1 Primera Unidad.pdf

1 Proposiciones 11 Proposicioacuten simple 12 Proposiciones compuestas

y conectivos loacutegicos 13 Proposiciones con

cuantificadores

2 Conjuntos 21 Determinacioacuten de

un conjunto 22 Relaciones entre conjuntos 23 Operaciones entre

conjuntos 24 Circuitos loacutegicos

3 Los nuacutemeros reales 31 Desigualdades en ~ 32 Valor absoluto

~~ PROPOSICIONES

Las proposiciones son expresiones del lenguaje que pueden calificarse coshymo verdaderas o falsas

Las proposiciones se diferencian de las preguntas de las oacuterdenes y de las exshyclamaciones

Son proposiciones

bull Carlos es hermano de Mariacutea bull 39 es un nuacutemero primo bull Coloacuten descubrioacute Ameacuterica bull El rombo es un cuadrilaacutetero

~ 11 PROPOSICiOacuteN SIMPLE

No son proposiciones

bull iquestCuaacutentas mariposas hay bull iquestQueacute edad tiene Pedro bull iexclHola bull iexclQueacute linda es Ana

Una proposicioacuten simple es aquella que se forma sin utilizar teacutennishynos de enlace

Valor de verdad de una proposicioacuten simple

Toda proposicioacuten simple se puede calificar como verdadera o falsa por ejemshyplo la proposicioacuten La LUl1a es un planeta es una proposicioacuten falsa mientras que la proposicioacuten 4 y 25 SOI1 cuadrados pefectos es una proposicioacuten verdadera

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de cada proposicioacuten simple

a 5 es divisor de 15 c 30 es muacuteltiplo de 7

b Bogotaacute es la capital de Colombia d v4 es un nuacutemero irracional

Solucioacuten

a 1 3 Y 5 son divisores de 15 es una proposicioacuten verdadera

b Bogotaacute es la capital de Colombia es una proposicioacuten verdadera

c 30 es muacuteltiplo de 7 es una proposicioacuten falsa

d v4 es un nuacutemero irracional es una proposicioacuten falsa

Representacioacuten de proposiciones simples

Las proposiciones simples se representan mediante letras minuacutesculas por ejemplo las letras p q ~ s entre otras pueden representar las proposicioshynes planteadas anteriormente asiacute

p 5 es divisor de 15 ltt

q Bogotaacute es la capital de Colombia Z

S 1 iexclr 30 es muacuteltiplo de 7 Z ltt VIs v4 es un nuacutemero irracional

8

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUM EROS REALES UNIDAD 1

Conectivo loacutegico

Siacutembolo

y 1

o V

siacute entonces ~

siacute y soacutelo si ~

no ~

p ~p

V F

F V

12 PROPOSICIONES COMPU ESTAS Y CONECTIVOS LOacuteGICOS ~------------------------------------------------------------

Las proposiciones compuestas son aquellas que estaacuten constituishydas por dos o maacutes proposiciones simples unidas por partiacuteculas de enlace llamados conectivos loacutegicos

Los conectivos loacutegicos son y o si entonces si y soacutelo si no y se reshypresentan con los siacutembolos indicados a la izquierda

Ejemplo

IEscribir el conectivo loacutegico que se utiliza en cada proposicioacuten compuesta

a Este laacutepiz es miacuteo y este borrador tambieacuten

b Ese rosal no tiene rosas

c Salgo a pasear o termino mi tarea

d Veremos la peliacutecula si y soacutelo si consigo las entradas

e Si 17 es mayor que 13 entonces 13 es menor que 17

Solucioacuten

a El conectivo loacutegico es y

b El conectivo loacutegico es no

c El conectivo loacuteg ico es o

d El conectivo loacutegico es si y soacutelo si

I e El conectivo loacutegico es si entonces

Negacioacuten de una proposicioacuten

La negacioacuten es el conectivo loacutegico que permite cambiar el valor de verdad de una proposicioacuten Asiacute si la proposicioacuten p tiene valor de verdad verdadero entonces la proposicioacuten ~p tiene valor de verdad falso

I

Ejemplo

INegar las siguientes proposiciones y escribir el valor de verdad de la negacioacuten

p Todo nuacutemero entero es racional q Un nuacutemero racional es entero y natural r Todo nuacutemero irracional es real

iquestCuaacutel es el resultado de ~ (~ p)

s Los nuacutemeros racionales tienen expresioacuten decimal perioacutedica

Solucioacuten

~p

~ q

Alguacuten nuacutemero entero no es racional Su valor de verdad es falso Para todo nuacutemero racional el nuacutemero no es entero o no es natural Su valor de verdad es verdaderolaquo z

5 ~ r Alguacuten nuacutemero irracional no es real Su valor de verdad es falso

~siexcl Los nuacutemeros racionales no tienen expresioacuten decimal perioacutedica Su valor de vershyz laquo dad es falsa VI

9

Conjyncioacuten

I Proposicioacuten Conectivo Proposicioacuten

simple loacutegico simple I I a y b 1 iexcl 1

a 1 b

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla 1

Disyuncioacuten iexcl

Proposicioacuten Conectivo Proposicioacuten simple loacutegico simple

I I I a o b

I I avb

P q PVq

V V V

V F V

F V V

F I F I F

Tabla 2

Conjuncioacuten

Al enlazar dos o maacutes proposiciones simples mediante el conectivo y se obtiene una tercera proposicioacuten compuesta llamada conjuncioacuten

Ejemplo

Formar una conjuncioacuten con cada par de proposiciones simples

a p 21 es divisible entre 3 b r El oso es mamiacutefero

q 3 es nuacutemero impar 5 El oso es molusco

Sol uciacuteoacuten

a p q 21 es divisible entre 3 y 3 es impar

b r 5 El oso es mamiacutefero y molusco

Valor de verdad de la conjuncioacuten

Para determinar el valor de verdad de una conjuncioacuten se utiliza su tabla de verdad (tabla 1)

La tabla de verdad muestra que la nueva proposicioacuten p q es verdadera uacutenishycamente si la proposicioacuten p es verdadera y la proposicioacuten q es verdadera En los demaacutes casos la proposicioacuten es falsa

Disyuncioacuten

La disyuncioacuten es una proposicioacuten compuesta formada por dos o maacutes proposishyciones simples relacionadas con el conectivo o

Ejemplo

Formar una disyuncioacuten con cada par ~e proposiciones simples

a p Los insectos son artroacutepodos b r Cali es la capital del Valle

q Los paacutejaros son aves 5 Toluacute estaacute en la costa paciacutefica

Soluci oacuten

a p V q Los insectos son artroacutepodos o los paacutejaros son aves

b r V 5 Cali es la capital del Valle o Toluacute estaacute en la costa paciacutefica

Valor de verdad de la disyuncioacuten

Para determinar el valor de verdad de una disyuncioacuten se utiliza su tabla de erdad (tabla 2)

La tabla de verdad muestra que la nueva proposicioacuten p V q es verdadera cuan- ltt

do por lo menos una de las proposiciones es verdadera ~ 1

La disyuncioacuten es falsa uacutenicamente si la proposicioacuten p es falsa y la proposicioacuten iexcl z ltt Vlq es falsa

10

iquestCuoacutel es el valor de verdad de la disyuncioacuten exclusiva

Implicacioacuten

1 Proposicioacuten Conectivo Proposicioacuten

simple loacutegico simple

I I I si a entonces b

I

a~b

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 3

Equivalencia



I I I a si y soacutelo si b

laquo z I I 5 J a ~b iexcl Z laquo

l OacuteGICA y CONJUNTOS NUacuteMEROS REALES UNIDAD 1

Existe un caso especial de disyuncioacuten llamada disyuncioacuten exclusiva en la cual se verifica una de las dos proposiciones pero no ambas a la vez

Por ejemplo la proposicioacuten compuesta Los insectos son artroacutepodos o aves implica que los insectos o son artroacutepodos o son aves pero no ambas cosas a la vez

Implicacioacuten o condicional

Una proposicioacuten compuesta es condicional cuando las proposiciones que la forman estaacuten relacionadas con el conectivo loacutegico si entonces llamado implicacioacuten

En este caso la primera proposicioacuten se llama antecedente y la segunda proshyposicioacuten se llama consecuente

Ejemplo

Formar una implicacioacuten con cada par de proposiciones simples

a p 12 es un nuacutemero par b r La mosca es un insecto

q 12 es divisible entre 2 s La mosca nada en el agua

Solucioacuten

a p ~ q Si 12 es un nuacutemero pa r entonces es divisible entre 2

p ~ q se lee si p entonces q

b r ~ s Si la mosca es un insecto entonces nada en el agua

r ~ s se lee si r entonces s

Valor de verdad de la implicacioacuten

El valor de verdad de la implicacioacuten se puede determinar utilizando su tabla de verdad (tabla 3)

La tabla de verdad muestra que la nueva proposicioacuten p ~ q es faacutelsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso En los demaacutes casos seraacute verdadera

Equivalencia o bicondicional

Una proposicioacuten compuesta es bicondicional cuando cada proposicioacuten sim- pIe implica a la otra Dichas proposiciones estaacuten relacionadas con el conecshytivo loacutegico si y soacutelo si llamado equivalencia

Formar una equivalencia con cada par de proposiciones simples

a p San Andreacutes es una isla b r 3 es nuacutemero primo

q San Andreacutes estaacute rodeada de agua s 3 es muacuteltiplo de 2

11

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten

a p ~ q San Andreacutes es una isla si y soacutelo si estaacute rodeada de agua

p ~ q se lee p si y soacutelo si q

b r ~ s 3 es nuacutemero primo si y soacutelo si es muacuteltiplo de 2

r ~ s se lee r si y soacutelo si s

Valor de verdad de la equ ivalencia

Para determinar el valor de verdad de una equivalencia se utiliza su tabla de verdad (tabla 4)

La tabla de verdad muestra que la nueva proposicioacuten p ~ q es verdadera cuanshydo ambas proposiciones son verdaderas o ambas proposiciones son falsas

Tab las de verdad

Las tablas de verdad se usan para encontrar el valor de verdad de proposishyciones compuestas

Ejemplo

Tabla 4 Hallar el valor de verdad de cada proposicioacuten compuesta

a (p=gtq] ~(p q] b [~(pq)Vql=gtp

Solucioacuten

a Para en Conrrar el valor de verdad de la proposicioacuten compuesta se construye la siguiente tabla de verdad

En cada columna de la tabla se escribe el valor de verdad de las proposiciones p =gt q p q ~ (p q) (p =gt q) V ~(p q) respectivamente Asiacute

p q (p =gt q) (p q) ~(p q) (p ~ q) V -(p 1 q

V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V

Estas y otras proposiciones compuestas se llaman foacutermulas loacutegicas y pueden ser tautologiacuteas cuando todos los resultados son verdaderos y contradicciones cuando son falsas en todas sus interpretaciones

b Se plantea la siguiente tabla

p q (p q) -(p q) ~p q) V q [-(p q) V qJ =gt p

V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUacuteM EROS REALES UNIDAD 1

LiirmPROATNA PROIOSITNA ARGUMEllfATNA I~ Praacutectica 1 1 Determinar el valor de verdad de cada proposicioacuten simshy 4 Para cada una de las fi gu ras escrib ir una proposicioacuten

pl e

a Los divisores de un nuacutemero son mayores que eacutel

b Uno de los casos de factorizacioacuten se llama diferenshycia de cu adrados

c En un triaacutengulo equilaacutetero la suma de sus aacutengulos internos es menor que 180deg

d Un aacutengulo coacutencavo es aquel que mide maacutes de 90deg y menos de 180deg

e Colombia ha tenido 30 presidentes

f La diferencia entre los nuacutemeros naturales es una operacioacuten conmutativa

g Para calcular el aacuterea de un cuadrado es necesario sashyber el valor del lado

l h --V2 pertenece a conjunto die os numeras raciona Ies 2

1 Escribir una proposlclon que forme una conjuncioacuten verdadera con la proposicioacuten dada

a Los nuacutemeros 1246 12 son divisores del nuacutemero 12

b La raiacutez cuadrada de 121 es 11

c El valor de x en x2 - 1 = Oes 1

d Los aacutengulos interiores de un triaacutengulo su man 180deg

e La diacuteagonal de un cuadrado lo divide en dos triaacutenshygul os isoacutesceles

3 Asignar letras a cada proposicioacuten simple Luego simboshylizar toda la proposicioacuten compuesta

a Si 15 es muacuteltiplo de 5 entonces la multiplicacioacuten de 5 y 3 es 15

b Si o = 5 entonces 03 = 125

c 3 es muacutel t iplo de 6 oacute 3 es divisor de 6

d Si es paralela a 2 entonces 2 es paralela a

e Si AB es congruente a CO y CO es congruente a EF entonces AB es congruente a EF

f Si x y = O entonces x = OOacute y = O

g Es falso que si xmiddot y = Oentonces x = Oo y = Oltt Z

5 h Es falso que 3 es muacuteltip lo de 10 y 3 es muacutelt iplo de - iexcl Z 15 ltt V

i Si xy gt O entonces x lt OY ygt Oo xgt OY Ylt O

compuesta cuyo valor de verdad sea falso Luego escrishybir la negacioacuten de esa proposici oacuten

a

b

c

d

e

f

(j

60r

5 Completar las tablas de verdad

Luego determinar a partir de la uacuteltim a columna si la proposicioacuten es tautologiacutea o contradiccioacuten

a p q p V q (p q) =gt P

V V

V F

F V

F F

b p q p lq q p (p 1 q) =gt (q p)

V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I

d p r (p q) = (p r) [Ip q) = (p ~ rJ] lt=gt rp q r p V q

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V I 1 IF F F I I

6 Escribir si la afirmacioacuten es verdadera o fa lsa Justificar la respu esta

a La proposicioacuten (p = q] lt==gt ~(p V ~q] es una tau shytologiacutea

b La tabla de verdad de la proposicioacuten ~ p lt==gt - [( q r] = rJ tiene los valores V FV FV F V F respect iva mente

c La proposicioacuten p = (r V s) es verdadera cuando p es falsa r es falsa y s es verdadera

d Para que la proposicioacuten (p V r] = (q V r] sea falsa es necesario que P q y sea n falsas

7 Simbolizar ca da grupo de proposiciones utili zar letras iguales pala proposiciones iguales

a Si Ju an es primero entonces Mateo es seg und o

Juan no es primero

Mateo no es segundo

b Si Jorge est~ en el partido de fLltbol entonces

Jorge estaacute en el estadio

Jorge estaacute en el partido de fuacutetbol

Jorge no estaacute en el estadi o

c Si hace calor en tonces Mariacutea va a la cicloviacutea

No hace calor

Maria no va a la cicloviacutea

d Si no nos despedimos entonces no haremos el trabajo

Nos despe dimos

Haremos el trabajo

e Si x + y = z en tollces y + x = z

x + y z y + x z

Cuantificador Siacutembolo

Para todo V

Existe alguacuten 3

~ 13 PRO POSICIONES CON CUANTIFICADORES

Un cuantificador es una expresioacuten que pennite detenninar cantidad en una proposicioacuten

Por ejemplo en la proposicioacuten Todos los animales mamiacuteferos son viviacuteparos la expresioacuten todos detennina la cantidad de animales mamiacuteferos que son vishyviacuteparos

En matemaacuteticas se utilizan como cuantificadores las expresiones todos alshygunos ninguno no todo soacutelo uno laquo z

~ 1

La expresioacuten para todo se denomina cuantificador w1versal iexcl Z

VILa expresioacuten existe alguacuten se denomina cuantificador existencial laquo

14

LOacuteGICA y CONJUNTOS NUacuteMEROS REALf5 UNIDAD 1

Ejemplo

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas Luego explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad

a Todas las plantas son medicinales d Uno de los mamiacuteferos es la vaca

b Algunos nuacutemeros son pares e Unos peces viven en el agua

c Soacutelo en la Tierra hay vida f Ninguacuten estudiante tiene maacutes de 18 antildeos

Solucioacuten

a Todas las plantas son medicinales significa que no hay plantas que no sean medishycinales Esta expresioacuten es una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificador unishyversal y su valor de verdad es falso

b Algunos nuacutemeros son pares significa que hay otros nuacutemeros que no son pares Esta es una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero

c Soacutelo en la Tierra hay vida significa que no existe otro planeta en el cual haya vida Esta expresioacuten es una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero

d Uno de los mamiacuteferos es la vaca significa que hay otros mamiacuteferos Esta es una proposicioacuten con cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero

e Unos peces viven en el agua significa que hay otros peces que no viven en el agua Esta expresioacuten es una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificador exisshytencial y su valor de verdad es falso

f Ninguacuten estudiante tiene maacutes de 18 antildeos significa que todos 105 estudiantes tieshynen menos de 18 antildeos Esta es una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificashydor universal y su valor de verdad es falso

Negacioacuten de proposiciones con cuantificador

La negacioacuten de una proposicioacuten en la cual se ha utilizado el cuantificador universal corresponde a una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificashydor existencial a su vez la negacioacuten de una proposicioacuten en la cual se ha usashydo el cuantificador existencial corresponde a una proposicioacuten en la cual se utiliza el cuantificador universal

Ejemplo

Negar las siguientes proposiciones cuantificadas Luego simbolizar la proposicioacuten y la negacioacuten

Ia Todos 105 nuacutemeros natu rales son impares

b Existe un nuacutemero par que no es muacuteltiplo de 4

Solucioacuten olaquolaquo a Negacioacuten existe por lo menos un nuacutemero natural que no es imparzz

5 5 Proposicioacuten Ix E N x es impar Negacioacuten 3x E N x no es impa r1J iexcl

ZZ iexcl

olaquo b Negacioacuten todos 105 nuacutemeros pares son muacuteltiplos de 4laquo Vgt

~ copy Proposicioacuten 3x par I x no es muacuteltiplo de 4 Negacioacuten Ix par x es muacuteltiplo de 4 ~

15

VI

V Praacutectica 2 l Escribir el cuantificador que se utiliza en cada proposishy

cioacuten

a Cada cosa estaacute sujeta a cambio

b Todas las cosas estaacuten formadas por aacutetomos

c Hay un anim al en viacutea de ext incioacuten

d El Sol es la (lI1i ca estrella de la Via Laacutectea

e Todos los poliacutegonos son regul ares

f AlgLII1 carro es de color azu 1

g Tod o nuacutemero par se puede divid ir entre dos

h Existen aacutengulos que no son obtusos

l A todas las figuras pl anas se les puede hall ar el aacuterea

J El transportad or es el uacutenico implemento usado pashyra medir aacutengul os

2 Exp lica r el significado de cada proposicioacuten cuantificashyda Luego determinar su valor de verdad

a Al gunas fig uras geomeacutetricas son planas

b Todos los cuad rilaacuteteros tien en todos sus lados iguales

c La Luna es un sateacute lite natura l

d Todos los animales son mamiacutefe ro s

e Ninguacuten diacutea de la semana tiene menos de 24 horas

f Algu nos nL1I11eros naturales son nLlIlleros enteros

g Soacutelo los estudiantes de undeacutecimo grado se graduacutean

h Al gunos triaacutengulos obtusaacutellgulos tienen dos de sus lados ig ual es

l Todos los pol ied ros tienen caras

J Hay an ima les que viven en el agua y que son mamiacuteshyferos

k Solo las aves emigran en busca de comida

Escriacutebir una proposicioacuten cu antifi cada para cada fotoshygrafiacutea

a

bull RETATIVA PROPOI IIIVA bull ARGUMENTATIVA I

c e

f - d

4 Completar la tabla en el cuaderno

Proposicioacuten Simbolizacioacuten de la proposicioacuten

Negacioacuten de la proposicioacuten

Existe un nuacutem ero I par que es primo

3 x impar I x no es Ill Cilti plo de 15

Cada nuacutemero natural es entero

I x x es un nuacutem ero real

Algunos nuacute meros irracionales son negativos

3x E IR I x es mayor qu e 1

Todos los nuacutemeros racionales se pueshyden escribir como

a b

5 Para cada afirmacioacuten escribir F si es falsa o V si es vershydadera seg uacuten corresponda Justificar la respuesta usanshydo proposiciones cu antificadas

a Todos los tliaacutengulos son equ ilaacuteteros

b Existen animales que no son mam iacuteferos

c Todos los hombres son mayores de cinco antildeos

d Todos los nuacutemeros pares son nuacutemeros compuest os ~

e Alg unas plantas tienen reproduccioacuten sexual g z

f Soacutelo los libros de literatura sirven para leer iexcl

16

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUacuteMEROS REAlES UNIDAD 1

CONJUNTOS

Lista de siacutembolos

Aproximadamente igual

1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de

ct no es subconjunto de

tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado

A x B producto cartesiano

U unioacuten

n in terseccioacuten

A 6 B diferencia simeacutetrica

lt z

~ iexcl z lt lt1gt

Un conjunto es una coleccioacuten de objetos Cada objeto del conjunshyto se llama elemento

Los conjuntos se nombran con letras mayuacutesculas y se pueden representar por medio de diagramas o encerrando sus elementos entre llaves

Diagrama de Venn Diagrama lineal Entre llaves

A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo

Representar los siguientes conjuntos en un diagrama de Venn en un diagrama lineal y entre llaves

a El conjunto de los nuacutemeros primos

b El conjunto de los nuacutemeros naturales muacuteltiplos de 3

c El conjunto de los nuacutemeros enteros mayores de -2 menores que 4

Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17

Actualidad En teorio de conjuntos lo verdad o falsedad de uno proposicioacuten se conoce como pertenencia o no pertenencia de un elemento o un conjunto dado

bull 21 DETERMINACiOacuteN DE UN CONJUNTO -

Un conjunto se puede determinar por extensioacuten y por comprensioacuten

Un conjunto se detennina por extensioacuten cuando se nombra uno a uno todos sus elementos

Por ejemplo el conjunto de los nuacutemeros diacutegitos se determina por extensioacuten asiacute

D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Un conjunto se detennina por comprensioacuten cuando se recuue a una propieshydad que caracteriza sus elementos

Por ejemplo el conjunto de los nuacutemeros naturales pares menores que 7 se deshytermina por comprensioacuten asiacute

P = x E N I x es par x lt 7

Eiexclemplo

Determinar por extensioacuten y por comprensioacuten cada uno de los siguientes conjuntos

a El conjunto de los nuacutemeros naturales impares mayores que 5 y menores que 16

b El conjunto de los divisores de 8

c El conjunto de los nuacutemeros naturales entre 6 y 8

Solucioacuten

a Por extensioacuten I = 7 9 11 13 15

Por comprensioacuten 1= x E N I x es impar 5 lt x lt 16

b Por extensioacuten O = 1 2 4 8

Por comprensioacuten O = x I x es divisor de 8

c Por extensioacuten M = x I x E NI 6 lt x lt 8

Por comprensioacuten M = 7

Relacioacuten de pertenencia

Se dice que un elemento pertenece a un conjunto si cumple con la o las caracteriacutesticas que definen el conjunto El siacutembolo E se utishyliza para representar esta relacioacuten

Asiacute si x cumple con las caracteriacutesticas del conjunto M se escribe

x E M Y se lee x pertenece a M

Si x no cumple con las caracteriacutesticas del conjunto M se escribe

x tt M Y se lee x no pertenece a M ~ z

Por ejemplo si N es el conjunto de los nuacutemeros naturales P es el conjunto ~ de los nuacutemeros pares e 1 es el conjunto de los nuacutemeros impares se cumple ~ que 2 E N 2 E P 3 tt P 5 E 1 8 tt 1 entre otros ~

18

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUacuteMEROS REALES UNIDAD 1

iquestCuales son las propiedades de la inclusioacuten

ltz lt

z lt

22 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS -

Relacioacuten de contenencia

Un conjunto Aestaacute contenido o incluido en otro conjunto B si toshydos los elementos del conjunto A tambieacuten pertenecen al conjunto B Se simboliza

A e B y se lee lA estaacute contenido en B

De la misma manera si el conjunto B contiene al conjunto A se simboliza B ~ A Y se lee B contiene a A

Cuando por lo menos un elemento del conjunto A no pertenece al conjunto B se diraacute que A no estaacute contenido o no estaacute incluido en B se simboliza

A rt B Y se lee lA no estaacute contenido en B

Ejemplo

Observar el diagrama de Venn Luego indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten

a Pe 7l- es falso pues ninguacuten elemento de Pestaacute en 7l-

b N e 7l- es falso pues N es el conjunto de los nuacutemeros naturales y 7l- es el conjunto de los nuacutemeros enteros negativos

c Pe N es verdadero pues todos los elementos de Pson tambieacuten elementos de N

d 7l- rt N es verdadero pues ninguacuten elemento del conjunto 7l- es de N

Relacioacuten de igualdad

Dos conjuntos Ay B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos

En siacutembolos A = B lt=gt A e B 1 B e A

A=Blt=gtxEA l xEB

Es decir todo elemento que pertenece a A tambieacuten pertenece a B y todo eleshymento de B tambieacuten pertenece a A

El orden en que aparezcan los elementos en un conjunto no interfiere en su definicioacuten

Por ejemplo el conjunto S de los diacutegitos y el conjunto T de los nuacutemeros nashyturales menores o iguales que 9 y el degson iguales pues

S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19

~ Praacutectica 3 ] CIENCIAS Los muacutesculos son un componente del sistema

locomotor que ti enen la funcioacuten de ejerce r la fuerza neshycesaria para el movimiento El esquema muestra algushynos muacutesculos del cuerpo humano

Ptctoral nayor

Sartori) ----------1-shy

CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO

Determinar por extensioacuten cada uno de los siguientes conjuntos

a e= x x es un musculo de la cabeza

b S = x x es un muacutescu lo de las extremidades superiores

c 1= x x es un muacutesculo de las extremidades inferiores

2 Detelminar por extensi oacuten los siguientes conjuntos nushymeacutericos

a N = x I x E I~ X lt 20

b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16

c P= x x E J X lt 10 Yx tiene raiacutez cuadrada exactae

d O = x x E t x es Pl imo y par

e R = x x E 71 x es diacutegito y x ~ 4

f S = x x E N x es divisor de 120

g T= x x E N x es mlilt iplo de 4

h O = x x E lL x gt 2

l W = x x E N x es divisor de 50

iexcl_ME RPRETA11VA ~ PIlOPOSITIVA bull ARGUMENTATIVA J

J Determinar por compre nsi oacuten los siguientes conju ntos

a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O

~ Indicar si las siguientes afirmaciones son verda deras o falsas Justificar la respuesta

a Ij C lL g -10101 E il)

b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3

5 Dibujar un diagrama de Venn que muestre cada situacioacuten

a A C B ec D COn By Dsin elementos comunes

b D c F FC Gy n g D

6 Indica r si cada pareja de conjuntos es igual

a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8

b P=xxE NOltx lt 1 O=ltjgt

c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2

e H=xxElL-x gt -3 ~ F = - 3 - 2 - 1 O z ~ J iexclf T= x x E lL Olt x ~ 5 Z ~ InW=ltjgt

20

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUacuteMEROS REALES UNLDAD 1

-23 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Interseccioacuten entre conjuntos

Dados dos conjuntos Ay B la interseccioacuten de A con B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a Aya B a la vez

La interseccioacuten de conjuntos se nota por A n B y se lee

A interseccioacuten B

Simboacutelicamente

AnB A n B = x x E A 1 x E B

Se observa claramente la relacioacuten de equivalencia entre la interseccioacuten de conjuntos y la conjuncioacuten loacutegica

11 Ejemplo I

Sean A = O 2 46 8 8 = O 6 9 3 e = s 7 9 Hallar y representar en un diagrama de Venn

a A n 8 b A n e Solucioacuten

a A n 8 = O 6 b A n e = lt1gt

I A Bmiddot9middot4 ~~

middot8 ~~ Dos conjuntos son disyuntos cuando su interseccioacuten es vacfa

A continuacioacuten se puede observar las representaciones graacuteficas de la intershyseccioacuten de dos conjuntos a partir de la relacioacuten que existe entre ellos

La parte coloreada corresponde a la interseccioacuten

disyuntos intersecantes

AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z

S - iexcl Z ltt 11gt

AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB

Unioacuten entre conjuntos

Dados dos conjuntos Ay B la unioacuten de A con B es el conjunto forshymado por los elementos que pertenecen a A o a B

La unioacuten de conjuntos se denota por A U B Y se lee A unioacuten B

Simboacutelicamente

A U B = x x E A V x E B

Se observa claramente la relacioacuten de equivalencia entre la unioacuten de conjunshytos y la disyuncioacuten

Ejemplo

Sean A = 1 5 Y B = 4 5 7 8 hallar la unioacuten entre A y B Y representarla en un diagrama de Venn

4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S

Los casos especiales de la unioacuten entre conjuntos se observan en los siguienshytes diagramas

B

~~

ACBAUB=B AUA=A AUltp=A

Propiedades de la unioacuten y la interseccioacuten

Se ha definido la unioacuten y la interseccioacuten entre dos conjuntos pero en la praacutectica es corriente trabajar con maacutes de dos conjuntos y tener que calcular expresiones como la siguiente

A U [(B n q U O]

Para trabajar con este tipo de expresiones resulta necesario estudiar las sishyguientes propiedades

A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva

A U (B U el = (A U Bl U e A n (B n q = (A n Bl n e A U B = B U A AnB=BnA

A U (B n Al = A

A n (B U Al = A ltDe la unioacuten con respecto a la interseccioacuten z

A U (B n el = (A U Bl n (A U el 5 J iexcl Z

De la interseccioacuten con respecto a la unioacuten lt VI

A n (B U el = (A n Bl U (A n el 22

---

bull bullbull

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUacuteMEROS REALES UNIDAD I

Praacutectica 11 1 TECNOLOGiacuteA El alfabeto Morse es un si stema te legraacuteshy

fico que se compone por sentildea les de dos duraciones puntos y rayas Fue desarrol lado por Samuel Finley BIeese Morse en 1838

El alfabeto Morse se emplea en telegrafiacutea en forma de sentildeales acuacutesticas y oacutepticas

Gqu middotnta de lIn le leg ratn Morse

e M n N h S n T k (N U S) n T

f M n T 1 TU N 1 (N U M) n T

g M U N J (TU N) n S m (T n M) US

2 Det erminar por extensi oacuten cada conjunto Luego inshydicar los el ementos que pertenecen a cada operacioacuten

R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8

a R n P f (P U Q) n R

b P U O g (R U O) n O

c O U R h [O U P) n O

d O n R l (P U Ql U R

e P U O j [R n OJ n O

Escribir dos conjun tos por com prensioacuten que cumplan con las condici ones dadas

a La unioacuten es el conjunto x I x E 11 x lt lO Ysu interseccioacuten es el conj unto x I x E x lt 4

b La unioacuten es el conjunto x I x E 71 -2 lt x 2 La interseccioacuten es el conjunto x I x E 11 x lt l

c La unioacuten es el conjunto x I x E N x S 5 La inshyterseccioacuten es el conjunto x I x E l - 1 lt x lt 6

d La un ioacuten es el conjunto x I x E 3 lt x lt 16 La interseccioacuten es el co njun to 4 6 8 10 12 14

e La uni oacuten es el conju nto x I x E ~ x es impar x lt lO La interseccioacuten es el conj unto x I x E 11 x es pri mo x lt lO

4 Para cada af irmacioacuten escrib ir V si es verdadera o F si es falsa seguacuten corresponda Justi f icar la seleccioacuten

a Si 11 n l = 11 entonces N e 7l

b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q

d 7l y Q son conjuntos disyuntos ya que 1 n Q = 4gt

e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11

su signo en clave Morse

Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00

e bull f - g --o h I J --shyk -shyI - m -shyn -

I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml

A conti nuacioacuten se muestra el alfabeto y frente a eacutel

Signo --e-shy

e--I

--shy-

-shyshyo-shy- shy--shy-- --1shy-shy

Determ inar por extensioacuten los siguientes conjuntos

a M = x I x es una letra cuyo signo se compone uacutenicamente de puntos

b N = x I x es una let ra cuyo signo tiene sol am enshyte rayas

c S = x I x es una letra cuyo sig no ti ene una canshytid ad impar de liacuteneas

d T= x l xes un a letra cuyo signo tiene maacutes pu n-tos que liacuten eas

Real iza r un diagrama de Venn e indicar los elemen shytos correspondientes a las operaciones entre los conshyjuntos anteriores

23

Diferencia entre conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia entre A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B

La diferencia entre conjuntos se nota A - B Y se lee A menos B

Simboacutelicamente

A-B A - B = x x E A 1 x ti B

Eiexclemplo

ISi A = 2 4 6 8 Y B = a 8 9 hallar A - B B - A Luego representar las respuestas en un diagrama de Venn

So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9

B A BA middot 4 middot4 ()middot0

2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _

Conjunto referencia l

r+ Iilliuiijampitsectfj El conjunto referencial o universal es el conjunto fonnado por todos los elementos del tema de referencia

El conjunto referencial se simboliza con U y se representa graacuteficamenshy1------ te en un rectaacutengulo

Por ejemplo al hablar del conjunto de los nuacutemeros pares se puede fijar como conjunto referencial el conjunto de los nuacutemeros naturales

Complemento de un conjunto

Dado el conjunto A referido a un conjunto universal U el comshyplemento de A es el conjunto formado por los elementos de U que no estaacuten en A

El complemento se denota AC o j y se lee A complemento

Simboacutelicamente

AC = U - A = x x E U 1 x ti A

Eiexclemplou bull

middot0 2 Si U = x x es un nuacutemero diacutegito y A = 1 3 5 6 hallar N y representarlo laquolaquo 3 5 zz en un diagrama de Venn laquomiddot7

A0 6 ~ J iexclmiddot4 middot8 9 ~ laquoSolucioacuten Z laquo

V

Figura 7 N = a 2 4 7 8 9 La representacioacuten de N se muestra en la figura 1 Q

24

-- ---

LOacuteGICA y CONJUNTOS NUacuteMEROS RtALfS lJNID ~

B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~

I = x I x E N x impar

Figura 2

iquestExiste alguna otra definicioacuten para la diferencia simeacutetrica entre A y B iquestCuaacutel

Figura 3 ltl ltl z Z ltl 5-- -- - ~ z z ltl ltl Vl Vl

ordm

Diferencia si meacutetrica

La diferencia simeacutetrica entre dos conjuntos A y B estaacute formada por los elementos que pertenecen a A U B Y no pertenecen a A n B

Se nota A 6 B Y se lee A diferencia simeacutetrica B

Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)

Si A U B es el conjunto universal entonces A - B = A n Be

Ejemplo

Dados los conjuntos P = x x E N x par y N hallar P 6 N

Sol ucioacuten

P U N = N Y Pn N = P luego los elementos que pertenecen a la unioacuten entre Py N Y no pertenecen a la interseccioacuten estaacuten en el conjunto I = x x E N x impar

Asiacute P 6 N = I

La representacioacuten de estos conjuntos se observa en la figura 2

Ejemplo

En una ciudad hay tres perioacutedicos Digolaverdad Loseacutetodo y Elchisme El 35 de los habitantes de la ciudad lee Digolaverdad el 4000 lee Loseacutetodo el 13 lee Digolaverdad y Loseacutetodo el 16 lee Loseacutetodo y El chisme el 15 lee Digolaverdad y Elchisme el 7 lee los tres perioacutedicos y el 75 lee Loseacutetodo o Elchisme

Encontrar el porcentaje de habitantes que no lee ninguno de los tres perioacutedicos

Solucioacuten

1deg Se elabora un diagrama y se asigna una letra a cada una de las regiones asiacute como X al perioacutedico Digolaverdad Yal perioacutedico Loseacutetodo y Z al perioacutedico Elchisme (figura 3)

2deg El porcentaje de personas que leen los tres perioacutedicos es o = 700

3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8

4deg Los habitantes que leen X representan el 35 entonces o + b + d + f = 3500 de donde f = 14

I 5deg Los habitantes que leen Y representan el 40 entonces o + d + e - e = 40 de donde e = 18 Como o + b + e + d + e + 9 = 75 entonces 9 = 27

6deg Finalmente o + b + e + d + e + f + 9 = 89 Luego el porcentaje de los habitantes que no lee ninguacuten perioacutedico es 100 - 89 = 1100

25

Tabla de ident(iclfciuacuterr i del interrupwr J

in terruptor a

volar cerrado

O abierto

~24 CIRCUITOS LOacuteGICOS

Circuito eleacutectrico

Un circuito eleacutectrico simple es aquel que consta de una pila U1a resistencia (bombillo) y U1 interrupt01 Un circuito simple tiene dos estados dependiendo de la posicioacuten del interruptor inshyTerruptor cerrado e interruptor abierto

Un interruptor cerrado es aquel que deja pasar la corriente

Un intenuptor abierto es aquel en el que el paso de corriente estaacute inteshyrrumpido

Por ejemplo la figura muestra los dos posibles estados de un circuito eleacutecshy(rie

InlclTuplor cerrado Interruptor abierto ~ (1

~-iexclPila n

a a

Si a es un interruptor a puede tomar el valor 1 si a estaacute cerrado y puede tomar el valor Osi estaacute abierto

El valor de un interruptor a se indica mediante una tabla llamada tabla de verificacioacuten del interruptor en la cual el valor 1 indica que el inteshynuptor estaacute cenado y el valor Oindica que el interruptor estaacute abierto

Dos interruptores son equivalentes si tienen la misma tabla de velificacioacuten

Circuito en paralelo

Se dice que dos interruptores a y b estaacuten conectados en paralelo cuando su conexioacuten estaacute en dos liacuteneas paralelas

El interruptor resultante de conectar a y b en paralelo se representa por a V b

Para que el intenuptor a V b esteacute cerrado basta que a esteacute cerrado o que b esteacute cerrado Su tabla de verificacioacuten se muestra a continuacioacuten y coshyrresponde a la disyuncioacuten loacutegica

Conexioacuten de los interruptores Tabla de verificacioacuten para a y b en paralelo un circuito en paralelo

aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26

LOacuteGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALB UNIDAD I

Circuito en serie

Se dice que dos interruptores a y b estaacuten conectados en serie cuando su conexioacuten estaacute en una liacutenea recta

El interruptor resultante de conectar a y b en serie se representa por a b

Para que el interruptor a b esteacute cerrado es necesario que a y b esteacuten ceshyrrados Su tabla de verificacioacuten se muestra a continuacioacuten y corresponshyde a la conjuncioacuten loacutegica

Conexioacuten de los interruptores Tabla de verificacioacuten para a y b en serie un circuito en serie

a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I

Propiedades de los circuitos

El conjunto de los interruptores con las operaciones de V conexioacuten en paralelo y conexioacuten en serie cumple las siguientes propiedades

bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5

para un interruptor cualquiera a se tiene a Va = a ya a = a

para dos interruptores cualesquiera a y b se tiene a V b = b Va ya b = b a

para tres interruptores cualesquiera a b y e se tiene a V (b Ve) = (a V b) Ve ya (b e) = (a b) c

para dos interruptores cualesquiera a y b se tiene (a V b) b = b Y(a b) V b = b

si a b yc son interruptores entonces se cumple que a V (b e) = (a V b) (a Ve)

ya (b Ve) = (a b) V (a e)

1 ~lIJPAElATTVA PRO POSITrVA AAOOIiHAfIVA

l Dete rm inar por extensioacuten los conjuntos que est aacuten deshyterm inados pOI com prensioacuten Luego halla ll05 elemenshytos que perte nece n a cada operacioacuten

A = x x E fj x lt 12 x es primo

B = x x E N x lt 10 x es par

C= x x E N x lt 15 x es impal ltl laquoZ z ~ laquo a A-B d C- AJJ iexcl J

Z iexcl z b A-C e C- Bltl

V laquo VI

C B-A f B- C

27

Dados los co njuntos

M = xx E N xlt lO

N = x x E rJ 2 lt x lt 12

a Utilizar My N para comprobar que (M U N) - (M rl N) = (M shy N) U (N - M)

b Rea liza r un diagram a de Ve nn para re (M U N) - (M n N)

prese ntH

c Re presentar (M - N) U (N - Ml en un Venn

diagrama de

3 Dado el conju nto referencial

U= x I x E N 2 S xlt 30 x es pa r

y los conj untos

T= x I x E N x es par x es primo

S = x I x E N x lt 12 x es pa d R = x I x E N x gt 6 x es par

Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S

b R h (T n 5) n (T shy 5)

c TU S i S U R o (R- 5)

d (T U S) j (SU R) p (R- S)

e Tn R k sn R q (S 6 R)

f (T n R) 1 (S n R) r (R b n MATEMAacuteTICAS En la teoriacutea de conjuntos existe dos Iela shyciones queson de gran importancia y son denom ina das las leyes de De Margan

La pr imera ley establ ece que el complemen to de la unioacuten entre dos conju ntos equ ivale a la interseccioacuten del com plemento de cada uno de los conjuntos

Simboacutelicamente se escribe asiacute

(A U Bl = A ~ B

La segunda ley establece que el complemento de la inshyte rseccioacuten entre dos conjuntos es igual a la unioacuten cle los com plementos de 105 conju ntos

(A r Bl = A B

a Realizar dos diagra mas de Venn lino para (A U Bl y otro para A n B Lu ego comparar los

b Hacer los diagramas de Venn correspond ientes a (A n B) y a A U B Luego co mpararlos

5 iquestEs posible que B- A = A - B7 En caso de ser posiacuteble indishycar queacute caracteriacutesticas deben cumplir los conjuntos A y B

En un bus van las personas representadas en el conjunto B

B= m t p q f g h iexclj b

sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres

m es un vendedor ambulante

p q son profesion ales

p q es una pareja de espososcuyos hijos son by j de dishyferente sexo

t j son est ud ia ntes

f g h iexcl son dos ma trimo nios ob relOs de una emplmiddotesa

In di car qui eacutenes son

a Lo s ho mbres d Las mujeres obreras

b Los ingeni elOs e La mujer que estudia

c Los hom bres ob re ros

iexcl Un grupo de 700 mujeresrealiza trabajos manuales Pashyra ell o utilizan tres tipos de materiales madera ceraacuteshymica e hilo Se sabe que todas utilizan ceraacutemica 400 utilizan madera y 500 utilizan hilo iquestCuaacute ntas mujeres emplean los tres materi ales

Entre un grupo de person as se realizoacute una encuesta acerca de su gusto pOI la gaseosa el jugo o la cerveza y se obtuvie ron los si guientes datos

El 25 tom a gaseosa el 55 toma jugo el 12 toma gaseosa y jugo el 17 torna jugo y cerveza e113 to shyma gaseosa y cerveza el 9 toma las tres bebidas y el 80 torna gaseosa o cerveza

Elaborar un diaglama que describa la situacioacuten

9 Indicar la proposicioacuten qu e corresponda a cada circu ito loacutegico Luego hacer su tabla de verificacioacuten

a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d

Hacer un circuito con maacutes de tres interruptores para cashyda condicioacuten

a Su tabla de verificacioacuten t iene valor 1

b Con interruptores en paralelo y su tabla de verificashycioacuten tiene valor O laquo z

laquo z 5 - c Con interruptores en serie y en paralelo y su tabla g iexcl z

de verificacioacuten tiene valor 1 ~ laquo In

In copycopy

28

lOacuteGICA YCONJUNIDS NUMEROS REALES UNIDAD 1

LOS NUacuteMEROS REALES

Para los griegos los nuacutemeros irracionales eran considerados cantidades inconmensurables (que no se pueden medir) Sin embargo fueron los pitagoacutericos quienes consiguieron representar con ayuda de la regla y el campoacutes sobre la recta nuacutemeros como V2 y v i

En los cursos anteriores se han estudiado los conjuntos numeacutericos Asiacute se definieron los conjuntos N de los nuacutemeros naturales I~ O de los nuacutemeshyros naturales y el cero 7l de los nuacutemeros enteros y Q de los nuacutemeros rashycionales como sigue

N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123

Q = ~ a E 7l b E 7l b O Ademaacutes los nuacutemeros del conjunto Q se pueden representar en forma deshycimal conformando una clasificacioacuten importante

finitos puros

Decimales perioacutedicos

infinitos mixtos

no perioacutedicos

Dentro de esta clasificacioacuten llaman particularmente la atencioacuten los decishymales infinitos no perioacutedicos pues estos nuacutemeros no tienen una represhy

sentacioacuten de la forma ~ representacioacuten racional por esta razoacuten estos decishy

males forman el conjunto de los nuacutemeros irracionales notado con la letra ~

Algunos nuacutemeros irracionales son V2 = 14142 TI = 31415 entre otros

El conjunto de los nuacutemeros racionales Q unido con el conjunshyto de los nuacutemeros irracionales ~ forma el conjunto de los nuacuteshymeros reales IR

Asiacute

Los nuacutemeros reales se pueden representar utilizando puntos sobre la recshyta real de modo que a cada nuacutemero real a le corresponde exactamente un punto de la recta ya cada punto P en la recta le corresponde un nuacuteshymero real a

A esto se le llama correspondencia uno a uno o correspondencia biuniacutevoca

En la siguiente recta real se pueden observar algunos nuacutemeros reales

8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b

nuacutemeros reales negativos

nuacutemeros reales positivos

Al representar una mayor cantidad de nuacutemeros reales en un intervalo se puede observar informalmente que entre dos nuacutemeros reales siempre va a ubicarse otro nuacutemero real A esta propiedad se le llama densidad

31

1

Interrla(o o pareja ordenada

El intervalo abierto (a b) utiliza Jo misma notacioacuten que la pareja ordenada [a b) No obstante siempre debe quedar claro a partir del contexto de un problema si se estaacute hablando de un intervalo o de una pareja ordenada

a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3

Actualidad Los siacutembolos x y - x no representan nuacutemeros son simplemente siacutembolos que nos recuerdan que el intervalo continuacutea por siempre Jumenta o disminuye sin fin Por lo tanto siempre se escribe un pareacutentesis junto al siacutembolo x

~31 DESIGUALDADES EN IR

Intervalo

Un intervalo es un subconjunto de los nuacutemeros reales

Los intervalos se clasifican en

bull Intervalo abierto (a b)

Notacioacuten de conjuntos x E IR a lt x lt b (figura 1)

Representa todos los nuacutemeros reales que estaacute n entre a y b sin incluir a a ya b

bull Intervalo cerrado [a bJ Notacioacuten de conjuntos x E IR a ~ x ~ b (figura 2)

Representa todos los nuacutemeros reales que estaacuten entre a y b incluyendo a a y a b

bull Intervalos semiabiertos (a bJ o [a b)

Notacioacuten de conjw1tos (a bJ = x E IR a lt x ~ b [a b) = x E IR a ~ x lt b (figura 3)

Representa todos los nuacutemeros reales que estaacuten entre a y b incluyendo a a o a b

bull Intervalos infinitos

Notacioacuten (a (0) = x E IR x gt a Graacutefica --lt)___

a

Representa todos los nuacutemeros reales mayores que a Notacioacuten [a (0) = x E IR x a Graacutefica __shy

a

Representa todos los nuacutemeros reales mayores que a incluyendo a a

Notacioacuten (-00 b) = x E [~ x lt b Graacutefica middotmiddot middotmiddotmiddot ---o-shyb

Representa todos los nuacutemeros reales menores que b Notacioacuten ( -00 bJ= x E IR Jx ~ b Graacutefica ----- -~==-=-- -----shy

b

Representa todos los nuacutemeros reales menores que b incluyendo a b

El intervalo (- 00 (0) representa el conjuntoacute de los nuacutemeros reashyles IR y corresporlde a toda la recta real

Operaciones con intervalos

Como los intervalos son subconjuntos del conjunto de los nuacutemeros reashyles entonces las operaciones unioacuten interseccioacuten y diferencia tambieacuten esshytaacuten definidas en dichos subconjuntos

Por ejemplo los intervalos (-5 OJ U (2 (0) corresponde a todos los nuacute- ltt ltZ

meros reales entre -5 y O asiacute como los nuacutemeros reales mayores que 2 5 lt

Graacuteficamente ----0--------- - - e o middotmiddotmiddot-middotmiddot -~--middot-middotmiddot --- - ~ z ltt

-5 O 2 VI

32

LOacuteGICA Y ca Jumas NUacuteMEROS REALES UNIDAD 1

Propiedades de las desitJualdades

1 Si a lt b b lt c entonces a lt c

2 Si a lt b entonces

a+cltb+cy

a-cltb-c a

3 Si a lt b yc gt O entonces a bac lt bc y- ltshyc c

4 Sia lt b yc lt O entonces a bac gt bc y- gt ~ c c

Comportamiento de la inecuacioacuten

(x - 3)(x + 2) lt degen los intervalos definidos en los casos 1 y 2

+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)

(x - 3) Negativo Negativo Positivo

(x + 2) Negativo Positivo Positivo

I (x - 3)(x + 2) Positivo Negativo Positivo

(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones

Una desigualdad en donde intervienen una o maacutes variables se conoce con el nombre de inecuacioacuten

Resolver una inecuacioacuten es hallar los valores de la variable que haen ciershyta la desigualdad Al conjunto d~ dichos valores se le llama conjunto soshylucioacuten

Por ejemplo la desigualdad x + 3 lt 7 - x es una inecuacioacuten

Al resolver esta inecuacioacuten se obtiene la expresioacuten x lt 2 es decir el con- middot junto solucioacuten de x + 3 lt 7 - x es S = x E IR x lt 2

E sta s olucioacuten estaacute representada por el intervalo (-00 2)

Graacuteficamente ~----------~o~---------2

Inecuaciones cuadraacutetica s

Una inecuacioacuten cuadraacutetica es una desigualdad que simplificada tiene la forma

ax2 + bx + c gt O ax2 + bx + c ~ O o

ax2 + bx + c lt O ax2 + bx +middotc ~ O

Ejemplo

Hallar el conjunto solucioacuten de cada inecuacioacuten (x + 2)(3 - x)

a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten

a Al factorizar la expresioacuten se tiene que

x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O

Como el producto (x - 3)(x + 2) es menor que cero se dan dos casos

bull Caso 1 (x - 3) gt O1 (x + 2) lt O

x-3gtO x+2ltO x gt 3 xlt - 2

------------lt0------- (3 (0) 3

n Solucioacuten caso 1 cji

(- 00 -2)~--------~--~ -2

bull Caso 2 (x - 3) lt O1 (x + 2) gt O

x-3 lt O x+2gtO x lt 3 xgt - 2

__~------~0-------(- 003)

Solucioacuten caso 2 (-23)

~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --

La solucioacuten de la inecuacioacuten es la unioacuten de las soluciones del caso 1 y el caso 2

Solucioacuten ~ U (-23) = (-23)

gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)

Es importante tener en cuenta que en la expresioacuten

(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l

Como el producto es mayor que cero se presentan dos casos

bull Caso 1 (x + 2)(3 - x) ~ O (x + 1)(x2 + 1) gt O

En cada una de las inecuaciones dadas en este caso se presentan a su vez

bull

dos casos maacutes asiacute

Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2

Solucioacuten caso 11 [-2 3J U g = [-23]

Caso 12

( x - 1) gt 0 (x2 + 1) gt O V (x + 1) lt 0 (x2 + 1) lt O

La expresioacuten x2 + 1 siempre es mayor que cero luego la solucioacuten en x2 + 1 gt Oes (- x col y la solucioacuten en x2 + 1 lt Oes g

(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1

Solucioacuten caso 12 [-1 col U g = [-1 col

Solucioacuten caso 1 [-23] n (-1 (0) = (~1 3]

~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1

En conclusioacuten la solucioacuten del caso 1 es el intervalo (-1 3] laquo ~

zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)

Realizando un proceso similar al efectuado en el soluciones de los casos 21 y 22

34

O lt5 J = iexcl zcaso 1 se obtienen las z ltlaquo VI

LOacuteGICA Y CONJUmOS NUMEROS REALES UNIDAD 1

Solucioacuten caso 21 (-00 - 2] U (3 (0)

Solucioacuten caso 22 (-00 -1]

Solucioacuten caso 2 (- oo -2] U (3 oo) n (-00 -1] = (- 00 -2]

En conclusioacuten los valores para los cuales la expresioacuten --(x---+---=2--)(3=------xL)- ~ o

(x + 1)(x2 + 1)

Se encuentra en la unioacuten de los intervalos solucioacuten de los casos 1 y 2

~ Praacutectica 6 1 Dados los siguientes intervalos

A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)

Realizar las operaciones indicadas y escribir los intervashylos resultantes

a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)

2 Escribir intervalos A y 8 t ales que el resultado de realishyzar la operacioacuten indicada entre ellos sea el intervalo que se muestra en cada graacutefica

a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b 8 nA bull I 1 middot middot

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 Hallar el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuacioshylt nes en IR z

~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8

Solucioacuten (-00 -2] U k 13]

1_ (lAA_ OPOSIlVA _ ~~~

c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2

2x + 3 7x + 8l 9x lt lt-shy

5 3

4 Resolver las inecuaciones

a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35

Propiedades de las inecuaciones

con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO

Se llama valor absoluto de a al nuacutemero no negativo simbolizado lalque cumple

a si a gt O lal = - a si a lt O O si a = O

Ecuaciones con valor absoluto

Para solucionar ecuaciones con valor absoluto se utilizan las siguientes proshypiedades

bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a

bull ~I = lal ~ x = a V x = -a

EiemI0

Hallar los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones

a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten

a Siendo 12 gt O se cumple la primera propiedad 3x - 7 = 12 oacute 3x - 7 = -12

U U 19 5 x= - o x=-shy3 3

9Luego los valores de x que saacutetisfacen la ecuacioacuten son 1 - ~3

b 13x - 51 = 7 - x Como el valor absoluto siempre es un nuacutemero positivo o cero necesariamente

7 - x ~ O Asiacute la ecuacioacuten se cumple si se presentan tres condiciones

7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x

x 7 y x=3 oacute x = -1

Luego la solucioacuten es la interseccioacuten de la desigualdad y los valores de x

xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten

Ix - 21 = 13 - 2~ ~ x - 2 = 3 - 2x oacute x - 2 = - (3 - 2x) ~ x = i oacute x = 1 3

luego la solucioacuten es el conjunto ~ 1

~ a~ La x acon a~ O ltC z Inecuaciones con valor absoluto 5 ltIxl ~ a ~ x ~ a o x - a - iexclEn la solucioacuten de inecuaciones con valor absoluto se deben tener en cuenta z

Ixl lal ~ x2 a ltC VI ~ 2

las propiedades que se mencionan a la izquierda

36

bull bull


laquo z ~ J iexcl Z laquo reg

Ejemplo

Determinar el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones Luego representar graacuteficamente la solucioacuten

a 12x - 31 ~ 3x - 8 b Is - 3~ gt 2x + 6 c ISx - 31 ~ ISx + si Solucioacuten

a Aplicando la primera propiedad se tiene

12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3

Para analizar la expresioacuten -3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 se separa la inecuacioacuten en dos inecuaciones

-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S

S En conclusioacuten la solucioacuten de 12x - 31 ~ 3x - 8 estaacute formada por

11 8 x~- y x~S y x~-

S 3

[~ 00) n [S 00) n [~ 00) = [S 00) Graacuteficamente _---__---4~---- bull bull bull bull gt 11j e jj I ~ 1

11 8 55 3

b Aplicando la segunda propiedad

Is - 3~ gt 2x + 6 lt= S - 3x gt 2x + 6 oacute S - 3x lt - (2x + 6]

x lt -~ oacute x gt 11 S

En conclusioacuten la solucioacuten de Is - 3~ gt 2x + 6 estaacute formada por

x lt -~oacutexgt 11 S

(- 00 ~) U (11 00)

Graacuteficamente --------~o~-----~o~~=------

15 11

c Aplicando la tercera propiedad

ISx - 31 ~ 13x + silt= [Sx - 3)2 ~ (3x + S)2 lt= x ~ --1

S

Luego la solucioacuten es [- ~ 00) Graacuteficamente bull

1 5

37

lt- J Praacutectica 7

1 Ha llar el conjunto so lucioacuten de ca da ecuacioacuten

a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3

2 Para cada caso encontrar O que depende de E tal que

a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E

3 Hallar el conjunto solucioacuten de cada inecuacioacuten

a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7

iexclil - 21 + x ~ 3i x+2

4 Relacionar cada inecuacioacuten con su respectiva solucioacuten graacutefica

a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1

INTERPRETATIVA bull PROPOSITNA bull ARGUMENTATIVA I

e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2

5 El valor absoluto de un nuacutemero real x se puede definir tambieacuten como

Ixl =W

Utilizar esta definicioacuten para demostrar que Ix - 21 lt Ixl tiene solucioacuten x ~ 1

6 iquestQueacute valores debe tomar x para que la expresioacuten

-1 _1_ esteacute definida iquestPor queacutexl - x

7 Demostrar que

Si I ~ ~ 1 entonces Ix4 + -lXl + -l + 1 x+ J Ilt 2 2 4 8 16

8 Resolver los siguientes problemas

a La necesidad diaria de agua calculada para cierta ciudad estaacute dada por

Ig - 37250001 ~ 100000

donde g es el nuacutemero de galones de agua utilizados por dia Hallar la mayor y la menor necesidad diari a de ag ua

b El peso p de tres cuartas partes de los tarros de cashyfeacute llenadas por un procesador de alimentos satisfashyce la desigualdad

~ 1I~ I005

donde p se mide en onzas Determinar el interva lo en el cual se halla p

c Se especifica que una parte exacta de un motor peshyquentildeo t iene un diaacutemetro de 0623 cm Para que la parte encaje correctamente su diaacutemet ro debe estar a 0005 cm de l diaacutemetro especificado

Escribir una inecuacioacuten con valor absoluto que tenga como solucioacuten todos los diaacutemetros posibles de las parshytes que encajaraacuten Luego determinar esos diaacutemetros

d En cierta ciudad la temperatura t (en grados) estaacute dada por la foacutermula

lt13t- 151 lt 10 lt z z Determinar entre queacute rango se encuentra la tempe- ~ zratura de esa ciudad ~

copy

38

~~ PROPOSICIONES

Las proposiciones son expresiones del lenguaje que pueden calificarse coshymo verdaderas o falsas

Las proposiciones se diferencian de las preguntas de las oacuterdenes y de las exshyclamaciones

Son proposiciones

bull Carlos es hermano de Mariacutea bull 39 es un nuacutemero primo bull Coloacuten descubrioacute Ameacuterica bull El rombo es un cuadrilaacutetero

~ 11 PROPOSICiOacuteN SIMPLE

No son proposiciones

bull iquestCuaacutentas mariposas hay bull iquestQueacute edad tiene Pedro bull iexclHola bull iexclQueacute linda es Ana

Una proposicioacuten simple es aquella que se forma sin utilizar teacutennishynos de enlace

Valor de verdad de una proposicioacuten simple

Toda proposicioacuten simple se puede calificar como verdadera o falsa por ejemshyplo la proposicioacuten La LUl1a es un planeta es una proposicioacuten falsa mientras que la proposicioacuten 4 y 25 SOI1 cuadrados pefectos es una proposicioacuten verdadera

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de cada proposicioacuten simple

a 5 es divisor de 15 c 30 es muacuteltiplo de 7

b Bogotaacute es la capital de Colombia d v4 es un nuacutemero irracional

Solucioacuten

a 1 3 Y 5 son divisores de 15 es una proposicioacuten verdadera

b Bogotaacute es la capital de Colombia es una proposicioacuten verdadera

c 30 es muacuteltiplo de 7 es una proposicioacuten falsa

d v4 es un nuacutemero irracional es una proposicioacuten falsa

Representacioacuten de proposiciones simples

Las proposiciones simples se representan mediante letras minuacutesculas por ejemplo las letras p q ~ s entre otras pueden representar las proposicioshynes planteadas anteriormente asiacute

p 5 es divisor de 15 ltt

q Bogotaacute es la capital de Colombia Z

S 1 iexclr 30 es muacuteltiplo de 7 Z ltt VIs v4 es un nuacutemero irracional

8



Siacutembolo

y 1

o V

siacute entonces ~


no ~

p ~p

V F

F V




Ejemplo







Solucioacuten








I

Ejemplo





Solucioacuten

~p

~ q




9

Conjyncioacuten



a 1 b

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla 1



I I I a o b

I I avb

P q PVq

V V V

V F V

F V V

F I F I F

Tabla 2

Conjuncioacuten


Ejemplo




Sol uciacuteoacuten






Disyuncioacuten


Ejemplo




Soluci oacuten








10


Implicacioacuten




I

a~b

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 3

Equivalencia











Ejemplo




Solucioacuten













11

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten








Tab las de verdad


Ejemplo



Solucioacuten




V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V




V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



Siacutembolo

y 1

o V

siacute entonces ~


no ~

p ~p

V F

F V




Ejemplo







Solucioacuten








I

Ejemplo





Solucioacuten

~p

~ q




9

Conjyncioacuten



a 1 b

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla 1



I I I a o b

I I avb

P q PVq

V V V

V F V

F V V

F I F I F

Tabla 2

Conjuncioacuten


Ejemplo




Sol uciacuteoacuten






Disyuncioacuten


Ejemplo




Soluci oacuten








10


Implicacioacuten




I

a~b

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 3

Equivalencia











Ejemplo




Solucioacuten













11

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten








Tab las de verdad


Ejemplo



Solucioacuten




V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V




V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

Conjyncioacuten



a 1 b

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla 1



I I I a o b

I I avb

P q PVq

V V V

V F V

F V V

F I F I F

Tabla 2

Conjuncioacuten


Ejemplo




Sol uciacuteoacuten






Disyuncioacuten


Ejemplo




Soluci oacuten








10


Implicacioacuten




I

a~b

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 3

Equivalencia











Ejemplo




Solucioacuten













11

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten








Tab las de verdad


Ejemplo



Solucioacuten




V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V




V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


Implicacioacuten




I

a~b

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 3

Equivalencia











Ejemplo




Solucioacuten













11

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten








Tab las de verdad


Ejemplo



Solucioacuten




V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V




V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

p q p~q

v v v

V F F I

F V F

F F V

Solucioacuten








Tab las de verdad


Ejemplo



Solucioacuten




V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F I V F V V




V V V F V V

V F F V V V

F V F V V F

F F F V V F

ltz lt iexcl z lt

12



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



pl e


























a

b

c

d

e

f

(j

60r




V V

V F

F V

F F


V V

V F

F V

F F

13

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

c

p eiexcl r p q

v v v

v V F

V F V I v F F

F V V I

F V F

F F V

F F F

q r

I

I p r (p q) (q r) (p q) (q r)]

(p = rl

I


V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F









Juan no es primero

Mateo no es segundo






No hace calor



Nos despe dimos

Haremos el trabajo


x + y z y + x z


Para todo V

Existe alguacuten 3





~ 1



14


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


Ejemplo





Solucioacuten









Ejemplo






ZZ iexcl



15

VI


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


cioacuten
























a


c e

f - d











a b








16


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


CONJUNTOS



1 y

V o

~ si entonces

~ si y soacutelo si

E pertenece

ti na pertenece

e es subconjunto de


tal que

3 existe

~ no existe

V para todo

(x y) par ordenado


U unioacuten



lt z

~ iexcl z lt lt1gt




A

I I( I I 7L bull p = O 2 4 6 8

middot 0 3 -2 -1 o

Ejemplo





Solucioacuten



p

1 I 11 P = 2 3571113 2 3-13



M

bull I 1

middot1 2 9 M = 3 6 9 12 middot 9



B

middot0

II 1 I I I 11 -1 B = -1 0 12 3

-1 o 2 3

17






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38






D = Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9




Eiexclemplo





Solucioacuten














18



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



ltz lt

z lt








Ejemplo


C)2

6

4 bull 5

~

bull 3 g-2middot

-3middot

a

b

c

d

Pe 7lshy

N e 7lshy

Pe N 7l- rt N

Solucioacuten








A=Blt=gtxEA l xEB




S = O 2 3 4 S 6 7 8 9 y T = l 2 3 4 S 6 7 8 9 S = T

19



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



Ptctoral nayor


CUddiccps remolar

Vato ttlllO

Tibi al anterior

S )fO







b M = x x E 1 - 5 lt x ~ 16










a W= 1 2 351015 30

b N=2468 10 12 14

c S = - 5 - 6 - 7 - 8 - 9bull r r I I

d P= 1 4 9162536

e B = O 3 6 9 12 15

f M = 5 142332 41 50

g T= O 5 10 152025 30

h O=l

l R=O



b 2 g IR h 36 E lL

c 2 E IR 1 O c O

d 05 E IR J lLc lR

e lL ltt O k N= lL

3+12 EO _5_ g QJf l 2 3



b D c F FC Gy n g D


a N = x x E N x gt 2 M = 3 4 5 6 7 8


c R = x x E N 3 lt x lt lO 5= 4 5 6 7 8 9 10

d T= x x E lL x lt 3 5= -2 -101 2


20







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38







Simboacutelicamente



11 Ejemplo I









AnB=lt1gt AnB

iguales

A

ltt Z


AnB

subconjunto

B AnB

21

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

AUB




Simboacutelicamente



Ejemplo


4 middot7

Solucioacuten

A U B = 1 54 7 8 middot1

S


B

~~




A U [(B n q U O]


A

1deg Asociativa

2deg Conmutativa

3deg Absorcioacuten

-+e Distributiva


A U (B n Al = A





---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

---

bull bullbull










R = x I x E 11 5 lt x lt 10

P = x I x E 71 -3 lt x lt 4

O = x I x E 11 x 6

O = x I x E 71 -1 lt x lt 8














b Q n N = 11

c 7l U 11 = Q


e Q U 11 = Q

f 10+ n = Q +

g 11 n 71 + = 11


Letra Signo a 0shy

b - c -e-

ch ---shyd -00


I LetraI

ntilde O

P q r s t u v w X

Y z aacute Uuml


Signo --e-shy

e--I

--shy-








23




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38




Simboacutelicamente


Eiexclemplo


So lucioacuten

A - B = 2 4 6 B - A = O 9


2 middot 6

middot2

middot6 gmiddot 9 _








Simboacutelicamente


Eiexclemplou bull



V


24

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

-- ---


B

shy~ A6B

____----- N

2 4 P 5

3 middot6 []

middot8

middot7

1P6N=~


Figura 2



ordm




Simboacutelicamente

A 6 B = (A U B) - (A n B)


Ejemplo


Sol ucioacuten


Asiacute P 6 N = I


Ejemplo



Solucioacuten



3deg Se calcula

o + d = 13 luego d = 6

o + e = 16 luego e = 9

o + b = 15 luego b = 8




25


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


in terruptor a

volar cerrado

O abierto








~-iexclPila n

a a









aVb

1

amiddot b

1 1

1 O

O 1

O

el

1 z - el - iexcl

1 z-lt = ~ el O O

26


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38


Circuito en serie





a a b ab

1 1 1

1 O O

O 1 O

O O O

I



bull Idempotente

bull Conmutativa

bull Asociativa

bull Absorcioacuten

bull Distributiva

~ Praacutectica 5













V laquo VI

C B-A f B- C

27


M = xx E N xlt lO




prese ntH


diagrama de



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



y los conj untos



Halleacutell

a T 9 Tn S I1lT-S








(A U Bl = A ~ B


(A r Bl = A B






sabiendo qu e

t q son hombres

g h son mujeres















a

(~

------ shy

b ~ d~~

a c

d






In copycopy

28





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38





N = 1 2 3 No = O 1 23

7l = -3 -2 -10123


finitos puros


infinitos mixtos

no perioacutedicos






Asiacute




8 A ~

c( z ~ iexcl Z

~ g

-2 -15

-1 o 4 23 5

b




31

1



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38



a

Figura 1

a b

Figura 2

a

a

Figura 3



Intervalo













a


a




b








-5 O 2 VI

32





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38





a+cltb+cy

a-cltb-c a





+ 1

- ltXl 2) (-23) (3 ltlO)




(x - 3)(gtlt + 2) lt O

ltt Z

3 J iexcl Z ltt Vl

el

Inecuaciones











Ejemplo


a x2 - x - 6 lt O b (x + 1)(x2 + 1) ~ O

Solucioacuten


x2 - x - 6 lt O~ (x - 3)(x + 2) lt O




------------lt0------- (3 (0) 3


(- 00 -2)~--------~--~ -2



__~------~0-------(- 003)


~_------_ (- 2 (0) - 2

33

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38

--- --



gt(x-----+--=2-)(-3_-----x2-)b - ~o (x + 1)(x2 + 1)


(x + ~)32 - x ~ O (x + 1)(x2 + 1) =1= O (x+lx+l




bull


Caso 11

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O V

x ~ -2 3 ~ x V

[ - 2 x) n (-x 3] = [ -2 3J

-2 3

(x + 2) ~ O (3 - x) ~ O

x ~ -2 3 ~ x

(-co -2] n [3 col = g

---- bull-2


Caso 12



(x + 1) ~ O (x2 + 1) ~ O V (x + 1) lt O (x2 + 1) ~ O

x~ -1 xlt -1

(-1 ce) n (- x ce) = (-1 col (-00 -1) n g = g

~ bull-1 -1



~-~_~~--~ --~-_ --_~__~_-bullbullgt---- -2 -1


zz~ ~Caso 2 (x ~2)(3 - x) O (x + 1)(x2 + 1)


34







(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






copy

38






(x + 1)(x2 + 1)



A = [-53] 8 = (-35) YC= (- 002)


a A U 8 f 8-A k 86A

b

c

d

e

8 U C

AUC

An8

8 n C

g

h

1

j

C shy A

(8 U A) - C

(A U C) - 8

(A U 8) U C

1 A 6 C

m 8 6 C

n (B - Cl

o (A U C)


a A U 8 o f o

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c A - 8

- 7 -6 -5 -4 -3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (B - A)

-7 -6 -5 -4 -3 - 2 -1 o 1 2 4 5 6 7 8 9

e (A n B)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9


~ a x - 2 ~ 8 ~ ji b x - 3 lt 2x + 8



c 5x + 2 gt 3x - 1

d 4x + 6 ~ 2x + 6

x - 3 5 x 2x + 9 e -- +- lt - +- shy3 4 12 15

4 - 3x f - 5 lt -- lt 1

3

g 5x - 4 lt 3x lt 2x + 1

h 9x - 2 lt 8x gt 3x + 2

l xl + 2x gt 3

J 8x +4 gt 2x + 10 gt 5x - 4

x + 6 k 2 lt - - lt 5

2


5 3


a x2 + 2x lt 3 h 3(x+ 3)(x + 1Hx- 2) gt O

b xl - 8 lt 2x (xl - 3 + 2x)(3x- 4 - xl) gt 0

c 3x2 - 1Ox ~ O J (x + 1)4 ~ (x + 1)2

d 6x2 - 5 lt x k - 2(x + 2) 2(x - 5) O

e x2 - 6x - 8 1 (3x + 1)(x + 2Hx - 1) ~ O

x-2 m _6_ __5_ gt -20

f x+3 2 x- l x-2

x2 + 4x + 4 g x2 _ 3x + 2 n 3x - 6 ~ 2 - 3X

3 4

------------------------------------------------------------------------------shy35


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






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38


con flalo absoluto

~ 32 VALOR ABSOLUTO





bull ~I = a ~ a ~ O x = a V x = -a


EiemI0


a 13x - 71 = 12 b 13x - 51 = 7 - x c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten


U U 19 5 x= - o x=-shy3 3




7 - x ~ O Y 3x - 5 = 7 - x oacute 3x - 5 = - 7 + x



xE ~I x 7 n -1 3 = -1 3

c Ix - 21 = 13 - 2~

Solucioacuten






36

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






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38

bull bull



Ejemplo




12x - 31 ~ 3x - 8 lt= -(3x - 8) ~ 2x - 3~ 3x - 8 y 3x - 8 ~ O

8- 3x + 8 ~ 2x - 3 ~ 3x - 8 Y x~-3


-3x + 8 ~ 2x - 3 Y 2x - 3 ~ 3x - 8

11 x ~ - y x~S


11 8 x~- y x~S y x~-

S 3


11 8 55 3






(- 00 ~) U (11 00)


15 11



S


1 5

37



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






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38



a Ix + 31 = 4 f II~ - 11 = 12x + 21

b 12x - 11 = 5 g 12x - 31 - 1 = Ix - 31

c 13x - 21 = x+ 1 h Ix - 51 + 16 - 4~ = 2

d 2 + Ix + 41 = 5x + 2 l Ilx + 21 + 41 = Ilx+ 311

14x + 6 = 2 3X e J 1 + 81 = 4x+4 2x + 3


a Ix - 51 lt o=gt 13x - 151 lt E

b Ix - 21 lt o=gt 14x - 81 lt E

c Ix - 61 lto =gt 16x - 361 lt E

d Ix - 11 lt o=gt 15x - 51 lt E


a Ix - 11 lt 3

b 12x + 31 lt 5

c 14x + 6 gt 12

d Ix + 81 lt 13x + 51

e 17x + 61 lt 12x - 11

f Ix + 21 + 21x1 lt 5

g I2-1+ x I~ 61

Ix + 41 - Ix - 51 ~ 1 h x- 7



a~ I-s -4 -3 -2 _ o I ~ ~ S 6 7 ( ) x + 2 5

f I b -s -4 -3 -2 - o 2 3 4 S 6 7 () Ix - 11 lt 3

c f I I-s -4 -3 -2 - ~ o~ 3 4 5 6 7 () xl lt 3

d o I-s -4 -3 -2 _ o 2 3 4 6 7 ( ) 2x + 11 ~ 1


e ( ) 13 - 2~ lt 1 middot9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - o I 2 3 4 5 6 7

f ~-S-+4-_-3_2~_middoto-~ -+--+- 3-4 7 ~ )2 -+ S-+6--+- ( Ix - 11 gt 2


Ixl =W




7 Demostrar que




Ig - 37250001 ~ 100000



~ 1I~ I005






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38

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