4. Dinámica

57

4. DINÁMICA

Hasta aquí analizamos el movimiento sin preocuparnos por sus causas. Estudiaremos ahora lascausas y el tipo de movimiento a que dan lugar. Es intuitivo que para poner en movimiento unobjeto (o para detenerlo si se mueve) hace falta ejercer una fuerza, lo que lleva a pensar que loscambios del estado de movimiento se deben a fuerzas que actúan sobre el móvil. Como todoobjeto se puede analizar como un conjunto de puntos materiales (en número suficiente)consideraremos por ahora objetos puntiformes; oportunamente veremos como se generalizan losconceptos que introduciremos a casos más complicados.

Sistemas inerciales y Principio de Inercia

El movimiento aparece en forma diferente a distintos observadores1. Por lo tanto al discutir laDinámica debemos elegir un sistema de referencia oportuno. Ahora bien, la experiencia indicaque hay una clase de referenciales llamados inerciales en los que un objeto libre de fuerzasqueda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. No todo sistema dereferencia es inercial: un referencial acelerado no lo es pues al discutir el movimiento relativovimos que en un sistema cuya aceleración es a los objetos están sometidos a una aceleración −a,de modo que un objeto en reposo se pone en movimiento aunque no actúen fuerzas sobre él. Unsistema rotante tampoco es inercial ya que los cuerpos están sometidos a la aceleracióncentrífuga y la aceleración de Coriolis. La existencia de sistemas inerciales se infiere (pero no sedemuestra) de las experiencias de Galileo, que observó que el movimiento uniforme y el reposono necesitan causa. Si lanzamos una bocha sobre una superficie plana y horizontal se moverá enlínea recta y luego de recorrer cierta distancia se detendrá. Si la superficie es rugosa la distanciaes modesta porque la fricción frena la bocha. Cuanto más pulida es la superficie menor es el rocey mayor la distancia recorrida. Si el objeto se desplaza sobre un colchón de aire (lo que seconsigue con dispositivos adecuados) el roce es insignificante y el movimiento es rectilíneo yuniforme con excelente aproximación. De esto se infiere que en el caso ideal que no hubierarozamiento el movimiento de la bocha sería exactamente rectilíneo y uniforme2. La conclusiónde lo dicho es que en un sistema inercial los cuerpos tienden a mantener su estado de reposo o demovimiento rectilíneo uniforme. Esta tendencia es una propiedad de los objetos materiales y sellama inercia. Es por la inercia que cuando vamos en un automóvil que frena bruscamentesomos despedidos hacia adelante (es decir tendemos a mantener el estado de movimiento queteníamos). La generalización de estas observaciones lleva a postular una ley o principiofundamental de la Dinámica de validez universal:

I Ley:

En un sistema de referencia inercial, cuando no actúan fuerzas sobre un punto material,éste mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.

Este postulado recibe el nombre de Primera Ley (o Principio) de la Dinámica, Primera Ley (oPrincipio) de Newton y Ley (o Principio) de Inercia. 1 Recordar el caso de un movimiento rectilíneo visto por un observador en reposo y por un observador en rotación.2 La Tierra no es un sistema inercial y aún eliminando el rozamiento el movimiento de la bocha no será rectilíneo y

uniforme debido a la aceleración de Coriolis y a la componente horizontal de la aceleración centrífuga. Luego las

experiencias que se acaban de describir se tendrían que hacer en un laboratorio ideal que esté en reposo.

4. Dinámica

58

Fuerzas y Segundo Principio

La noción de fuerza viene de la experiencia del esfuerzo muscular que se ejerce para desplazarobjetos, levantarlos, etc. (Fig. 4.1). Un resorte ejerce una fuerza que se opone a que se lo estire,por eso se tiene que realizar un esfuerzo para estirarlo. Todo objeto tiene peso: por eso tenemosque hacer un esfuerzo para levantarlo.

F

FRAGIL

P

(a) (b)

Fig. 4.1. Fuerzas: (a) para estirar un resorte hay que realizar un esfuerzo, (b) para levantarun objeto hace falta un esfuerzo muscular.

Los atributos de una fuerza son su magnitud, su dirección y su sentido y por lo tanto se repre-senta por medio de un vector. Cabe aclarar que la fuerza no es un vector libre pues como todo elmundo sabe por experiencia su efecto depende del punto del cuerpo donde está aplicada. Volve-remos sobre esta cuestión más adelante. Como por ahora tratamos objetos puntiformes vamos asuponer que las fuerzas están aplicadas en el punto mismo. Si (como ocurre a veces) sobre unpunto material actúan varias fuerzas F1, F2, … (Fig. 4.2), su efecto equivale al de una únicafuerza llamada resultante, igual a la suma vectorial de las mismas:

F F F= + +…1 2 (4.1)

Siempre que sobre un punto material actúen varias fuerzas las reemplazaremos por su resultante.

P

F1

F2

F

Fig. 4.2. Cuando varias fuerzas actúan sobre un punto material su efecto equivale al de suresultante.

Una vez establecido el sistema de referencia que se debe emplear, es decir el sistema inercial,queda claro que toda vez que un cuerpo se desvía del reposo o del movimiento rectilíneo y uni-forme, la causa de esa desviación, o sea del cambio de velocidad, es una fuerza. Debemos buscarentonces la relación entre las aceleraciones y las fuerzas.Cuando un objeto cae por efecto de la gravedad (Fig. 4.3a) la aceleración está dirigida en lamisma dirección (indicada por la plomada) de la fuerza (el peso) que la produce. Si se hace girarcon movimiento circular uniforme un objeto atado por un cordel, la fuerza que el cordel ejerce

4. Dinámica

59

sobre el objeto está dirigida en la dirección radial y la aceleración que le imprime (la aceleracióncentrípeta) es también radial (Fig. 4.3b). Podemos considerar más ejemplos y veremos siempreque cuando un cuerpo tiene una aceleración a existe también una fuerza F que tiene igual direc-ción y sentido que a.

w

a

v

O

P

F

(b)(a)

FRAGIL

Pa

Fig. 4.3. La aceleración tiene igual dirección y sentido que la fuerza que la produce: (a) laaceleración de un cuerpo que cae por efecto de su peso está dirigida verticalmente haciaabajo, (b) un objeto realiza un movimiento circular uniforme atado por un cordel queejerce una fuerza en la dirección radial, la cual produce la aceleración centrípeta necesaria.

Para averiguar más sobre la relación entre fuerza y aceleración conviene recordar los experi-mentos de Galileo con el plano inclinado. Sea un dispositivo (ver la Fig. 4.4a) consistente en dosplanos inclinados separados por un plano horizontal (las superficies deben ser pulidas para queno influya el rozamiento o mejor aún, se debe usar un colchón de aire). Estudiando el movi-miento de un cuerpo que se suelta en el extremo A del plano inclinado se ve lo siguiente:• En el tramo AB el movimiento es uniformemente acelerado. La aceleración depende de la

pendiente α del plano, más precisamente a ~ senα , y no depende del material de que estáhecho el cuerpo ni de su tamaño.

• En el tramo horizontal BC el movimiento es rectilíneo y uniforme.• En el tramo CD el móvil se acelera como en AB, pero en el sentido de reducir su velocidad.

A

B C

D

a

a ~ sena

a = 0

a

(a)

A

P||

P

P⊥ aa

(b)

Fig. 4.4. Relación entre fuerza y aceleración: (a) cuando un cuerpo desliza sin rozamientosu movimiento es uniformemente acelerado en los tramos AB y CD y es rectilíneo y uni-forme en el tramo BC; (b) las partes paralela y perpendicular a un plano inclinado del pesode un cuerpo.

4. Dinámica

60

La fuerza que actúa es el peso P del cuerpo y lo podemos imaginar (Fig. 4.4b) como la suma deuna parte P⊥ perpendicular a la superficie del plano inclinado y una parte P|| paralela al mismo:

P P P= + = =⊥ ⊥|| ||, cos , senP P P Pα α (4.2)

La componente P⊥ mantiene el cuerpo en contacto con el plano y no produce aceleración dadoque el plano no se deja penetrar por el cuerpo (es un vínculo, en el sentido que estudiamos en elCapítulo 3). La componente tangencial es la que produce la aceleración. Lo observado en eltramo horizontal es consecuencia de la Primera Ley: como P|| = 0 , no hay aceleración y tenemosun movimiento rectilíneo uniforme. Lo observado en el tramo inclinado, o sea a ~ senα , juntocon la (4.2) indica que la aceleración es proporcional a la fuerza:

P

aK P K a||

||cte.= = ⇒ = (4.3)

Al experimentar con diferentes cuerpos se encuentra que la aceleración no depende del materialni del tamaño de los mismos, sino sólo de la pendiente α. Por otra parte P|| es proporcional alpeso del cuerpo. Por lo tanto se concluye que el factor de proporcionalidad K entre aceleración yfuerza depende del cuerpo. Para investigar esta dependencia podemos realizar otras experiencias.Por ejemplo si tiramos de un carro con una fuerza F fija, se observa que cuanto más se carga elcarro tanto menor es la aceleración (Fig. 4.5). Luego K es proporcional a la carga del carro. Laconstante de proporcionalidad está pues relacionada con la cantidad de materia del cuerpo queestá siendo acelerado3, esto es, con la masa del cuerpo que es la medida de la cantidad de mate-ria del mismo. Por lo tanto si con m indicamos la masa podemos escribir

F Cma= (4.4)

donde C es una constante a determinar, que depende de las unidades en que se miden las fuerzas.

(a)

F

a

FRAGIL

F

a

FRAGIL

FRAGIL

(b)

Fig. 4.5. Si tiramos de un carro con una fuerza F fija, la aceleración es tanto menor cuantomás se carga el carro.

Si definimos la unidad de fuerza como aquella fuerza que aplicada a la unidad de masa le im-parte una unidad de aceleración, tendremos que C = 1 y la (4.4) queda

F ma= (4.5)

Recordando que la dirección y el sentido de la fuerza y de la aceleración coinciden se tiene que

3 En realidad la experiencia del plano inclinado, al mostrar que K es proporcional al peso, muestra también que el

peso es proporcional a la cantidad de materia.

4. Dinámica

61

F a= m (4.6)

En base al resultado que hemos inferido podemos postular con validez general una nueva ley oprincipio fundamental de la Dinámica:

II Ley:

La aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de lasfuerzas que actúan sobre él, e inversamente proporcional a su masa:

F a= m

Este enunciado recibe el nombre de Segunda Ley (o Principio) de la Dinámica, Segunda Ley (oPrincipio) de Newton o Ley (o Principio) de Masa.Corresponde aclarar que nuestras consideraciones dan por implícita una definición rigurosa delconcepto de masa, que todavía no dimos. Tal definición se puede lograr por medio de la TerceraLey de la Dinámica, que introduciremos en breve. Pero no entraremos ahora en ese tema dadoque el concepto de masa como medida de la “cantidad de materia”, aunque no riguroso es bas-tante intuitivo y preferimos evitar por el momento una disquisición epistemológica que antes queaclarar las cosas puede producir confusión. Más adelante volveremos sobre la cuestión.

Dimensiones y unidades de masa y fuerza

La masa se toma habitualmente como magnitud fundamental. Sus unidades son el kilogramo(kg) en el sistema MKS y el gramo (g) en el sistema cgs. Por definición el kilogramo es la masade un bloque patrón de metal que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sévres (Fran-cia) y equivale muy aproximadamente a la masa de un litro de agua.De acuerdo con la (4.6) las dimensiones de fuerza derivan de las de la masa y la aceleración:

[ ] [ ][ ] [ ]F m a m t= = −l 2 (4.7)

En el sistema MKS la unidad de fuerza es el kgm/s Newton N2 = = y en el sistema cgs elgcm/s2 = =dina dy . Se verifica que 1 105N dy= . También se suele medir la fuerza en kilogra-mos fuerza (kgf); esta unidad es el peso de una masa de 1 kg, de modo que 1 9 8kgf .= N .

Interacciones y Tercer Principio

Las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se deben a la acción de otros cuerpos. Estas accionesmutuas de los cuerpos se denominan interacciones. En ausencia de interacciones no actúan fuer-zas sobre el cuerpo, y éste se mueve de acuerdo con la Primera Ley.La observación muestra que si aplicamos una fuerza a un cuerpo soportamos una reacción, esdecir una fuerza que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Esta reacción es tanto mayor cuanto mayores la fuerza aplicada. Todos sentimos sobre nuestra mano la reacción de la mesa si descargamosun puñetazo sobre la misma: no hay que dar un golpe demasiado fuerte, no sea cosa que la reac-ción nos lastime. Si tiramos de un carro con una cuerda (Fig. 4.6) ejerciendo una fuerza sobre elcarro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa. Se pueden dar más ejemplos y se en-cuentra siempre que a toda fuerza le corresponde una fuerza de reacción, que actúa sobre aquelloque está ejerciendo la primera fuerza, o sea la acción. Por eso la acción no ocurre nunca sola: entoda interacción entre cuerpos a cada acción le corresponde una reacción. Las fuerzas se pre-sentan siempre de a pares: una sobre cada uno de los cuerpos que interactúan.

4. Dinámica

62

FRAGIL

FR

Fig. 4.6. Cuando al tirar con una cuerda ejercemos una fuerza sobre el carro, la cuerda so-porta una reacción que la pone tensa.

Los ejemplos mencionados muestran que en toda interacción se cumple que• la magnitud de la fuerza de reacción es igual a la magnitud de la fuerza de acción,• ambas fuerzas tienen la misma recta de acción,• ambas fuerzas tienen sentido opuesto.Estas observaciones permitieron a Newton postular una ley o principio de la Dinámica de vali-dez universal (Fig. 4.7):

III Ley:

En toda interacción entre dos puntos materiales A y B en que el primero ejerce una fuerzaFAB sobre el segundo, éste ejerce sobre el primero una reacción FBA . La fuerza de reac-ción es de igual magnitud y sentido contrario a la fuerza de acción y ambas se ejercen a lolargo de la recta que une los dos puntos:

F FBA AB= − (4.8)

Este enunciado se conoce como Tercera Ley (o Principio) de la Dinámica, Tercera Ley (o Prin-cipio) de Newton, o Ley (o Principio) de Acción y Reacción.

AFBA

FAB

B

Fig. 4.7. La Ley de Acción y Reacción: si A ejerce una fuerza FAB sobre B, éste ejerce so-bre A una reacción F FBA AB= − ; ambas fuerzas se ejercen a lo largo de la recta AB.

Cantidad de movimiento e impulso

Sea un objeto puntiforme de masa m que se desplaza con velocidad v. La magnitud

p v= m (4.9)

se denomina cantidad de movimiento del móvil. En términos de la cantidad de movimiento, laSegunda Ley de la Dinámica se escribe como

Fp

=d

dt (4.10)

4. Dinámica

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donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el móvil. Notar que esta formulación dela Segunda Ley es más general que la ec. (4.6) pues incluye el caso en que la masa del sistemaes variable, como ocurre con un cohete que pierde masa a medida que quema combustible.La Segunda Ley se escribe en forma diferencial como d dtp F= . En general F es una funcióndel tiempo y la variación de la cantidad de movimiento en el intervalo t t2 1− se expresa como:

∆p p p p F= − = ∫ = ∫( ) ( )t t d dtt

t

t

t

2 1

1

2

1

2

(4.11)

La cantidad

I F21

1

2

= ∫ dtt

t

(4.12)

se denomina impulso de la fuerza F. Para evaluar el impulso es preciso, naturalmente, conocercómo dependen del tiempo las fuerzas.La expresión (4.11) no es otra cosa que la expresión integral de la Segunda Ley, que se puedeenunciar como:

II Ley:

La variación de la cantidad de movimiento de un móvil es igual al impulso de la resultantede las fuerzas que actúan sobre él.

Conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es una magnitud extensiva: si S es un sistema compuesto por variosmóviles S1, S2, ... cuyas cantidades de movimiento son p1, p2, ... , respectivamente, la cantidadde movimiento p de S es igual a la suma de las cantidades de movimiento de sus partes:

p p p= + +1 2 K (4.13)

Sea ahora S un sistema aislado (es decir que no interactúa con el resto del universo) que com-prende los subsistemas S1 y S2. No hay fuerzas de origen externo sobre S1 y S2 y por lo tanto laúnica fuerza que actúa sobre S1 es F21, que proviene de su interacción con S2. Análogamente laúnica fuerza que actúa sobre S2 es F12, que proviene de su interacción con S1. Como F21 y F12

son un par de acción y reacción, por la Tercera Ley F F21 12= − . Además, por la Segunda Ley

d

dt

pF1

21= y d

dt

pF2

12= (4.14)

Luego d dt d dtp p1 2 0/ /+ = y por lo tanto

p p p= + =1 2 cte. (4,15)

Luego la cantidad de movimiento de S se conserva si no hay fuerzas externas. Usando la (4.11)la conservación de la cantidad de movimiento de S se expresa en la forma

∆ ∆ ∆ ∆ ∆p p p p p= + = = −1 2 2 10, o sea (4.16)

4. Dinámica

64

Esta fórmula pone de manifiesto que en toda interacción entre dos cuerpos hay una transferenciade cantidad de movimiento de uno a otro. Pero la cantidad de movimiento total se mantieneconstante, porque por la Ley de Acción y Reacción la cantidad de movimiento que gana unaparte se compensa exactamente con la que pierde la otra.Conviene aquí hacer un comentario acerca del concepto de sistema aislado. En sentido estrictoningún sistema es aislado, es decir no interactúa con el resto del universo. Cabe entonces pre-guntarse para qué sirven en la práctica las anteriores consideraciones. Para aclarar la cuestiónveamos como se modifican nuestros resultados cuando S interactúa con el resto del universo. Ental caso la fuerza que actúa sobre S1 es la resultante de F21 y Fe1, la fuerza de origen externoresultante de las interacciones de S1 con el resto del universo. Análogamente la fuerza que actúasobre S2 es la resultante de F12 y Fe2. Por lo tanto

d

dt ep

F F121 1= + ,

d

dt ep

F F212 2= + (4.17)

Al sumar ambas ecuaciones obtenemos

d

dt e e ep

F F F= + =1 2 (4.18)

donde Fe es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre S. Por lo tanto

∆p F= ∫ et

tdt

1

2 (4.19)

Este resultado indica que la variación de la cantidad de movimiento de un sistema proviene ex-clusivamente del impulso de las fuerzas de origen externo. Ahora bien, en muchas situaciones deinterés puede ocurrir que la variación de la cantidad de movimiento del sistema (debida comovimos a las fuerzas externas) sea despreciable. Eso sucede si Fe es muy pequeña, o si el intervalode tiempo ∆t=t2−t1 que estamos considerando es muy breve (como ocurre en el choque entredos cuerpos). En tales casos tendremos

∆p ≅ 0 (4.20)

Si δp es la magnitud de la transferencia de cantidad de movimiento entre las partes del sistema(δp≈Fint∆t , donde Fint es el valor típico de las fuerzas internas), la condición para que a losfines prácticos el sistema se pueda considerar aislado se puede expresar como

∆ ∆∆

p

p

F t

F t

F

F

a

ae

int

e

int

e

intδ≈ = = << 1 (4.21)

donde ae y aint son las magnitudes de las aceleraciones de una parte cualquiera del sistema debi-das a las fuerzas externas e internas, respectivamente. Entonces un sistema se puede consideraraislado si la aceleración de una cualquiera de sus partes debida a las fuerzas externas es despre-ciable frente a la aceleración producida por las fuerzas que las demás partes del sistema ejercensobre ella.

4. Dinámica

65

Amortiguamiento de una caída

Como aplicación de estos conceptos estimemos desde que altura puede caer un hombre sin las-timarse, suponiendo que cae de pie y amortigua el impacto sobre el piso doblando las piernas.Estudiaremos el impacto, es decir el proceso desde que los pies tocan el suelo con las piernasestiradas y con velocidad v, hasta que el movimiento se detiene y las piernas están flexionadas.El problema parece complicado porque sobre el hombre actúan el peso P mg= (m es la masa yg la aceleración de la gravedad) y la fuerza normal de contacto N debida a la impenetrabilidaddel piso4, cuyo valor no conocemos de antemano. Pero no queremos un resultado exacto, sólouna estimación. Para resolver el problema vamos a suponer que el sistema hombre-piso se puedetratar como aislado, sujeto a verificar a posteriori que esta hipótesis se cumpla satisfactoria-mente. Nuestra hipótesis implica que durante el intervalo ∆t que dura el frenado podemos des-preciar el impulso del peso.Si h es la altura de la caída, al llegar al suelo la velocidad es v gh= 2 . Supongamos que du-rante el impacto la desaceleración es constante e igual a G; entonces v G= 2 l , donde l es lalongitud de las piernas ( l ≈ 0 75. m); luego h G g/ /l = . Para que el hombre no se rompa loshuesos N debe ser menor que el valor límite F* dado por la resistencia mecánica del esqueleto,cuyo valor aproximado es:

F P mg* ≈ =10 10 (4.22)

Entonces el máximo valor admisible de la desaceleración es G g= 10 . De aquí resulta

h G g≤ = ≈l l/ .10 7 5 m (4.23)

Luego la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse es unas10 veces la longitud de las piernas: unos 7.5 m, más o menos la altura de un segundo piso5.Falta verificar que se cumple nuestra hipótesis. El tiempo de frenado es ∆t G= 2l / , durante elcual ocurre una variación δp mv= de la cantidad de movimiento. Durante ese lapso la variaciónde cantidad de movimiento debida al impulso del peso es ∆ ∆p mg t= , por lo tanto

∆pp

g

Gδ= ≈

110

(4.24)

Luego se justifica considerar el sistema hombre-suelo como aislado.Ley de escala de los esqueletosEl concepto de la fuerza límite (4.22) permite formular una ley de escala para el esqueleto de losvertebrados terrestres. Si l es la dimensión lineal típica del cuerpo y ρ la densidad del mismotenemos que m ~ ρ l3. Por otra parte F kd∗ ~ 2 donde d es la dimensión transversal de los huesosy k es una constante que depende del material y estructura de los mismos y que podemos supo-ner que tiene el mismo valor para todos los vertebrados. De esto resulta que

d g

kK

2

3l~ρ= (4.25)

4 Más adelante se tratan las fuerzas de contacto.5 La (4.22) en que se basa nuestra estimación no se debe tomar al pie de la letra, sino sólo con carácter indicativo.

No aconsejo a nadie que haga la prueba de saltar desde un segundo piso, salvo en caso de extrema necesidad.

4. Dinámica

66

donde K es (aproximadamente) constante para animales terrestres del mismo tipo de estructura.De esto se desprende la siguiente ley de escala:

d

ll~ /1 2 (4.26)

que implica que los animales de mayor tamaño tienen huesos proporcionalmente más gruesos.Lógicamente estos argumentos no se aplican si se comparan animales que viven en el agua conanimales terrestres.

Problemas de Dinámica

Como dijimos al comienzo de este Capítulo el problema de la Dinámica es establecer la relaciónentre el movimiento y sus causas. Concretamente: dado un móvil y dadas las fuerzas que actúansobre el mismo, determinar su movimiento. O bien resolver el problema inverso: conociendocomo se mueve un cuerpo, deducir las fuerzas a las que está sometido. Para eso contamos con latres leyes fundamentales de la Dinámica: la Ley de Inercia, la Ley de Masa y la Ley de Acción yReacción. Estas tres leyes contienen en principio todo lo necesario para resolver estos proble-mas. Pero su aplicación a casos concretos requiere superar dos escollos:• conocer las fuerzas que están actuando y• dadas las fuerzas, encontrar las ecuaciones del movimiento.Muchos piensan que la parte más difícil del problema es la segunda, tal vez influidos por el grandesarrollo que se da en los textos a las técnicas y formalismos matemáticos, así como por la in-troducción de importantes conceptos que ayudan a plantear y resolver las ecuaciones. Sin em-bargo la primera parte es tanto o más difícil. En los casos prácticos no es siempre sencillo reco-nocer correctamente qué fuerzas están actuando. Más aún, cuando actúan varias fuerzas (y es asíen la mayoría de los problemas de la realidad) no es fácil saber cuales son las más importantes(porque determinan las principales características de la dinámica), cuales producen efectos se-cundarios (o sea pequeñas correcciones) y cuales finalmente se pueden despreciar dentro de laprecisión con que estudiamos el problema. Conviene entonces que el lector se familiarice con lasfuerzas que va a encontrar en la práctica. Aquí describiremos algunas de ellas y otras más sepresentarán en los Capítulos siguientes.

El peso

Ya hemos mencionado esta fuerza. El peso es la fuerza que hace caer los cuerpos. Proviene deuna de las interacciones fundamentales: la interacción gravitatoria, que trataremos en el Capítulo9. Concretamente, el peso de todo objeto material proviene de la atracción que la Tierra ejercesobre él. Su dirección define la vertical del lugar (que con buena aproximación coincide con larecta que pasa por el centro de la Tierra y por el lugar de que se trate6) y su sentido es hacia elinterior de la Tierra. La magnitud del peso es proporcional a la masa del cuerpo, de modo que

P g= m (4.27)

Cuando se considera un cuerpo extenso, su peso es la resultante de los pesos de cada uno de loselementos materiales que lo componen. Esta resultante se puede considerar aplicada en un punto

6 Pasaría exactamente por el centro de la Tierra si ésta fuera una esfera perfecta y si no girara sobre sí misma.

4. Dinámica

67

que se llama baricentro o centro de masa, o centro de gravedad del cuerpo. Veremos más ade-lante como se determina la posición del baricentro de un cuerpo extenso o de un sistema depuntos materiales. Cuando el cuerpo tiene una forma simple y es homogéneo, el baricentro coin-cide con el centro geométrico del mismo.En virtud de la Tercera Ley a toda acción le corresponde una reacción. Por lo tanto si la Tierraejerce una acción gravitatoria sobre el cuerpo, de modo que sobre el cuerpo actúa el peso, hayuna reacción ejercida por el cuerpo sobre la Tierra. Esta reacción es la resultante de todas lasfuerzas que ejerce el cuerpo sobre cada uno de los elementos materiales que componen la Tierray se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con elcentro geométrico de nuestro Planeta. La situación se muestra en la Fig. 4.8, donde ′ = −P Pdesigna la reacción del peso de un cuerpo de masa m. En realidad tanto P como ′P son las re-sultantes de las fuerzas de interacción gravitatoria que se ejercen sobre cada una de las partículasque componen, respectivamente, el cuerpo y la Tierra, pero a los fines de sus efectos dinámicoses equivalente reemplazar esos conjuntos de fuerzas por sus resultantes, si suponemos que tantola Tierra como el cuerpo son rígidos (lo cual es razonable en muchas situaciones).

P

P'

Fig. 4.8. La Tierra ejerce una atracción gravitatoria sobre todo cuerpo, que se manifiesta enel peso. El cuerpo ejerce una reacción que se puede considerar aplicada en el baricentro dela Tierra, que coincide prácticamente con el centro geométrico del Planeta.

La masa de la Tierra es de 5.976×1024 kg, luego la aceleración que sufre debido a la reacción ′Pprovocada por un cuerpo de escala humana es despreciable. No es así, sin embargo, cuando seconsideran las reacciones debidas a la interacción gravitatoria con otros cuerpos celestes como laLuna, el Sol, etc.

La relación entre el peso y la masa

Para un objeto que cae acelerado por su peso la Segunda Ley establece que a P= /m . Pero es unhecho experimental (observado por Galileo) que todos los cuerpos que caen bajo la acción de supropio peso sufren la misma aceleración a g= = cte. Resulta entonces que el peso de un cuerpoes proporcional a su masa, pues P g= m . Este hecho no es una consecuencia de la Segunda Ley,sino que es un resultado experimental independiente que proviene de la particular naturaleza de

4. Dinámica

68

la gravitación. Recordemos que la masa es una característica dinámica de los cuerpos que midela inercia de los mismos, es decir la resistencia que oponen al cambio en su estado de movi-miento. Que la inercia esté vinculada con la gravitación es, lo repetimos, un hecho experimentaly no una consecuencia de las leyes de la Dinámica Newtoniana. Volveremos más adelante sobreesta cuestión y sus implicancias.

Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidos

Estas fuerzas son muy importantes en nuestra vida cotidiana y se deben a la presencia de cuerposque actúan como vínculos. En la Fig. 4.9 se muestra un libro que descansa sobre una mesa. De-bido a la presencia de la mesa el libro no cae al suelo. Lo que ocurre es que sobre la tapa dellibro que está en contacto con la superficie de la mesa está actuando una fuerza, que indicaremoscon N, que equilibra el peso del libro de modo que la fuerza resultante es nula: P N+ = 0. Poreste motivo el libro no cae atravesando la mesa. Esta fuerza actúa sólo cuando el libro está encontacto con la mesa y por eso se denomina fuerza de contacto. Otra fuerza de contacto es la queda lugar al rozamiento, que se opone a que un cuerpo deslice sobre otro.

N

P

(b)(a)

Fig. 4.9. Fuerza de contacto: (a) un libro apoyado sobre una mesa no cae al suelo atrave-sando la mesa porque (b) la mesa ejerce una fuerza de contacto que equilibra el peso dellibro.

Las fuerzas de contacto no son fuerzas fundamentales. Son una manifestación a escala macros-cópica de las interacciones entre los átomos y moléculas que componen los cuerpos y que hacenque éstos no se interpenetran y tienden a adherirse entre sí. Su origen, en última instancia, sedebe a las interacciones electrostáticas entre las nubes electrónicas y a ciertos efectos cuánticosque no vamos a discutir aquí. La teoría detallada de las fuerzas de contacto es muy difícil y nonos ocuparemos de ella, aunque más adelante presentaremos una discusión cualitativa. Afortu-nadamente en la mayoría de los casos que nos pueden interesar no importa conocer el detalle decómo actúan en escala microscópica las fuerzas de contacto, pues basta saber cual es su efectogeneral. Eso es lo que vamos a tratar ahora.Toda fuerza de contacto se puede imaginar como la suma de una fuerza de contacto normal N,perpendicular a la superficie de contacto, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie(Fig. 4.10). La fuerza N es la que se opone a la penetración de los cuerpos. La fuerza R da lugaral rozamiento (o fricción).

4. Dinámica

69

N

Fc

R

FRAGIL

Fig.4.10. Toda fuerza de contacto es la suma de una fuerza normal N, perpendicular a lasuperficie de contacto y que se opone a la penetración de los cuerpos, más una fuerza tan-gencial R paralela a dicha superficie y que da lugar al rozamiento.

Fuerza normal de contacto

La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie y su valor no depende de las caracte-rísticas de los cuerpos en contacto, sino que es exactamente el necesario para impedir la penetra-ción. En el ejemplo del libro sobre la mesa N P= − de modo que la resultante de las fuerzas queactúan sobre el libro es nula: el libro no cae porque está sostenido por la mesa que ejerce lafuerza N. Si apoyamos un segundo libro sobre el primero N se ajusta de modo de balancear elpeso de ambos libros. En realidad no es estrictamente correcto decir que N toma siempre el valornecesario para equilibrar las fuerzas que tienden a producir la penetración. Se debe notar queestamos tratando las fuerzas de contacto de manera fenomenológica, mediante el modelo decuerpo sólido, rígido e impenetrable. En realidad no existen sólidos perfectamente rígidos e im-penetrables: nuestro modelo tiene límites dados por la resistencia de los materiales. Todo elmundo sabe, en efecto, que si se coloca sobre una mesa un objeto demasiado pesado la mesa serompe. En nuestro lenguaje esto se describe así: por la Tercera Ley cuando la mesa ejerce lafuerza N sobre el objeto que se apoya sobre ella, el objeto ejerce una reacción –N sobre la mesa.Si el valor de N necesario para sostener el objeto es tal que N y/o –N superan, respectivamente,el límite de resistencia del objeto y/o de la mesa, éstos se rompen (antes de llegar a eso se de-forman apreciablemente y entonces la descripción del fenómeno se complica considerable-mente). Pero mientras esto no ocurra podemos aplicar con confianza nuestro modelo simple.La fuerza normal de contacto explica lo que ocurre cuando un objeto está apoyado sobre unplano inclinado (Fig. 4.11). Como P P P= + ⊥|| donde P P|| sen= α y P P⊥ = cosα son las partesde P paralela y perpendicular al plano y puesto que N P= − ⊥ resulta que N P= cosα . Dejandode lado por un momento el rozamiento, la resultante sobre el cuerpo es

F P N P P N P= + = + + =⊥|| || (4.28)

Luego el cuerpo no atraviesa el plano sino que tiende a deslizarse sobre el mismo bajo la acciónde P||. En ausencia de rozamiento el movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado, con laaceleración

aP

mg= =|| senα (4.29)

4. Dinámica

70

P||

P

Pa

a

N

Fig. 4.11. Cuando un objeto está apoyado sobre un plano inclinado la fuerza normal decontacto equilibra la componente del peso perpendicular al plano.

Fuerza de rozamiento

Cuando un cuerpo está en contacto con otro hay, además de N, una fuerza de contacto tangencialR que se llama rozamiento y se opone a que el cuerpo deslice sobre el otro. Su comportamientoes diferente al de N. Para discutir el rozamiento hay que distinguir si los cuerpos que están encontacto tienen o no movimiento relativo. En el primer caso se habla de rozamiento dinámico, enel segundo de rozamiento estático.

Rozamiento dinámico

Cuando un cuerpo desliza sobre un plano inclinado se observa (si no se toman recaudos paraevitar el rozamiento, como usar un colchón de aire) que a g≠ senα . Esto se debe a la fuerza R.Si se hacen mediciones cuidadosas se encuentra que R tiene las siguientes propiedades:• tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad v del móvil (ver Fig. 4.12a),• su magnitud es proporcional al módulo de la fuerza de contacto normal.Podemos escribir entonces

R v= −µdN ˆ (4.30)

donde µd es una constante adimensional que se denomina coeficiente de rozamiento dinámico.El valor de µd depende de los materiales de los cuerpos y de las características de las superficiesen contacto (su rugosidad o grado de pulimento, la presencia o no de sustancias como grasas oaceites lubricantes sobre las mismas, etc.). Algunos valores se dan en la Tabla 4.1.

Tabla 4.1. Coeficientes de fricción para superficies limpias y secas.

Superficies en contacto µd µeacero duro/acero duro 0.42 0.78acero blando/acero blando 0.57 0.74plomo/acero blando 0.95 0.95cobre/acero blando 0.36 0.53cobre/hierro fundido 0.30 1.10níquel/níquel 0.53 1.10hierro fundido/hierro fundido 0.15 1.10teflón/teflón 0.04 0.04

4. Dinámica

71

Consideremos un cuerpo que desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con la velocidad v.Tendremos entonces que ma P R= −|| y recordando las (4.2) y (4.30) resulta

a v= −

ˆ sentan

g dαµα

1 (4.31)

Existe pues un valor crítico αd de la pendiente del plano (llamado ángulo de rozamiento diná-mico) dado por la condición tanα µd d= , que permite distinguir tres posibilidades distintas:• si α α< d tendremos a v~ ˆ− , luego el rozamiento frena al móvil, que acabará por detenerse,• si α α= d se tiene que a = 0 y el móvil desliza hacia abajo con velocidad constante,• si α α> d tendremos que a v~ ˆ y el móvil se acelera al descender, pero su aceleración es

menor que la que tendría en ausencia de rozamiento ( a g< senα ).

FRAGIL

P||

R

(b)

FRAGIL

R

v

(a)

Fig. 4.12. Fuerza de rozamiento: (a) el rozamiento dinámico tiene igual dirección y sentidoopuesto que la velocidad del móvil, (b) el rozamiento estático tiene igual dirección y sen-tido opuesto que la fuerza que tiende a desplazar el móvil.

Rozamiento estático

Si no hay movimiento relativo el rozamiento tiende a mantener los cuerpos en ese estado. Sea unlibro apoyado sobre una mesa. Si lo empujamos para ponerlo en movimiento veremos que hacefalta una fuerza apreciable para lograr nuestro objetivo. Se puede determinar que la fuerza Fnecesaria para poner en movimiento al móvil debe superar una cota dada por µeN , de modo que

F Ne≥ µ (4.32)

El número µe se denomina coeficiente de rozamiento estático (algunos valores se dan en la Ta-bla 4.1) y se cumple que7 µ µe ≥ . El resultado de las observaciones indica que:• en tanto que F Ne< µ no hay movimiento, por lo tanto R F= − (Fig. 4.12b),• cuando F Ne≥ µ el rozamiento estático no logra impedir el movimiento: estamos en presen-

cia de rozamiento dinámico y R está dado por la (4.30).El comportamiento de R como función de F se representa en la Fig. 4.13. Volveremos sobre eltema del rozamiento en los Capítulos 11 y 12.

7 El rozamiento estático juega un rol muy importante en el comportamiento de un automóvil. En condiciones

normales de marcha, las partes de las cubiertas en contacto con el pavimento están (instantáneamente) en reposo. Es

el rozamiento estático lo que permite que las ruedas motrices tengan tracción, y que el vehículo mantenga

adherencia al piso cuando acelera o frena. Si por cualquier causa las ruedas deslizan sobre el pavimento, entra en

juego el rozamiento dinámico cuyo valor es menor, el vehículo patina y el conductor puede perder el control del

mismo. Por eso jamás hay que frenar bloqueando las ruedas.

4. Dinámica

72

R/N

me

md

F/Nme

Fig. 4.13. Comportamiento de R como función de F.

Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluido

Los fluidos ejercen fuerzas sobre los cuerpos que están en su seno. Puesto que todo objeto te-rrestre está rodeado por un ambiente fluido sea gaseoso (la atmósfera), sea líquido (mares, lagoso ríos), es importante conocerlas. Su tratamiento riguroso requiere estudiar la Mecánica de losFluidos, pero por su gran importancia práctica las presentaremos aquí, aunque algunos aspectosse aclararán recién al estudiar los Capítulos 13 y 14. Estas fuerzas se dividen en tres grupos:• El empuje de Arquímedes, que actúa sobre todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un

fluido, cualquiera sea de su estado de movimiento.• Fuerzas que dependen de la velocidad del cuerpo, que a su vez se dividen en fuerzas de

arrastre, que tienen la dirección de la velocidad relativa del cuerpo respecto del fluido y sen-tido opuesto, y fuerzas de sustentación, que son ortogonales a dicha velocidad relativa.

• Fuerzas que dependen de la aceleración del cuerpo respecto del fluido que lo rodea.A continuación pasaremos revista a estas fuerzas.

El empuje

Es la fuerza más sencilla y se tratará en detalle en el Capítulo 13. Se la conoce desde la antigüe-dad (Arquímedes) y es la que permite que los barcos floten y que los objetos sumergidos en unlíquido sean más livianos. Proviene de la presión8 ejercida por el fluido sobre la parte sumergidadel cuerpo; su magnitud no depende del estado de movimiento del cuerpo y está dada por

E g Vf= ρ (4.33)

Aquí ρ f es la densidad del fluido, V el volumen de la parte sumergida del cuerpo y g laaceleración de la gravedad. Luego la magnitud del empuje es igual al peso del fluido desalojadopor el cuerpo. Su dirección es la misma del peso y su sentido es opuesto (Fig. 4.14), entonces:

E g= − ρ f V (4.34)

8 La presión es la magnitud de la fuerza que se ejerce por unidad de área.

4. Dinámica

73

E

P

Fig. 4.14. El empuje tiene igual dirección y sentido opuesto que el peso.

El empuje se puede considerar aplicado en el baricentro de la masa de fluido que ocuparía ellugar del cuerpo si éste no estuviera presente. Notar que en general este punto no coincide con elbaricentro del cuerpo, hecho que como veremos más adelante tiene gran importancia en lo quehace a la estabilidad de una embarcación. Solamente si el cuerpo es homogéneo y está comple-tamente sumergido el punto de aplicación del empuje coincide con el del peso. Para tomar encuenta el empuje en la dinámica de un cuerpo homogéneo y completamente sumergido bastareemplazar el peso P del mismo por el peso aparente Pa dado por

P P E Paf= + = −

1

ρ

ρ(4.35)

donde ρ es la densidad del cuerpo. La densidad del aire es de unos 10–3 g/cm3, mientras que ladensidad de la materia condensada es típicamente del orden de 1 g/cm3. Por lo tanto al tratarcuerpos en el aire podremos casi siempre despreciar el empuje. En cambio para objetos en elagua el empuje se debe tener en cuenta siempre.

Fuerzas de arrastre

Fuerzas de arrastre y de sustentación

Los fluidos se oponen al avance de los cuerpos que se mueven en su seno. De igual modo unacorriente de un fluido tiende a arrastrar consigo los objetos que están dentro de ella. Las fuerzasde arrastre junto con las de sustentación (que trataremos a continuación) son fundamentales paracomprender el transporte de materiales por los fluidos, la sedimentación, la locomoción acuáticay aérea, etc. Son fuerzas que dependen de la velocidad relativa del objeto respecto del fluido y suexpresión exacta es muy difícil de obtener, por lo cual sólo las trataremos en forma aproximada,justificando cualitativamente su origen y dando estimaciones de su magnitud.La fenomenología de las fuerzas de arrastre es muy compleja y se deben considerar varios casos,cada uno de los cuales es apropiado sólo para determinadas situaciones. Trataremos ahora dedescribirlas en términos sencillos.

Arrastre viscoso

Cuando la velocidad relativa del objeto respecto del fluido es baja (más adelante veremos qué seentiende por baja) la resistencia al movimiento se debe a la viscosidad del fluido. La viscosidad

4. Dinámica

74

es una propiedad de los fluidos que se estudiará en el Capítulo 12, en virtud de la cual éstos seoponen con fuerzas toda vez que se intenta hacer deslizar una capa de fluido sobre otra. La mag-nitud del efecto es proporcional a un parámetro que se llama coeficiente de viscosidad, que indi-caremos con η, cuyo valor depende de la naturaleza del fluido y de su estado (básicamente de sutemperatura). Para fijar ideas supongamos tener dos capas planas 1 y 2 de fluido (Fig. 4.15) se-paradas por una distancia ∆d , que se mueven paralelamente a sí mismas con las velocidades v1

y v v v2 1= + ∆ , respectivamente. En esas condiciones se encuentra experimentalmente que lacapa 2 ejerce sobre la capa 1 una fuerza Fη que tiene las siguientes propiedades:• es proporcional a la diferencia de velocidades ∆v ,• es inversamente proporcional a la distancia ∆d entre las capas,• es proporcional al área de contacto S entre las capas,• se opone al movimiento relativo, es decir, tiende a aumentar la velocidad de la capa 1.En resumidas cuentas

Fv

η η= Sd

∆∆

(4.36)

En virtud de la Tercera Ley la capa 1 ejerce sobre la capa 2 una fuerza −Fη , que tiende a dismi-nuir la velocidad de la capa 2.

2

1

v2

v1

Fh

v1= + v

d

Fig. 4.15. Cuando dos capas de un fluido deslizan la una sobre la otra, debido a la viscosi-dad se ejercen fuerzas entre ambas que tienden a disminuir la velocidad relativa.

De la ec. (4.36) obtenemos las dimensiones de η:

[ ]η =

m

tl(4.37)

La unidad de viscosidad en el sistema cgs es el poise (p), cuyo valor es

1 1 1poise p= = g/cm s (4.38)

En las tablas se suele dar el coeficiente de viscosidad en centésimas de poise (centipoise), abre-viado cp. Valores típicos que conviene que el lector recuerde son:

η ηagua airecp , . cp≈ ≈1 0 02 (4.39)

El coeficiente de viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura, por ejemplo

4. Dinámica

75

η ηagua agua( ˚ ) . cp , ( ˚ ) . cp20 1 1 100 0 25C C≈ ≈ (4.40)

Por el contrario la viscosidad de los gases crece con la temperatura:

η ηaire aire( ˚ ) . cp , ( ˚ ) . cp0 0 016 100 0 025C C≈ ≈ (4.41)

Imaginemos una gota microscópica de aerosol que cae en el aire por efecto de su peso (o unapartícula de limo que se está asentando en el agua). Las capas del fluido en contacto con la partí-cula tienden a adherirse a ella y ser arrastradas en su movimiento, pero las capas más lejanasquedarán, naturalmente, en reposo. Por lo tanto habrá capas que deslizan la una sobre la otra(Fig. 4.16a). Para calcular la fuerza de origen viscoso que actúa sobre la partícula es necesarioconocer como se mueven las capas de fluido que lo rodean y éste es un problema muy difícil quenosotros no resolveremos. En realidad el cálculo exacto sólo se puede hacer en casos muy senci-llos (como partículas esféricas, elipsoidales o cilíndricas que se mueven con velocidad uni-forme). Para formas más complicadas o partículas de forma irregular el cálculo teórico es impo-sible. Lo que vamos a hacer nosotros es una estimación, sin pretensión de mucha exactitud.

(a) (b)

Fig. 4.16. Flujo alrededor de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido, visto desdeel referencial del cuerpo. Los diagramas son cualitativos. (a) Cuando la velocidad es bajael flujo es laminar. (b) Cuando la velocidad es alta detrás del cuerpo aparece una estelaturbulenta.

Sea l el tamaño lineal de la partícula (el diámetro de la misma si es esférica o una longitud ca-racterística de su tamaño si su forma es más complicada). Es razonable suponer que las capas defluido que tienden a ser arrastradas por la partícula se extienden hasta una distancia de la mismadel orden de l , o sea que ∆d ≈ l . El orden de magnitud del área de contacto es entonces S ≈ l2 ,y si u es la velocidad de la partícula tendremos que ∆v u≈ . Sustituyendo en la (4.36) obtenemosque la magnitud de la fuerza de arrastre viscoso sobre la partícula es

F g uη η= 1 l (4.42)

donde g1 es un factor numérico del orden de la unidad; su valor depende de la forma de la partí-cula y de su orientación respecto de la dirección de su movimiento, que son los factores que de-terminan como se mueven las capas fluidas que la rodean.Podemos comparar nuestra estimación con los resultados del cálculo exacto cuando éste se co-noce. Para una partícula esférica de diámetro l que se mueve con velocidad constante el resul-tado exacto es g1 3= π , de modo que

4. Dinámica

76

F uη π η= 3 l (4.43)

una expresión que se conoce como ley de Stokes. Para un disco plano de diámetro l que semueve perpendicularmente a su plano se obtiene g1 8= , mientras que si se mueve paralelamentea él g1 16 3 5 33= = …/ . Como se ve g1 es siempre un número cercano a la unidad (más precisa-mente g1 10≈ ). Pero lo que en definitiva interesa para nuestras estimaciones es que la fuerza dearrastre viscoso es proporcional al coeficiente de viscosidad del fluido, proporcional a la veloci-dad y proporcional a una longitud que caracteriza el tamaño del cuerpo.

Velocidad límite

Sea una partícula que cae por efecto de su peso en un fluido. Describiremos su posición me-diante una coordenada vertical x, positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley la aceleración es

a gF

mg

mg u= − = −η η

11 l (4.44)

Si la partícula parte del reposo en x = 0 su velocidad inicial es nula y por lo tanto su aceleracióninicial es igual a g. Pero al aumentar la velocidad disminuye la aceleración de acuerdo con la(4.44). La aceleración se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada por

vmg

g* =

1ηl(4.45)

A partir de ese momento la partícula cae con la velocidad constante v * . La (4.44) se integrafácilmente. Poniendo u V v= * y t t T= * ( t m g* /= 1ηl ) la (4.44) se escribe9

dV

dTV= −1 (4.46)

De aquí obtenemos dT dV V= −/( )1 de modo que

TdV

VV

V T

=′

− ′⌠⌡ = − −

11

0

( )

ln( ) (4.47)

y por lo tanto

V e T= − −1 (4.48)

La velocidad límite se alcanza para t t≈ *, luego t * es el tiempo característico del fenómeno.Para integrar la (4.48) ponemos x x X= * donde x v g* * /= 2 y obtenemos

X T e T= − + −1 (4.49)

9 Conviene siempre escribir las ecuaciones en términos de invariantes porque así las expresiones que se obtienen

(que se representan en la Fig. 4.17) son universales, esto es, valen para todo caso que se pudiera presentar.

4. Dinámica

77

Cuando T << 1 (es decir si t t<< *) la (4.49) nos da x gt≅ ( / )1 2 2 mientras que si T >> 1 (o seat t>> *) obtenemos x v t≅ * , como debe ser. La distancia recorrida por la partícula en t * es

x tx

e

v

eg egt( *)

* **= = =

221

(4.50)

Con esto queda resuelto nuestro problema. En la Fig. 4.17 se muestran V T( ) y X T( ).

1 2 3 4T

1

2

1 2 3 4T

1

2

V

X

Fig. 4.17. Caída libre de una partícula con arrastre viscoso.

Veamos el caso de una gota de aerosol acuoso de 20 µm de diámetro que cae en el aire: usandonuestras fórmulas10 resulta v* ≈ 1 cm/s , t* ≈ −10 3 s y x* ≈ 11µm , luego el régimen de caída convelocidad constante se establece casi de inmediato y v * es, efectivamente, muy pequeña.Consideremos una gota de lluvia de 2 mm de diámetro. En este caso se obtiene v* ≈ 109 m/s,t* ≈ 11 s y x* ≈ 120 m . Claramente en este caso algo anda mal con nuestras fórmulas, pues pre-dicen una velocidad límite absurdamente alta: todos hemos visto llover y sabemos que la veloci-dad de las gotas es, cuanto mucho, de algunos metros por segundo.

Arrastre turbulento

El modelo en que se basa nuestro análisis del arrastre viscoso se funda en suponer que el flujo eslaminar, esto es que el fluido se puede describir como un conjunto de capas o láminas que des-

10 Hemos supuesto que la gota es esférica lo cual es cierto con buena aproximación, y hemos ignorado el efecto del

movimiento interno de la gota que se induce por efecto de la viscosidad.

4. Dinámica

78

lizan las unas sobre las otras. A velocidades altas esto no es cierto pues la presencia del móvilproduce turbulencia, que es un movimiento desordenado de las parcelas del fluido (Fig. 4.16.b).¿Quién no ha visto un automóvil corriendo por un camino de tierra? Detrás del vehículo se ob-serva una estela turbulenta en la cual el movimiento del aire es arremolinado y arrastra consigouna nube de polvo ¿Quién no oyó hablar del efecto de chupada, por el cual un vehículo que sedesplaza detrás de otro y muy cerca de él experimenta menos resistencia a su avance? Todosestos son efectos de la turbulencia provocada por un móvil que se desplaza velozmente. Estáclaro que en estos casos el movimiento del aire no es laminar en absoluto. Podemos entendercualitativamente lo que pasa si analizamos el proceso desde el sistema de referencia del móvilque se mueve con la velocidad u respecto del fluido cuya densidad es ρ f . Desde este referencialcada parcela del fluido que viene hacia el móvil trae una cantidad de movimiento por unidad devolumen dada por −ρ fu, y al entrar en contacto con el móvil se desvía hacia los costados delmismo. Término medio las parcelas pierden (por unidad de volumen) la cantidad de movimiento−ρ fu que es transferida al móvil11. De resultas de esto, en la unidad de tiempo y por cada uni-dad de área de su sección transversal (a la dirección del movimiento), el fluido transfiere al mó-vil una cantidad de movimiento −ρ f u

2u . Si l es la dimensión lineal característica del móviltransversal a su dirección de movimiento, la cantidad de movimiento que adquiere por unidad detiempo es −ρ f u

2 2l u . Por lo tanto la magnitud de la fuerza de arrastre turbulento12 es

F C ut a f≅12

2 2ρ l (4.51)

Aquí el factor 1/2 se introdujo por conveniencia, y Ca es un número puro que se llama coefi-ciente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo, de su orientación con respecto dela dirección del movimiento y también de la velocidad del mismo, que determina el detalle delmovimiento de las parcelas del fluido. Volveremos en breve sobre este tema. Detrás del móvilqueda, como ya dijimos, una estela turbulenta y cerca de la parte posterior del mismo, dentro dela estela, el movimiento arremolinado del fluido hace que otro móvil que sigue de cerca al pri-mero experimente un arrastre menor, de ahí el efecto de “chupada” que mencionamos antes.

Velocidad límite

Usando la (4.51) podemos escribir la aceleración de una partícula que cae en régimen turbulento.Como antes usamos una coordenada vertical x positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley:

a gF

mg

mC uta f= − = −

12

2 2ρ l (4.52)

Si la partícula parte del reposo en x = 0 , t = 0 tenemos u( )0 0= , a g( )0 = . A medida que au-menta u disminuye a, que se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada ahora por

11 Las componentes transversales de la cantidad de movimiento que adquieren las parcelas del fluido tienden a

compensarse entre sí, de modo que la cantidad de movimiento neta perpendicular a u que adquiere el móvil es en

general pequeña. De todos modos por definición su efecto no es producir arrastre sino dar lugar a la fuerza de

sustentación, que consideraremos más adelante.12 Esta fuerza de arrastre es la que experimentamos cuando sacamos la mano por la ventanilla de un automóvil en

movimiento.

4. Dinámica

79

vmg

Ca f

∗ =2

2ρ l(4.53)

Poniendo u v V= * y t t T= * , donde t v g m C ga f* * / ( / ) /= = 2 2 1 2ρ l , la (4.52) se escribe como

dV

dTV= −1 2 (4.54)

Es fácil integrar esta ecuación. La solución que cumple la condición inicial V T( )= =0 0 es

V T= tanh (4.55)

Para encontrar el desplazamiento escribimos x x X= * con x v t m Ca f* * * /= = 2 2ρ l . Entonces

dX

dTV T= = tanh (4.56)

La solución de la (4.56) que satisface la condición inicial X T( )= =0 0 es

X T= ln(cosh ) (4.57)

En la Fig. 4.18 se muestran las soluciones (4.55) y (4.57). Es fácil verificar que cuando T << 1(es decir cuando t t<< *) la (4.54) y la (4.57) nos dan v gt≅ y x gt≅ 2 2/ , mientras que siT >> 1 (o sea t t>> *) obtenemos v v≅ * y x v t≅ * , como debe ser.

1 2 3 4T

1

2

1 2 3 4T

1

2

V

X

Fig. 4.18. Caída libre de una partícula con arrastre turbulento.

4. Dinámica

80

Volviendo ahora a la gota de lluvia de 2 mm de diámetro, la aplicación de estas fórmulas per-mite obtener (suponiendo que Ca ≈ 0 8. , que es un valor razonable para una partícula esféricaque se mueve con la velocidad de unos pocos m/s) los siguientes valores: v* . m/s≅ 5 4 ,t* . s≅ 0 39 y x* . m≅ 1 5 , que como se ve corresponden con los que efectivamente se observan.Corresponde hacer un comentario acerca de la expresión (4.53) de la velocidad límite. La masadel cuerpo escala como m c~ ρ l3 (ρc es la densidad media del cuerpo). De esto resulta que

v∗ ~ l (4.58)

que nos dice que la velocidad límite escala como la raíz cuadrada del tamaño del cuerpo. Com-paremos la velocidad límite que alcanzan un hombre ( lhombre cm≈ 180 ) y una hormiga( lhormiga cm≈ 0 5. ). Resulta que v v* / * ( / ) ./

hormiga hombre hormiga hombre≈ ≅l l 1 2 0 053. La veloci-dad límite que alcanza un hombre al caer en el aire13 es de unos 50 m/s. Por lo tanto la velocidadlímite que alcanza una hormiga es de solamente unos 2-3 m/s. Por este motivo los insectos yotros animales pequeños pueden caer desde grandes alturas sin hacerse daño.

El número de Reynolds

El lector se preguntará cuándo corresponde usar la (4.42) F g uη η= 1 l que da la fuerza de arrastreviscoso y cuándo en cambio hay que usar la (4.51) F C ut a f= ρ 2 2 2l / que vale para el arrastreturbulento. Para contestar esta pregunta usaremos el análisis dimensional para obtener la expre-sión general del arrastre Fa sobre un cuerpo que se mueve con la velocidad u en seno un fluido(Fig. 4.19). Claramente las magnitudes dimensionales que intervienen en el problema son cinco:

F ua f, , , ,l η ρ (4.59)

y solamente tres de ellas tienen dimensiones independientes. Luego según el Teorema Pi pode-mos formar con ellas sólo dos combinaciones adimensionales, que podemos elegir como

Π =F

ua

f12

2 2ρ l(4.60)

donde el factor numérico se ha puesto por comodidad, y

R =ρ

ηf ul (4.61)

El invariante R se llama número de Reynolds y es una importante característica del flujo, comoveremos en seguida.A los invariantes Π y R tenemos que agregar un conjunto adicional de invariantes (que indica-remos con f) que describen la forma del cuerpo y dos ángulos (que designaremos con α) quedeterminan su orientación respecto de la dirección de su movimiento. Por lo tanto la relacióninvariante más general que podemos escribir entre las magnitudes del problema es

Π = φ α( , , )R f (4.62)

13 Esto requiere una caída de aproximadamente 125 m.

4. Dinámica

81

donde φ es una función cuya forma no podemos determinar por medio del análisis dimensional.De la (4.62) obtenemos la expresión general del arrastre como

F u fa f= 12

2 2ρ φ αl ( , , )R (4.63)

u

Fs

Fa

F

al

rf

Fig. 4.19. Fuerzas sobre un cuerpo que se mueve en un fluido. Por definición el arrastre yla sustentación son, respectivamente, las componentes de la fuerza en la dirección paralelay perpendicular a u.

Aunque no conocemos φ α( , , )R f podemos decir algo acerca de su comportamiento en los lími-tes de bajas y altas velocidades. En el límite de velocidades bajas sabemos que el arrastre sedebe a la viscosidad y es independiente de ρ f (que da la medida de la inercia del fluido). Luegoen ese límite, que corresponde a R << 1, se debe cumplir que

lim ( , , )( , )

u fg f

→ =01φ α

αR

R(4.64)

de modo tal que

F g f u Fa = = <<1 1( , ) ,α η ηl R (4.65)

y recuperamos así la fórmula (4.42) del arrastre viscoso. Por otra parte en el límite de altas velo-cidades sabemos que Fa no depende de η. Por consiguiente en ese límite, que corresponde atener R >> 1, el arrastre debe ser independiente de R. En consecuencia

lim ( , , ) ( , ) cte.u f g f→∞ = =φ α αR 2 (4.66)

de modo tal que

F g f u Fa f t= = >12 2

2 2 1( , ) ,α ρ l R > (4.67)

y si identificamos Ca con g f2( , )α se obtiene la fórmula (4.51) del arrastre turbulento.Es interesante observar que R es del orden del cociente entre la fuerza de arrastre turbulento y lafuerza de arrastre viscoso.

F

F

g f

g ft

µ

αα

= ≈2

12( , )( , )

R R (4.68)

4. Dinámica

82

Tenemos entonces el criterio que nos permite decidir qué fórmula hay que aplicar en cada caso:• cuando R << 1 (velocidad baja) el arrastre es viscoso y se debe usar la (4.42);• cuando R >> 1 (velocidad alta) el arrastre es turbulento y corresponde usar la (4.51).Recordando nuestros resultados anteriores para la gota de agua de 20 µm de diámetro, obtene-mos en efecto que R = .0 1 1<< , de modo que en este caso es correcto aplicar la (4.42), comohicimos. En cambio para la gota de lluvia de 2 mm, a partir del resultado obtenido usando la(4.51) se tiene que R ≅ >>540 1, lo que indica que es correcto aplicar la fórmula del arrastreturbulento.Si no conocemos de antemano u no podemos calcular R. En tal caso hay que proceder por tanteo,usando la (4.42) o la (4.51) para obtener u y luego calcular R, verificando a posteriori si el valorde R es consistente (o no) con la fórmula que se usó.

El coeficiente de arrastre

Es usual definir el coeficiente de arrastre como

C C fF

u Sa aa

f= =

⊥( , , )R α

ρ12

2 (4.69)

donde S⊥ ≈ l2 es el área de la sección del cuerpo ortogonal a u. Entonces la (4.62) se escribe

F C u Sa a f= ⊥12

2ρ (4.70)

Comparando la (4.65) con la (4.70) vemos que para velocidades bajas (R << 1) el coeficiente dearrastre está dado por

Cg f

a =2 1( , )α

R(4.71)

y por lo tanto es inversamente proporcional al número de Reynolds. Para velocidades mayoresCa tiene un comportamiento complicado y sólo tiende a un valor constante como predice la(4.67) para R muy grande. En general Ca se tiene que determinar experimentalmente, por mediode mediciones en túnel de viento. Por ejemplo para un cuerpo de forma esférica Ca ≈ 1 paraR ≈ 102 y cae a 0.5 para R ≈ 103, luego es casi constante entre R ≈ 103 y R ≈ 102 , pero entreR ≈ ×2 105 y 3×105 cae por un factor entre 4 y 5, y se mantiene aproximadamente constante deR ≈ 106 en adelante. Pero para cuerpos con un perfil aerodinámico (como el perfil de un ala deavión) Ca puede ser mucho más pequeño14, 15; por ejemplo para un ala de avión orientada segúnla dirección normal de vuelo se tiene que Ca ≈ −0 01 0 02. . .

14 Esto está relacionado con el comportamiento de la estela turbulenta, que a su vez depende no solo de R sino de la

forma del cuerpo. Un cuerpo romo como el de la Fig. 4.16 desarrolla una estela muy ancha que abarca toda su parte

posterior y por eso tiene un coeficiente de arrastre grande. Un cuerpo con perfil aerodinámico (como un ala de

avión) produce una estela muy angosta y el flujo alrededor del mismo es laminar incluso para R muy grande y por

eso tiene un coeficiente de arrastre muy pequeño.15 Para vehículos que se desplazan a velocidades altas la resistencia del aire es un factor muy importante en lo que

hace a la economía de combustible. Por este motivo se debe tener en cuenta en el diseño.

4. Dinámica

83

Arrastre por emisión de ondas

El arrastre viscoso y el arrastre turbulento no son únicos que se tienen que considerar al estudiarfenómenos de la vida cotidiana. Bajo determinadas circunstancias hay otros procesos físicos quepueden dar lugar a fuerzas de arrastre. Estos procesos consisten en la emisión por parte del móvilde ondas que se propagan en la superficie del fluido o en el seno del mismo. Todos hemos vistoque cuando una embarcación se desplaza sobre un espejo de agua, detrás de la misma queda unaestela que consiste de un patrón de ondas que se propagan sobre la superficie16. Estas ondas, queson generadas por el movimiento de la embarcación, transportan cantidad de movimiento, que seresta de la cantidad de movimiento de la embarcación. Por lo tanto esta última experimenta unafuerza de arrastre, que se llama arrastre por emisión de ondas. Por ese motivo para que la em-barcación avance con velocidad constante tiene que contar con un mecanismo de propulsión(remo, vela o motor) que suministre una fuerza que compense esa fuerza de arrastre. Aquí cabeobservar que el casco de la embarcación sufre también arrastre del tipo considerado previamente(turbulento, en general) debido a que se mueve en el agua, y que la parte de la embarcación queestá fuera del agua sufre la resistencia del aire. Sin embargo cuando la velocidad de la embarca-ción es considerable, el efecto dominante es el arrastre por emisión de ondas ya que el mismoaumenta rápidamente con la velocidad al punto que se llega pronto a una velocidad límite que nose puede superar pues para hacerlo sería necesaria una planta motriz de tamaño y costo impracti-cables. Es por este motivo que ningún barco navega a una velocidad mayor que unos 40 nudos17

(un nudo es una milla náutica por hora, equivalente a 1.852 km/h).Asimismo el movimiento de una embarcación, ya sea en la superficie o sumergida, puede darlugar a la emisión de otra clase de ondas, llamadas ondas internas18, si es que el agua presentaestratificaciones de densidad (como ocurre cuando hay una capa de agua dulce sobre agua sa-lada, o cuando la variación de la temperatura del agua con la profundidad produce variaciones dedensidad). La emisión de ondas internas por parte del barco produce un arrastre adicional, que endeterminadas circunstancias puede ser importante.Un móvil que se desplaza en el aire puede también sufrir arrastre por emisión de ondas. Estoocurre si su velocidad es cercana o mayor que la velocidad del sonido (unos 340 m/s en aire atemperatura ordinaria). En nuestros análisis anteriores del arrastre supusimos implícitamente queel flujo es incompresible. Esto es correcto sólo si la velocidad del móvil no es muy grande. Elparámetro que interesa aquí es el número de Mach, definido como

M = velocidad del móvilvelocidad del sonido

(4.72)

Si M es mayor o cercano a 1 para calcular el flujo hay que tomar en cuenta la compresibilidaddel aire. Según el valor de M se distinguen varios regímenes. Para M d0 3. se tiene el régimenincompresible y la fórmula (4.63) se puede aplicar con buena aproximación. En el intervalo0 3 1. dM < está el régimen subsónico, en el cual es preciso aplicar correcciones para tomar encuenta la compresibilidad. Si M >1 tenemos el régimen supersónico, en el cual el desplaza-

16 Un submarino en movimiento puede también emitir ondas de superficie, si navega a poca profundidad.17 Las embarcaciones pequeñas como las lanchas de carrera pueden superar esta limitación gracias a que viajan

planeando sobre la superficie con casi todo el casco fuera del agua.18 Esas ondas se estudian en el Capítulo 15.

4. Dinámica

84

miento del móvil produce ondas de choque. Entre el régimen subsónico y el supersónico, cuandoM ≈1, se tiene el régimen transónico, cuyo análisis es muy complicado ya que parte del flujo essubsónico y parte supersónico. Finalmente si M >>1 se tiene el régimen ultrasónico.Debido a la compresibilidad el movimiento del cuerpo provoca la emisión de un patrón de ondasde compresión (ondas acústicas) que transportan cantidad de movimiento que se resta de la can-tidad de movimiento del móvil19 y produce un arrastre. El análisis dimensional que nos permitióencontrar la fórmula general del arrastre supone implícitamente que M << 1 y que por lo tantodicho parámetro no es relevante. Por consiguiente la fórmula (4.63) no se puede aplicar cuandoM ≈ 1 o mayor. Haciendo un nuevo análisis dimensional para este caso se obtiene

F u fa f= 12

2 2ρ ψ αl ( , , )M (4.73)

En la (4.73) no figura R ya que obviamente para velocidades tan altas la viscosidad no puede serrelevante. Para móviles que se desplazan con velocidad ultrasónica, como meteoritos o bólidosque ingresan a la atmósfera con velocidades en el rango 20-70 km/s se tiene M ≈ −60 200 y eneste límite Fa se torna independiente de M, luego ψ α ψ α( , , ) ( , )M f f→ 1 y tenemos que

F u fa f= 12

2 21ρ ψ αl ( , ) (4.74)

En este caso el mecanismo dominante que determina el arrastre es que el móvil se lleva literal-mente por delante las moléculas del aire como si fuese una topadora. En efecto vista desde elreferencial del móvil, la cantidad de movimiento de las ondas que se emiten es insignificante encomparación con la cantidad de movimiento del cuerpo.

Fuerzas de sustentación

Además del arrastre, un cuerpo que se mueve en un fluido experimenta fuerzas cuya dirección esortogonal a la dirección de movimiento20 (Ver Fig. 4.19). Estas fuerzas se llaman de sustenta-ción y son las que permiten el vuelo de las aves, los aviones y los helicópteros, que no caen por-que la fuerza de sustentación equilibra su peso. Son estas fuerzas las que hacen que una pelotade fútbol pateada con “chanfle” siga una trayectoria con comba.Para entender el fenómeno de la sustentación es preciso invocar un resultado de la Mecánica deFluidos conocido como Teorema de Bernoulli, que se estudiará en el Capítulo 14. Adelantán-donos a lo que se verá más adelante, vamos a describir brevemente de qué se trata. Considere-mos un cuerpo que se desplaza horizontalmente en un fluido con la velocidad –u. Desde el re-ferencial del móvil (cuya dimensión característica en la dirección del flujo es l) lo que se ob-serva es un movimiento del fluido, que lejos del cuerpo es un flujo uniforme con la velocidadu x= u ˆ . En las proximidades del cuerpo la velocidad v del fluido es, en general, una funcióncomplicada de la posición, que depende básicamente de la forma del cuerpo y del número deReynolds R = ρ ηf ul / que caracteriza el flujo. Supongamos además que R >> 1, de modo quelos efectos de la viscosidad se pueden ignorar en el grueso del flujo. Un flujo con estas caracte-rísticas se llama ideal. El flujo será estacionario (esto es v no dependerá del tiempo), salvo en la

19 El estampido sónico que se percibe después que un avión supersónico ha pasado sobre nuestras cabezas se debe a

las ondas emitidas por el mismo (en este caso, ondas de choque).20 Esto resulta evidente a partir de una observación muy simple: deje caer una hoja de papel. Verá que no se mueve

en línea recta, lo cual implica que sobre la hoja actúan fuerzas cuya dirección es ortogonal a su movimiento.

4. Dinámica

85

estela turbulenta que queda detrás del móvil (Fig. 4.16b). En estas condiciones si el flujo es in-compresible se puede mostrar que fuera de la estela se cumple que

v p u p

f f

2 20

2 2+ = + =ρ ρ

cte. (4.75)

Aquí p es la presión en el punto donde la velocidad del fluido es v y p0 es la presión muy lejosdel cuerpo (la presión atmosférica si el cuerpo se está desplazando en el aire). La ec. (4.75) ex-presa el Teorema de Bernoulli. El significado de esta fórmula es que la presión es tanto más altacuanto más baja es la velocidad, y viceversa.Supongamos por un momento que nuestro móvil tiene un perfil aerodinámico de modo que laestela turbulenta detrás del mismo es muy angosta y se puede ignorar, ya que el flujo alrededordel móvil es laminar casi en todas partes. Sea entonces un elemento de superficie dS del móvil,cuya normal (dirigida del móvil al fluido) es n. Debido a la presión del fluido sobre ese ele-mento se ejerce una fuerza d p dSF n= − ˆ . La fuerza neta F que el fluido ejerce sobre el móvil seobtiene sumando todas esas contribuciones, esto es

F F n= ∫ = −∫d p dSS S

ˆ (4.76)

donde S es la superficie del móvil. Para calcular F es preciso conocer p, que se obtiene de la(14.75) como

p p u vf= + −012

2 2ρ ( ) (4.77)

La parte de F que está en la dirección del movimiento es la fuerza de arrastre que ya hemos es-tudiado, luego tendríamos que recuperar los resultados anteriores a partir de

F xa xS

pn dS= − ∫ˆ (4.78)

Sin embargo el cálculo de la (4.78) arroja un resultado paradojal21, pues se obtiene Fa = 0 (!!),lo cual contradice lo que se observa. Lo que pasa es que cuando R >> 1, si bien los efectos de laviscosidad se pueden ignorar en el grueso del fluido, de ningún modo son despreciables muycerca de la superficie del cuerpo. Cerca de la superficie existe una delgada capa límite dentro dela cual la velocidad del fluido relativa al cuerpo pasa de su valor externo a cero sobre la superfi-cie. Debido a esta rápida variación de v el cuerpo está entonces sometido a una fuerza de arras-tre viscoso. Pero para calcular su valor no podemos usar la (4.78) (porque se funda en el Teo-rema de Bernoulli que vale en el grueso del flujo, donde los efectos de la viscosidad no se tomanen cuenta) ni tampoco la (4.42) ya que no sabemos a priori cuál es el espesor de la capa límite.Es preciso entonces desarrollar la teoría de la capa límite, algo que no haremos aquí, pero men-cionaremos el resultado fundamental: su espesor es del orden de l / R . En base a esto sí sepuede calcular el arrastre que, por supuesto, no es nulo.La parte de F ortogonal a x es precisamente la fuerza de sustentación en la que estamos intere-sados. De la (4.76) y la (4.77) obtenemos

21 Dicho resultado se conoce como la paradoja de D’Alembert.

4. Dinámica

86

F y z y zs y zS

sy szp n n dS F F= − +∫ = +( ˆ ˆ) ˆ ˆ (4.79)

donde22

F pn dS F pn dSsy yS

sz zS

= −∫ = −∫, (4.80)

El cálculo de las (4.80) es muy complicado, pero como lo que nos interesa ahora es el concepto,consideremos el caso en que el cuerpo tiene simetría bilateral respecto del plano y = 0 . En talcaso es evidente que Fsy es nulo (ya que todas las contribuciones a la integral se cancelan de apares) y por lo tanto sólo tenemos que calcular Fsz . Claramente Fsz será también nula (y enton-ces no habría sustentación) si las contribuciones pn dSz son simétricas respecto de algún planoz = cte. Observando la Fig. 4.20 que muestra una sección x = cte. del cuerpo se ve que para queesto no ocurra es preciso que la presión sobre la parte superior del cuerpo sea diferente (términomedio) de la presión sobre la parte inferior. Por el Teorema de Bernoulli, esto requiere que (tér-mino medio) el valor de v2 por encima del cuerpo del cuerpo difiera de su valor por debajo.

y

z yny + znzy–pny

z–pnz

dS

Fig. 4.20. Sección x = cte. de un cuerpo con simetría bilateral respecto del plano y = 0 .

Para ver como se logra esa diferencia, consideremos un cilindro circular de radio R cuyo eje esparalelo al eje y, y que gira en sentido horario (Fig. 4.21) con la velocidad angular ω. La superfi-cie del cilindro tiene entonces una velocidad V R= ω y tiende a arrastrar consigo al fluido queestá en contacto con ella. La velocidad del fluido cerca del cilindro será entonces diferente porencima del cilindro donde el movimiento de rotación se suma a la velocidad u que traía el fluido,que por debajo donde la velocidad de rotación va en contra del movimiento general del fluido.De resultas de esto la presión debajo del cilindro es mayor (porque v2 es menor) que arriba delmismo (porque allí v2 es mayor). Por lo tanto hay una fuerza neta Fsz > 0 que tiende a desplazaral cilindro en la dirección +z . Si el cilindro gira en sentido antihorario el efecto es opuesto: lapresión es mayor arriba que abajo y entonces se tiene una fuerza de sustentación Fsz < 0 quetiende a desplazar al cilindro en la dirección −z .Si suponemos que el flujo es laminar en todas partes alrededor del cilindro (después veremosque si R >> 1 esto no es cierto) se puede mostrar que su patrón resulta de combinar el que setendría si el cilindro no girara, con un vórtice que describe la rotación del fluido arrastrado por larotación del cilindro. La presencia del vórtice causa la diferencia de velocidad por encima y por

22 La presión no cambia en la capa límite, luego se puede usar el valor (4.77) calculado a partir del flujo exterior.

4. Dinámica

87

debajo del cuerpo y por lo tanto la diferencia de presiones que produce la sustentación. La mag-nitud del efecto depende de la fuerza del vórtice, dada por la cantidad

Γ = ⋅∫v ldC

(4.81)

Esta integral se puede calcular a lo largo de cualquier camino cerrado C dentro del fluido querodee al cilindro, y por convención se debe recorrer en sentido antihorario. En este caso resultaΓ = =2 22πω πR VR . En términos de Γ (que se llama la circulación del campo de velocidad delfluido) la fuerza de sustentación por unidad de longitud (en la dirección y) del cilindro23 es−ρ f uΓ . Si el cilindro tiene una longitud L tenemos que (despreciando el efecto de los extremos,donde el patrón del flujo es diferente al del resto) la sustentación es

F u L uVRLsz f f= − = −ρ πρΓ 2 (4.82)

z

xw

(a) (b)

Fig. 4.21. Cilindro circular cuyo eje es paralelo al eje y que gira en sentido horario con lavelocidad angular ω: (a) el flujo alrededor del cilindro, (b) la distribución de presiones deacuerdo con el Teorema de Bernoulli. Las presiones altas corresponden a las áreas grisclaro mientras que las presiones bajas corresponden a los grises más oscuros.

Si definimos el vector ΓΓ ωω= ˆ Γ podemos escribir la (4.82) como

F us f L== ΓΓρ × (4.83)

Corresponde destacar que esta fórmula vale para un cuerpo de forma general. Del mismo modoque para el arrastre se define el coeficiente de sustentación como

CF

u Sss

f=

⊥12

2ρ(4.84)

donde S⊥ es el área de la sección del cuerpo transversal a la dirección del movimiento (= 2RLpara el cilindro). En términos de Cs la fuerza de sustentación es

23 El signo – viene porque al calcular la integral (4.80) el camino C se debe recorrer, por convención, en sentido

antihorario.

4. Dinámica

88

F us s fC u S= ×⊥12

2ρ ˆ ωω (4.85)

Para el cilindro se tiene entonces

CR

u

V

us = =2

2πω

π (4.86)

y por lo tanto la sustentación es proporcional a la velocidad angular de rotación del mismo.Sin embargo esta teoría sencilla no se compadece con las mediciones, que dan valores de Csmucho menores del que predice la (4.86). El motivo de la discrepancia es que no es correctoaplicar la (4.77) para toda la superficie del cilindro. El Teorema de Bernoulli vale para un flujolaminar y no se puede aplicar en la región de la estela turbulenta. Un perfil no aerodinámicocomo el del cilindro da lugar a una estela muy ancha como la que se ve en la Fig. 4.16b. Luegoal calcular las integrales (4.80) solo se debe tomar en consideración la parte delantera del cilin-dro, donde el flujo es laminar. Esto explica la discrepancia entre teoría y experimento.El fluido también ejerce una fuerza de sustentación sobre una esfera rotante. El coeficiente desustentación medido en un túnel de viento vale24

CV

us s s= ≅β β, .0 355 (4.87)

Aquí V R= ω (R es el radio de la esfera) y la fórmula (4.87) vale para V u/ < 1. Por lo tanto te-nemos en este caso

F us s f u SV

u≅ ×⊥

12

2β ρ ˆ ωω (4.88)

No es preciso que el móvil esté rotando para que haya sustentación25. En efecto, si su forma esadecuada, el movimiento mismo del cuerpo puede generar circulación alrededor suyo. Esto es loque ocurre con las alas de los aviones y de las aves. La característica crucial del perfil alar es quetiene un borde de fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estelaturbulenta sea muy delgada y se desprenda del borde de fuga. En estas condiciones si el ángulode ataque no es nulo, alrededor del perfil alar se establece una circulación que genera la susten-tación. El perfil de un ala es justamente el que se necesita para que se consigan esos efectos yque simultáneamente el coeficiente de arrastre sea muy pequeño. No entraremos aquí en los de-talles del cálculo de la sustentación de un ala ya que para eso hacen falta conocimientos másavanzados de Mecánica de Fluidos. Nos limitaremos a mencionar el resultado para una ala del-gada como la que se muestra en la Fig. 4.22, cuyo espesor es mucho menor que su cuerda l quea su vez es mucho menor que su envergadura L, y que avanza con un ángulo de ataque α (quedebe ser pequeño). Se obtiene entonces

F u L u Ss f f≈ = ⊥πρ α πρ2 2l sen (4.89)

24 Ver P. Gerhart, R Gross y J. Hochstein, Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Latinoamericana, 1995.25 La experiencia muestra que cuando se deja caer una hoja de papel ésta sufre fuerzas transversales a su dirección

de movimiento. Esto muestra que adquiere sustentación, lo cual a su vez implica que el flujo del aire alrededor de la

misma tiene circulación.

4. Dinámica

89

y por lo tanto el coeficiente de sustentación vale

Cs ≈ 2π (4.90)

Si α > 0 la fuerza de sustentación está dirigida hacia arriba, si α < 0 se dirige hacia abajo26.Las fórmulas (4.89) y (4.90) se cumplen para αd10˚. Para ángulos de ataque mayores el alapierde sustentación y al mismo tiempo aumenta muy fuertemente el arrastre, debido a que laestela turbulenta no se puede mantener ya confinada al entorno del borde de fuga, sino que secomienza a desprender de la parte superior del ala y es entonces mucho más gruesa. Cuando estoocurre se dice que el ala entra en pérdida (de sustentación).

cuerda

envergadura

borde de fuga

borde de ataque

posición del ala

posición del ala para la cual la sustentación es nula

ángulo de ataqueaU

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.22. Un ala de avión. La característica crucial del perfil alar (a) es que tiene un bordede fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estela turbulentasea muy delgada y se desprenda del borde de fuga (c) de modo que el coeficiente de arras-tre es muy pequeño. En estas condiciones si el ángulo de ataque no es nulo, alrededor delperfil alar se establece una circulación que genera la sustentación.

La pelota de fútbol ¿dobla o no?

Una pelota de fútbol reglamentaria tiene un diámetro D entre 21.6 y 22.6 cm y su masa m estácomprendida entre 400 y 450 g. Un tiro fuerte puede salir disparado con una velocidad inicial u0

entre 15 y 20 m/s. Para el primer valor se tiene R = ×2 105 de donde resulta un coeficiente dearrastre Ca ≈ 0 5. . Vamos a suponer que el jugador pateó la pelota con chanfle, de modo que éstagira a razón de f vueltas por segundo y v Df= π es la velocidad de rotación de un punto delecuador de la pelota, luego la fórmula (4.87) da un coeficiente de sustentación C v us s= β / ,donde u es el módulo de la velocidad de la pelota. Notar que Cs no es constante a lo largo de la

26 Los alerones de los automóviles de carrera son, esencialmente, alas que trabajan con un ángulo de ataque

negativo. Su función es producir una sustentación negativa que aprete el vehículo contra el pavimento. De esa

manera se consigue más adherencia al piso, porque la fuerza de rozamiento estático sobre las cubiertas es mayor.

Así el vehículo acelera mejor, tiene menor distancia de frenado y es más gobernable.

4. Dinámica

90

trayectoria puesto que u es variable. Vamos a averiguar los efectos del arrastre y la sustentaciónsobre la trayectoria de la pelota, que suponemos lanzada con un ángulo de elevación θ0. La re-sultante de las fuerzas que actúan sobre la misma es F z F F= − + +mg a sˆ y por lo tanto la acele-ración es

a z F F

z u u

= − + +

= − − − ×

g m m

g Cm

m

u

D

m

m

u

D

v

u

a s

af

sf

ˆ / /

ˆ ˆ ˆ ˆ34

234

2β ωω

(4.91)

donde ωω es la dirección del vector velocidad angular27, m Df f= πρ 3 6/ es la masa de aire des-plazada por la pelota, y hemos usado que S D⊥ = π

2 4/ . Notar que F F v us a/ ~ / . luego el efectode la sustentación es mayor (en relación con el del arrastre) donde la velocidad de la pelota esmenor. Debido a la sustentación la pelota sufre una aceleración cuya dirección ˆ ˆ ˆs u= ×ωω es per-pendicular tanto a u como a ωω, de modo que ωω, u , s (en este orden) forman una terna derecha.La sustentación no cambia el módulo de la velocidad, pero sí su dirección.Para poner en evidencia las modificaciones que el arrastre y la sustentación introducen respectodel tiro oblicuo el vacío, escribiremos las (4.91) en términos de invariantes, introduciendo lasescalas características del tiro oblicuo en el vacío l* /= u g0

2 , t u g* /= 2 0 y u u* = 0 y escribi-remos u U= u * , t t T= * , etc. (Ver el Capítulo 3). Con esto las (4.91) toman la forma

12

2d

dTAC U A UVa s

Uz U U= − − − ׈ ˆ ˆ ˆβ ωω (4.92)

donde V v u= / 0 da cuenta de la rotación de la pelota y

A u Dm

m Dff( , , )

*0

34ρ =

l(4.93)

es un parámetro que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria y da cuenta del efecto dela resistencia del aire. Es razonable suponer que v (y por lo tanto V) se mantiene constante, dadoque el aire frena muy poco el movimiento de rotación de la pelota.El cálculo de la trayectoria a partir de la (4.92) no es difícil, pero se tiene que hacer numérica-mente y se dan muchos casos según sea la orientación de ωω. Para entender la naturaleza de losefectos que nos interesan bastará estudiar un caso particular. Supongamos que el eje de rotaciónes vertical y que ˆ ˆωω = z . Conviene usar coordenadas esféricas U, θ, ϕ en el espacio de la veloci-dad, definiendo

U U U U U Ux y z= = =cos cos , cos sen , senθ ϕ θ ϕ θ (4.94)

Tomando las componentes cartesianas de la (4.92), usando las (4.94) y tras un poco de álgebrase obtienen las siguientes ecuaciones

12

2 12

12

dU

dTAC U

d

dT U

d

dTA Va s= − − = − =sen ,

cos,θ

θ θ ϕβ (4.95)

27 El signo – del término de sustentación proviene de que aquí u es la velocidad de la pelota, pues estamos

observando el movimiento desde el referencial del estadio, mientras que en la (4.88) u es la velocidad del aire

(lejos) en el referencial de la esfera.

4. Dinámica

91

La primera de estas ecuaciones nos dice que el módulo de la velocidad varía por dos causas: elefecto de la componente de la gravedad en la dirección de U (que tiende a disminuir u cuando lapelota asciende pues entonces senθ > 0 y aumentarlo en el descenso cuando senθ < 0 ) y delarrastre, que tiende siempre a reducir U. La segunda ecuación nos dice que la componente de lagravedad perpendicular a U tiende a curvar hacia abajo la trayectoria, como todos sabemos. Latercera ecuación describe el efecto de la sustentación. Si la pelota no gira (V = 0 ) esta ecuaciónnos dice que la trayectoria de la pelota se mantiene en el plano definido por el eje z y por la ve-locidad inicial u0 . Si la pelota gira, la trayectoria no es plana sino que tiene comba. La últimaecuación se puede integrar de inmediato ya que SV es una constante. Si ϕ ϕ0 0 0= =( ) resulta

ϕ β πβ= =A VTm

mf ts

fs3

4 2(4.96)

En la Fig. 4.23 se muestra el resultado del cálculo de tres trayectorias, todas con θ π0 4= / ,ϕ0 0= y con la misma velocidad inicial: la de mayor alcance corresponde a un tiro en el vacío,la de menor alcance corresponde a ρ f = 0 00120. g/cm3 que es la densidad del aire al nivel delmar y la de alcance intermedio a ρ f = 0 0008194. g/cm3 , que es la densidad del aire a una alturade 4000 m sobre el nivel del mar. Para que se apreciara mejor el efecto de la sustentación se su-puso f = −12 s 1, este es un valor muy grande que difícilmente se de en la práctica, pero conside-rando valores más realísticos tan sólo se reduce la escala horizontal transversal a u0 , mante-niendo la relación entre los ángulos de desviación.

Fig. 4.23. Trayectorias de una pelota de fútbol pateada con chanfle. Mirando una de las fi-guras con un ojo y la otra con el otro ojo, con un poco de paciencia se puede ver una ima-gen tridimensional. De izquierda a derecha se muestran la trayectoria de un tiro efectuadoal nivel del mar, de un tiro efectuado a 4000 m de altura y de un tiro en el vacío. La velo-cidad inicial es la misma en dirección y módulo en todos los casos. Se representan tambiénlas proyecciones verticales de las trayectorias, para que se pueda apreciar que las trayecto-rias de los tiros con chanfle no son planas.

Observando la figura se nota que el efecto de la resistencia del aire es muy importante, ya que elalcance del tiro al nivel del mar es apenas el 55% del que tendría un tiro en el vacío. A 4000 m daltura la densidad del aire (y por lo tanto la fuerza de arrastre) es bastante menor que al nivel delmar y por ese motivo el alcance es un 20% mayor. En cuanto al efecto de la sustentación, a igualdistancia horizontal recorrida por la pelota, la desviación del tiro al nivel del mar es aproxima-damente el doble de la que corresponde al tiro en la altura.

4. Dinámica

92

Fuerzas que dependen de la aceleración: la masa inducida y la masa aparente

Cuando un cuerpo de masa m que se mueve en un fluido se acelera, el fluido ejerce sobre elmismo una fuerza de diferente naturaleza que las que describimos anteriormente. Esto se debe aque cuando el cuerpo se acelera también se aceleran porciones del fluido para que el cuerpo seabra paso dentro de él. Qué porciones del fluido se aceleran y qué aceleraciones sufre cada unaes un asunto muy complicado. Sin embargo, si se ignoran los efectos de la viscosidad, se puedemostrar que en general la fuerza f que el fluido ejerce sobre un cuerpo de volumen V que semueve con la velocidad u está dada por

fdu

dtVdu

dti f ijj i= − −

ρ α (4.97)

Aquí los subíndices i, j identifican las componentes de f y u y las 9 cantidades αij son las com-ponentes de un tensor simétrico (esto es, cumplen las relaciones α αij ji= , de modo que sólo 6de ellas son independientes). El lector no se debe preocupar de que hayamos introducido un ten-sor, pues para nuestros fines alcanza con saber que las αij son ciertas cantidades cuyo valor de-pende de la geometría del cuerpo y del campo de velocidad del fluido lejos del cuerpo, y cuyoorden de magnitud está dado por el cubo de la dimensión lineal característica del cuerpo o, loque es lo mismo, por su volumen V. Por ejemplo, en el caso particular de un objeto esférico deradio R que se mueve en un fluido de extensión infinita se encuentra que

α δij ijV= 32 (4.98)

En este caso la (4.97) se reduce a

fu

= − 12 ρ f V

d

dt(4.99)

de modo que f es paralela a d dtu / . En general, sin embargo, f y d dtu / no son paralelos.Vemos de la (4.97) que f es nula si el cuerpo se desplaza con velocidad constante. Este resultadono es otra cosa que la paradoja de D’Alembert que ya mencionamos anteriormente.Si ahora el cuerpo sufre una aceleración u por la acción de una fuerza F de origen externo28, laecuación de movimiento se escribirá como

F f mui i i+ = ˙ (4.100)

Usando la expresión (4.97) podemos escribir la (4.100) en la forma

F m V u m ui f ij f ij j ij ij j= − + = +[( ) ]˙ ( ) ˙ρ δ ρ α δ M (4.101)

Luego el cuerpo se acelera como si en vez de tener la masa m tuviera una masa aparente, que seobtiene de sumar a m el tensor

Mij = ρ α ρ δf ij f ijV−− (4.102)

28 Por ejemplo, una esfera metálica que cae en el seno del fluido por efecto de la gravedad.

4. Dinámica

93

que da cuenta de la reacción que el fluido acelerado ejerce sobre el cuerpo. El tensor Mij sellama tensor de masa inducida. En el caso de un cuerpo esférico Mij se reduce al escalar

M = 12 ρ f V (4.103)

La masa inducida es, en este caso, igual a la mitad de la masa del fluido desplazado por la esferay la (4.101) se reduce a

F m Vf= +( ) ˙12 ρ u (4.104)

Como se puede apreciar de la (4.102) la importancia del efecto de masa inducida está dada por larelación r m mm f= / entre la masa de fluido desplazada por el cuerpo y la masa del mismo. Paracuerpos que se mueven en el aire tendremos que rm << 1 en la mayoría de los casos29, luego elefecto será muy pequeño; esto justifica que no hayamos tomado en cuenta la masa inducidacuando estudiamos la caída de cuerpos en el aire. Pero para cuerpos que se mueven en el aguarm ≈ 1 y es importante entonces incluir la masa inducida en la dinámica.Una manifestación del efecto de la masa aparente que todos hemos observado es el movimientode las burbujas en un vaso que contiene una gaseosa o un vino espumante (Fig. 4.24). Las bur-bujas son aceleradas hacia arriba por el empuje de Arquímedes, dado por ρ f Vg . El peso ρVg dela burbuja es despreciable frente al empuje, puesto que ρ ρf mr/ = ≈ 103 . Si no fuera por la masainducida, la burbuja sufriría una aceleración inicial del orden de 103g , cosa que evidentementeno ocurre.

E

P

(a) (b)

Fig. 4.24. Burbujas gaseosas que ascienden en un líquido (a), debido a que el empuje esmucho mayor que el peso de la burbuja (b).

A modo de ejemplo consideremos el ascenso de una burbuja pequeña que mantiene la formaesférica30 durante el movimiento. La burbuja asciende entonces verticalmente y podemos tratarsu movimiento como unidimensional. Sea x la coordenada vertical medida a partir de la posición

29 Salvo, por ejemplo, para un dirigible, un globo aerostático o un simple globito inflado.30 Una burbuja pequeña (digamos de un diámetro del orden del milímetro) mantiene la forma esférica debido a las

fuerzas de tensión superficial, que se tratarán más adelante en el Capítulo 12. Una burbuja de gran tamaño no tendrá

una forma esférica, es más, su forma va a cambiar mientras se mueve, lo cual complica muchísimo la descripción

del fenómeno, dado que las Mij van a variar a medida que la burbuja se desplaza, además f no será paralelo a u

(por eso una burbuja grande no asciende verticalmente).

4. Dinámica

94

inicial de la burbuja, positiva hacia arriba, u dx dt= / y a du dt= / . La ecuación del movimientoes entonces

m r a gm gm C u Sm f a f1 12

12

2+( ) = − + − ⊥ρ (4.105)

Aquí el segundo término del primer miembro es el efecto de la masa inducida. Los términos delmiembro derecho son, respectivamente, el peso, el empuje y el arrastre. Verificaremos a poste-riori que está bien aplicar la expresión (4.70) del arrastre turbulento y que para las velocidadesen juego Ca ≅ 1. Como rm ≈ >>10 13 podemos despreciar en la (4.105) la masa del gas de laburbuja frente a la masa inducida y el peso del gas frente al empuje, y la (4.105) se reduce a

12

34

21a g C

u

gDa= −

(4.106)

donde D es el diámetro de la burbuja y hemos usado que ρ f fS m D⊥ = 3 2/ y quitado el factorcomún mf . De la (4.106) vemos que la velocidad límite es

ugD

Ca* = 4

3 (4.107)

Si D = 1 mm se obtiene u* cm/s≅ 11 , de donde resulta R ≈ 100 , lo que justifica haber usado la(4.70), además para ese valor de R se tiene Ca ≅ 1 para una esfera. Introduciendo el tiempo ca-racterístico t u g* * /= 2 y la distancia característica x u t* * *= ( t* ≅ × −5 10 3 s y x* .≅ 0 05 cmpara D = 1 mm), y poniendo u u U= * , t t T= * , x x X= * las ecuaciones del movimiento son

dU

dTU

dX

dTU= − =1 2 , (4.108)

que coinciden con las (4.54) y (4.56). Por lo tanto podemos aplicar aquí los resultados obtenidosantes, que están representados en la Fig. 4.18.

Otras fuerzas

Las fuerzas que hemos considerado hasta aquí son tan solo algunas de las que se manifiestan enla escala macroscópica. Dejamos para más adelante la discusión de otras fuerzas importantescomo las que provienen de la tensión superficial e interfacial, de la elasticidad de los sólidos yotras más que introduciremos cuando sea necesario. Lo expuesto hasta aquí, sin embargo,bastará para que el lector aprecie la dificultad de reconocer correctamente las fuerzas en juego ensituaciones concretas y la necesidad de estar suficientemente familiarizado con sus propiedades.Sin este conocimiento es imposible aplicar la Física a la naturaleza que nos rodea.

Sistemas no inerciales

Hasta ahora en nuestro tratamiento de la Dinámica nos limitamos a considerar sistemas de refe-rencia inerciales. Es en esta clase de referenciales que valen las tres Leyes de Newton en laforma en que las hemos enunciado. Por otra parte muchas veces nos interesa estudiar el movi-miento desde referenciales que no son inerciales. En particular al tratar fenómenos del ambienteterrestre es natural emplear un referencial fijo a la Tierra. Sabemos que tal referencial no es

4. Dinámica

95

inercial, ya que la Tierra gira sobre sí misma y además su movimiento en el espacio no es recti-líneo y uniforme. Está claro que sería en extremo engorroso y artificioso estudiar la dinámica decualquier fenómeno de los que ocurren alrededor nuestro empleando un referencial fijo al espa-cio. Afortunadamente, en muchos casos como los que tratamos hasta ahora (caída de partículasen el aire, trayectoria de una pelota de fútbol, etc. y otros movimientos de pequeña escala) po-demos ignorar el hecho que los describimos desde un referencial no inercial (como hicimos),dado que aunque no es correcto hacerlo el error que se comete es despreciable. En efecto, lasaceleraciones centrífuga, de Coriolis y del movimiento de traslación de la Tierra son muy pe-queñas en comparación con las que se producen debido a las fuerzas en juego y por lo tanto sepueden ignorar. Sin embargo cuando tratamos fenómenos de escala mayor como movimientosatmosféricos, corrientes marinas, tiro de artillería sobre blancos lejanos, trayectorias de misilesde largo alcance, etc. ya no podemos permitirnos el lujo de ignorar que nuestro referencial no esinercial. Asimismo, en muchas oportunidades es conveniente describir el movimiento de cuerposdesde referenciales locales. Por ejemplo cuando viajamos en un vehículo (automóvil, tren, etc.)es lógico que usemos un referencial fijo al vehículo para estudiar el movimiento de los objetosdentro del mismo; obviamente dicho referencial no es inercial, ya que el vehículo puede acele-rar, frenar o cambiar la dirección de su movimiento, y en tales casos las aceleraciones en juegonos son, en general, despreciables. Por estos motivos es importante saber cómo se deben modifi-car las leyes de la dinámica cuando el movimiento se estudia desde un referencial no inercial.

rPO

wΣ''

Σ'

ΣO'O

Fig. 4.25. El referencial no inercial ′Σ gira con la velocidad angular ωωωω y se desplaza conmovimiento no uniforme respecto del sistema inercial Σ. El origen del referencial no iner-cial ′′Σ (que no gira) coincide con el de ′Σ .

Sea entonces ′Σ un sistema no inercial que gira con la velocidad angular ωωωω y que se desplazacon movimiento no uniforme respecto de un sistema inercial Σ cuyo origen es O. Sea ′′Σ unreferencial no inercial cuyo origen ′O coincide con el de ′Σ , pero que a diferencia de éste nogira (Fig. 4.25). De acuerdo con la (3.64), la aceleración de un móvil P visto desde ′′Σ es

′′ = − ′a a aO (4.109)

donde a es la aceleración del móvil y a ′O es la aceleración de ′O vistas desde Σ. Por otra parte,de acuerdo con la (3.77) la aceleración de P vista desde ′Σ está dada por

′ = ′′ + + ′ × + ×⊥a a r v rω 2 2 ωω ωω (4.110)

4. Dinámica

96

donde r es la posición del móvil en ′Σ y r⊥ es la parte de r perpendicular a ωωωω. Combinando(4.109) y (4.110) resulta

′ = − + + ′ × + ×′ ⊥a a a r v rO ω 2 2 ωω ωω (4.111)

Esta es la expresión que vincula la aceleración aparente que se observa en ′Σ con la aceleraciónque se observa en el sistema inercial Σ.En el sistema inercial vale la Segunda Ley, luego si m es la masa del móvil, se cumple que

ma F= (4.112)

Sustituyendo entonces en la (4.111) obtenemos

m m m m mO′ = − + + ′ × + ×′ ⊥a F a r v rω 2 2 ωω ωω (4.113)

Esta es entonces la expresión general de la Segunda Ley para un sistema no inercial. Como seve, difiere de la expresión (4.112) correspondiente a un sistema inercial por la presencia de cua-tro términos; el primero (− ′m Oa ) proviene de la aceleración del movimiento de traslación de ′Σ ,los restantes (mω 2r⊥ , 2m ′ ×v ωω y m r × ωω) provienen, respectivamente, de la aceleración centrí-fuga, la aceleración de Coriolis y la aceleración de la rotación de ′Σ .Si el sistema ′Σ no gira y se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de Σ, la(4.113) se reduce a m ′ =a F. En este caso ′Σ es también un referencial inercial y se cumple que′ =a a . Por lo tanto podemos concluir lo siguiente:• todo referencial ′Σ que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un refe-

rencial inercial Σ, es también inercial,• las leyes de la Mecánica son invariantes frente al cambio de un referencial inercial a otro que

también lo es,• todo referencial ′Σ que tiene un movimiento de rotación y/o de traslación no rectilínea y

uniforme respecto de un referencial inercial Σ, no es inercial; en este caso la descripción delmovimiento en ′Σ está dada por la (4.113) y difiere de la correspondiente a Σ por la presen-cia de las aceleraciones de la traslación, y de la aceleración centrífuga, la aceleración de Co-riolis y la aceleración de la rotación.

Fuerzas inerciales o ficticias

De acuerdo con la (4.113) en un sistema no inercial ′Σ todo ocurre como si además de F actua-ran sobre el móvil otras fuerzas, a saber:• la fuerza F a′ ′= −O Om debida a la aceleración de la traslación de ′Σ ,• la fuerza centrífuga F r⊥ ⊥= mω 2 ,• la fuerza de Coriolis F vCo m= ′ ×2 ωω ,• la fuerza F rar m= × ωω debida a la variación de ωωωω.En consecuencia podemos escribir la (4.113) como

m O Co ar′ = + + + +′ ⊥a F F F F F (4.114)

Las fuerzas F ′O , F⊥ , FCo y Far se denominan fuerzas inerciales o también fuerzas ficticias,para expresar el hecho de que no provienen de interacciones entre cuerpos materiales, sino de lainercia del mismo móvil. Su origen es puramente cinemático, ya que aparecen porque observa-

4. Dinámica

97

mos el movimiento desde un referencial no inercial. Estas fuerzas desaparecen si se usa un sis-tema de referencia inercial. Claramente, dado que no provienen de interacciones, no tienen reac-ciones. La característica de las fuerzas ficticias es que son estrictamente proporcionales a lamasa del móvil (es decir a su inercia).Por lo demás, un móvil en un referencial no inercial percibe las fuerzas ficticias igual que cual-quier otra fuerza, como todos comprobamos a diario cuando viajamos en un medio de transporte.Si un colectivo acelera (o frena) bruscamente, es la fuerza F ′O la que empuja a los pasajeros ha-cia atrás (o hacia adelante); si el vehículo toma una curva, es la fuerza centrífuga la que impulsalos pasajeros hacia un costado.

El movimiento circular uniforme visto desde diferentes referenciales

En la Fig. 4.26 se observa un movimiento circular uniforme con velocidad angular ωωωω visto desdeel referencial inercial Σ (x, y, z) y desde el referencial no inercial ′Σ ( ′x , ′y , ′z ) que gira con lavelocidad angular ωωωω. Visto desde Σ el movimiento tiene una velocidad v r= ×ωω y una acelera-ción centrípeta a r= −ω 2 , por lo tanto la Segunda Ley nos dice que

F r= −mω 2 (4.115)

La fuerza centrípeta F es ejercida sobre el móvil por el cordel que lo obliga a girar con un radiofijo. Sabemos que por la Tercera Ley a esta fuerza le corresponde una reacción igual y opuesta,ejercida por el móvil sobre el cordel, que tensa al cordel.Desde ′Σ el móvil se ve en reposo a una distancia r del eje de rotación, por lo tanto su acelera-ción aparente es nula y la (4.114) nos dice que

0 = + ⊥F F (4.116)

En otras palabras, la fuerza del cordel equilibra exactamente a la fuerza centrífuga F r⊥ = mω2 .

Sobre el móvil además de la fuerza del cordel se ejerce entonces una fuerza ficticia (la cualcomo ya se dijo no tiene una correspondiente reacción).

w

rva = wt

x

O

P

y

z

(a) (b)

w

r

a' = cte.x'

O'

P

y'

z'

Fig. 4.26. El movimiento circular uniforme visto desde (a) un referencial inercial y (b) unreferencial que gira solidariamente con el cuerpo.

¿Qué pasa si de repente de rompe el cordel? Visto desde Σ, desaparecen tanto la fuerza centrí-peta como la reacción del cuerpo sobre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el

4. Dinámica

98

cordel se afloja; al mismo tiempo deja de ejercerse una fuerza sobre el móvil y entonces éstepasa a moverse con movimiento rectilíneo y uniforme: sale disparado por la tangente al círculo,con la velocidad que tenía en el momento que se cortó el cordel.Visto desde ′Σ también desaparecen tanto la fuerza centrípeta como la reacción del cuerpo so-bre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el cordel se afloja; en cuanto al móvil,siguen actuando sobre él las fuerzas ficticias debidas a la rotación de ′Σ . Al no haber otra fuerzaque la equilibre, la fuerza centrífuga pone en movimiento al móvil, y tan pronto éste adquierevelocidad comienza a actuar sobre él la fuerza de Coriolis. El efecto combinado de ambas es queen el referencial ′Σ el móvil describe una trayectoria complicada, cuya ecuación no vamos aescribir, pero que no es otra cosa que el mismo movimiento rectilíneo uniforme que se ve desdeΣ, pero visto desde el referencial rotante.

Las definiciones de fuerza y masa

Hasta ahora en nuestra introducción de las leyes fundamentales de la Dinámica hemos usado losconceptos de fuerza y de masa sin dar definiciones precisas de los mismos, basándonos sola-mente en las nociones intuitivas de “esfuerzo muscular” y de “cantidad de materia”. En esto res-petamos el desarrollo histórico de la Mecánica, pues cuando Isaac Newton introdujo sus Princi-pios siguió precisamente ese camino. Sin embargo esta manera de hacer las cosas no es satisfac-toria y desde Newton en adelante se buscaron formas más rigurosas de presentar las Leyes de laDinámica. Ahora que hemos pasado revista a varias clases de fuerzas, nos hemos familiarizadocon ellas y hemos visto como se aplican las tres Leyes en diferentes situaciones, es el momentooportuno para volver al tema de las definiciones de fuerza y de masa. Lo haremos siguiendo elenfoque práctico que inspira este libro, evitando en lo posible disquisiciones más abstractas queel lector curioso puede encontrar en numerosos textos.Como sabemos (Capítulo 2) toda magnitud física queda definida cuando se han dado las pres-cripciones para medirla. Ahora bien, desde la más remota antigüedad el hombre inventó disposi-tivos que le sirvieron para medir el peso de los objetos (y otras fuerzas) y la cantidad de materiade los mismos (esto es, su masa). En la práctica, la masa se mide casi siempre por medio de labalanza (Fig. 4.27a). La fuerza, en cambio, se mide por medio de aparatos como el dinamómetroy la balanza de torsión (Fig. 4.27b, c).Todos sabemos que por medio de la balanza es posible comparar el peso de un objeto con elpeso de otro tomado como patrón. De esta manera podemos, en principio, determinar el peso decualquier cuerpo.Un dinamómetro es en esencia un resorte, por medio del cual se mide una fuerza midiendo elcambio de longitud que dicha fuerza produce cuando se la aplica al mismo. Sabemos, en efecto,que dentro de los límites en que las deformaciones del resorte son elásticas, el alargamiento esproporcional a la fuerza aplicada (ec. (1.1)). Podemos medir los alargamientos que sufre el re-sorte cuando se suspenden de él objetos cuyo peso hemos determinado previamente con la ba-lanza y así verificar (pues F y x son conocidos) que se cumple la ley F kx= y calibrar el dina-mómetro. De allí en más podemos usar el dinamómetro para medir no solamente el peso, sinocualquier otra fuerza (por ejemplo las fuerzas de arrastre y de sustentación sobre un cuerpo quese mueve dentro de un fluido). La balanza de torsión es esencialmente equivalente a un dina-mómetro; la diferencia es que la magnitud que se mide es el ángulo de torsión de una fibra elás-tica, que es (dentro del límite elástico del material de la fibra) proporcional al producto de lafuerza aplicada por el brazo de palanca del dispositivo. La balanza de torsión es más delicada y

4. Dinámica

99

precisa que el dinamómetro y sirve para medir fuerzas muy pequeñas31. Contamos así con lasprescripciones que definen el concepto de fuerza.

(c)(a) (b)

Fig. 4.27. La balanza (a), el dinamómetro (b) y el péndulo de torsión (c).

Por otra parte contamos con evidencia experimental independiente (la caída de los cuerpos en elvacío) según la cual el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. Por lo tanto la balanza nosolamente nos permite comparar pesos, también nos permite comparar masas. Podemos entoncesusar la balanza para medir la masa de un cuerpo, comparándola con una masa patrón. Tenemosasí la prescripción necesaria para definir el concepto de masa32.Antes de concluir estos comentarios conviene detenernos sobre la relación entre peso y masa. Laintuición de Galileo de que la aceleración debida al peso es idéntica para todos los cuerpos, y porlo tanto que la masa gravitacional es idéntica a la masa inercial ha sido sometida muchas vecesal control experimental. El experimento más preciso fue realizado por primera vez por el BarónRoland von Eötvös y más recientemente por Robert Dicke, Vladimir Braginskii y sus colabora-dores con altísima precisión. Dada la importancia del asunto, conviene describir brevementedicho experimento, que conceptualmente es muy sencillo, pero cuya realización con la precisiónactual requiere técnicas muy sofisticadas. Dejando de lado otras fuerzas (como la atracción delSol y de la Luna, que se tienen que tomar en cuenta si se quieren resultados de la máxima preci-sión) el peso aparente ′P de los cuerpos en la superficie de la Tierra es la resultante de dos fuer-zas (Fig. 4.28a). Una es la gravedad propiamente dicha y se dirige (dentro de la aproximación denuestra discusión simplificada) hacia el centro de la Tierra y viene dada por

31 Usando la balanza de torsión Henry Cavendish pudo medir en 1797 la fuerza de atracción gravitatoria entre dos

esferas metálicas, y de esa forma determinar G, la constante universal de la gravitación. También en 1785 Charles-

Augustin de Coulomb empleó la balanza de torsión para estudiar las fuerzas entre cargas eléctricas, lo que lo

condujo a formular la famosa ley que lleva su nombre.32 Esta prescripción es en esencia equivalente a la definición de masa basada en la Tercera Ley, que sigue el

argumento de Ernst Mach.

4. Dinámica

100

P g= mg (4.117)

donde mg es la masa gravitacional del cuerpo. La otra fuerza es la fuerza centrífuga debida a larotación de la Tierra, que está dirigida en el plano meridiano perpendicularmente al eje de rota-ción de la Tierra y está dada por

F r⊥ ⊥= miω2 (4.118)

Aquí r⊥ está dirigido desde el eje de rotación al punto donde está ubicado el cuerpo, ω es la ve-locidad angular de la Tierra y mi es la masa inercial del cuerpo. Por lo tanto

′ = + = +⊥ ⊥P P F g rm mg iω2 (4.119)

De esta ecuación se desprende que si la relación m mi g/ fuese diferente para distintos cuerpos, ladirección del peso aparente de los mismos sería distinta. El objetivo del experimento es detectartal diferencia, si es que existe.

B

A

A

B

O

E

F⊥ = mi r⊥w2q

P = mg g

P'

verticalgeométrica

vertical segúnla plomada

r⊥

N

S

(a) (b)

Fig. 4.28. El peso aparente de un cuerpo es la resultante de la gravedad y la fuerza centrí-fuga (a). En este hecho se basa el experimento de Eötvös (b) que permite determinar laigualdad de la masa gravitatoria y la masa inercial.

Con este propósito dos cuerpos A y B diferentes por su masa y composición química se fijan enlos extremos de la barra horizontal de una balanza de torsión (Fig. 4.28b). La barra está orien-tada de Oeste a Este y está suspendida de manera de permanecer horizontal. Si la dirección de′PA fuera diferente de la de ′PB se debería producir un momento que haría girar la barra horizon-

tal hasta que la torsión del filamento de suspensión equilibre dicho momento. Se marca entoncesla posición de la barra, luego de lo cual se gira en 180˚ el soporte del filamento. Con ello se in-vierte la posición de los cuerpos A y B y por lo tanto la dirección del momento (si es que existe).Por lo tanto la barra debiera ahora girar respecto de la dirección Oeste-Este en un ángulo igualque el anterior, pero en el sentido opuesto.El experimento ha dado siempre un resultado negativo, esto es, no indicó nunca una rotación dela barra cualquiera fuese la elección de los cuerpos A y B. La sensibilidad de los experimentosmás recientes hubiera revelado una diferencia de m mi g/ respecto de la unidad de una parte en

4. Dinámica

101

1011 (esto es, un gramo en 105 toneladas). Esta extraordinaria precisión demuestra sin lugar adudas que la inercia y la gravedad son manifestaciones de una única realidad física.

Los sistemas inerciales y el principio de equivalencia

Antes de concluir este Capítulo es necesario hacer algunos comentarios acerca de los referen-ciales inerciales ya que este concepto es el eslabón más débil de la estructura lógica de la Mecá-nica Newtoniana. Una vez establecido que las fuerzas producen aceleraciones, el Principio deInercia se reduciría a un simple corolario de la Segunda Ley si no fuera porque en su enunciadose invoca el “sistema de referencia inercial”. Pero aquí surge la dificultad: ¿cómo se sabe si unreferencial es inercial? Mientras no demos una definición de sistema inercial que sea indepen-diente de la Primera Ley, ésta no es más que una tautología.Si aceptamos por un momento la existencia de un referencial inercial, el resto de la Dinámica sedesarrolla sin inconvenientes. La idea central de la Mecánica Newtoniana (que incluye tambiénel Principio de Inercia) es lo que se llama la relatividad Galileiana, que conviene recordar bre-vemente.El concepto de la relatividad del movimiento (es decir, que el movimiento se define en relacióncon un observador) era bien conocido, aún antes que Copérnico considerara su aplicación al mo-vimiento de la Tierra y del Sol. Pero la idea de Galileo fue más lejos. El principio de relatividad(o equivalencia) Galileiano se puede enunciar diciendo que:

dos referenciales que se mueven el uno respecto del otro con movimiento rectilíneo y uni-forme y sin rotar son equivalentes en cuanto a la descripción de los fenómenos mecánicos.

En su Dialogo sui Massimi Sistemi, Galileo expresa claramente (la cita no es completamentetextual) esa idea :

Encerraos con algún amigo en el mayor local bajo cubierta de un gran navío y despuésrealizad todos los experimentos que se os ocurran, y decidme cómo podéis determinar si elnavío está detenido o se mueve, siempre que ese movimiento sea uniforme y no fluctuantede aquí para allá y siempre que no os sea posible mirar hacia afuera.

Entonces dado un referencial inercial podemos decir si otro referencial es o no inercial: basta versi se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto del primero, o no. Sin embargo, si-gue en pie nuestra pregunta: ¿cómo sabemos si el primer sistema es inercial?En algunos libros se lee que un referencial inercial es un sistema que está en reposo respecto de“las estrellas fijas”. Se intenta así resolver la cuestión, pero esto es ilusorio. Nadie ha intentadollevar a la práctica esa definición en lo que atañe a los movimientos de traslación (por de prontoporque no existen “estrellas fijas”). Por lo tanto se trata de un enunciado vacío sin consecuenciasprácticas.Los ejemplos que hemos presentado en este Capítulo muestran que el origen y los ejes de losreferenciales de interés se vinculan siempre con objetos cercanos al observador como la superfi-cie de la Tierra, el interior de un vehículo, etc. Cuando estudiaremos el movimiento planetarioemplearemos un referencial con origen en el Sol, o bien en el baricentro del sistema Sol-planeta.Como se ve se trata en todos los casos de sistemas locales en relación con los sistemas bajo es-tudio. Es para esta clase de sistemas que necesitamos criterios prácticos para decidir si son o noinerciales.Es importante notar que la noción de inercia y por lo tanto de referencial inercial está indisolu-blemente ligada a la interacción gravitatoria, que se manifiesta en el peso. Todos hemos visto

4. Dinámica

102

por la TV escenas que tienen lugar en una cápsula espacial en órbita alrededor de la Tierra. He-mos observado entonces que un objeto abandonado en el aire no cae al piso: permanece enreposo, o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se lo soltó con una velocidad nonula (respecto de la cápsula, se entiende). A semejanza del personaje de Galileo que no podíasaber si el navío se movía o estaba en reposo, un astronauta que hubiera perdido la memoria, nosupiera donde está y no pudiera mirar al exterior, no podría determinar si el referencial de lacápsula es inercial o no. En realidad tendría derecho de pensar (recordemos nuestro enunciadode la Primera Ley) que la cápsula es un referencial inercial. En efecto, en tanto y en cuanto selimite a estudiar el movimientos de cuerpos en el interior de la cápsula o cercanos a la misma(pero no el de objetos lejanos), la aplicación de las tres Leyes de la Dinámica le dará resultadoscorrectos.Sin embargo nosotros desde la Tierra diríamos que se equivoca, porque sabemos que la cápsulaestá en caída libre con la aceleración de la gravedad g (con el valor correspondiente a la distan-cia a la que está orbitando), por lo tanto para nosotros es un referencial no inercial en el cual lafuerza ficticia sobre un objeto de masa m es

F a g′ ′= − = −O Om m (4.120)

Como esta fuerza compensa exactamente el peso P g= m del objeto, se explica perfectamente(desde nuestro punto de vista) lo que observa nuestro hipotético pasajero. Al estudiar fenómenosterrestres sabemos que tenemos que tomar en cuenta las aceleraciones centrífuga y de Coriolisporque la Tierra gira sobre sí misma y por lo tanto no es un referencial inercial. Sin embargo notomamos en cuenta que la Tierra está en caída libre hacia el Sol con una aceleración de aproxi-madamente 0 6. gal (un valor pequeño, sin duda, pero no despreciable). Un observador ubicadoen el Sol nos podría entonces hacer la misma crítica que le hicimos nosotros al observador de lacápsula. ¿Quien tiene razón entonces?Estas observaciones ponen en evidencia la equivalencia entre campo gravitatorio y sistema noinercial que es una consecuencia de la característica singular de la interacción gravitatoria que yadiscutimos anteriormente, esto es, que la masa gravitatoria (que determina la intensidad de laatracción gravitatoria) coincide con la masa inercial (que determina la inercia de los cuerpos).Esta característica la posee solamente la interacción gravitatoria. Las otras fuerzas o no implicanacción a distancia y se ejercen solo cuando los cuerpos están en contacto (como varias de lasfuerzas que consideramos en este Capítulo), o, como las fuerzas eléctricas y magnéticas, noactúan por igual sobre todos los objetos materiales.Es importante subrayar el carácter local de la equivalencia que hemos señalado: es posible eli-minar el peso empleando un referencial en caída libre, pero sólo localmente. En efecto, el campogravitatorio no es uniforme y por lo tanto el valor de g difiere de un lugar a otro. Para el obser-vador de nuestra cápsula que cae con la aceleración g, un objeto en un lugar a cierta distancia,donde la aceleración de la gravedad es ′g , aparece sometido a una fuerza m( )′ −g g que no esnula. Esta fuerza, que proviene de la no uniformidad del campo gravitatorio, es la fuerza de ma-rea de la que nos ocuparemos en el Capítulo 9.

4. Dinámica

103

P = mg a = g

A P

(a) (a')

FA' = mg

a = – aA' = g

A' aA' = –gP = 0

(b)

P = 0 a = 0

B P = 0

(b')

P + FA' = 0

a = g – aB' = 0

B' aB' = gP

Fig. 4.29. El Principio de Equivalencia. Un referencial (a) en reposo en un campo gravita-cional que imparte una aceleración g a todos los cuerpos es equivalente a un referencial( ′a ) que (en ausencia de gravedad) es acelerado con la aceleración –g. Del mismo modo,un referencial ( ′b ) en caída libre dentro de un campo gravitatorio es equivalente a un refe-rencial (b) en reposo y en ausencia de gravedad. La equivalencia es solamente local.

Los comentarios anteriores encuentran su expresión en el Principio de Equivalencia debido aEinstein:

Principio de Equivalencia:

Un referencial Σ acelerado con una aceleración constante –g y en ausencia de gravedad escompletamente equivalente a un referencial ′Σ en reposo en un campo gravitacional uni-forme que imparte la aceleración g a todos los cuerpos por igual.

Una consecuencia del Principio de Equivalencia es que (localmente) un campo gravitatorio sepuede compensar completamente por medio de un movimiento no uniforme del referencial(como sucede en la cápsula espacial que mencionamos antes).Todo esto es, por supuesto, consistente con la Mecánica Newtoniana, pero Einstein lo interpretócomo una ley fundamental de la naturaleza según la cual un campo gravitatorio es (localmente)

4. Dinámica

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equivalente a un referencial acelerado. En otras palabras, al describir los fenómenos que ocurrenen un campo gravitacional nos podemos olvidar de la fuerza de gravedad, a condición de em-plear un referencial oportunamente acelerado. Si la cápsula espacial se hallara muy lejos de laTierra, el Sol y las demás masas de modo que la fuerza de gravedad debida a todos los cuerposexternos a la cápsula fuera despreciable, se podría crear un campo de gravedad ficticio encen-diendo los motores, o sea acelerando la cápsula respecto de un referencial inercial. En este casoningún experimento que se llevara a cabo dentro de la cápsula, sin referencia a objetos externosa la misma, podría revelar diferencias respecto de lo que ocurre en un campo de gravedad nor-mal. En tal sentido la cápsula espacial es la versión moderna del navío de Galileo: el Principiode Equivalencia es la extensión natural del Principio de Inercia.Volvamos ahora a nuestra pregunta original: ¿cómo sabemos si un referencial es inercial? A laluz de las consideraciones precedentes vemos que la respuesta es la siguiente: en toda situaciónque se presente en la práctica es siempre posible definir un referencial local el cual a todos losefectos que nos pueden interesar se comporta como si fuera inercial33 esto es, un referencial en elcual un objeto libre de fuerzas (fuerzas que podamos detectar con nuestras balanzas, dinamóme-tros, etc. en ese sistema) queda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.Aparece, sin embargo, una ambigüedad en la teoría ya que estos sistemas locales se mueven conmovimiento acelerado el uno respecto del otro. Aquí nos limitaremos a señalar que dentro de loslímites de nuestra teoría, esto es, mientras valgan las transformaciones (3.64), (3.77) y (4.112)esta ambigüedad no tiene efectos prácticos. Pero el lector debe tener presente que es un indiciode las limitaciones de la Mecánica Newtoniana, tema del cual nos ocuparemos más adelante

33 Eventualmente tomando en cuenta las fuerzas de marea, como se verá en el Capítulo 9.