Movimiento oscilatorio de un cuerpo rgidoObjetivosObjetivo principal Estudiar el movimiento oscilatorio simple de un sistema masa resorte y el movimiento oscilatorio con amortiguamiento de un cuerpo rgido ligado a un resorte.Objetivos especficos Determinar el valor de la constante elstica del resorte. Determinar el valor del momento de inercia del sistema. Determinar el valor de la constante de amortiguacin del sistema. Determinar la ecuacin diferencial del sistema masa-resorte y del sistema resorte-amortiguador-cuerpo rgido. Determinar la ecuacin de movimiento del sistema.

Marco tericoOscilador armnico amortiguado

Oscilador armnico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.Aadiendo prdidas de energa, se consigue modelar una situacin ms prxima a la realidad. Una situacin ms verosmil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso derozamientossecos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posicin. Otra situacin que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a unapotencia, entera o no. As sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las prdidasaerodinmicas. Se tratar nicamente el caso ms simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza ser:

Dondees uncoeficienteque mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Sies pequeo, el sistema est poco amortiguado. Ntese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la direccin opuesta a la velocidad. Con este trmino complementario la ecuacin diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuacin diferencialordinaria,lineal, de segundo orden1(contiene derivadas segundas) yhomognea(no hay trmino independiente de). Tiene tres tipos de soluciones segn el valor de: Siel sistema est sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrtico) Siel sistema tiene amortiguamiento crtico. Siel sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento dbil o subcrtico)Oscilador con amortiguamiento dbil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide est controlada por la exponencial.En este caso, que es ms interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posicin de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

La solucin es:

como antes,yson constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsacin es:

La pulsacin del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsacin del sistema no amortiguadoporque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.La oscilacin del sistema est descrita por una sinusoide de frecuenciacuya amplitud est multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es.

Equipo Barra metlica de longitud con agujeros circulares. Varilla metlica. Soporte universal. Resorte. Pesas de 50, 100 y 200 gr. Cronmetro. Nivel de burbuja. Regla milimetrada. Balanza. Baldecito. Recipiente con agua.Parte experimental1 Parte:Colocamos en el baldecito las pesas hasta aproximadamente 500 gr. luego llevar a la balanza para obtener su masa exacta.Obtenemos: Masa total = 05176 kg.Ahora en el soporte universal colocamos el resorte y en su extremo libre colocamos el baldecito con las pesas.Dejamos que alcance el equilibrio, luego estiramos y hacemos oscilar el sistema masa-resorte.P. EquilibrioP. MovimientoVarilla

Con ayuda del cronmetro calculamos el tiempo transcurrido en 10 periodos de oscilacin. Hacemos esto 3 veces para obtener mayor precisin.Obtenemos: T10 = 7.50 7.50 7.59 (s)Calculamos el tiempo promedio de 10 oscilaciones: T10 prom = Obtenemos: T10 prom = 7.53 sAhora determinamos el periodo de una oscilacin: = Obtenemos: T = 0.753 s2 ParteEn el soporte pequeo sujetado a la mesa, colocamos la varilla de metal con agujeros circulares, en el otro extremo colocamos el resorte y luego la varilla.Calibramos de tal manera que el sistema quede en equilibrio horizontal.D1D2D3D4P. Equilibrio

Medimos las distancias correspondientes.Obtenemos: D1 = 0.299D2 = 0.453D3 = 0.148D4 = 0.698Estiramos, y hacemos oscilar el sistema resorte- barra metlica.Con ayuda del cronmetro calculamos el tiempo transcurrido en 10 periodos de oscilacin. Hacemos esto tres veces para obtener mayor precisin.Obtenemos: T10 = 12.62 12.70 12.68 (s)Calculamos el tiempo promedio de 10 oscilaciones: T10 prom = Obtenemos: T10 prom = 12.667 sAhora determinamos el periodo de una oscilacin: = Obtenemos: T = 1.267 s3 ParteAhora al sistema anterior, le agregamos un amortiguamiento colocando el recipiente con agua en el extremo libre de la varilla pequea.Calibramos de tal forma que el nuevo sistema este en equilibrio horizontal.D1D2D3D4P. Equilibrio

Luego, estiramos y hacemos oscilar el sistema. Tener cuidado de que la varilla pequea no toque los extremos del recipiente.Con ayuda del cronmetro calculamos el tiempo transcurrido en 6 periodos de oscilacin.Obtenemos: T6 = 7.96 7.88 7.91 (s)Calculamos el tiempo promedio de 6 oscilaciones: T6 prom = Obtenemos: T6 prom = 7.917 sAhora determinamos el periodo de una oscilacin: = Obtenemos: T = 1.319 s

Anlisis y resultados1 ParteDeterminamos la ecuacin diferencial del sistema masa-resorte.Analizamos el sistema en movimiento, no tomamos en cuenta la fuerza de gravedad en el anlisis dinmico ya que se compensa con el producto de K por la elongacin en el equilibrio.Anlisis del movimiento:P. MovimientoP. EquilibrioyN.R

m* = -k*ym* + k*y = 0 + *y = 0

Determinamos la constante elstica del resorte:Tenemos el periodo determinado en la parte experimental: T = 0.753 sSabemos que: w = = = 8.344De la ecuacin diferencial, sabemos que: w2 = Remplazamos para obtener el valor de la constante del resorte: ()2 = Obtenemos: K = 36.038 N/mHacemos una grfica aproximada.Para un y0 = 0.05 m, se sabe que la velocidad inicial V0 = 0, por lo que el ngulo de desfasaje inicial es /2.Tenemos: w = 8.344La ecuacin de movimiento ser:Y(t) = 0.05*sen(8.344*t + /2)

Se tendr:

Donde f(x) = Y es la posicin y X es el instante de tiempo, solo consideramos los valores positivos de X.2 ParteDeterminamos la frecuencia natural del sistema.Sabemos que: w0 = = = 4.959Obtenemos: w0 = 4.959 rad/s3 ParteDeterminamos la ecuacin diferencial del sistema resorte-amortiguador-cuerpo rgido.En el anlisis dinmico despreciamos la fuerza de gravedad ya que esta compensada con el producto de K por la elongacin cuando est en equilibrio.OKd2c(d2 + d3 )

Tomamos torques con respecto al punto O.I0* = -k*d22-c**(d2+d3)2I0* + k*d22 + c**(d2+d3)2 = 0 + * + * = 0

Deducimos la solucin de la ecuacin diferencial. + 2* + w02 * = 0Y es una ecuacin diferencial homognea de coeficientes constantes. Por lo tanto la funcin de prueba ser: es*tHallamos los valores de S, remplazando en la ecuacin diferencial, se tendr:S2*es*t + 2*S*es*t + w02*es*t = 0S2 + 2S + w02 = 0Se define wA, para un movimiento sub-amortiguado, tal que:wA = .()Por lo tanto la ecuacin tendr la forma: = e-t*(A*eiwt + B*e-iwt)Sabemos que el trmino que multiplica a la exponencial tiene una solucin similar a la del M.A.S , por lo tanto la ecuacin queda descrita como: = C*e-t *sen(wAt + )Donde C y dependen de las condiciones iniciales.Determinaremos el momento de inercia del sistema.De la ecuacin diferencial, tenemos: w02 = Sin embargo de la 2 Parte se hall w0 = 4.959 y de la 1 parte se hall K = 36.038, adems d2 = 0.453.Remplazando: (4.959)2 = Obtenemos: I = 0.3001 kg.m2Determinamos el valor de la constante de amortiguacin.De la expresin , se tiene: wA = Y de la ecuacin diferencial se tiene que: 2 = Remplazando en , se tiene:wA = Remplazando datos: 4.762 = Obtenemos: c = 2.306 N*s/mHacemos una grfica aproximada.Para un 0 = 10 = /18, se sabe que en t0 = 0, V0 = 0; por lo que el ngulo de desfasaje inicial ser /2.Tenemos: wA = 4.762, = = = 1.384La ecuacin de movimiento ser: (t) = *e-1.384*t *sen(4.762*t + /2)

Donde f(x) = Y es la posicin y X es el instante de tiempo, solo consideramos los valores positivos de X.

Conclusiones Es posible determinar la frecuencia en un sistema masa-resorte a partir de la medida directa del periodo y con ello encontrar otros valores como la constante del resorte. Experimentalmente se puede calcular el momento de inercia de un sistema comparndola con la ecuacin diferencial y remplazando datos obtenidos. Siempre que antes se halla tomado la frecuencia natural del sistema sin el amortiguamiento. Si no se hubiera tomado la frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento se hubiera tenido que calcular el momento de inercia tericamente. Es posible determinar la solucin de la ecuacin diferencial homognea asumiendo una funcin de prueba de la forma X(t) = est . En el sistema amortiguado el factor e-t acta como asntota de la funcin seno, la cual disminuye su amplitud. En el sistema amortiguado la energa se disipa continuamente por lo que la amplitud de sus oscilaciones disminuye con el tiempo, ello se puede verificar en la segunda grfica y con su ecuacin de movimiento.