fig. 2.9 - Modelos dinmicos

Discretizacin espacial de las estructuras

Fundamentalmente, la diferencia con lo visto en otros cursos de anlisis estructural (estti-

co) radica en que en dinmica estructural, cuando hablamos de discretizar espacialmente,

nos referimos a los GLD.

Un modelo dinmico exacto (con infinitos GLD) acarreara ms inconvenientes en la reso-

lucin matemtica que beneficios en su precisin. Adems, en estructuras de edificios y en

la mayora de las estructuras civiles, las masas se encuentran ms o menos concentradas en

lugares conocidos. Es por esto que nuestro principal mtodo de modelizacin dinmicaser el de las MASAS CONCENTRADAS.

No obstante, existen otros, como ser:

- mtodo de los DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS

- mtodo de los ELEMENTOS FINITOS


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2-10

Mtodo de las masas concentradas

n total de componentes

de desplazamiento segnlos cuales vibran las masas

concentradas

tensiones y deformacionesespecficas pueden conocerse

mediante los procedimientos

del anlisis esttico

se calcula la "deformada"

del modelo en cada instantese distinguen:- MODELOS DE 1 GLD

- MODELOS DEMULTIPLES GLD

n de GLDdel modelo

Modelos con 1 GLD:

k

m

cc

m

k

x

k

m

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.10 - Modelos con un solo grado de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo

con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.

x

k

m

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.11 - Estructuras modelizadas como un sistema de un solo grado de libertad. (a)

prtico; (b) el mismo prtico con la masa concentrada al nivel de la viga; (c) modelo di-nmico.


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2-11

Modelos con mltiples GLD:

xr

c1

mn

kn

kr

mr

k2

m2

k1

m1

c1

cr

cncn

cr

c1

m1

k1

xr

m2

k2

mr

kr

kn

mnmn

kn

kr

mr

k2

m2

c1

xr

k1

m1

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.12 -Modelos con varios grados de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo

con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.

Fig. 2.13 - Estructura con dos grados de libertad: Prtico de dos pisos y su modelo din-

mico.

a(t)

Fig. 2.14 - Estructura con masa distribuida (antena) y su modelo dinmico discreto con n

grados de libertad.


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2-12

Fig. 2.15 - Modelo dinmico de un prtico de cortante y prtico espacial modelizado co-

mo un sistema completo (10 grados de libertad) y simplificado ( dos grados de libertad).

Fig. 2.16 - Modelo dinmico con grados de libertas de rotacin.


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2-13

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento son las expresiones matemticas que gobiernan la respues-

ta dinmica de las estructuras. Pueden obtenerse a partir de cualquiera de los principios dela mecnica clsica:

Principio de Hamilton

( ) 0;2

1

2

1

=+= Ht

t

d

t

t

cpH ddtEdtEE (2.1)

La primera expresin se denomina funcional de Hamilton; donde Epes la energa poten-

cial, Eces la energa cintica y Edla correspondiente a fuerzas no conservativas. La segun-

da expresin permite establecer el equilibrio a travs de una variacin funcional nula.Principio de los trabajos virtuales

Se trabaja en forma similar a lo visto en anlisis esttico pero incluyendo las fuerzas de

inercia y disipativas.

eiww = (2.2)

Principio de DAlembert

Proporciona el mtodo ms directo para obtener las ecuaciones de movimiento de un sis-

tema dinmico.

Puede formularse como sigue: un sistema dinmico esta en equilibrio cuando todas las

fuerzas que actan en el mismo, incluidas las de inercia y disipativas, cumplen las ecua-

ciones de equilibrio esttico en cada instante de tiempo.

Formulacin de la ecuacin de movimiento para un sistema de 1GLD

Tomando el sistema de la figura 2-10, podemos distinguir dos casos:

Fig. 2.17- (a) fuerza aplicada; (b) modelo ssmico

Para el modelo (a), aplicando el principio de DAlembert, tendramos:


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2-14

F(t) Fi(t) Fa(t) Fe(t)

F(t) = Fi(t) + Fa(t) + Fe(t) equilibrio

( )tx

( )tx

x(t)

inercia amort. elstica

Fig. 2.18 - Equilibrio de fuerzas para 1 GLD

Al aplicar una fuerza exterior F(t), se genera aceleracin, velocidad y desplazamiento para

un cierto instante t; a causa de esto se producen fuerzas:

i-

de inercia( ) ( )txmtFi = (2.3)

ii- de amortiguamiento

( ) ( )txctFa = (2.4)

iii- elsticas

( ) ( )txktFe = (2.5)

equilibrio en el instante t

( ) ( ) ( ) ( ) 0= tFtFtFtFeai

(2.6)

( ) ( ) ( ) ( )tFtFtFtFeai

=++ (2.7)

Fxkxcxm =++ (2.8)

Se omite (por simplicidad de notacin) la dependencia del tiempo, pero de aqu en adelan-

te sta se encontrar implcita en toda variable temporal.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .;;

;;:ej

etcFtFata

xtxxtxxtx


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2-15

La ecuacin (2.8) es la de movimiento correspondiente a 1 GLD con carga exterior y

amortiguamiento.

Para el modelo (b) de la figura 2-17, el planteo es similar, solo que no tiene fuerza exterior

aplicada y la fuerza de inercia se ve afectada por la aceleracin total de la masa:

[ ]xamFi += (2.9)

entonces, la ecuacin de movimiento queda:

[ ] 0=+ xkxcxam (2.10)

amxkxcxm =++ (2.11)

La (2.11) es la ecuacin de movimiento para 1 GLD con aceleracin de apoyo (ssmico) yamortiguamiento. Un caso general sera la inclusin de aceleracin de apoyo y fuerza exte-

rior:

amFxkxcxm =++ (2.12)

Formulacin de las ecuaciones de movimiento para modelos conmltiples GLD

El modelo con varios grados de libertad ms sencillo es el de edificios de cortante (fig. 2-

12). Est basado en que las plantas son infinitamente rgidas y en que los nicos movi-

mientos posibles de stas son los desplazamientos horizontales.

Aplicando el principio de DAlembert en cada GLD (uno por piso) se obtiene:

0=erarirr

FFFF (2.13)

para el piso (r).

Planteando el equilibrio para todos los GLD, nos queda un sistema de ecuaciones (vecto-

rial)

0=eai

TFFFF (2.14)


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2-16

#Nota: en adelante, los vectores y matrices sern representados(en general) con mins-

culas y maysculas en negrita, respectivamente.

[ ]nT

fff ,..., 21=F vector de fuerzas externas

{ }ai

JxMF += vector de fuerzas de inercia

xCF =a

vector de fuerzas disipativas

xKF =e

vector de fuerzas elsticas

entonces, el sistema (2.14) puede escribirse:

{ }aJMFxKxCxM =++ (2.15)

Mmatriz de masas

Cmatriz de amortiguamiento

Kmatriz de rigidez

JT= [1,1,1] vector con todos sus elementos igual a uno

Si bien la (2.15) fue deducida para un modelo de edificio cortante, es una expresin AB-

SOLUTAMENTE GENERAL, inclusive para modelos de elementos finitos, y solo varan

las formas deM, CyK.

Para un modelo ssmico, la (2.15) se reduce a:

{ }aJMxKxCxM =++ (2.16)

Y en caso general de prticos 3D, o modelos de elementos finitos, suele sustituirsexporDpara indicar que cada GLD puede sufrir desplazamientos en 3 direcciones y respectivos

giros.

{ }aJMFDKDCDM =++ (2.17)

Nota: en este ltimo caso,J llevar unos en las componentes a las cuales se quiera aplicar

el acelerograma a, por ejemplo componentex:J= [1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0] etc.


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3-1

CAPTULO 3 - RESPUESTA DE UN OSCILADOR SIMPLE

Ecuacin de movimiento y equilibrio dinmico

Las caractersticas dinmicas de un oscilador de 1 GLD pueden estudiarse mediante unmodelo no amortiguado con vibraciones libres, cuya ecuacin de movimiento es

0=+ xkxm (3.1)

Fig. 3.1 - Modelo de 1 GLD, no amortiguado.

La vibracin, del modelo de la fig. 3.1, es inducida por algunas condiciones iniciales, seandesplazamiento, velocidad o aceleracin en el instante t = 0.

Luego, durante las vibraciones no recibe ningn tipo de perturbacin.

Dividiendo (3.1) por m y usando la notacin:

m

k=2 ;

m

k= (3.2)

se obtiene:

02

=+ xx (3.3)es la pulsacin o frecuencia circular o simplemente frecuenciadel modelo estudia-do. Viene expresada en radianes por segundo (1/s).

Lafrecuencia cclicaviene dada por

2=f (3.4)

y se expresa en ciclos por segundo o hertz.


18/25

3-2

Finalmente, otra caracterstica es el perodo natural

fT

1= (3.5)

2=T (3.6)

La solucin general de la (3.1) o (3.3) puede escribirse:

( )+= tAx sen (3.7)

donde A es la amplitud del movimiento y el ngulo de fase. Los valores de A y se cal-culan a partir de las condiciones iniciales del problema, por ejemplo para

( ) 00 xx = ; ( ) 00 xx =

resulta:

2

020

+=

xxA

0

0

x

xtan

=

Frmula de Geiger

Sustituyendo

g

Gm=

G: peso de m

g: aceleracin de la gra-vedad

kGggG

k 1==

SGX

k

G= : desplazamiento esttico producido

por el peso G en la direccin del grado de libertad

entonces:

SGX

g1

= (3.9)


19/25

3-3

SGX

gT =

2 (3.10)

Utilizando unidades de S.I. la (3.10) queda:

SGXT 00,2= (3.11)

con XSGexpresado en metros para un peso G en Newton.

Caractersticas dinmicas con amortiguamientoEl amortiguamiento puede definirse estudiando las vibraciones libres del modelo de la fi-gura 3-2:

Fig. 3.2 - Modelo de 1 GLD con amortiguamiento (vibraciones libres)

Si se toma la ecuacin (2.12) sin cargas ni aceleraciones de apoyo (vibraciones libres) y sedivide por m se obtiene:

02 2 =++ xxx (3.12)

m

c=2 (3.13)

la solucin de (3.12) est dada en la forma:

rtex= (3.14)

que proporciona la ecuacin caracterstica:


20/25

3-4

02 22 =++ rr (3.15)

Ya que (3.12) es una ecuacin diferencial de segundo orden, lineal, homognea a coefi-cientes constantes.

Las soluciones de (3.15) son

0222,1 == r (3.16)

Segn sea el radicando 2- 2se encuentran tres tipos de amortiguamiento:

2

-2

> 0 SUPERCRITICO: la estructura NO VIBRA2-2= 0 CRTICO: caso lmite = mrc 2=

2-2< 0 SUBCRITICO: la estructura VIBRA con amplitud decreciente

Este es el caso ms frecuente en ingeniera civil, por lo que enfatizaremos suestudio. Para este caso (subcrtico), la cantidad (2- 2) es negativa, lo quehace que (3.16) tenga races complejas:

01 22,1 == ir (3.17)

con 1=i

Llamando frecuencia de vibracin amortiguada a:

21 =v

(3.18)

se obtiene:

vir =2,1 (3.19)

vir =2,1 (3.20)

En las ecuaciones anteriores aparece la magnitud

mm

cc

r

22== (3.21)


21/25

3-5

conocida como fraccin de amortiguamiento crtico (en estructuras corrientes0.02


22/25

3-6

Los reglamentos brindan los coeficientes de amortiguamiento para cada tipo de estructura,pero puede obtenerse en forma experimental y con un mtodo relativamente simple:

Determinacin prctica de

Para amortiguamientos bajos (del orden del 10% de crtico) la relacin entre dos picos su-cesivos puede aproximarse:

( )

( )

( )

( )+

+=

+ +

+1

11nv

t

nvt

mx

mx

tseneA

tseneA

nx

nx

n

n

(3.24)

perovnn

Ttt +=+1 ; con vvT 2=

v

nntt

21 +=+ , entonces

( )

( )

( )

++

+=

+

+

v

vnv

t

nvt

mx

mx

tsene

tsene

nx

nx

vn

n

212

(3.25)

( )

( )

( )

( )++

+=

+

21 2

nvt

nv

t

mx

mx

tsenee

tsene

nx

nx

vn

n

( )

( ) venx

nx

mx

mx

2

1

1 =

+ (3.26)

tomando logaritmo natural:

( )

( ) [ ]ve

nx

nx

mx

mx 2ln1

ln =

+ (3.27)

#notar que para amortiguamientos del orden de


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3-7

211,0 ==v

=vv

995,0

Entonces

( )

( ) 2

1ln

mx

mx =

+nx

nx (3.28)

Para el caso de lecturas separadas por N ciclos:

( ) ( )[ ]N

Nnxnx

2ln mxmx += (3.29)

Excitacin peridica

En la figura 3-4 pueden observarse diversas funciones de carga. De stas, nos interesan porahora, las peridicas y ms particularmente las excitaciones armnicas ya que mediante

series de Fourier cualquier excitacin peridica puede llevarse a una suma de armnicassimples.

Fig. 3.4 - Tipos de cargas dinmicas. (a) armnica; (b) peridicas; (c) cuasi peridicas;

(d), (e) fuerzas impulsivas; (f) carga dinmica general; (g) aceleracin ssmica del terre-

no.


24/25

3-8

Excitacin armnica

Si la carga es de tipo:

( )tPP = sen0

Entonces, la ecuacin de movimiento ser:

( )tsenPxkxcxm =++ 0 (3.30)

: frecuencia de la excitacin

la (3.30) puede escribirse tambin:

( )tsenm

Pxxx =++ 022 (3.31)

La solucin general de esta ecuacin viene dada por

phgxxx += (3.32)

trtrh ececx

2121 += (3.22)

Es la solucin de la ecuacin diferencial homognea.

tittith

vv eeceecx += 21 (3.33)

Utilizando matemtica para nmeros complejos, esta ltima ecuacin puede escribirse:

( )tctsencex vvt

h cos'' 21 +=

(3.34)

xpen la (3.32) es la solucin particular y lleva la forma

tBtAxp += cossen (3.35)


25/25

Derivando y reemplazando en (3.30) se obtienen las constantes A y B:

Denotando = (3.36)

( ) ( )2222

0

211

+

=k

PA (3.37)

( ) ( )2220

21

2

+

=

k

PB (3.38)

Condiciones iniciales

Para el caso en que ( )0

0 xx = ; ( )0

0 xx =

Pueden calcularse las partes correspondientes a la solucin particular (para t = 0)

( )( ) ( )2

22

00

21

2

+

=

k

Px

p (3.39)

( )

( )( ) ( )222

20

021

1

+

=

k

Pxp (3.40)

Basados en stas y en (3.32) y (3.34) podemos plantear las siguientes ecuaciones:

( ) 020 '0 pg xcxx +== (3.41)

( ) 01000 '0 pvpg xcxxxx +++== (3.42)

y despejarse c1 y c2:

[ ]000011

' ppv

xxxxc

+= (3.43)

002 ' pxxc = (3.44)

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