1. La integral

Gustavo Rocha

2012 - 2

Objetivo del capítulo

Distinguir a la diferencial como una función de dos variables, a la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas, a la integral definida como un número, resultado del límite de una suma infinita de términos y a la función integral como un proceso de acumulación; las cuatro vinculadas a través del teorema fundamental del cálculo, que explica por qué la integral definida requiere del cálculo de antiderivadas y por qué el problema de la recta tangente es el inverso del problema del área, y se resuelven por medio de procesos inversos, la derivación y la integración; realizar procedimientos diversos de ajuste del integrando para calcular su primitiva; y evaluar integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

Contenido del capítulo

1. La integral indefinida

2. Introducción a ecuaciones diferenciales

3. El problema del área

4. La integral definida

5. Teorema fundamental del cálculo

6. La diferencial

7. Cálculo de primitivas directas y evaluación de

integrales

1.1 La integral indefinida

Gustavo Rocha

2012 - 2

Objetivos del tema

Distinción de la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas.

Reconocimiento de las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración.

Reconocimiento de la diferencial de la función como integrando.

Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.

Contenido del temaAntiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular.

Integral indefinida. Definiciones de integral indefinida. Derivación e integración como operaciones inversas. Elementos de la integral indefinida. Propiedades de linealidad de la integral indefinida.

Las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Regla de las potencias. Regla generalizada de las potencias. Reglas de integración de funciones trigonométricas.

La diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.

x operación y resultado3 adición 4 74 adición 8 128 sustracción 3 55 sustracción 3 23 multiplicación 9 276 multiplicación 5 309 división 3 38 división 4 25 potencia 2 257 potencia 3 3438 raíz 3 29 raíz 2 3

x2 derivada 2x

x3 + c derivada 3x2

x2 + 3 derivada 2x

x3 + 4 derivada 4 3x2

x2 integral x3/3 + c

3x2 integral x3 + 8

x2 + 4 integral x3/3 + 4x + c

2x integral x2

Adivinanza

x y 2

y x 2

Adición - sustracción10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

f x = x+2

x y / 2

y 2x

Multiplicación - división

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x = 2x

x y

2y x

Potenciación – radicación

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

-15 -10 -5 5 10 15

f x = x2

Operaciones matemáticas inversas

De la misma manera que la sustracción es la operación

inversa de la adición, la división es la operación inversa

de la multiplicación y la extracción de raíces es la

operación inversa de la exponenciación, así la operación

antiderivación es la operación inversa de la derivación.

Operaciones matemáticas inversas

Adición

Multiplicación

Potenciación

Integración

Sustracción

División

Radicación

Derivación

Primitiva

Antiderivadas o primitivas

Si la derivada de F es igual a f en el intervalo I:

entonces F es una antiderivada o primitiva de f en el intervalo I :

Por ejemplo:

y se dice que es una antiderivada o primitiva de en todo el dominio de x.

,xD F x f x x I

,xA f x F x x I

3 3 2 2 2 3, 3 , 3 , 3 ,x xF x x D x x x f x x A x x xR R

3x 23x

Antiderivadas o primitivas

Encontrar una primitiva para las siguientes funciones:

a) .

b) .

c) .

d) .

f x 2x

f x cos x

2

1f x

x

f x 2x cos x

2x

sen x

1

x

2x sen x

Función primitiva – función derivada90

80

70

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-15 -10 -5 5 10

f' x = 2xf x = x2

Función primitiva – función derivada

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-1.6

-1.8

-2

-2 -1 1 2 3 4 5 6

f' x = cos x f x = sen x

Función primitiva – función derivada

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

f' x = -1

x2

f x = 1x

Función primitiva – función derivada

90

80

70

60

50

40

30

20

10

-10

-15 -10 -5 5 10

q' x = 2x+cos x q x = x2+sen x

Derivada en un punto genérico14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

h x = x2

Derivada de una función

Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a) .

b) .

c) .

d) .

2f x x

2f x x 5

2f x x 3

2f x x 218

f ' x 2x

Funciones con la misma derivada

Si dos funciones F y G tienen la misma derivada:

entonces las funciones F y G difieren en una constante:

Por ejemplo:

F y G difieren en 2, que es una constante.

' ' , ,F x G x a b

, ,F x G x c a b

2 25, 7 ' ' 2F x x G x x F x G x x

F x

G x

Funciones con la misma derivada26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

r' x = 2xt x = x2-2s x = x2+3r x = x2

Antiderivada general

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, que se diferencian entre sí en una constante.

La antiderivada general es la familia constituida por un número infinito de primitivas.

Antiderivada general26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

f x = 2x

2F x x c

Antiderivada general

Encontrar la antiderivada general de las siguientes funciones:

a) .

b) .

f x 2x

f x cos x

2x c

sen x c

Antiderivar = Integrar

= Calcular primitivas

Integral indefinida

Una función f tiene una familia de funciones antiderivadas, denominada antiderivada general o integral indefinida, y cada miembro de esta familia se obtiene de cualquiera de ellos sumándole una constante adecuada.

En notación de Leibniz:

Las gráficas de cualesquiera antiderivadas de f son traslación vertical una de la otra.

f x dx F x c

Familia de antiderivadas

Integral indefinida

Integral indefinida

Obtener las siguientes integrales indefinidas:

a) .

b) .

c) .

d) .

2xdx

cos xdx

2

dx

x

2x cos x dx

2x c

sen x c

2x sen x c

1c

x

Antiderivada particular

Una función antiderivada particular no es una integral indefinida, sino un solo miembro de la familia, aquella cuya gráfica tiene ordenada 5.

Por ejemplo:

x

y

5

5F x

22 5xdx x

Definiciones de integral indefinida

y F x , la función desconocida que buscamos

F ' x f x , la función derivada de la que disponemos

dy

dy F ' x dx;dx

como cociente de diferenciales

dF x F ' x dx; x sustituyendo la función en términos de

dF x F ' x dx f x dx F x c

dy

F ' x ;dx

ambos miembros como símbolo de derivada

Definiciones de integral indefinida

En notación de derivadas:

En notación de diferenciales:

En notación de integrales:

La operación de hallar todas las soluciones de la ecuación diferencial se denomina integración indefinida o antiderivación.

dF x f x

dx

dF x f x dx

dF x F x c

dy f x dx

Derivación e integración como operaciones inversas

La integración es la inversa de la derivación:

La derivación es la inversa de la integración:

Para establecer cualquier resultado de la forma:

basta demostrar que

'F x dx F x c

df x dx f x

dx

f x dx F x c d

F x c f xdx

f ( x )dx F( x ) c

Elementos de la integral indefinida

1. Integral

2. Integrando

3. Diferencial

4. Variable de integración

5. Primitiva general

6. Constante de integración

Elementos de la integral indefinida f x dx F x c f x dx F x c

...dx f x dx dF x

7. Operador integral

8. Diferencial de F(x)

Reglas de derivación – reglas de integración

A cada regla de derivación le corresponde una regla de integración.

dkd

k 0 dk 0d 0dx 0 c kxdx

dd

kkx k d kx kdxdx

x kdx kx c

d du dvu x v x d u x v x du dv

dx dx dx

d u x v x du dv u x v x

Propiedades de linealidadde la integral indefinida

El operador integral es lineal.

La integral de una constante por una función es igual

a la constante por la integral de la función.

La integral de la suma es la suma de las integrales

La integral de la diferencia es la diferencia de las

integrales

k f x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

Reglas de derivación – reglas de integración

d du dvu x v x u x v x d u x v x u x du v x dv

dx dx dx

d u v udv vdu u v udv vdu u v udv u v vdu

2 2

du dvv x u xu x u x v x du u x dvd dx dx d

dx v x v v x v

Integración por partes

udwu 1

u u w w dv

w uv

u

' ' ' 'd

f g x f g x g x d f g x f g x g x dxdx

' ' , 'd f g x f g x g x dx f g x u g x du g x dx 'df u f u du f u c f g x c Integración por sustitución

Integración por partes

Reglas de derivación – reglas de integración

rr

r r1 11

rd u r 1 u du

u du cu1

cr

u

r r 1 r r 1 r r 1 rd duu ru d u ru du d u ru du u c

dx dx

La regla de las potencias

Con relación a la regla de las potencias

1. ¿Por qué no funciona para

2. ¿Acaso funciona para

3. ¿Qué sucede cuando

4. ¿Cuál es la condición cuando

r 1

r xx dx c

r 1

r 1?

r ?

r 0?

r 0?

La regla de las potencias

0r 0, x dx 1dx dx x csi

r

1

dx 1r 0, x dx c, x 0

x 1 x si

porque la función no está definida para x 0

si1 1 0

1 dx x xr 1, x dx c ?

x 1 1 0queda pendiente para el tema 2

1x

r , x dx c1

si

Integrando funciones polinómicas

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 2f x 4x 18x 24x 10

4 3 2F x x 6x 12x 10x c

c 6

Regla generalizada de las potencias

La fórmula generalizada

es muy similar a la fórmula simple

pero su diferencia no es trivial, porque u es función de x:

r 1

r xx dx c, r 1

r 1

r 1

r uu du c, r 1

r 1

u g x , du d g x g' x dx

r 1 r 1r 1 g x g xu

d d cr 1 r 1 r 1

r 1u

d r 1r 1

ru

r 1rdu u du

r 1

g xd r 1

r 1

rg x

r 1

rg' x dx g x g' x dx

Definición de integral indefinidaen lenguaje de diferenciales

Regla de la cadena

Cálculo de la diferencial de la función

Regla generalizada de las potencias

Ejemplos:

r 1

r 1rr

g xud u du; d g x g' x dx

r 1 r 1

4

3 xx dx c

4

43 x 2x 2 dx c

4

4232

x 2x 2 2 xdx c

4

433 33 2 3 2

x 21 1x 2 x dx x 2 3x dx c

3 3 4

32x 2 dx No se puede aplicar directamente la regla generalizada de laspotencia, porque falta la diferencial. Aquí sería necesario desarrollarel cubo del binomio, y después integrar.

Regla generalizadade las potencias

Utilizando la regla de las potencias, calcule:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

2t dt 2t 1 dt

22t 1 t dt

23 25 t 1 t dt

22t 1 dt

Reglas de integración defunciones trigonométricas

Notación de diferenciales Notación de integrales

d senu cosudu cosudu senu c

d cosu senudu senudu cosu c

2d tanu sec udu 2sec udu tanu c

2d cot u csc udu 2csc udu cot u c

d secu secu tanudu secu tanudu secu c

d cscu cscucot udu cscucot udu cscu c

Reglas de integración defunciones trigonométricas

Ejemplos:

sen xdx sen x 1 dx

22x sen x dx2 3x sen x dx

2sen x dx No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque falta la diferencial. Esta primitiva existe, pero no es una función elemental.

2sen x 1 xdx 3 2sen x 1 2x dx 2sen x 1 dx No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque

falta la diferencial. Esta primitiva tampoco es función elemental.

cos x c

cos x 1 c

2 2sen x 2x dx cos x c 3 2 31 1

sen x 3x dx cos x c3 3

2 21 1sen x 1 2xdx cos x 1 c

2 2

3 2 32 2sen x 1 3x dx cos x 1 c

3 3

Integrando funciones trigonométricas

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f x 4 6sen 2x / 2

F x 4x 3cos 2x / 2 c

c 0

Reglas de integración defunciones trigonométricas

Utilizando reglas básicas de integración, calcule:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

cos xdx

cos x 2 dx2x cos x dx

2 36x cos x dx2cos x dx

Distinción obvia

Para todos debe quedar muy claro que

. es la aplicación de la función seno al cuadrado de la

variable x.

es el cuadrado de la función seno de x.

2 2sen x sen x2sen x

2sen x

La regla generalizada de las potenciasaplicada a funciones trigonométricas

La regla de las potencias no solo es aplicable a funciones algebraicas y polinomios. Su uso se extiende a cualquier función, si está presente su correspondiente diferencial.

Ejemplos:

Dos resultados aparentemente diferentes para una integral

sen x cos xdxsen x cos xdx

2 2 2sen x 1 cos x cos x 1c c

2 2 2 2

2cos xc c

22cos x sen xdx3sen x cos xdx

2sen xc

2

2cos x

cos x sen x dx c2

3

2 cos xcos x sen x dx c

3

4sen xc

4

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

1 2 3 4 5 6 7 8

Integrando funcionestrigonométricas con potencias

3f x 4cos x sen x 4F x cos x c

c 4

Proceso de integración

1. Integral original

2. Reescribirla Conforme a una regla de integración Verificar la correspondencia del integrando con la

diferencial

3. Integrar: lo que se integra es el integrando

4. Simplificar Utilizar todos los recursos del álgebra Considerar solo una constante de integración

5. Verificar: Siempre es posible comprobar por derivación

La regla generalizada de las potenciasaplicada a funciones trigonométricas

Utilizando la regla generalizada de las potencias, calcule:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

3cos 2t sen 2t dt3 2tan y sec y dy

2 4csc 3 1 cot 3 1 d

3sec d

3sec x tan xdx

Cálculo de primitivas mediantereglas básicas de integración

Obtener las siguientes integrales indefinidas, usando reglas básicas de integración:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

4 23x 5x x dx

2sec 3xdx

2

sen xdx

cos x

1 / 323x 1 4xdx

3sen2x dx

x