1 Secciones Cónicas

1.1 Parábola

Se de�ne parábola como"el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto �jo

F(foco) y una recta d ( directriz) "Si P (x; y) pertenece a la parábola su distancia medida a la recta d será igual

a la medida al punto F; veri�cará

d(P;F ) = d(p;d)

p(x� p)2 + (y � 0)2 = x+ p

(x� p)2 + (y � 0)2 = (x+ p)2

x2 � 2px+ p2 + y2 = x2 + 2px+ p2

y2 = 4px

DistinguimosLado recto = cuerda que pasa por el Foco.Ancho focal = longitud del Lado recto.

SeaQ(p; y) extremos uperior del lado recto, si reemplazamos sus coordenadasen la expresión obtenida para la parábola

1

y2 = 4pp

y2 = 4p2

y = 2p

�nalmente Q(p; 2p) y Q0(p;�2p)

la longitud del lado recto será 2p+ 2p = 4p

posición relativa a los ejes

orientación abre hacia ecuación

Horizontal derecha y2 = 4px

Horizontal izquierda y2 = �4pxVertical arriba x2 = 4py

Vertical abajo x2 = �4py

Ejemplos :

-) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y

directriz x = �32

atento al vértice y la directriz será Horizontal y abrirá hacia la derecha, luegosu expresión será de la forma y2 = 4px

reemplazando p =3

2

y2 = 4(3

2)x

y2 = 6x

2

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

-)Encontrar el Foco y la directriz de la parábola de ecuación y2 = 8x�y2 = 8xy2 = 4px

�) 4p = 8 , luego p = 2

�namente su directriz será d! x = �2 y el foco F (2; 0)y2 = 8x

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

3

-) Encontrar el Foco y la directriz de la parábola de ecuación x2 = �12y�x2 = �12yx2 = �4p

�) 4p = �12; luego p = �3

�namente su directriz será d! y = 3 y el foco F (0;�30)

x2 = �12y

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

Ejercitación:

1. Encontrar el Foco , la diectriz y gra�car en cada caso:

(a) x2 = �y(b) y2 = 4x

(c) y2 � 24x = 0(d) y2 + 2x = 0

(e) 3x2 � 20y = 0(f) x2 + 6y = 0

(g) x2 = 7y

2. Encontrar la ecuación y gra�car la parábola con vértice en el origen sabi-endo que posee:

4

(a) Directriz x+2

3= 0

(b) Foco en F (6; 0)

(c) Directriz y = 4

(d) Foco en F (�14; 0)

(e) Directriz x = 8

(f) Foco en F (0; 5)

(g) Directriz en y = �15

3. Un puente colgante tiene una longitud de 160 metros. El cable que losoporta describe una parábola. Si el puntal en cada uno de los extremostiene una altura de 25 metros ¿Cuál es la ecuación de la parábola que lorepresenta?

4. El cableado de un puente colgante está dado por la ecuación x2 = 400y.Si los puntales tienen una altura de 50 metros ¿Cuál es la longitud delpuente?

5. Una antena parabólica tiene un diámetro de 1 metro. Si tiene una pro-fundidad de 20 cm ¿a qué altura debemos colocar el receptor?,es decir ¿aqué distancia se encuentra el Foco? (rta. a 31.25 cm del vértice)

6. Gra�car las siguientes parábolas en el mismo sistema de coordenadas

(a) y2 = 4px con p =1

3;1

2; 1; 2; 3

(b) x2 = �4px con p = 1

3;1

2; 1; 2; 3

5

1.1.1 Ecuación ordinaria de la parábola

Inicialmente de�niremos la traslación de ejes

�x0 = x� hy0 = y � k

�o bien

�x = x0 + hy = y0 + k

�

Si la parábola se encuentra trasladada su vértice no coincidirá con el origensino que tendrá coordenadas O0(h; k).

De esta manera la ecuación canónica quedará en función de los ejes X 0 e Y 0

. de la forma x02 = 4py0

si reemplazamos vemos que

(x� h)2 = 4p(y � k) con p 6= 0

x2 � 2hx+ h2 = 4py � 4pk

x2 � 2hx+ h2 � 4py + 4pk

6

podemos ver que esta última expresión es de la forma

x2 +Dx+ Ey + F = 0

-) Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en V (5;�2) y su focose encuentra en F (5;�4)

podemos ver que p = 2

(x� 5)2 = �4(2)(y � (�2))(x� 5)2 = �8y � 16x2 � 10x+ 8y + 41 = 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

­10

­8

­6

­4

­2

2

x

y

7

Ejercitación :

1. - ) Encontrar el Foco,Vértice y Directriz de las siguientes parábolas- Gra�car

(a) y2 � 8y � 8x+ 64 = 0 ( rta. V (6; 4); F (8; 4); d! x = 4)

(b) y2 + 2y + 20x� 39 = 0 ( rta. V (2;�1); F (�3;�1); d! x = 7)

(c) y2 + 10y � 24x+ 49 = 0 ( rta. V (1;�5); F (7;�5); d! x = �4

2. En cada Caso hallar la intersección de la recta y la parábola

(a) r ! 6x � y � 2 = 0 , parábola x2 + 4x � y � 5 = 0 ( rta.P (�1;�8)yQ(3; 16)

(b) r ! 11x� 2y+7 = 0 , parábola �x2 +10x� y+6 = 0 ( rta.

P (�12;3

4)yQ(5; 31)

(c) r ! 4x� 7y + 38 = 0 , parábola y2 � 2x� 4 = 0 ( rta. no secortan)

8

1.2 La Elipse

De�nimos la elipse como "el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma-toria de distancias a dos puntos �jos llamados Focos es constante"

�����!FP ���+ �����!F 0P ��� = 2ap(x� c)2 + y2 +

p(x+ c)2 + y2 = 2a

(p(x� c)2 + y2)2 = (2a�

p(x+ c)2 + y2)2

(x� c)2 + y2 = 4a2 � 4ap(x+ c)2 + y2 + (x+ c)2 + y2

(x� c)2 � 4a2 � (x+ c)2 = 4ap(x+ c)2 + y2

�xc� 4a2 = 4ap(x+ c)2 + y2

(xc+ a2)2 = (�ap(x+ c)2 + y2)2

x2c2 + 2xca2 + a4 = a2((x+ c)2 + y2)x2c2 + 2xca2 + a4 = a2x2 + 2xca2 + a2c2 + a2y2

a2(a2 � c2) = x2(a2 � c2) + a2y2

1 =x2

a2(a2 � c2)(a2 � c2)

+y2

a2(a2 � c2)a2

�nalmentex2

a2+y2

b2= 1

9

Hallar la ecuación de la elipse de Focos F (5; 0)yF 0(�5; 0) tal que la suma delas distancias de los puntos de la elipse a los focos sea igual a 12

2c = 10a = 6 pues 2a = 12b2 = a2 � c2b2 = 62 � 52 ) b2 = 11

�nalmentex2

36+y2

11= 1

­10 ­8 ­6 ­4 ­2 2 4 6 8 10

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

Ejercitación :

1. Encontrar la ecuación de la elipse en cada caso y Gra�car

(a) F (1

5; 0) , �F 0(�1

5; 0) , V (

5

2; 0) , V 0(�5

2; 0)

(b) F (0; 3) , �F 0(0;�3) , V (0; 10) , V 0(0;�10)(c) F (0; 25) , �F 0(0;�25) , V (0; 30) , V 0(0;�30)

2. En cada caso hallar las coordenadas de los vértices y de los focos .

(a) 4x2 + y2 � 36 = 0(b) 9x2 + 8y2 = 72

(c) 2x2 + 25y2 = 50

10

1.2.1 Ecuación Ordinaria

x02

a2+y02

b2= 1

y sabemos que�x = x0 + hy = y0 + k

�y

�x0 = x� hy0 = y � k

�reemplazando las expresiones de x0 e y0

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

= 1

b2(x� h)2 + a2(y � k)2 = a2b2b2x2 + a2y2 � 2b2xh� 2a2yk + b2h2 + a2k2 = a2b2b2x2 + a2y2 � 2b2xh� 2a2yk + b2h2 + a2k2 � a2b2 = 0

podemos ver que la última expresión es de la forma

Ax2 +By2 +Dx+ Ey + F = 0

Ejemplo :Consideremos la elipse8x2 + 4y2 � 24x� 4y � 13 = 0

11

reemplazando

8(x0 + h)2 + 4(y0 + k)2 � 24(x0 + h)� 4(y0 + k)� 13 = 0

8x02 + 4y02 + x0(16h� 24) + y0(8k � 4) + 8h2 + 4k2 � 24h� 4k � 13 = 0

16h� 24 = 08k � 4 ) h =

3

2y k =

1

2

luego el centro de coordenadas trasladado será O0(3

2;1

2)

y reeplazando los valores obtenidos , nuestra expresión quedará

8x02 + 4y02 � 32 = 0o bien

8(x� 32)2 + 4(y � 1

2)2 = 32

(x� 32)2

4+(y � 1

2)2

8= 1

en primer caso se encuentra referida a los ejes trasladados y en el último alos ejes originales .

(x� 32)2

4+(y � 1

2)2

8= 1

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

12

Ejercitación

1. Hallar la ecuación canónica y gra�car

(a) 9x2 + 4y2 � 90x� 124y + 225 = 0(b) 2x2 + y2 � 24x� 2y + 72 = 0(c) 4x2 + 32y2 + 4x+ 128y + 65 = 0

(d) 4x2 + 100y2 � 20x+ 280y + 121 = 0

13

1.3 La Hipérbola

De�nimos la Hiérbola como "el lugar geométrico de los puntos del plano cuyadiferencia de distancias a dos puntos �jos llamados Focos es constante"

�����!FP ���� �����!F 0P ��� = 2ap(x� c)2 + y2 �

qRx+ c)2 + y2 = 2a

(p(x� c)2 + y2)2 = (2a+

qRx+ c)2 + y2)2

x2 � 2xc+ c2 + y2 = 4a2 + 4aqR

x+ c)2 + y2 + x2 + 2xc+ c2 + y2

�4xc� 4a2 = 4aqR

x+ c)2 + y2

(�4xc� 4a2)2 = (4aqR

x+ c)2 + y2))2

x2c2 + 2xca2 + a4 = a2(x2 + 2xc+ c2 + y2)x2c2 + 2xca2 + a4 = a2x2 + 2xca2 + a2c2 + a2y2

x2c2 + 2xca2 + a4 � a2x2 � 2xca2 � a2c2 = a2y2x2(c2 � a2) + a2(a2 � c2) = a2y2

x2(c2 � a2)� a2y2 = a2(c2 + a2)x2(c2 � a2)a2(c2 + a2)

� a2y2

a2(c2 + a2)= 1

14

x2

a2� y

2

b2= 1

Lado recto : Cuerda que pasa por el Foco. Para calcular su longitud hacemosx=c

c2

a2� y

2

b2= 1 o sea

a2 + b2

a2� y

2

b2= 1

(a2 + b2)b2 � a2y2 � a2b2 = 0b2a2 + b4 � a2b2 = a2b2b4

a2= y2

�nalmente

y = �b2

a

�nalmente, los extremos del lado recto serán (c;b2

a) y (�c;�b

2

a)

y su longitud2b2

a

Ejemplo:

Encontrar la hipérbola cuyos focos son F (5; 0) F 0(�5; 0) cuya diferencia dedistancias a los puntos de la misma sea 8

F (5; 0) F 0(�5; 0)) c = 52a = 8) a = 4

c2 = a2 + b2

52 = 42 + b2 ) b = �3

�nalmente la hipérbola seráx2

16� y

2

9= 1

15

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

1.3.1 Asíntotas de la Hipérbola

seax2

a2� y

2

b2= 1

-y2a2 + x2b2 � a2b2 = 0y2a2 = b2(x2 � a2)y =

b

a

px2 � a2

podemos ver que si jxj es muy grande ( tiende a 1) podemos considerarpx2 � a2 = �x

luego

y = � bax

Ejercitación:

1. Encontrar la ecuación de la Hipérbola en los siguientes casos y Gra�car

(a) F 0(�32; 0) F (

3

2; 0) 2a = 2

(b) V 0(�4; 0) V (4; 0) distancia focal = 10

16

(c) Distancia focal=14, centrada en el origen y longitud del lado recto =20

2. Encontrar las coordenadas de los vértices , Focos y Gra�car

(a) 25x2 � 4y2 = 225(b) �4x2 + 5y2 � 80 = 0

(c)x2

81� y

2

9= 1

(d) y2 � 9x2 � 81 = 0

1.3.2 Ecuación Ordinaria

x02

a2� y

02

b2= 1

y sabemos que�x = x0 + hy = y0 + k

�y

�x0 = x� hy0 = y � k

�(x� h)2a2

� (y � k)2

b2= 1

b2(x� h)2 � a2(y � k)2 � a2b2 = 0

b2x2 � 2b2xh+ b2h2 � a2y2 + 2a2yk � a2k2 � a2b2 = 0

17

vemos que es de la forma

Ax2 +By2 +Dx+ Ey + F = 0

Ejemplo :

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola

8x2 � 4y2 � 24x� 4y � 15 = 0

reemplazamos8(x0 + h)2 � 4(y0 + k)2 � 24(x0 + h)� 4(y�+ k)� 15 = 08x02 � 4y02 + x0(16h� 24) + y0(�8k � 4) + 8h2 � 4k2 � 24h� 4k � 15 = 0deberá cumplirse

16h� 24 = 0)h =3

2

�8k � 4 = 0)k = �1

2

su centro se encontrará en O0(3

2;�12)

8x02 � 4y02 + 8(32)2 � 4(�1

2)2 � 24(3

2)� 4(�1

2)� 15 = 0

8x02 � 4y02 � 32 = 0

x02

4� y

02

8= 1

18

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

­4

­3

­2

­1

1

2

3

4

5

x

y

Ejercitación :

1. Escribir la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas

(a) x2 � 4y2 � 4x� 4y � 400 = 0(b) �4x2 + 49y2 � 48x+ 98y � 291 = 0(c) 3x2 � 2y2 + 12x+ 2y � 14 = 0

1.4 Rectas Tangentes

1.4.1 Tangentes a una elipse

d(FQ) + d(F 0Q) = d(FQ) + d(QR) > d(FR)= D(FP ) + d(PR)= d(FP ) + d(PF 0) = 2a

d(FQ) + d(F 0Q) > 2a

19

F 0(�c; 00); F (c; 0); P (x1; y1)

la recta PF tendrá de ecuación (y � y1) =y1

(x1 � c)(x� x1)

en su forma GRAL. y1x+ (c� x1) y � cy1 = 0

la recta PF�tendrá de ecuación (y � y1) =y1

(x1 + c)(x� x1)

en su forma GRAL. -y1x+ (c+ x1) y � cy1 = 0

La ecuación de la directriz estará dada por la siguiente relación de distanciasD(Ql) = �D(Q; l0)

y1x+ (c� x1)y � cy1py21 + (c� x1)2

= � �y1x+ (c+ x1)y � cy1p(�y1)2 + (�c� x1)2

como P pertenece a la elipse , se veri�cax21a2=y21b2! y21 =

a2b2 � b2x21a2

reemplazando en la raíz

y21 + (c� x1)2 =a2b2 � b2x21

a2+ (c� x1)2

=a2b2 � b2x21 + a2c2 � 2a2cx1 + a2x21

a2

=a2(b2 + c2) + x21(a

2 � b2)� 2a2cx1a2

=a4 + x21c

2 � 2a2cx1a2

=(a2 � cx1)2

a2

20

�nalmente la raízpy21 + (c� x1)2 =

r(a2 � cx1)2

a2

=

��a2 � cx1��a

=a2 � cx1

a(porque

x1 < 0)

de manera similar

py21 + (�c� x1)2 ==

��a2 + cx1��a

=a2 + cx1

a

luegoa(y1x+ (c� x1)y � cy1)

a2 � cx1=a(y1x� (c+ x1)y + cy1)

a2 + cx1a2y � a2y1 + x1y1x� x21y = 0(x1y1)x+ (a

2 � x21)y = a2y1

(x1y1)x

a2y1+(a2 � x21)ya2y1

= 1

�nalmentexx1a2

+yy1b2

= 1

Generalizando en el caso de la Hipérbolaxx1a2

� yy1b2

= 1

Si se encuentra desplazada a O0(h; k)(x� h)(x1 � h)

a2� (y � k)(y1 � k)

b2= 1

4x2 + y2 � 8x+ 8y + 16 = 0 en el punto P (2;�4)

(x� 1) + (y + 4)2

4= 1

(2� 1)(x� 1) + (�4� (�4))(y � 4)4

= 1

x = 2

21

1.4.2 Tangentes a una Parábola

P (x1;y1); F (p; 0)

la recta que pasa por PF será (y � y1) =y1 � 0(x1 � p)

(x� x1)

(y � y1)(x1 � p) = y1(x� x1)(x1 � p)y � y1(x1 � p) = y1x� y1x1(x1 � p)y + y1p� y1x = 0como x1 > p la ec. de la recta horizontal que pasa por p es

y � y1 = 0y1x+ (x1 � p)y + y1pp

y21 + (p� x1)2= �(y � y1)

como P pertence a la parábola y21 = 4px1py21 + (p� x1)2 =

p4px1 + (p� x1)2 =

p(p+ x1)2 = p+ x1

y1x+ (x1 � p)y + y1pp+ x1

= �(y � y1)

�nalmente (y � y1) =y12x1

(x� x1)

o bien, dependiendo de su orientación (y � y1) =2y1x1(x� x1)

22

Ejemplos :

a. Sea y2 = 8x hallar su tangente en el punto Q(2; 4)

y � 4 = 4

2(2)(x� 2)

x� y + 2 = 0

b. Sea 3x2 + y = 0 hallar su tengente en el punto Q(1;�3)

y � (�3) = 2(�3)1

(x� 1)

y + 3 = �6(x� 1)) 6x+ y � 3 = 0

c. Encontrar la tangente a la parábola y2�10y�8x+9 = 0 en el punto Q(�32; 7)

el vértice se encontrará en V (�2; 5) , luego

y � 7 = 7� 5

2(�32+ 2)

(x+3

2)) 2x� y + 10 = 0

Si la elipse se encuentra desplazada su vértice tendrá de coordenadas V (h; k)

siendo la expresión de su tangente

(y � y1) =(y1 � k)2(x1 � h)

(x� x1)

1.4.3 DE LA ECUACIÓN GENERAL

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0se veri�ca que la ecuación de la recta tangente corresponde a la expresión

Axx1 +B(x1y + y1x

2) + Cyy1 +D(

x1 + x

2) + E(

y1 + y

2) + F = 0

x2 � y2 + 16x+ 6y + 56 = 0 en el punto P (�8; 4)xx1 � yy1 � 16(

x1 + x

2) + 6(

y1 + y

2) + 56 = 0

x(�8)� y(4)� 8(x� 8) + 3(y + 4) + 56 = 0

�y + 4 = 0

23

1.5 Ejercitación

1. Dadas las siguientes cónicas, hallar su tangente en el punto indicado encada caso.

2. 3x2 � y � 3 = 0 Q(4; 45)

3. x2 � 3y = 0 Q(2;4

3)

4. 3y2 + 6y � 4x� 5 = 0 Q(10; 3)

5. x2 � 3x� 4y � 74= 0 Q(

1

2;�34)

6. x2 + 4y2 � 48y + 80 = 0 Q(0; 10)

7. 4x2 + 7y2 � 40x+ 42y + 135 = 0 Q(27

4;�32)

8. 10x2 + 3y2 + 20x+ 12y � 8 = 0 Q(3p5� 1; 0)

9. �x2 + y2 � 6x� 14y + 39 = 0 Q(�3; 6)

10. �3x2 + y2 + 144x� 32y � 1481 = 0 Q(27; 22)

11. 2x2 � 3y2 � 6 = 0 Q(�3;�2)

Bibliografía "Geometría Analítica de Oteyza,Lam,Hernández, Carrillo yRamírez

24